Теория струн и непертурбативные эффекты в суперсимметричных калибровочных теориях

Теория струн [1−4], возникшая из амплитуды Венициано [5] как попытка описать динамику сильных взаимодействий (квантовую хромодинамику — КХД), в настоящее время является главным кандидатом на самосогласованную фундаментальную квантовую теорию, включающую в себя идеи Великого Объединения, квантовой гравитации, суперсимметрии, компактификадии дополнительных измерений, топологических теорий, обобщенных сигма-моделей, дуальности и многие другие. Теория струн как фундаментальная теория еще далека от завершения, однако за время своего развития она проявила чрезвычайно богатую структуру, и методы, которые были разработаны в процессе ее развития, могут быть с успехом применены к решению традиционных задач квантовой теории поля.

Одной из главных задач в квантовой теории поля является описание ее эффективной динамики, которая остается после частичного исключения степеней свободы. Обычно при этом подразумевается исключение высокоэнергетических степеней свободы фм, и тогда речь идет соответственно о низкоэнергетической эффективной динамике степеней свободы ф1Ш! В формализме функционального интеграла это означает выполнение частичного интегрирования в статистической сумме теории по степеням свободы фы и приводит к понятию эффективного действия [6−8]. Действительно, пусть.

Тогда, если известно эффективное действие Sefffyiow], то чтобы найти среднее значение от любой функции /(0-ош)), достаточно выполнить только интегрирование z = yWsw = / где саний одной и той же физической системы1. То есть существования взаимооднозначного отображения между пространством состояний и существование дуального действия, генерирующего эквивалентную динамику. Если оказывается, что режим сильной связи в исходном описании соответствует режиму слабой связи в новом описании, то такое дуальное описание становится мощным средством исследования непертурбативной динамики исходной системы. Действительно, для непертурбативного вычисления амплитуд в исходной теории достаточно сделать преобразование состояний в дуальную теорию, и провести вычисления в ней, справедливо пользуясь теорией возмущений. Классическим примером такой дуальности является дуальность Крамерса-Ванье для двумерной модели Изинга, меняющая местами высокои низкотемпературный режимы е-2/3 = th р.

Исторически теория струн была сформулирована в первично квантованном виде, то есть в виде правил, определяющих амплитуды рассеяния, заданные фей-нмановскими диаграммами. Отличие от традиционной теории поля заключалось в том, что фейнмановские диаграммы состояли не из одномерных линий, а из двумерных поверхностей. Формулировка теории была в сущности пертурбативной, поскольку не постулировалось никакое пространственно-временное действие, теория возмущений для которого генерировала бы ряд струнных амплитуд. Из требования сокращения квантовых аномалий [17] были выведены ограничения на размерность пространства-времени и вид дополнительных структур на струнных поверхностях. В 80-е годы было показано существование пяти пертурбативно разных типов суперструн в критической размерности пространства-времени 10 — Type I, НА, ИВ, Het SO (32) и Het х Eg [2,4]. Однако, после открытия D-бран был замечен ряд так называемых струнных дуальностей. Предположительно, что разные типы теорий струн являются просто разными рядами теории возмущений в дуальных описаниях одной, окончательно еще не сформулированной «М-теории» [18−20].

Существенную роль в формулировке струнных дуальностей [10−13] сыграли Dp-браны (солитоноподобные непертурбативные объекты в секторе замкнутых струн, имеющие р протяженных пространственных направлений) [4,21]. С точки зрения открытых струн D-браны выглядят как некоторые р + 1-мерные подмногообразия в пространстве-времени, фиксирующие граничные условия для мировой поверхности струны. Чтобы найти низкоэнергетическое описание динамики D-бран можно проинтегрировать по массивным струнным модам и получить эффективное действие для полей безмассового сектора [18,21−26]. Оказывается, что.

1 Естественно, что понятие дуальности может быть обобщено на понятие п-альности, подразумевая существование п альтернативных описаний в лидирующем порядке по о! (натяжению струны), низкоэнергетическая динамика одной D-браны может быть описана U (l) калибровочной теорией со скалярными полями, характеризующим флуктуации D-браны в трансверсальных направлениях. В случае же нескольких совпадающих D-бран калибровочная симметрия расширяется до группы U (IV). Если размерность браны максимальна, то низкоэнергетическим эффективным действием является N = 1 суперсимметричное действие Янга-Миллса. Действие на бранах меньшей размерности можно получить с помощью размерной редукции, сводящейся к замене ковариантной производной на скалярное поле в присоединенном представлении. Таким образом, бозонный сектор эффективной теории N БЗ-бран содержит 6 скалярных полей, а полное действие является Jf = 4 суперсимметричным действием Янга-Миллса. Оказалось, что низкоэнергетическая теория N БЗ-бран может быть описана двумя разными способами, и возникающая дуальность [27−29] похожа на старые идеи [30,31] описать КХД с помощью глюонных струн.

