Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения

В диссертационной работе рассматриваются экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения в дискретной математике и теории чисел. Особое внимание уделяется решению многомерных задач, общая теория которых по сравнению с одномерным случаем пока недостаточно разработана. Исследуются задачи для тригонометрических и алгебраических многочленов, целых функций экспоненциального типа и функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам и интегральными преобразованиями. При этом в большинстве задач условия на допустимые функции ставятся как на принимаемые ими значения, так и на значения их преобразования (коэффициенты) Фурье.

Актуальность темы

Экстремальные задачи и их приложения интересовали математиков на протяжении многих веков. Важный шаг в развитии экстремальных задач был сделан П. Л. Чебышевым, заложившим в 50-е годы XIX века основы раздела конструктивной теории функций — теории приближений. Развитием теории приближении, как для практических приложений, так и теоретических основ, занимались многие математики. Стоит отметить работы ближайших учеников Чебышева и его последователей Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина, А. А. Маркова. Принципиальную роль в становлении теории приближения функций сыграла теорема Вейерштрасса (1885), согласно которой для любой непрерывной на отрезке функции последовательность ее наилучших приближений многочленами порядка п сходится к нулю при п —> оо. Теорема Вейерштрасса неконструктивна в том плане, что не содержит оценки скорости приближения. Возникла потребность получения таких оценок. Важные результаты в этом направлении были получены в начале и середине ХХ-го века Д. Джексоном, Ш. Ж. Балле Пуссеном, С. Н. Бернштейном, Ж. Фаваром, А. Н. Колмогоровым, f С. Б. Стечкиным, С. М. Никольским.

Одной из центральных экстремальных задач теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона. Неравенствами Джексона принято называть неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции оценивается с помощью ее модуля непрерывности. Первое такое неравенство между наилучшим приближением непрерывной 27г-периодической функции тригонометрическими многочленами и ее равномерным модулем непрерывности, введенным А. Лебегом, было доказано Д. Джексоном в 1911 г. Первые неравенства Джексона с точными константами были получены Н. П. Корнейчуком для пространства С (-7Г, тг] в 1962 г. и Н. И. Чер-ныхом для пространства 7 г, 7г] в 1967 г. Точные константы в неравенствах Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В 1979 г. Н. И. Черных нашел минимальное значение аргумента в модуле непрерывности, при котором точная константа в неравенстве Джексона в пространстве 7 г, 7г] выходит на свой глобальный минимум. Нахождение таких аргументов, называемых оптимальными аргументами или точками Черныха, становится важной экстремальной задачей.

После результатов Н. П. Корнейчука и Н. И. Черныха появился интерес к получению точных неравенств Джексона и в других пространствах Lp. В 1992 г. Н. И. Черных доказал точное неравенство Джексона в пространстве Ьр (—7г, 7г] при 1 ^ р < 2. До сих пор остается нерешенной проблемой получение аналогичного результата при р > 2.

Результаты Черныха переносились на пространства Lp (1 ^ р ^ 2) на многомерном торе, сфере, евклидовом пространстве и других многообразиях В. А. Юдиным, В. И. Ивановым, О. И. Смирновым, А. В. Московским, В. В. Арестовым, А. Г. Бабенко, В. Ю. Поповым и другими авторами.

В основе решения многих экстремальных задач теории приближения лежат экстремальные задачи для тригонометрических и алгебраических многочленов, целых функций экспоненциального типа и функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам и интегральными преобразованиями. При этом в большинстве случаев условия на допустимые функции ставятся как на принимаемые ими значения, так и на значения их преобразования (коэффициенты) Фурье. Оказалось, что многие из этих задач параллельно рассматривались и решались «в других областях математики. Здесь в первую очередь выделим задачи дискретной математики и метрической геометрии об оценке характеристик экстремальных расположений точек в пространстве, в частности, задачи об оценке мощности кодов, дизайнов, упаковок и покрытий. Отметим результаты Ф. Дельсарта, Д. Геталса, Дж. Зейделя, К. Данк-ла, А. Одлыжко, Н. Слоэна, В. М. Сидельникова, В. И. Левенштей-на, Г. А. Кабатянского, Г. Фазекаша, В. А. Юдина, Н. Н. Андреева, А. Г. Бабенко, В. В. Арестова, В. И. Иванова, О. Р. Мусина, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar и других авторов. Ими рассматривались экстремальные задачи гармонического анализа для положительно определенных функций, задаваемых рядами по ортогональным многочленам с ограничениями на значения функций (как правило это неположительность или неотрицательность на промежутке). Такие задачи стали называть задачами Дельсарта, поставившего подобную задачу для оценки мощности кодов на ассоциативных симметричных полиномиальных схемах отношений. Конструкции экстремальных функций в этих задачах часто оказывались известными и использовались в других областях. Такими являются функции, построенные Н. И. Черныхом и В. А. Юдиным для задач о константах Джексона в Z, 2(Tn), и которые оказываются экстремальными в задачах об оценке характеристик решеток в Rn. На этом примере прослеживается связь экстремальных задач теории функций и теории приближения с их приложениями. Интересной с точки зрения переплетения идей является задача об оценке плотности упаковки Дп евклидова пространства шарами — одна из центральных проблем математики, известная для п = 3 как задача Кеплера, и в постановке для решеток являющаяся нерешенной частью 18-й проблемы Гильберта. Важность проблемы оценки величины Дп обусловлена ее многочисленными приложениями в метрической геометрии, в задачах цифровой передачи информации, теории кодирования и т. д. В 1978 г. В. И. Левенштейном и Г. А. Кабатянским с помощью решения некоторой экстремальной задачи Дельсарта для сферы и неравенства Яглома была получена оценка Дп ^ 2~0'5990-» (п+0(1)) (п —> оо), наилучшая до сих пор.

Можно отметить и другие области математики, где возникает потребность в решении экстремальных задач. Например, много экстремальных задач, родственных отмеченным выше, было рассмотре-> но П. Тураном, С. Б. Стечкиным, А. Ю. Поповым, С. В. Конягиным,

И.Е. Шпарлинским, H.L. Montgomery и другими математиками в связи с приложениями в аналитической теории чисел.

Цель работы. Вычислить точные константы Джексона для наилучших приближений в пространствах LP (M) при 1 ^ р ^ 2 для компактных и локально компактных однородных метрических пространств М, а также на полуоси с весом, развив известные подходы. Четко выделить экстремальные задачи, лежащие в основе доказательства точных неравенств Джексона.

Решить многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа и приложить их к задачам тео-" рии функций, теории приближений, дискретной математики и аналитической теории чисел. Развить технику, связанную с использованием квадратурных формул на полуоси с весом, точных для целых функций экспоненциального типа. Установить связь поставленных задач с экстремальными задачами Дельсарта.

Исследовать серию одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем и получить новые оценки в задачах о константах Никольского. Решить экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.

Методика исследований. Применяются современные методы теории функций действительного и комплексного переменного, функционального анализа, в частности, теории пространств Lp со смешанной нормой, теории приближений, теории экстремальных задач, абстрактного гармонического анализа и теории представления классических групп, теории задачи Штурма-Лиувилля и операторов обобщенного сдвига.

Для доказательства точных неравенств Джексона в пространствах Lp при 1 ^ р < 2 используются положительная определенность зональных сферических функций и положительные ядра типа Бомана-Коровкина по таким функциям, имеющие экстремальные характер. Поиск оптимальных аргументов в неравенствах Джексона опирается на решение экстремальных задач дельсартовского типа.

При решении экстремальных задач для целых функций многих > переменных экспоненциального сферического типа используются метод усреднения и квадратурные формулы гауссовского и марковского типов на полуоси со степенным весом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Вычислены точные константы Джексона в пространствах Lp при 1 < р < 2 на компактных римановых симметрических многообразиях ранга 1, в пространстве L2 на многомерном гиперболоиде и полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Для степенного веса и пространства Мп найдены оптимальные аргументы в точном неравенстве Джексона.

Решены экстремальные задачи Черныха-Логана, Турана, Дельсарта для целых функций многих переменных экспоненциального сферического типа.

Для отдельных значений параметров решены экстремальные задачи Турана, Конягина для функций одной переменной с малым носителем. Улучшены оценки (С, Ь^-констант Никольского.

Доказана неулучшаемость некоторых известных оценок характеристик кодов, дизайнов, упаковок и покрытий в однородных пространствах, полученных при решении экстремальных задач. Решена в одном случае экстремальная задача Монтгомери, связанная с множествами ван дер Корпута в теории чисел.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Развита схема получения точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 < р < 2 на однородных пространствах, не являющихся абелевыми группами. Разработана методика решения экстремальных задач для целых функций многих переменных экспоненциального типа. Установлена взаимосвязь экстремальных задач из разных областей математики.

Полученные результаты могут быть использованы при решении новых экстремальных задач в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 10 статьях в центральной печати [21, 25, 27−29, 31, 33, 36, 109, 115], в 8 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика», входящем в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий [19, 20, 22, 23, 26, 30, 34, 35], в двух статьях в трудах международных конференций [24, 32] и трех электронных препринтах, размещенных на цитируемом ресурсе Интернет [110−112].

В совместной работе [31] В. И. Иванову принадлежит утверждение б теоремы 3. В работе [115] автору принадлежат результаты относительно задачи Монтгомери. В работе [33] А. С. Маношиной частично принадлежат лемма 2 и случай р = 3 в теореме 3. В работе [36] С. А. Странковскому принадлежат одномерные результаты. В работе [34] М. С. Пискоржу в доказательстве теоремы принадлежит оценка снизу. В работе [35] О. С. Столяровой осуществлены компьютерные вычисления.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж (1997, 2005) — школа-конференция «Алгебра и анализ», посвященная 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань (1997) — 9-я Саратовская зимняя математическая школа, Саратов (1998) — Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ», Тула (1998) — XII Международная конференция «Проблемы теоретической кибернетики», Нижний Новгород (1999) — Международная школа С. Б. Стечки-на по теории функций, Миасс Челябинской обл., (1998, 1999, 2001, 2004) — Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула (2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005) — Международная конференция «Теория приближений функций и операторов», Екатеринбург (2000) — Международная конференции «Колмогоров и современная математика», Москва, (2003) — Международный семинар «Дискретная математика и ее приложения», Москва (2004) — Международная конференция «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященная столетию С. М. Никольского, Москва (2005);

Тезисы докладов, указанных конференций, опубликованы.