С точки зрения полей сектора замкнутых струн, Бр-браны заряжены по отношению к R-R полям Ар.|i (р + 1-формам в окружающем объеме) [4]. В описании супергравитации D-брана является протяженной заряженной черной дырой. Из-за суперсимметрии заряд и масса D-браны связаны так, что получающееся решение для метрики вблизи D-браны соответствует решению для метрики вокруг экстремально заряженной черной дыры, в котором горизонт совпадает с физической сингулярностью. Решение для метрики в координатах г € б М4,^ € S5 выглядит следующим образом: ds2 = (1 + R4/r4)-V2dx2 + (1 + i?4/r4)^2(dr2 + r2dn25). (1.1).

Вблизи горизонта г —> 0 удобно записать асимптотику метрики, заменив коорди-я? нату г на у = ds2 = R2dx2 + dy2 +r4q2 Г.

Итак, метрика вблизи D3 браны является метрикой пространства AdS$ х 55. За AdS$ обозначено симметрическое пространство постоянной отрицательной кривизны (псевдосфера/пространство Лобачевского/Анти-де-Ситтера). Абсолютное значение радиуса кривизны в обоих факторах совпадает и равно R. Заметим, что граница пространства AdS у = 0 изоморфна R4.

Примечательная AdS/С FT гипотеза [27−29] заключается в том, что существует точное соответствие/дуальность между теорией, определенной на границе пространства AdS — четырехмерной Af = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса.

SYM) и теорией суперструн типа IIB в объеме AdS. При этом константа связи т’Хофта Л = NgyM соответствует натяжению струны как Т = — где R = y/c/(gyMN)г — радиус кривизны пространства AdS$ х S5, причем струнная константа связи gs = еф = Ажд’уМ. Легко видеть, что планарный предел т’Хофта [30] (N —> оо, А = const) соответствует невзаимодействующим струнам — планарным поверхностям, имеющим простейшую топологию. Идея т’Хофта [30] о том, как U (N) калибровочная теория Янга-Миллса может упроститься в пределе большого числа цветов N, заключается в следующем. Введем обозначения двойных линий для пропагаторов глюонов так, что каждая из линий соответствует одному матричному индексу калибровочного поля. Тогда фейнмановские диаграммы будут представлять из себя ориентируемые ленточные графы, а цветовой фактор для каждой диаграммы будет равен NF, где F — число замкнутых индексных петель. Сопоставим теперь каждому такому ленточному графу двумерную поверхность, на которой он может быть нарисован без самопересечений. Это задаст разбиение двумерной поверхности на F граней, которые будут склеены между собой по Е ребрам, соответствующим пропагаторам глюонов. Пусть константа связи дм входит в действие Янга-Миллса как — — TYF2. Определим параметр т’Хофта, А = NgyM. Тогда вес фейнмановской диаграммы с V вершинами, Е пропагаторами (ребрами) и F индексными петлями (гранями) равен NF V¦ Воспользовавшись определением эйлеровой характеристики х = 2 — 2д = F — Е + V, где д — род двумерной поверхности, получим вес диаграммы в виде N2~29E~V. Зависимость полной амплитуды, А от N можно записать в виде разложения, А — N2~2aFg, где Fg соответствует сумме всех диаграмм рода д. Теперь заметим, что разложение по родам мировых поверхностей для струнных амплитуд имеет точно такой же вид, если отождествить 1 /N со струнной константой связи gs = еф (где Ф — поле дилатона, входящее в действие для струнной сигма-модели как ASy = %Ф).