Также результаты диссертации докладывались на научных семинарах: под руководством академика РАН П. Л. Ульянова и члена-корреспондента РАН Б. С. Кашина в МГУ им. М. В. Ломоносовапод руководством профессора С. В. Конягина в МГУ им. М. В. Ломоносова- > под руководством профессора В. М. Сидельникова в МГУ им. М. В. Ломоносовапод руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАНпод руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черныха в ИММ УрО РАНпод руководством профессора В. И. Иванова в ТулГУ.

Основное содержание работы. Глава 1 посвящена экстремальным задачам теории приближений, а конкретно вычислению точных констант Джексона в пространствах Lp при 1 ^ р ^ 2. В гл. 2 решаются многомерные экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа. Глава 3 посвящена решению одномерных экстремальных задач для функций с малым носителем (задачи Турана и Конягина). В гл. 4 приводятся приложения в дискретной математике и теории чисел экстремальных задач, изученных в предыдущих главах. Также в ней рассматриваются другие экстремальные задачи для многочленов и рядов по ортогональным многочленам, связанные с оценками мощности кодов и дизайнов на однородных пространствах.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются экстремальные задачи теории приближений, связанные с вычислением констант Джексона (наилучших констант в неравенствах типа Джексона) в пространствах Lp при 1 ^ р ^ 2. В § 1.1 изучается случай пространства Ьр при 1 ^ р < 2 на многомерной евклидовой сфере 5n1 = {х € Rn: х = 1}. Сформулируем основной результат.

Пусть Eji (f, Sn~l)p (Re N) — величина наилучшего приближения функции / е Lp (Sn~l) сферическими многочленами порядка R— 1, и> (5, /, Sn~l)p — интегральный модуль непрерывности функции /, который для 0 < S ^ 7 г определяется равенством uj (5,f, Sn~%= sup ([ f (y)-f (x)pdJa (y)d<�а<<5 J, «J /

Здесь Га (ж) — окружность на сфере с центром в точке х G Sn~l и угловым радиусом, а е (0,7г), о и — нормированные инвариантные меры на 5П-1 и Га (ж) соответственно. В случае п = 2 определение (1) сводится к стандартному определению интегрального модуля непрерывности на окружности S

Константа Джексона определяется из решения экстремальной задачи в пространстве Lp (Sn~l)

D (5,R, Sn~%= sup eLpCS" -1) u{o, f, S)p

Она является наилучшей (наименьшей из возможных) константой в неравенстве Джексона

ErU, Sn~% < D{S, R, Sn~l)pu-(S, f, Sn~l)p.

Пусть rn® — первый положительный нуль косинус-многочлена Гегенбауэра С²−1 (cos г) степени R, для которого 72 (i?) =

Z it rn® ~ g (n~3)/2 (Я —> оо), где да — первый положительный нуль R функции Бесселя Ja.

Теорема 1.1.1. При 1 ^ р < 2

D (2rn®, 2R — l, Sn~l)p = 2-^', р' = -iL-.

При п = 2 теорема получена Н. И. Черныхом [82]. В основе доказательства теоремы лежит схема, предложенная Н. И. Черныхом и опирающаяся на один результат С. В. Конягина о связи модулей непрерывности в Lp (Т) при 1 ^ р < 2 и Т). Эта схема была затем развита В. И. Ивановым [39] и применена им для компактных абелевых групп, в частности, для многомерного тора. Вначале при 1 ^ р ^ 2 устанавливаются неравенства 1/Р 2~{/v'

1/(ж) — f (y)pK (xy) da (x) da{y) gn-1 Sn~1 i/p Sn- 1 gn

— f (v)pV (xy)do (x)

Sn- 1 сферической свертки, оо оо

К (ху) =? К1Р1Ы > 0, V (xy) =? ViPi{xy),

1=О 1=0

Pi — многочлены Гегенбауэра, нормированные условием РД1),

К0 =

K{xy)da (y) = VQ= 1, 0, Ki^Vi {I € Z+).

5n-i

Чтобы в (2) выделить приближение конечного порядка и модуль непрерывности необходимо подобрать неотрицательный сферический зональный многочлен К (ядро) и зональную функцию с малым носителем V (вес), коэффициенты которой накрываются коэффициентами ядра К. При этом, поскольку начиная с некоторого момента все коэффициенты К нулевые, то коэффициенты веса, по крайней мере с этого момента, должны быть неположительными.

В качестве веса V (xy) = (t = ху) используется функция v (t) vo с малым носителем, построенная А. Г. Бабенко [8] при доказательстве точного неравенства Джексона в L2{Sn~l).

Для нее suppv (f) С [cos2rn®, 1] и vi ^ О (I ^ R). Дополнительно устанавливается, что vi < diPi (tR)v0 (I = 0,1 ,., R), где di = ЦР/Иг" 2. d0= tR = cosTn®. k (t)

В качестве ядра используется многочлен К (ху) = где

Он имеет порядок 2R — 2 и обобщает известные положительные ядра

Бомана-Коровкина.

Многочлен к обладает важным экстремальным свойством: среди всех неотрицательных многочленов степени 2R — 2 у него наибольшее отношение первого коэффициента Фурье в разложении по многочленам к

Гегенбауэра к нулевому коэффициенту, равное — = dP (tn) = dtR.

К задаче нахождения максимума первого коэффициента приводится экстремальная задача о наибольшем первом моменте неотрицательного алгебраического многочлена, рассмотренная в более общей постановке для веса Лежандра (п = 3) еще П. Л. Чебышевым, а позднее Г. Сеге [69, с. 194]. Для веса Чебышева (п = 2) она сводится к известной экстремальной задаче Л. Фейера [105] (см. также [126, с. 154]) о максимуме первого коэффициента неотрицательного четного тригонометрического многочлена с единичным средним значением: найти экстремального при s = 2q — 2 привел тригонометрический многочлен, i=0 '

3)

Фейер установил, что этот максимум равен cos и и в качестве

COS ox равный с точностью до постоянной -., п.. После замены cosx — cos (7r/(2g)) / cos х на t, q на R и умножения на, а я из него получается многочлен (3) для случая п = 2.

Cere, Egervary и Szasz [126, с. 154] обобщили результат Фейера, найдя наилучшую (наименьшую) среди возможных мажоранту коэффициентов Фурье неотрицательного четного тригонометрического многочлена порядка ^ s с единичным средним значением: tk)^ cos + 2 (к= 1,2,., s).

В духе последнего результата справедливо утверждение, которое является ключевым в оценке сверху константы Джексона.

Лемма 1.1.4. Для I = 0, 1,., R- 1 k ^ diPi (tR)ko.

Отметим, что многочлен к и его варианты возникают во многих экстремальных задачах, имеющих приложения не только в теории приближений, но и в других областях математики. Например, в дискретной математике в проблемах, связанных с оценкой характеристик кодов и дизайнов (задачи Дельсарта).

Оценка снизу константы Джексона D (S, R, Sn~l)p ^ 2−1/р для произвольных S и R сводится к оценке снизу константы Джексона в Lp (Т) (1 ^ р < 2), которая была получена В. И. Бердышевым [12].

Теорема 1.1.1 и схема ее доказательства допускает естественное обобщение на другие непрерывные и дискретные компактные двухточечно однородные пространства. В § 1.2 приводятся соответствующие результаты для произвольных компактных римановых симметрических пространств ранга 1 (КРОСП), к которым относится сфера.

КРОСП является одно из следующих пространств М = Мп (п — = dimМ ^ 2):

1) сфера Sn (71 = 2,3,.);

2) вещественное проективное пространство РП (М) (п = 2,3,.);

3) комплексное проективное пространство РП© (п = 2,4,

4) кватернионное проективное пространство Pn (H) (п = 4,8,.);

5) проективное пространство Кэли Р16(Са).

Пусть Sr (x) — сфера в пространстве М с центром в точке х е М и радиусом г Е (О, L), d — инвариантная метрика на М, L — диаметр М

L = ядля сферы Sn), /i и сгг — инвариантные нормированные меры на М и £г.

Пространство ^(М) раскладывается в ортогональную сумму оо

1=0 где V/ — инвариантные подпространства в Ь2{М), на которых действуют неприводимые представления класса 1 группы движений пространства М. Проектор Pri 1,2{М) —у Vi имеет вид

Prlf (x) = dl J

Pi (О

Параметры, а и /3 (параметры КРОСП) принимают значения:

1) а = (3 = п/2- 1 для Sn;

2) а = п/2- 1, (5= -½ для РП (Е);

3) а = п/2- 1, (3 = 0 для РП (С);

4) а = п/2 — 1, /? = 1 для РП (Н) — Ь) а = 7, Р = 3 для Р16(Са). s

Пусть Hs = ^(BVJ — подпространство гармоник порядка s в Z+. z=o

Для i? G N и 5 е (О, L) величина наилучшего приближения и модуль непрерывности функции / 6 LP (M) определяются равенствами

ER (f, M) p= inf ||/-%, heHR-1 u (SJ, M) T= sup ([ |Ду)-/иОГ<�Ыг/)Ф (^ ¦ (4)

Модуль непрерывности (4) имеет теоретико-групповое истолкование. Пространство М можно отождествить с фактор-пространством G/K, где G = Iq (M) — собственная группа движений (изометрий) пространства М, а К — стационарная подгруппа произвольной фиксированной точки аеМ. Пары (G, K) для Sn, Pn®, Pn©, Pn (H), P16(Ca) принимают соответственно значения

SO (n+l), SO (n))f (SO (n + 1), 0(n)), [SU{n+), U{n)), (Sp (7), Sp (U>)xSp ()).

Функции /, заданные на М, можно считать сужениями функций /, заданных на группе G, если положить f (g) = f (ga) (д е G). На группе G модуль непрерывности определяется естественным образом g) p = sup II/М — /(W)IU Ы = d (e, g), g№ где d (g, g2) = ЦрГ^Н = sup d (gx, g2x) — инвариантная метрика на G, х? М l/P

If{9)pdg), dg — инвариантная нормированная мера 4 g '

Xaapa.

Оказывается, что о-(8, f, М) р — uj (5, f, G) p, что является простым следствием формулы интегрирования на G f{g)dg= f (x)dn (x).

G М

Из теоретико-групповой интерпретации модуля непрерывности (4) и двухточечной однородности пространства М следует его полуаддитивность.

Пусть Tafi{R) — первый положительный нуль косинус-многочлена Якоби P^(cosr), ra

Теорема 1.2.1. Если R б N, 1 < р < 2, то

D (2T°AR)L1 2R-, M) = 2~l/p'.

В пространстве L2(M) точное неравенство Джексона получено А. Г. Бабенко [9].

Ключевым моментом при оценке сверху является обобщение леммы 1.1.4. Пусть {Piit)}™0 — система ортогональных многочленов на отрезке [—1,1] по положительной мере da{t), нормированных условием 1

Pk (t)Pi (t)da (t)=5j± {k, lez+)t do=L

Для многочленов

Якоби P?'0{t) мера 1 d (ja,(3{t) = ca, p (-t)a{ + tYdt, ^(-t)a (l + tfdt. (5)

— 1

Из соотношения ортогональности или рекуррентного соотношения для ортогональных многочленов следует, что i+j

Pi (t)Pj (t)= Y, dkcijkPk (t). k—i—j

Предполагается, что здесь все коэффициенты Cijk — неотрицательны. Это условие, называемое условием Крейна, не верно для произвольных семейств ортогональных многочленов. Важно, что оно выполняется для многочленов Якоби с параметрами, а ^ ^ -½. Это было давно известно для многочленов Гегенбауэра (а = (3). Для, а > (3 ^ —½ это утверждение было установлено в 1970 г. Г. Гаспером [107]. Пусть для 5? N s1 2 2 2s~2 u (t)=lY/diPi (ts)Pi (t)) = = ?>" kPk (t).

M=0 ' S k—0

Теорема 1.2.2. Для I = 0, 1,., s — 1

Щ > Pi (ts)uQ.

В § 1.3 устанавливается неравенство Джексона в пространстве 1Р при 1 ^ р < 2 на дискретном пространстве Хэмминга. Пространство Хэмминга Zg (используется также обозначение F") — это конечная абелева группа Z™ = {х = (хо,., хп-): Х{ = 0,., q — 1} с операцией покоординатного сложения по mod б/, метрикой d (x, y) = х — у, где х = ]Г 1 — вес Хэмминга (|я| = 0,1,., п), инвариантным нормироxij^O ванным интегралом 1 я и системой характеров f{x) d^x) = -ъ Y, f (x) exp^^^j, VX = vqXQ +. + vn-ixn-i (i/, a-€ZJ).

Пусть £д (/, Z")p = min||/-t||p — величина наилучшего приближения функции /? lp{%q) многочленами t (x)= Y, Ч")хЛх) (R=l2,., n) порядка R — 1 (?n+i (/, ZJ) p = 0) f u{6, /, Ц) р = max\f (x + h)-f{x)\p 1,2.n) модуль непрерывности функции / (cj (0, /, Z")P = 0),

D (6, R, Zq) p — sup S константа Джексона- (s G N) — наименьший нуль многочлена Кравчука

Теорема 1.3.1. Если s, R е N, 2s — n, R — 1 < ^ < Я, то для 1 ^ р < 2

Доказательство теоремы следует схеме, разработанной для случая непрерывных пространств. Используется дискретный аналог теоремы 1.2.2, справедливый для многочленов Кравчука, удовлетворяющих условию Крейна. Теорема 1.3.1 обобщалась В. И. Ивановым и

A. А. Тюрюкановым [45].

В § 1.4 и § 1.5 доказываются точные неравенства Джексона в пространствах Z/2 на многомерном гиперболоиде Яп1 и на полуоси с весом для приближений частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Эти результаты добавляют новые случаи в схему, развитую для некомпактных пространств И. И. Ибрагимовым и В. Г. Насибовым [38] (ось К), А. Г. Бабенко [10] и А. В. Московским [59] (пространство Мп и полуось с весом tx),

B.Ю. Поповым [66, 67] (пространство Кп, гиперболоид Я2 и полуось Е+ с весом sh t), Е. Е. Бердышевой [14] (Rn) и другими авторами.

Пусть Hn~l = {х е Mn: [х, х] = 1, хп > 0} — верхняя пола двуполостного гиперболоида, х, у] = -xiyi —. -хп-уп- +хпуп (х, у? Rn),

Sg (x) = {у е Hn~l: [х, у] = ch0} — сфера в Нп~1 с инвариантной нормированной мерой V — пространство сужений на Нп~х однородных функций v (x) степени —(п — 2)/2 + гХ (А ^ 0), для которых д2 д2 д2

Dv = 0, где? = —г + • • • Н—о—-2 ~ волнов°й оператор. k дх{ дхпдхп

Также как и для сферы определяется величина наилучшего приближения функции / € Ь2(Нп~1) и ее модуль непрерывности

ER (f, Hn~l)2 = inf|||/ - д\2 -.ge®Vx ф (Л)| (R > 0), о J г ½ u (S, f, Hn~l)2= sup f (y)-f (x)2dae (y)dx) (6 > 0).

0<6^<5, J, v J

Hn~lSe (x)

Здесь

Г ((п-2)/2 + гЛ) 2

Г (гА) dX da (X) = '. ,—rrTo-. du (X) x A™-2 dX (Aoo) j 2п-2тг (п-1)/2Г ((П-1)/2) m — V У мера Планшереля, которая участвует в интегральном преобразовании Мелера-Фока.

Пусть, а = (п — 3)/2, 6a® — первый положительный нуль функции Лежандра Pl?/2+iR (chO), 01/2(Я) = 0a® ~ ^ (Я-> оо).

Теорема 1.4.1. Ясли п^ 2, R> 0, то для любой функции f в е L2(Hn~l) справедливо точное неравенство Джексона

ER (f, Hn~l)2 < J-u{2ea®, f, Hn-l)2.

При п = 2 эта теорема вытекает из точного неравенства Джексона в L2(К) [66], а при п = 3 она установлена В. Ю. Поповым [67].

В работах [10, 59] экстремальная задача о точном неравенстве Джексона в пространстве L2(Rn) сводится к одномерной задаче для функций, задаваемых на полуоси R+ с весом tx (А = п — 1). Аналогично задача о точном неравенстве в Ь2(Нп~х) сводится к задаче для функций на полуоси с гиперболическим весом shA t (А = п — 2). В § 1.5 изучается более общий случай наилучшего приближения в Ь2 на полуоси с весом w (t) частичными интегралами Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Степенной и гиперболический веса входят в него.

Рассматривается задача Штурма-Лиувилля на полуоси w{t)u'{t))' + (v2 + v2) w{t)u{t) = 0, u'(0) = 0 {t е wecl{R+), w (t)> 0 (t>0).

Здесь и? С, щ? М+ и предполагается, что при v G Ш+ получается весь спектр задачи.

Пусть (pu (t) — собственные функции задачи (6), для которых tpv{0) = 1- LPiW (R+) — пространство измеримых функций /: R+ —" С у /р с конечной нормой \f\PlW = f (t)p w (t) dt) (p ^ 1). Предпола

R+ ' гается, что для собственных функций выполнено условие

ЫОК<^(0)=1 {t, veR+). (7)

Оно верно, например, для неубывающего веса w. Если f (u) = f (t)u,(R+)> / € Li) da (R+).

Пусть Eji (f, M+)2,u- — наилучшее приближение функции / G G L2,^(M+) частичными интегралами Фурье h порядка R > 0, для которых supp h С [0, R]. Оно достигается на частичном интеграле Фурье оо функции / и ?&(/,!+)2,w = j 17(^)12 da (v). r

Определение модуля непрерывности функции / опирается на линейный оператор обобщенного сдвига Ts, который действует на собственные функции по формуле

Tsipv{t) = ipv (8)ipv (t) (s, te R+). (9)

Это равенство называется формулой умножения. Для произвольной функции / G L2tW (R+)

Tsf{t)= | 7(1/Ы"Ы*)^Нr+

Из (7) следует, что его норма равна 1. Построением общей теории I операторов обобщенного сдвига занимался Б. М. Левитан [55]. Многие авторы в своих исследованиях использовали подобные операторы. В задачах теории приближений, в частности, они применялись в работах [4, 8−10, 59, 66, 67].

Особый интерес представляет случай (рассматривается только он), когда оператор обобщенного сдвига допускает представление t+s

Tsf{t)= j f (x)dT., t (x) (s, teR+) t-s с неотрицательной мерой dTSit (x). Тогда область определения оператора расширяется на все локально интегрируемые функции /: R+ С, для которых Jxe? LiiW (R+) (Е — произвольный конечный интервал из М+), а формула умножения (9) становится верной для всех и е С.

Если задача регулярна в нуле (ги (0) >0), то мера drXtV получается из решения некоторой задачи Гурса [55]. При этом достаточным условием ее неотрицательности в предположении w е С2(М+) будет /2 условие невозрастания функции q = ——г [55]. В сингулярном zw 4WZ случае общий метод построения меры drSit, по-видимому, неизвестен. Но во многих прикладных задачах собственные функции выражаются через хорошо изученные специальные функции. Тогда мера drs

Рассмотрим два определения модуля непрерывности. Первое соответствует рассмотренным выше случаям сферы и гиперболоида w (6,f, R+h, w= sup I

Второе определение рассматривалось в работах [10, 59] ад/Д+k^ sup ||(/- Tdy/2f\2tW.