Таким образом, при больших N поверхности со сложной топологией подавлены, а главный вклад вносят только планарные диаграммы с простейшей топологией сферы. То есть, режим больших N отвечает пределу слабосвязанных струн. Конечно, для настоящей КХД пока остается загадкой, какая именно струнная модель соответствует данной картине. В случае же N = 4 суперсимметричной калибровочной теории существует предположение [27−29], что такая теория в точности дуальна теории струн типа IIB на фоне метрики AdS5 х S5. Четыре — максимально возможное число суперсимметрий для калибровочной теории поля*в четырех измерениях. Кроме калибровочного поля, рассматриваемая теория содержит четыре фермиона и шесть скалярных полей в присоединенном представлении калибровочной группы. Лагранжиан теории полностью определяется требованиями суперсимметрий. Он обладает глобальной R-симметрией SU (4), отвечающей за вращения суперзарядов между собой, а также конформной симметрией, которая в четырех измерениях является группой SO (4,2). Данные симметрии можно увидеть и в дуальной струнной картине. Действительно, сфера S5 симметрична относительно вращений группы SO (6), изоморфной SU (4). Пространство AdS5 изометрично относительно действия группы 5*0(4,2), причем это действие продолжается до действия конформными преобразованиями на границе AdS5. В свою очередь, граница AdS*> изоморфна пространству Ж4, на котором определена Jf = 4 SYM.

Как было сказано выше, метрика AdS5 х S5 является метрикой вблизи N совпадающих БЗ-бран. При этом возможны два режима описания динамики системы. Описание низкоэнергетических флуктуаций стопки из N БЗ-бран определяется Af = 4 суперсимметричной U (N) калибровочной теорией Янга-Миллса. С другой стороны, в низкоэнергетическом приближении с точки зрения гравитации/теории струн в объеме AdS существенный вклад вносит только область вблизи горизонта бран за счет эффекта инфракрасного смещения. Это позволяет предположить [27−29], что если, с одной стороны, заменить точное решение для метрики на его асимптотический предел вблизи горизонта бран, и, с другой стороны, ограничиться низкоэнергетическим приближением к описанию динамики бран, то эквивалентность сохранится. В режиме маленькой эффективной константы связи QyMN хорошо работает пертурбативная калибровочной теория. Но когда константа связи, А = дум^ стремится к бесконечности, радиус кривизны пространства времени R — ^/ос'^дум^)1^ становится намного больше струнного масштаба, и тогда возможно приближение низкоэнергетической супергравитации, в то время, как пертурбативное описание на стороне калибровочной теории вообще теряет смысл.

Таким образом, получается пример дуальности между калибровочной теорией и гравитацией, что само по себе является интереснейшим эффектом. Казалось бы, что калибровочная теория и гравитация имеют совершенно разное описание, и, наивно, не могут быть отождествлены. Но дело как раз в том, что данная дуальность меняет местами режим сильной и слабой связи. Таким образом первая теория в режиме сильной связи может быть описана второй теорией в режиме слабой связи, и наоборот. Это, с одной стороны, позволяет сделать нетривиальные предсказания о непертурбативной динамике каждой из них, с другой делает сложным строгое доказательство самой дуальности. Конечно, в данной дуальности имеется важное отличие от желаемого дуального описания настоящей КХД, обусловленное прежде всего наличием Af = 4 суперсимметрии. Тем не менее, многие эффекты могут быть похожими. Следует подчеркнуть, что речь идет о точно сформулированной дуальности, а не о приближенном эмпирическом описании. Одной из задач работы является изучение данной дуальности.

Итак, дуальность, меняющая местами режимы слабой и сильной связи оказывается мощным инструментом для описания непертурбативной динамики систем. С другой стороны, в силу своего определения она не может быть доказана пертур-бативно — необходимы другие методы. Один из таких непертурбативных методов точного вычисления функционального интеграла — метод локализации интеграла на критических точках действия [32−35]. Если удается найти, например, два разных способа локализации интеграла, то появляется два дуальных описания одной теории. Скажем, зеркальная симметрия (mirror symmetry) — это пример локализации в топологических моделях отображений римановых поверхностей в target-пространство на голоморфные отображения (А-модели) и на постоянные отображения (В-модели) [36].