Лемма 1.5.2. Справедливо равенство o-(Jf /, R+)2.w = V2 /, R+)2."i

Константа Джексона определяется стандартно: sup

Ее нахождение связано с решением одной экстремальной задачи для функций. Положим

A (S, R, w) = sup inf ipu{d)p{v) da (u), pGF (R, d

F (R, da) = I p: [Я,+оо) R+ p (u) da{u) = 1 >.

R J S

Пусть 5 > 0, G (S, w) — множество функций g (u) = (pu (t) d^(t), где о

7 — действительная неубывающая функция ограниченной вариации, s непрерывная в нуле, d^{t) = 1. о

Лемма 1.5.3. Для 5, R > О

2D2(S, R, R+h, w =

1 — А {5, R, w)'

A (5,R, w) = inf sup g (u) — sup g*{v), g* 6 G (S, w). g€G (5,w) v^R

Эти утверждения для рядов были установлены А. Г. Бабенко [6], В. В. Арестовым и В. Ю. Поповым [4], а затем на случай Rn были обобщены Е. Е. Бердышевой [14]. Лемма 1.5.3 связывает обсуждаемые задачи теории приближения с экстремальными задачами для функций, которые находят приложения и в других областях математики.

Пусть t (u) — первый положительный нуль собственной функции сpv (t). В § 1.5 установлены соотношения

К A{8,R, w)< 1, A{2t{R), R, w) = 0 {5,R> 0), которые позволяют сформулировать следующий результат. Теорема 1.5.1. Для 8, R > О

D{8,R, R+)2tW > 2−1//2, D{2t{R), R, R+)2,w = 2″ ½.

Эта теорема охватывает многие важные случаи (везде, а ^ —½):

7Г

1) w (t) = 1, (pv (t) = cosut, t (v) = —;

2) w (t) = (t + a)2a+1 (a > 0), собственные функции ipu (t) выражаются через функции Бесселя Ja и Ya;

3)w (t) = t2a+l, tpu (t)=jaH, где m 2aT (a + 1) Ja (t) A (—l)fcr (g + l)(t/2)2k ттЛ t2

Г ЫГ (к + а+1) «АД1 qj к—0 fc=l нормированная функция Бесселя (ja (0) = 1), t (v) =

4) «-(*) = sh2a+11, tpv (t) = 2ar (Q+1)fff/2+^(ch° - нормированная oil L функция Лежандра (^(0) = 1), t (v) = ва (и).

Минимальное значение аргумента 5* = S (R, w), для которого константа D (5*, R, R+)2,ги — 2−½ называется оптимальным аргументом или точкой Черныха для константы Джексона. Из теоремы 1.5.1 следует, что

6(R, w)^2t®. (10)

Из результатов Н. И. Черныха для тора Т [81, 96], перенесенных

7Г

Е. Е. Бердышевой на ось R [13], следует, что 5(R, 1) = 2t® = Этот R результат обобщается на произвольный степенной вес. Теорема 1.5.2. Для R>Q, a^ -½ К

2а

Оценка сверху 5{R, t2a+l) < была получена в работах [10, 59] и вытекает из (10). В основе доказательства оценки снизу лежит поиск при фиксированном R > 0 минимального 5 > 0, для которого A (5,R, t2a+l) = 0. Для решения этой задачи используется квадратурная формула на полуоси с узлами в нулях функции Бесселя, положительными весами и точная для целых функций экспоненциального типа. Техника решения экстремальных задач, опирающаяся на подобные квадратурные формулы, развивается в гл. 2.

Из теоремы 1.5.2 находится оптимальный аргумент 8(R, Rn) для константы Джексона в пространстве ^(R")

D (6,R, W" h= sup ШЮ1 l, 2(Rn) v ' J' >2 в случае приближения целыми функциями экспоненциального сферического типа. Если п 6 N, а = п/2 — 1, R > 0, то

D{6,R, Rn) 2 = D (6,R, n+h, t*°+i, 5(R, Rn) = 5{R, t2a+l) =

Последнее равенство использует один общий результат Е. Е. Бердыше-вой из работы [14], который будет приведен при изложении результатов гл. 2.

В гл. 2 решаются многомерные экстремальные задачи для целых функций тг-переменных экспоненциального сферического типа, имеющие приложения в теории функций, теории приближений, дискретной математике, теории чисел и других разделах математики. Характерной особенностью рассматриваемых задач является то, что допустимые функции в них после операции усреднения по сферам с центром в нуле остаются допустимыми, а исследуемый функционал для усредненной функции не изменяется (с точностью до умножения на постоянную). Это позволяет сводить исследуемые задачи к задачам для радиальных функций, т. е. в итоге к одномерным задачам, которые выписываются в § 2.5. Различные задачи для целых функций экспоненциального типа обстоятельно рассматривались С. М. Никольским [62] и многими другими авторами.

В § 2.1 вводятся необходимые обозначения и приводятся вспомогательные результаты. Пусть Еа — множество целых функций экспоненциального типа ^ а, Е (а) = E2lxa, Eq — подмножество четных действительных функций из Еа, Е0(сг) = Е%п<�т.

Одним из многомерных вариантов класса Еа является класс Еп, 1 г (п е N, R > 0) целых функций /: Сп —> С экспоненциального сферического типа < R, для которых |/(z)| = 0(e^R+?^zI) (z E С, e > 0).

Множество действительных функций из Еп'2пг П Ьр (Ш.п) обозначается Ер (г).

При р = 1 по классической многомерной теореме Пэли-Винера [73] класс Е™(г) совпадает с классом непрерывных действительных функций / е Ь (ШП), преобразование Фурье

Ы = f (x)e (-xy)dx (e (t) = e2nit) которых непрерывно и имеет носитель в евклидовом шаре Б&tradeрадиуса г > 0 с центром в нуле: supp / С В&trade-. При этом f (*)= f (y)e (xy)dy (х G Мп). в?

Также, приводится известная связь преобразования Фурье радиальных функций f (x) = /о (|я|) с преобразованием Ганкеля: f0{s) = ш{а) | f0{t)ja (2irst) t2a+l dt, f (y) = f0(y),

R+ где j (a) =

27ra+ 1 n

Г (а-И)' wn-i=mes5n = w (n/2−1), a=—.

Пусть функция /? Li (Mn). Ее усреднением по сферам называется функция ой = Sf (t) = 1 wn-1 da (t)sn-1

Если / € -Б" (г), то функция /о (£) обладает свойствами о 6 Eo® ni1(t2"+,(R+), 7o (e) — 5/(s), /о (0) = /(0), /о (0) — w (a) | /0(i)i2a+1 dt = /(0) = | /(*) dx.

В § 2.1 приводится одно полезное утверждение, варианты которого установлены Н. И. Ахиезером [54], на которое, в частности, опирается доказательство единственности экстремальных функций.

Лемма 2.1.2. Пусть, а ^ -½, т > 0, /0 G Е$Т П Llt2a+i m = гп +. + rrik G Z+, Шг = 0,1,2,

O (0 = ?gf>. <�ыо=П (г=1 1 jtf 2

Qai

Тогда go — четный многочлен степени 2(m — 1), в частности, g0 = 0, т = 0, и go = const, если m = 1.

Решение экстремальных задач опирается на лемму 2.1.2 и применение квадратурных формул гауссовского и марковского типов на полуоси по нулям функций Бесселя и положительными весами, точных для целых функций экспоненциального типа.

Если, а > -1, г > 0, то для любой функции /о &euro-Е Eqt CLx t2<�н оо оо, о (0) f (j.j.2a+l J± ST^ lak r (Qak 7afc f (Qa+l.k к+ fc=l k=0 2 qll, 2^V2), 7a+U

Л* Wafc) a + 1 Яа+1,к

ID

Здесь оба ряда сходятся абсолютно. Формулы (11) точны в том смысле, что существуют функции /о 6 ElT+? П Ll t2a+i (R+) (г > 0), для которых они неверны.

Формула гауссовского типа была доказана С. Frappier и P. Oliver [106] в предположении, что |/0(?)| = 0{t~5) (|*| -> оо, 5 > 2а + 2) и G. R. Grozev и Q. I. Rahman [113] в общем случае. Формулы марковского типа получены R. В. Ghanem и С. Frappier [108]. Эти результаты в связи с решением экстремальных задач для целых функций экспоненциального сферического типа были переоткрыты автором [24], а также в случае формулы марковского типа, независимо, Н. Cohn [97].

В § 2.2 рассматриваются экстремальные задачи типа Черныха-JIo-гана для произвольных и положительно определенных целых функций экспоненциального сферического типа из класса Е?(г), имеющие приложения в теории приближений (задача о точке Черныха в константе Джексона для Ь2(Шп)) и дискретной математике (оценки радиусов упаковки и покрытия решеток и связь между кодами и дизайнами на многомерном торе).

Пусть Fn® — класс функций / в Е?(г), для которых /(0) = 1 и /(0) = 0, F™® С Fn® — подмножество положительно определенных функций.

Введем две величины

А (/) = sup{|z|:zer f (x)> 0}, А+(/) = А (-/).

Величина А (/) (А+(/)) есть радиус наименьшего шара с центром в нуле, вне которого функция / неположительная (неотрицательная).

Положим

A±(F) = inf{A±(/):/eF}.

Рассмотрим следующие экстремальные задачи. Найти величины

Au® = А (*"), А +п (г) = АИ (г)), (12) л+я (г) = л+(ед). (is)

В одномерном случае эти задачи были поставлены и решены Б. Jlo-ганом [124, 125]: А+(г) = 1 А+(г) = |:.

Равенство А^ (г) = для целого г € N также вытекает из более ранних работ Н. И. Черныха [81, 96], в которых доказано точное неравенство Джексона в Ьг (Т) с оптимальным аргументом. В этих работах по сути решен более сложный дискретный вариант задачи А^(г), в котором функциям разрешается принимать положительные значения между целыми точками. Экстремальной функцией оказалась функция

COS (ттгх) Преобразование фурье (с точностью до постоянной) из-1 — (2 гх) вестной весовой функции Черныха sin (7r|y|/r) (у ^ г). Рассуждения Черныха легко переносятся на непрерывный случай, являясь при этом оригинальными и отличными от рассуждений Логана. В диссертационной работе для решения многомерных задач развивается подход, близкий к подходу Логана.

Равенства Ait3® = A*3® = ^ можно вывести из результатов автора [19] и А. В. Московского [59]. Они получены методом Черныха.

Задачи (12), (13) имеет смысл ставить для целых функций экспоненциального 271*-типа, носитель преобразования Фурье которых содержится в центрально-симметричном теле D С Kn (D* — поляра множества D). Для функций сферического типа тело D = D* — евклидов шар.

В случае куба D = [-г, г]п (г > 0) точное решение задач (12), ть равноеу-, получено Е. Е. Бердышевой [14]. Из результатов этой работы также следует, что для точки Черныха в пространстве L2(Mn) выполняется равенство я, н") = л-я (?).

Постановка задачи (13) возникла из работы [87].

Теорема 2.2.1. Для г >0

Л,."(г) = Л+"(г) =

Единственной экстремальной функцией является функция

У1а (гх) е F+®, yla (t) = ^ G ^0(1).

1 — (nt/qai)

Теорема 2.2.1 вновь дает результат 5(R, Rn) = R

Теорема 2.2.2. Для г >0

Л2+>) =

Единственной экстремальной функцией является функция

У2.М) € F#r), у2, м = fff, е Д>(1).

1 — (ттЬ/Qai))(1 — {-Kt/qa2))

Принадлежность функций у, а, т/2,с* классу F+® установлена в работах [10, 59, 83, 87]. Необходимые свойства функции у<�а выводятся из общих результатов § 1.5 по вычислению константы Джексона в пространстве L2, W{R+) в случае w (t) = t2a+l. Ключевое свойство положительной определенности вытекает из того факта, что функция у<�а также как и функция Черныха для У~/2 является преобразованием Ганкеля некоторой неотрицательной весовой функции.

В § 2.3 рассматривается многомерная экстремальная задача П. Турана, в которой требуется найти максимальный нулевой коэффициент Фурье (среднее значение) периодической функции с единичным значением в нуле, носителем в евклидовом шаре и неотрицательными коэффициентами Фурье. Исследование асимптотического поведения этой величины, когда носитель стягивается в точку, приводит к экстремальной задаче для целых функций экспоненциального сферического типа.

Пусть D С [-1,1]п — центрально-симметричное тело, 0 < h ^ ½, hD — гомотет D, Kn (hD) — класс непрерывных функций f (x) = Y^ f{v)e2niux: Tn R, fGZn для которых f (u) ^ 0, /(0) = 1, supp / С hD.

Рассматривается экстремальная задача нахождения величины

An{hD) = sup /(0). feKn (hD)

П. Тураном в связи с приложениями к теории чисел была поставлена задача оценки величины A (h) = A ([—h, h}). Одномерная задача Турана рассматривается в гл. 3.

Многомерные варианты периодической задачи Турана исследовались только при h 0. Первые результаты для многомерного куба и плоского ромба были получены Н. Н. Андреевым. Асимптотически экстремальными функциями оказались периодизации сверток характеристических функций

Х2-'р *X2-'p)(ft~'aO vo{2~lD) главный член асимптотики имел вид vol (2~lD)hn, а остаточный член оценивался как 0(hn+l).

Особый интерес представляет случай единичного евклидова шара

7ГП/2

D = Вп, для которого Vn = vol Вп = + 1)' Теорема 2.3.1. Для шара D = Вп

Ап{НВП) = Гт^ЩТ)+ 0{НП+2) {к~*0)

Асимптотически экстремальной функцией является периодиза

Х2*X2~lnn)(h~lx) ция свертки к ^ «—, м—. vo{2~lBn)

Во всех известных случаях главный член асимптотики An (hD) равен vol (2~lD)hn. Нахождение этого члена сводится к решению многомерной экстремальной задачи для целых функций экспоненциального 27 г?)*-типа.

Пусть Gn (D) — класс непрерывных четных функций g: Мп -" К, для которых supp д С D, д ^ 0, д (0) = 1. Найти величину

Mn{D)= sup р (0). g? Gn (D)

Эквивалентная постановка заключается в нахождении величины Ч

Mn (D) = sup/(0), в которой sup берется по всем положительно определенным функциям с носителем в D и единичным значением в нуле. В случая шара D = Вп функции д е Е&trade-(1). Исторически первым случаем нахождения величины Mn (D) стало вычисление в 1945 г. R.P. Boas и М. Кас [95] величины М{[-, 1]) .

Лемма 2.3.1. Для произвольных п и D

An{hD) = Mn (D)hn + 0{hn+2) (h 0).

Асимптотически экстремальной функцией является периодизация функции go{h~lx).

Теорема 2.3.2. Для шара Вп

Мп (Вп) = vol (2~'B") = ут^^+Т)'

Единственной экстремальной функцией является функция

Яв-(У) = = vol (2″ 1B")^/2(x|!/|).

Из этой теоремы и леммы 2.3.1 получается теорема 2.3.1. После этих результатов появился интерес к решению задачи Mn (D) для произвольных тел D. Здесь следует отметить работы В. В. Аресто-ва и Е. Е. Бердышевой [90], М. Kolountzakis и S. G. I^vesz [117], в которых рассматриваются случаи тел D, заполняющих пространство

В основе доказательства теоремы 2.3.2 лежит применение квадратурной формулы (11) марковского типа и тот замечательный факт, что для, а = п/2 — 1 и г = 27г

Т2а+2 = =

7а0 Г2(П/2 + 1)

В § 2.4 рассматривается интегральная задача Дельсарта, связанная с оценкой максимальной плотности Дп упаковки евклидова пространства Еп одинаковыми шарами.

Пусть Кп (г) — класс положительно определенных функций / С С Е[(г), для которых f (x) < 0 (|ж| ^ 2), /(0) > 0. Например, функция

Уп (х) = уп/2-М)еКп (гп), где 2 Яп/2 «(А — с трЧа+1 «2тГ' Mt)~ l-(t/2)2 е 0 '

Для полуцелого, а эта функция была предложена в работе [84]. Там же было установлено, что

Гп>0, suppУп = Б&trade-, Ш=, г" У&bdquo-(0) тгп/2Г (П/2 + 1)

Пусть

An®= inf М An = lim An®. feKn{r) /(0)

Задача An называется интегральной задачей Дельсарта, а задача Ап{г) — ее вариантом для целых функций экспоненциального сферического типа.

Теорема 2.4.1. Для п G N, г > 0

Дп < VnAn®. и л, V (УпУп{0) {qn/2f4)п п

Для функции YJx) отношение ——— = ,—. Поэтому W Уп (0) Г (n/2 + 1)

М — Г (n/2 + 1)

Отсюда и из теоремы 2.4.1 получается известная универсальная оценка Левенштейна [52]

Д (Яп/2/ 4)"

Г (n/2 + 1)

Теорема 2.4.2. Для п 6 N

А (г) (,?" /г/4Г

Эта теорема независимо в 2001 г. была получена Н. Cohn [97].

В § 2.5 выписаны экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа на полуоси со степенным весом, на которые опиралось решение многомерных задач. Приведем некоторые из них.

Пусть, а ^ -½, а > 0, Е^а (а) — множество функций / 6 Е0(а) П OLi t2o+i (R+), для которых преобразование Ганкеля f (s) ^ 0 (s G R+) и /(0) > 0. Класс Ej~a (cr) совпадает с классом действительных четных функций / е C (R+) nLl t2a+i (M+), для которых supp/ С [0, сг], / ^ 0.

Найти величины

Л,(Д+") = inf {Л > 0: /(?) < 0 А), /(0) = 0, / G ?+"},

Л2(Я0+") = inf {Л > 0: f (t) >0 (tz А), /(0) = 0, / G ?0+"},

Mi (?0+") = sup{/(0): /(0 > 0 (* е R+), /(0) = 1, / € ?0+"},

М2(Е+а (а)) = sup {/(0): /(*) < 0 2), /(0) = 1, / G ?7+ И).

14)

Справедливы утверждения

Ai (Л0″) = ё> fW= АЫ) 1 1-(тг at/qaly tt2(t)= у

7,47 (1 — {irot/qa 1))(1 — (:nct/qa2)) Г (а + 2) ' а+1 / /9ч2а+2 Г (а + 2)

Величина M2(^qq (

2тг '

М (F+ (п \ - Ъош (а) тга+1Г (а + 2), , jl+l (naat) М2(Е0аЫ) — - (9а+|/4)2а+2. /",№

Все экстремальные функции являются единственными. Приведем связь задач (14) с рассмотренными ранее многомерными экстремальными задачами (а = п/2 — 1, п € N):

Af"W = Ai (E+a®), А+П (г) = Л2(Д+(г)),

Mn (Bn) = Mi{E+ (I)), An (rn) =

ОоЛ^- м2(Е+а (аа)У

В гл. 3 изучаются некоторые одномерные экстремальные задачи для функций с малым носителем, имеющие приложения в теории функций, теории приближений, теории чисел, цифровой обработке сигналов.

В § 3.1 рассматривается экстремальная задача Турана о наибольшем среднем значении 1-периодической четной функции с неотрицательными коэффициентами Фурье, фиксированным значением в нуле и носителем на отрезке [~h, h] с Т (0 < h ^ ½).

Пусть

A (h) = supao, 32 где sup берется по всем непрерывным положительно определенным на торе Т функциям с носителем supp/ Сh, h. Многомерный вариант этой задачи рассматривался в § 2.3.