Суперсимметричные матричные модели Янга-Миллса (SYMM) [18,19, 37, 38] (размерная редукция D-мерной калибровочной теории в ноль измерений, с действием S ос [Xi, Xj]2) как раз принадлежат к такому классу, где метод локализации может быть успешно изучен [26,39,40]. Кроме того, данные матричные модели интересны также по следующим причинам. Калибровочную теорию в D измерениях можно реализовать с помощью SYMM бесконечно большого ранга [37]. Далее, динамика N D (—1)-бран в D измерениях канонически описывается такой же матричной моделью, и существует гипотеза [19], что в случае десяти измерений и предела бесконечного ранга матриц SYMM является непертурбативным определением десятимерной теории суперструн типа ИВ. Наконец, D (—1) браны также можно интерпретировать как инстантоны в калибровочной теории. Действительно, ADHM [41] конструкция предъявляет явное описание пространства модулей к инстантонов с помощью к х к матриц, и мера на пространстве модулей инстантонов в Л/" = 2 SYM схематично дается действием SYMM [42]. Таким образом, с небольшими изменениями (добавление матриц, соответствующих струнам, оканчивающимся на N D3 и к D (—1)-бранах, и преобразующихся в бифундамен-тальном представлении U (N) х U (к)) такая матричная модель описывает вклад к инстантонов в Jf = 2 эффективный низкоэнергетический предпотенциал [42−46].

Методы теории струн — геометрическое конструирование с помощью D-бран и дополнительных измерений четырехмерных калибровочных теорий, а также идеи зеркальной симметрии, позволили решать задачи, которые могли быть сформулированы в рамках обычной четырехмерной теории поля, но при этом их решение традиционными методами было неизвестно. Сначала оказалось, что точный низкоэнергетический эффективный N = 2 предпотенциал U{N) калибровочной теории, включающий все непертурбативные вклады может быть описан с помощью геометрии комплексных гиперэллиптических кривых [14,47−49]. Затем, также геометрическими методами [15,50−53] был найден точный низкоэнергетический эффективный суперпотенциал для полей глюинного конденсата в Af = 1 теориях. Не случайно, что свойство точной решаемости данных суперсимметричных теорий было связано с наличием в них структур интегрируемых систем [42,54−58,58] Кроме того, оказалось, что Af = 1 точный суперпотенциал, включающий все непертурбативные вклады, может быть вычислен с помощью голоморфной одноматричной модели с действием, заданным таким же полиномом, как и древесный суперпотенциал в калибровочной теории [59−63]. Структура точных решений в Af = 1 и Af = 2 теориях и их связь с матричными моделями [64−66] является интересным объектом для исследования.

Итак, сформулируем цели работы.

• Исследование динамики непертурбативных объектов теории струн — D-бран.

• Исследование дуальности между теорией струн на фоне метрики AdS5 х S*, и Л/" = 4 суперсимметричной калибровочной теорией Янга-Миллса с помощью вычисления одних и тех же корреляторов дуальными методами.

• Исследование методов локализации функционального интеграла в приложении к квантовой динамике взаимодействия нескольких D-инстантонов (нульмерная калибровочная матричная модель Янга-Миллса) и обобщение вопроса на случай произвольной простой калибровочной группы.

• Исследование вакуумной конфигурации в низкоэнергетической теории, полученной из Af = 1 суперсимметричной калибровочной теории с материей в присоединенном представлении и заданным древесным суперпотенциалом.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 2 изучена связь между статистической суммой для двухмерной струнной сигма-модели [1,4,67] и древесным эффективным действием для соответствующих безмассовых струнных полей. Струнная сигма-модель является производящим функционалом для всех древесных струнных амплитуд рассеяния. При преобразовании Лежандра вычитаются амплитуды, которые соответствуют обмену струнными полями, входящими в эффективное действие. Рассмотрена древесная статистическая сумма г[А, Ф] = (ТгРехр (АкдтХк + 1Ф{дпХ') dr^ (1.3) для открытых струн, оканчивающихся на N совпадающих D-бранах. Здесь Ак с лоренцевым индексом к вдоль бран — U (N) калибровочные поля, а Ф* с лоренце-вым индексом в перпендикулярных направлениях — поля безмассовых скаляров, характеризующих флуктуации положения D-бран. Статистическая сумма.

Z[J] = J VX[a}e-s^We~s^x'J (1.4) вычисляется с действием Полякова свободной струны в конформной калибровке.

SfreeiX] = 4⁷ ^ даХ"даХ" d2a, (1.5) при этом эффект присутствия D-бран сводится к замене граничных условий струны в соответствующих направлениях с условий Неймана на условия Дирихле.

В результате прямого вычисления, в лидирующем порядке по Ы получается действие U (N) калибровочной теории, редуцированной нар + 1 измерение [18,21]. Дополнительно также вычисляется первая поправка в разложении по а' [68].

В главе 3 в рамках соответствия струны в AdS5 х S5 и Jf = 4 SYM [29] выпол-' няется вычисление коррелятора (W (C)Oj) вильсоновской петли W© с оператором Оj, имеющим большой заряд J по отношению к действию U (l) подгруппы группы Д-симметрии 50(6): где Z = Фх + гФ2 — линейная комбинация двух из шести скалярных полей N = 4 калибровочной теории.