Задача нахождения величины A (h) была поставлена в 1970 г. П. Тураном. С. Б. Стечкин [74] вычислил величину A (/q) = l/q для <7 = 2,3,. и получил асимптотику A (h) = h + 0(h2) (h 0). А. Ю. Попов показал, что для A (h) > к{Нф l/q), и предположил, что при h —> 0 справедлива более сильная асимптотика A (h) = h + 0(hz). В § 2.3 эта гипотеза доказана.

Задача Турана тесно связана с экстремальной задачей Дельсарта на торе, при постановке которой условие f (x) = 0 (h ^ |х| < ½) заменяется более слабым условием f (x) ^ 0 (h ^ |х| ^ ½). Варианты задач Дельсарта уже приводились. Самим Ф. Дельсартом [37] она впервые была поставлена для многочленов, связанных с ассоциативными симметричными полиномиальными схемами отношений, для оценки мощности кодов в них. Различные варианты задачи Дельсарта для многочленов, рядов и интегралов использовались многими авторами при оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки в однородных пространствах. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Данкл, А. Одлыж-ко, Н. Слоэн, В. М. Сидельников, В. И. Левенштейн, Г. А. Кабатянский, Г. Фазекаш, В. А. Юдин, Н. Н. Андреев, А. Г. Бабенко, В. В. Арестов, В. И. Иванов, О. Р. Мусин, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar.

В развитие результатов С. Б. Стечкина представляет интерес вычислить величину A (h) для произвольных рациональных чисел h вида pjq, где p/q — несократимая дробь. Приведем полученные результаты.

Сначала сформулируем две конечномерные экстремальные задачи линейного программирования.

Задача 1. Найти величину S (p, q) = maxso, при условиях

00 f (x) = cos (2жпх), ап > 0, /(0) = 1, п=О s о (г = 0, ., q- 1), ^sr=l. r=О

Задача 1 — это дискретный вариант задачи Турана.

Задача 2. Найти величину S2{p,

Задача 2 — это дискретный вариант задачи Фейера о наибольшем значении в нуле неотрицательного тригонометрического многочлена с единичным средним значением.

Следующая теорема осуществляет редукцию бесконечномерной экстремальной задачи Турана к любой из этих двух конечномерных задач.

Теорема 3.1.1. Пусть р, q 6 N, НОR{p, q) = 1, р ^ q/2. Тогда

A (p/q) = Sl (p, q) = S2(p, q).

Экстремальной функцией

В 2001 г. В. И. Иванов высказал гипотезы о виде экстремального многочлена и квадратурной формулы в задаче 2. На пути проверки этих гипотез величина A (h) была вычислена для h = п р ,. q q q 2р + 1

Например, для случая h = 2/q

А{2/ .+COS Ш (57). g cos (тг/д)

Отсюда следует, что

A{h) = h+^h3 + 0{h5) {h = 2/q->0).

В частности, в асимптотике A (h) = Д + 0(h3) заменить символ О на о нельзя.

В 2004 г. В. И. Ивановым и Ю. Д. Рудомазиной [40] задача 2 была решена для всех р и q и тем самым было получено решение задачи

Турана для всех рациональных h. Недавно В. И. Иванов анонсировал решение задачи Турана и для всех иррациональных h.

В § 3.2 рассматривается более сложный вариант задачи Турана. Положим

B{h) = supao. где sup берется по всем четным непрерывным функциям со f (x) = Y/an cos (2imx), n=о для которых

00 an| = l, supp / С [—h, h]. n=0

Класс функций в этой задаче шире класса функций в задаче Турана, поэтому A (h) ^ B (h). Во всех известных случаях кроме тривиального h = ½ неравенство строгое.

Экстремальная задача B{h) была поставлена С. В. Конягиным в связи с приложениями к аналитической теории чисел. При этом подчеркивалась важность вычисления величины B{h) для отдельных значений h, в том числе близких к ½. Например, большой интерес представляло вычисление величины В (¼). Она была найдена в работе [2]: -6(¼) = -——— >¼, экстремальная функция тгВ^^ cos (2пх)

2* 7Г/1

М < ¼).

Кроме того, в [2] установлено, что B (h) = Lh + 0(h2) (h 0), где 1,079 < L < 1,179 и константа L находится из решения экстремальной т

L = sup р IIvIIl^r) для непрерывных четных действительных функций tp с носителем supp</? С [—1,1]. Эта задача, называемая интегральной задачей Коня-гина, исследуется в § 3.3.

Основные результаты § 3.2 заключаются в вычислении величины B{h) для h= ½, 1/3, 1/5, 2/5. В наиболее сложном случае h = 1/5 величина .5(1/5) = 2 + (3 /5) ctg > экстремальная функция кВ (/Б) sin (27г (1/5 — |ж|)) < f)

2sin2(7r/5) VM ^ ' ''

В § 3.3 изучается интегральная задача Конягина. Устанавливается ее связь с экстремальными задачами о наилучших константах Никольского в неравенствах между Си Ь-нормами для тригонометрических многочленов и целых функций экспоненциального типа. Приведены новые оценки констант в рассматриваемых задачах. Пусть с"(Т) = sup S221-. t ||4|l,(t) где sup берется по всем действительным тригонометрическим многочленам t порядка ^ п — 1 (n е N),

С,(К) = sup Mm II/IImr) где sup берется по всем действительным целым функциям / экспоненциального типа <27гсг (<�т > 0). Очевидно, что cCT® = crc®, где c® = ci®.

Константы сп (Т) и c® называются {C, L)-константами Никольского. Константа сп (Т) равна наилучшему приближению в С (Т) ядра Дирихле порядка п — 1 ограниченными измеримыми функциями, ортогональными тригонометрическим многочленам порядка 1, ci (T) = 1, c2(T) =? max 1 +sinar = 2,12 532.

2 о^ж<7г/2 cos х + х sin x

С. Б. Стечкин доказал, что сп (Т) = с (Т)п + о (п) с независящей от п константой с (Т) > 0. Уточнение этого равенства и двусторонние оценки константы с (Т) были получены JI. В. Тайковым [76]. Он доказал оценки

9 4 а п + 0(1) ^ cn (T) ^ — п + 0(1),

О- ' «1 «V 7 ^ w7(.— / ^

017 г 7г из которых следует, что

2 = 1,7 995. <�с (Т)< —= 1,16 625.

О • ж,^. «~^. .. ^

017 г 7г

Si? — интегральный синус, G — константа Каталана). Оценка снизу была получена на многочленах Рогозинского, а оценка сверху — с помощью интерполяционной формулы М. Рисса для производной тригонометрического многочлена.

Сформулируем основные результаты § 3.3.

Теорема 3.3.1. Справедливо равенство Ь.

Теорема 3.3.2. Для п е N n- 1) L ^ сп (Т) ^ пЬ.

В работе [91] было установлено, что sup? n±ilS = с2(Т) = * = 2,12 532., п£ n 71 zi> где? — единственный корень уравнения cos t = t. Из этого результата вытекает неравенство cn (T) ^ (п — 1) с2(Т) (п = 2,3,.), которое при п ^ 3 слабее правого неравенства в формулировке теоремы 3.3.2.

Из теоремы 3.3.2 следует, что L = с (Т) = c®.

Теорема 3.3.3. Справедливы оценки

1,8 185. ^ L < 1,9 769.

Для оценки снизу использовалось семейство функций тп m ИГШ-Й pm{x,{zi]^x) -^- cos (2-kqix) (|s| < 1),

П Й-9?) j=0,jjti где m G Z+, qi = i/2 +¼, zj < z2 <. < zm — числа, для которых zi ~ Qi < ¼. При m = 0 получается функция <�ро (х) = 4л-cos (-кх/2) (|ж| ^ 1), которая приводит к нижней оценке в работе [2] и нижней оценке Тайкова.

Для функций ipm вычислялось отношение p (z,., zm) =. llMb^R)

После этого последовательно для m = 1,2,., 10 решалась гладкая конечномерная задача pm = maxp (z,., zm) для допустимых Z{. В частности, было показано, что рю ^ 1,8 185.

Значения ipm (v/n) использовались в качестве коэффициентов Фурье t (u) тригонометрических многочленов, улучшающих оценку Тайкова, а преобразование Фурье фт — в качестве целых функций экспоненциального типа 27 г в оценке с (М).

Для оценки сверху решался упрощенный вариант двойственной к задаче L экстремальной задачи, рассмотренной в работе [2]. Найти величину

М* = inf

Sm7tZ (+ 6(z)) + a (z)

7tz

C (R+) где inf берется по всем четным действительным функциям a, b е С (Т) с абсолютно сходящимися рядами Фурье и условиями а (0) = 6(0) =

Л, 6(1) = 0. Доказано, что

L^M* ^ 1,9 769.

Перейдем к описанию результатов гл. 4.

В § 4.1 изучаются оценки экстремальных расположений точек на торе и в евклидовом пространстве. В п. 4.1.1 рассматривается задача о связи радиуса упаковки и покрытия решетки L С Мп и двойственной к ней решетки L*. Числа I, 2? Ъп М' R (L)= sup Ы х ~ 1 называются соответственно радиусом упаковки и радиусом покрытия решетки L. В дискретной математике и ее приложениях актуальной является задача об оценке величины p (L*)R (L). В работе [85] была получена оценка p (L*)R (L)< gi (а = п/2−1), из которой следует, что p (L*)R (L) < ^ (1 + 0(п~2/3)) (п оо). Эта оценка оказалась лучше долгое время существовавшей границы p (L*)R (L) ^ 5п3/2. Отметим, что существуют невырожденные решетки Ln С для которых произведение p (L*n)R (Ln) оценивается снизу через п по порядку.

Теорема 4.1.1. Справедлива оценка

R (L) ^ Ai, n (2p (L*)), где Ai, n® — величина из задачи (12).