Коррелятор (W (C)Oj) пропорционален весу, с которым Oj входит в локальное операторное разложение вильсоновской петли. В дуальной картине вес определяется амплитудой перехода между состоянием замкнутой струны, рожденной из вильсоновской петли, и состоянием супергравитации, построенным по оператору О j [69].

На стороне теории струн квазиклассическое вычисление выполняется [26] для произвольной вильсоновской петли в первых двух ненулевых порядках по Л, что соответствует двухпетлевому приближению в калибровочной теории. В калибровочной теории коррелятор вычисляется в однопетлевом приближении, а также показывается, что вклад из всех порядков от диаграмм с наибольшим комбинаторным весом имеет экспоненциальную форму, в соответствии с дуальным вычислением. С точностью используемого приближения результаты вычислений полностью совпадают, подтверждая гипотезу дуальности.

В главе 4 изучено обобщение квантовой статистической суммы для суперсимметричной матричной модели на произвольную калибровочную группу [70], действие которой является в лидирующем порядке по а' действием, полученным в главе 2 при описании набора Б (-1)-бран (D инстантонов), то есть является полной размерной редукцией суперсимметричного действия Янга-Миллса [18] ш = шШ / dXdAdDe~SYU • Р-7' где.

Sym.

Тг Л]2 + АА] - 2D2). (1.8).

Оказывается, что данную статистическую сумму можно вычислить точно для произвольной калибровочной группы, вне рамок теории возмущений. Используется метод локализации [32, 33], который в [39] был применен в случае группы U (N). Статистическая сумма сводится к контурному интегралу от рациональной функции.

1ГЪ) — fdu2. fdu' Ц-^, (1.9).

J с J с J с [2me)T ax au + e где {a} — множество корней алгебры g, a {as} — множество простых корней.

Суть метода состоит в деформации подынтегрального выражения на полную производную так, чтобы значение интеграла не менялось, но в то же время квазиклассическое приближение (сумма по критическим точкам действия от соответствующих детерминантов) становилось точным. Этого можно добиться, используя нильпотентный генератор суперсимметрии Q и деформируя действие на (3-точные члены. Альтернативно, данное вычисление можно быть представлено в формализме вычисления эквивариантных когомологий. Оператор Q = d + iu является эквивариантным дифференциалом, где ги — векторное поле, генерируемое калибровочным преобразованием и, деформированное действие — отображение моментов, а результат вычисления — эквивариантный объем фактора конфигурационного пространства модели по действию калибровочной группы. Вычисление контурного интеграла в виде суммы по вычетам равносильно суммированию вкладов от критических точек действия.

Результатом главы 4 является таблица значений статистической суммы для всех калибровочных групп до ранга 11 включительно, кроме групп Е7 и Eg (вычислительная сложность в этих случаях существенно выше, чем в остальных). Ответ для серии Ап был известен [39], а для всех остальных классических серий Bn, Cn, Dn выдвигается гипотеза общей формулы.

В главе 5 рассматривается вопрос о вычислении низкоэнергетического эффективного действия для Af = 1 и Af = 2 суперсимметричных четырехмерных калибровочных теорий.

Доказывается [71], что в экстремуме (Si) эффективного суперпотенциала Weff (Si) свободная энергия матричной модели (она же эффективный предпотенциал Т), подчиняется уравнению.

ВТ 2А2″ dSi ^(п2−1)' где д2 — коэффициент полинома Wtree.

В заключении подводятся итоги и перечисляются возможные дальнейшие направления для исследования. * *.

Благодарности.

Многому я обязан своим первым учителям С. Н. Сашову и Л. Д. Парнесу.

Особенно благодарю за поддержку А. Ю. Морозова, постоянно поддерживающему на протяжении нескольких лет мой интерес к работе в области теории струна также Е. С. Суслову, без которой научная работа в лаборатории была бы невозможна.

Хотелось бы специально отметить, что некоторые результаты работы мной были получены совместно с А. Я. Дымарским и К. И. Зарембо.

Выражаю также благодарность за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э. Т. Ахмедову, А. А. Герасимову, А. С. Горскому, А. Л. Городенцеву, А. С. Лосеву, А. В. Маршакову, А. Д. Миронову, М. И. Олынанецкому, К. Г. Селиванову, И. В. Полюбину, А. В. Смилге, Л. О. Чехову, С. М. Харчеву, С. М. Хорошкинуа также.