Из теоремы 4.1.1 и теоремы 2.2.1 следует, что

В п. 4.1.2 рассматривается задача об оптимальности оценок характеристик кодов и дизайнов на торе Тп, полученных в работе [87]. Конечное множество W С Тп называется d-кодом, если d = d (W) = min {||ж — у\: х, у eW, хф у}, где ||ж|| — расстояние от х 6 Мп до ближайшей точки из Zn, ||ж — у|| — метрика на Тп.

Если кубатурная формула t{x) dx = Y К*)

Jn X (zW точна для любого тригонометрического многочлена t (x) = y, %y) О — наибольшее из возможных, то множество W называется шаровым Д-дизайном.

Аналогично коды и дизайны определяются на других однородных пространствах.

В работе [87] приводится оценка d (W)R (W) ^ q-f [W С Tn, R (W) > 2да2/(тг^)). (15)

Опираясь на доказательство этой оценки получаем следующий результат. Для произвольного множества W С Тп d (W) < Л+П (Д (W)), где Л^" п (г) — величина из задачи (13). Из теоремы 2.2.2 вытекает оценка (15).

В § 4.2 рассматриваются экстремальные задачи, связанные с оценками характеристик кодов и дизайнов на FDNDF-полиномиальных по классификации В. И. Левенштейна [123] компактных метрических пространствах (в частности, они включают в себя сферу, общие КРОСП, пространства Хэмминга F™ и другие дискретные пространства).

В п. 4.2.1 решается родственная задаче А? п (г) экстремальная задача для алгебраических многочленов, поставленная в работе [86].

Пусть вновь {Pi}fl0 — система ортогональных на отрезке [-1,1] по мере da (t) многочленов, Pt (1) = 1, 1 > t (Pi) > t2{Pi) >. > ti (Pt) > > -1 — нули многочлена Pi, {Qi}^ — система ортогональных по мере (1 + i) da (t) многочленов, Qz (l) = 1. S

Для s 6 N рассмотрим алгебраический многочлен h (t) = ^ hkPk{t) к=1 степени (к неотрицательными коэффициентами Фурье hk ^ 0, нулевым по мере сг средним значением (ho = 0) и неотрицательный при — 1 < t < А, Аб (-1,1).

Спрашивается, сколь велико может быть число Л? Эта величина обозначается Bs (a). В работе [86] установлена оценка B2q (a) ^

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) B2q+l{a)^t2(Qq+l)

2) если система многочленов {Р/} удовлетворяет условию Крейна, то многочлен 2 и (Л Рд+{ч t — U (pq+l))(t — t2(Pq+l)Y предложенный в работе [86], является допустимым в задаче B2q (a) * B2q{a) = t2{Pq+ly,

3) если а) система многочленов {Qi} удовлетворяет условию Крейна или б) система многочленов {Pi} удовлетворяет условию Крейна и Pi (-t) = (-1)lPi{t), то многочлен h = (l+t)Q2q+l (t) t-U (Qq+l))(t-t2(Qq+l)) является допустимым в задаче B2q+(cr) и B2q+i{cr) = t2{Qq+).

Утверждение 2 верно для многочленов Якоби (Qi = pj*, l3+l) при, а ^ (5 ^ -½, утверждение 3 — при, а ^ /3 + 1 > 0 (случай а) или, а = (5 ^ -½ (случай б).

Для многочленов Гегенбауэра Р^'а имеем полное решение задачи Bs (a). Утверждения 2, 3 также справедливы для дискретных многочленов Кравчука K™'q.

В п. 4.2.2 приводятся приложения задачи Bs (a). В работе [87] показано, что любой cos-Bs+i ((j)-koa С на сфере Sп~х является s-дизайном, s е Z+. В этом случае мере da соответствуют многочлены Гегенбауэра Р?'а (а = (п — 3)/2). Поэтому, если d2q (Sn~l) = cos t2(P$), d2q+l (Sn~l) = cos t2(P^+l), то любой ds+(Sn~l)-Koj С С Sn~l является s-дизайном.

Аналогичные результаты справедливы для FDNDF-полиномиаль-ных компактных метрических пространств. В частности, для пространства Хэмминга F™. Если d2q (W?) = t2(K^)l d2q+l (F?) = ЫК—Щ] а-] — наименьшее целое число ^ х), то любой с/5+](Е^)-код С С F™ Г является s-дизайном. В некоторых случаях эта оценка достигается.

РОССИЙрКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

БИБЛИОТЕКА

Например, для кодов Адамара в F^ (п = 41, I € N), являющихся (п/2)-кодами и 3-дизайнами.

В п. 4.2.3, используя результаты § 2.4, устанавливается оценка снизу мощности s-дизайна на КРОСП

Щ., М)*А1,а.П = —(16) а, (3 — параметры КРОСП). Эта оценка обобщает известную нижнюю границу В. А. Юдина [88] для сферических дизайнов

N{s, Sn) > A{s, a, a) (а = п/2−1). (17)

Оценка (16) сравнивается с оценкой В. И. Левенштейна

N{s, M)>L{s, a,(3) = +1)/2] Д [з/2] f[(s+ 1)/2]+/?

V К*+0/2] J которая в свою очередь обобщает классическую нижнюю границу Дельсарта-Геталса-Зейделя для сферических дизайнов

N{s, Sn)> L{s, a, a).

При фиксированном п

A (s, a,(3) Г2(п/2+1), , L (s, a, fl) (дп/2/4)п [S ^

Для п > 1 отношение (18) ведет себя как тт (А/е)п > 1. Таким образом, при фиксированном п и s —> оо оценка A (s, a,(3) лучше оценки L (s, a,/3) на экспоненциально растущий от размерности множитель. Оценка N (s, М) следует из неравенства jo где оо f (t) = Y/fkPk'4t)eC[-1,1], S> О, Д< О (fe^s+1). к—О

Задача нахождения для таких функций / максимума отношения

J о называется экстремальной задачей Дельсарта.

Оценки Дельсарта-Геталса-Зейделя {а = {3) и Левенштейна были получены в варианте для многочленов, когда Д = 0 (к ^ s + 1). Оценка

17) получена уже на функции с малым носителем на [—1,1]. Оценка (16) также получается на функции, которая обобщает конструкцию функции в оценке (17). Ее конструкция близка к конструкции экстремальной функции уа в интегральной задаче Дельсарта из § 2.4 и использует свойства обобщенной свертки, определяемой с помощью оператора обобщенного сдвига для многочленов Якоби.

В § 4.3 приводится связь одномерной задачи Турана A (h) с экстремальной задачей Монтгомери [127], которая заключается в нахождении для К С N величины

5{К) = inf to, где inf берется по всем неотрицательным четным тригонометрическим многочленам t (x) = tQf ^ tk cos (27Гkx) кек произвольной степени со спектром в К, для которых f (0) = 1. Эта задача связана с множествами ван дер Корпута, которые в свою очередь важны в вопросах теории чисел о равномерном распределении последовательностей на торе Т.

В [127], в частности, приведено решение задачи 5(К) для множеств

К={ 2,3}, K°q = {,., q-} (q = 2,3,.), Kq = qZ+ + K°q.

Эти результаты допускают обобщение. Пусть р, q имеют тот же смысл, что и в задаче Турана A (p/q),

K°Ptq = {p,., q-p}, Km = qZ+ + K°Piq.

Теорема 4.3.1. Справедливы равенства A (p/q) = 5(КМ) = 5(K°p

Доказательство неравенства S (Kpq) < A (p/q) использует результаты В. И. Иванова и Ю. Д. Рудомазиной, полученные при решении задачи Турана A (p/q). Экстремальный многочлен представляется в виде р-1

EFq-i (x + rk/q) + Fq-{x — Tk/q) ak g ' fc=0 где Fq-1 — многочлен Фейера порядка q — 1, a^ > 0, — некоторые i> целые числа. fix)

1. Андреев Н. Н. Экстремальные задачи для периодических функций с малым носителем // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1997. № 1. С. 29−32.

2. Андреев Н. Н., Конягин С. В., Попов А. Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 323−332- Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 3. С. 479−479.

3. Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44−73.

4. Арестов В. В., Попов В. Ю. Неравенства Джексона на сфере Ь2 // Изв. вузов. Сер. Математика. 1995. Т. 399, № 8. С. 13−20.

5. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965.

6. Бабенко А. Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39, № 5. С. 651−664.

7. Бабенко А. Г. Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 3. С. 460−472.

8. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С.333−355.

9. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для^{-приближений} на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 68, № 6. С. 27−52.

10. Бабенко А. Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 182−198.

11. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987.

12. Бердышев В. И. О теореме Джексона в Ьр // Труды МИАН. 1967. Т. 88. С. 13−16.

13. Berdysheva Е.Е. An extremal problem for entire functions of exponential type with nonnegative mean value // East J. Approx. 1997. V. 3, № 4. P. 393−402.

14. Бердышева Е. Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 3. С.336−350.

15. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. — М.: Наука, 1966.

17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1966.

18. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М: Наука, 1991.

19. Горбачев Д. В. Точные константы Джексона на группе SU (2) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 14−27.

20. Горбачев Д. В. Неравенство Джексона в пространстве /P (Z") И Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, № 3. С. 44−50.

21. Горбачев Д. В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lv на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 50−62.

22. Горбачев Д. В. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1999. Т. 5, вып. 1. С. 38−50.

23. Горбачев Д. В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствах // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 3. С. 33−37.

24. Горбачев Д. В. Две экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Труды Межд. школы С. Б. Стечкина по теории функций. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999. С. 77−93.

25. Горбачев Д. В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 2. С. 179−187.

26. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Левенштейна плотности упаковки Шп шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 71−78.

27. Горбачев Д. В. Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346−352.

28. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 773−778.

29. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между Си L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 132−134.

30. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами на сфере // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 50−53.

31. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688−700.

32. Горбачев Д. В., Пискорж М. С. Точное неравенство Джексона в Ь2 на гиперболоиде // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 54−58.

33. Горбачев Д. В., Столярова О. А. Новые нижние оценки наилучшей константы в неравенстве между Си L-нормами для тригонометрических полиномов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 54−61.

34. Горбачев Д. В., Странковский С. А. Одна экстремальная задача для четных положительно определенных целых функций экспоненциального типа // Матем. заметки. 2006. Т. 80 (в печати).

35. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования. — М.: Мир, 1976.

36. Ибрагимов И. И., Насибов В. Г. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени // ДАН СССР. 1970. Т. 194, № 5. С. 1013−1016.

37. Иванов В. И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15−40.

38. Иванов В. И., Рудомазина Ю. Д. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем // Матем. заметки. 2005. Т. 77, № 6. С. 941−945.

39. Иванов В. И., Смирнов О. И. О теореме Джексона в пространстве /2(^2) И Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 390−405.

40. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ. 1995.

41. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона в пространствах Ь2 на метрических компактах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 93−118.

42. Иванов В. И., Смирнов О. И. Константы Джексона в пространстве /2(^2) // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 183−210.

43. Иванов В. И., Тюрюканов А. А. Константы Джексона в пространствах 1Р на конечных множествах // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 2000. Т. 6, вып. 1. С. 108−136.

44. Кабатянский Г. А., Левенштейн В. И. О границах для упаковок на сфере и в пространстве // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3−25.

45. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.

46. Коне ей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990; Conway J. Н., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups, third edition. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

47. Корнейчук H. П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, № 3. С. 514−515.

48. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. — М.: Наука, 1976.

49. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Физматгиз, 1959.

50. Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. 1979. Т. 245. С. 1299−1303.

51. Левенштейн В. И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 43−110.

52. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956.

53. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. — М.: Наука, 1973.

54. Левитан Б. М., Саргсян И. С.

Введение

в спектральную теорию. — М.: Наука, 1970.

55. Маношина А. С. Решение экстремальной проблемы Турана при помощи задачи линейного программирования // Изв. ТулГУ. Сер. Информатика. 2000. Т. 6, вып. 3. С. 113−116.

56. Маркушевич A.M. Теория аналитических функций. Т. 2. — М.: Наука, 1968.

57. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lp (Mn) и Lp, a (R+) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44−70.

58. Московский А. В. Теоремы Джексона в пространствах Lv (Kn), LPi (R+) 1 ^ р < 2 // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1998. Т. 4, вып. 1. С. 97−101.

59. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.

60. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977.

61. Петрова И. В. Некоторые вопросы теории Ь2-приближений на гиперболоиде // ДАН СССР. 1990. Т. 310, № 2. С. 298.

62. Платонов С. С. Приближение на компактных симметрических пространствах ранга 1 // Матем. сб. 1997. Т. 188, № 5. С. 113−130.

63. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.

64. Попов В. Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа // Изв. вузов. Математика. 1972. № 6. С. 65−73.

65. Попов В. Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве Ь2 на гиперболоиде // Труды ИММ УрО РАН. 1997. Т. 5. С. 254−266.

66. Роджерс К. Укладки и покрытия. — М.: Мир, 1968.

67. Сеге Г. Ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1962.

68. Сидельников В. М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, № 3. С. 17−30.

69. Смирнов О. И. Константы Джексона в пространстве l2(Z2) // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 191−219.

70. Справочник по специальным функциям // Под. ред. М. Абрамовица и И. Стиган. — М.: Наука, 1979.

71. Стейн И., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. — М.: Мир, 1974.

72. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // В кн. «Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика». — М.: Наука, 1998. С. 244−245.

73. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1979.

74. Тайков Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов// УМН. 1965. Т. 20, № 3. С. 205−211.

75. Тайков Л. В. О наилучшем приближении ядер Дирихле // Матем. заметки. 1993. Т. 53, № 6. С. 116−121.

76. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.: Мир, 1964.

77. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 1. — М.: Мир, 1975.

78. Хьюитт Э., Росс К. А. Абстрактный гармонический анализ. Т. 2. — М.: Мир, 1975.

79. Черных И. И. О неравенстве Джексона в L2 // Труды МИ АН СССР. 1967. Т. 88. С. 71−74.

80. Черных Н. И. Неравенство Джексона в Lp (0,27т) с точной константой // Труды МИАН. 1992. Т. 198. С. 232−241.

81. Юдин В. А. Многомерная теорема Джексона в // Матем. заметки. 1981. Т. 29, № 2. С. 309−315.

82. Юдин В. А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Дискр. матем. 1989. Т. 1, № 2. С. 155−158.

83. Юдин В. А. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов // Матем. сб. 1996. Т. 187, № 11. С. 1721−1736.

84. Юдин В. А. Код и дизайн // Дискр. матем. 1997, вып. 2. С. 3−11.

85. Юдин В. А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 453−463.

86. Юдин В. А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61, № 3. С. 213−223.

87. Arestov V. V., Babenko A.G. Continuity of the best constant in the Jackson inequality in L2 with respect to argument of modulus of continuity // Approx. Theory: A vol. dedic. B. Sendov. Sofia: DARBA, 2002. P. 13−23.

88. Benedeck A., Panzone R. The spaces Lp with mixed norm // Duke Math. J. 1961. V. 28. P. 301−324.

89. Blichfeldt H.F. The minimum value of quadratic forms and the closest packing of spheres // Math. Ann. 1929. V. 101. P. 605−608.

90. Blichfeldt H.F. The minimum values of positive quadratic forms in six, seven and eight variables // Math. Z. 1934. V. 39. P. 1−15.

91. Boas R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. V. 12. P. 189−206.

92. Chernykh N.I., Arestov V. V. On the ./^-approximation of periodic functions by trigonometric polinomials // Approximation and functions spaces. Proc. Inter. Conf. (Gdansk, 1979). Amsterdam: North-Holland, 1981. P. 25−43.

93. Cohn H. New upper bounds on sphere packings II // Geom. Topol. 2002. V. 6. P. 329−353- 2001. arXiv: math. MG / 110 010.

94. Cohn H., Elkies N. New upper bounds on sphere packings I // Ann. Math. 2003. V. 157. P. 689−714- 2001. arXiv: math. MG / 110 009.

95. Cohn H., Kumar A. Optimality and uniqueness of the Leech lattice among lattices // 2004. arXiv: math. MG / 403 263.

96. Cohn H., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // 2004. arXiv: math. MG / 408 174.

97. Cohn #., Kumar A. The densest lattice in twenty-four dimensions // Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 10. P. 58−67.

98. Delsarte Ph. Bounds for unrestricted codes by linear programming // Philips Res. Rep. 1972. V. 2. P. 272−289.

99. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and design // Geom. Dedicata. 1977. V. 6. P. 363−388.

100. Elkies N.D. Lattices, linear codes, and invariants, parth I // Notices of the AMS. 2000. V. 47, № 10. P. 1238−1245.

101. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. Math. 1916. V. 146. P. 53−82.

102. Frappier C., Oliver P. A quadrature formula involving zeros of bessel functions // Math, of Сотр. 1993. V. 60, № 201. P. 303−316.

103. Gasper G. Linearization of the product of Jacobi polynomials. I // Canad. J. Math. 1970. V. 2, № 1. P. 171−175.

104. Ghanem R.B., Frappier C. Explicit quadrature formulae for entire functions of exponential type // J. Approx. Th. 1998. V. 92. P. 267−279.

105. Gorbachev D. V. Integral problem of Konyagin and (C, L)-constants of Nikol-skii I/ Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P. S117-S138.

106. Gorbachev D. V. Improvement Taykov’s lower bound in an inequation between Cand L-norms for trigonometric polynomials // 2002. arXiv: math. CA/0211 291.

107. Gorbachev D. V., Manoshina Л.5. Turan Extremum Problem for Periodic Function with Small Support // 2002. arXiv: math. CA/0211 291.

108. Gorbachev D. V., Manoshina A.S. Relation between Turan extremum problem and van der Corput sets I I 2003. arXiv: math. CA/312 320.

109. Grozev G.R., Rahman Q.I. A quadrature formulae with zeros of Bessel functions as nodes // Math. Сотр. 1995. V. 64. P. 715−725.

110. Hales T. Sphere packing IV // 1998. arXiv: math. MG / 9 811 076.

111. Ivanov V.I., Gorbachev D. V., Rudomazina Yu.D. Some Extremal Problems for Periodic Functions with Conditions on Their Values and Fourier Coefficients // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P. S139-S159.

112. Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Sum-men gegebener Ordnung: Diss. Gottingen, 1911.

113. Kolountzakis M., Revesz S. G. Turan’s extremal problem for positive definite functions on groups // arXiv: math. CA/312 218 vl 10 Dec 2003.

114. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

115. Koornwinder T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25, № 2. P. 236−246.

116. Koornwinder T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5, № 1. P. 125−137.

117. Levenshtein V.I. Designs as maximum codes in polynomial metric spaces. Acta Appl. Math. 1992. V. 29. P. 1−82.

118. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs Ц In Handbook of Coding Theory, V. S. Pless and W. С. Huffman Eds. — Amsterdam: Elsevier, 1998.

119. Levenshtein V.I. On designs in compact metric spaces and a universal bound on their size // Discrete Math. 1998. V. 192. P. 251−271.

120. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.

121. Eventually positive functions with zero integral functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, № 2. P. 253−257.

122. Logan B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions.1. Eventually negative functions // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, № 2. P. 253−257.

123. Milovanovic G.V., Mitrinovic D.S., Rassias Th.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros. Singapore-New Jersey-London-Hong Kong: World Scientific Publ. Co., 1994.

124. Montgomery H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.

125. Potapov M.K. The operators of generalized translation in the approximation theory // Proc. of the II Math. Conf. in Pristina. Pristina, 1997. P. 27−36.

126. Zong C. Sphere Packings. — N.Y.: Springer-Verlag, 1999. applications. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

127. Gautschiy W. Orthogonal Polynomials and Quadrature // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1999. V. 9. P. 65−76.