А.С.Александрову, Н. Я. Амбург, И. Е. Анно, Д. В. Васильеву, В. А. Долгущеву, И.В.Гор-делию, А. В. Зотову, Б. А. Качуре, С. Е. Клевцову, С. А. Локтеву, Д. В. Малышеву, Д. Г. Мельникову, В. А. Побережному, А. Соловьеву, А. В. Савватееву, К. А. Сарайкину и А.В.Чер-вову.

Признателен М. И. Высоцкому, М. В. Данилову, Д. И. Казакову, Р. Б. Невзорову, П. Н. Пахлову и К.А.Тер-Мартиросяну за полезные семинары и обсуждения реальных процессов физики элементарных частиц.

Большую моральную поддержку и помощь при подготовке текста оказали А. А. Воронов, Т. С. Медведева, Т. В. Миронова и Т. В. Углов.

Я благодарен А. А. Крапивину за техническую поддержку.

Глава 2.

Низкоэнергетическое эффективное действие на D-бранах.

На теорию струн можно смотреть как на теорию поля с бесконечным числом полей, соответствующим различным модам возбуждений струны. Струнные амплитуды рассеяния в первично квантованной формулировке задаются суммой по различным вложениям двумерных мировых поверхностей струны в пространство-время. Имеется четкий набор правил для вычисления фейнмановских диаграмм амплитуд рассеяния [1,2,4]. Тем не менее, исходное действие в пространстве-времени для струнных полей неизвестно. Поскольку количество струнных полей бесконечно, и струна не является локальным объектом, действие, конечно, не может быть устроено простым образом. Тем не менее, разумно поставить вопрос об эффективном действии для полей из безмассового сектора в низкоэнергетическом приближении1, которое получается, если проинтегрировать по массивным полям. Все амплитуды, вычисленные с помощью этого эффективного действия, должны совпадать с их определением с помощью суммы по мировым поверхностям. В первом приближении можно попробовать найти классическое эффективное действие для безмассовых полей, от которого требуется воспроизводить только древесные диаграммы.

Это удобно сделать с помощью подхода статистической суммы двумерной струнной сигма-модели [72]. В [73] показано, что эффективное действие для безмассовых.

1 Следует иметь ввиду, что под массивным сектором подразумеваются моды в разложении струнных осцилляторов с массами на шкале mpi. При этом на очень низком масштабе энергий по сравнению с mpi поля безмассового сектора могут приобретать экспоненциально малую массу по отношению к mpi за счет непертурбативных эффектов. струнных полей в древесном приближении равно перенормированной статистической сумме сигма-модели. Объяснение этого в отношении эффективного действия для безмассовых полей будет дано ниже. Однако данное утверждение не верно в отношении поля тахиона [74−79], которое, безусловно, должно быть включено в низкоэнергетическое описание, поскольку оно имеет наименьший квадрат массы. В данной главе будет произведено явное вычисление статистической суммы до членов вида Ф6 включительно, где Ф — неабелевы скалярные поля, характеризующие флуктуации D-бран в трансверсальных направлениях. Полученный результат согласуется с вычислениями [25], где потенциал был получен с помощью двухпетлевых вычислений /^-функции в сигма-модели и требования того, чтобы ее зануление (3(Ф) = 0 было эквивалентно [1] уравнениям движения в пространстве-времени для полей Ф. Результат также подтверждается с помощью преобразования Т-дуальности, действие которого сводится к замене Фг на соответствующую ковариантную производную V^ [23,80−82].

Заключение

.

Итак, в данной работе были продемонстрированы несколько подходов к описанию непертубативных эффектов низкоэнергетической эффективной динамики калибровочных теорий. В главе 2 с помощью пертурбативных методов теории струн было получено описание низкоэнергетической динамики ее непертурбативных объектов — D-бран, которые играли ключевую роль в последующих построениях. В главе 3 речь шла о дуальности «калибровочные поля — струны» в стиле струнного описания КХД, конструкция которой обеспечивалась с помощью N D3 бран в десятимерной теории суперструн типа IIB. Эти браны создают в своей окрестности метрику AdS5 х S5, которая является фоном для суперструн типа IIB. Вместе с тем, динамика бран также может быть описана N = 4 суперсимметричной U (N) калибровочной теорией. Благодаря мощным симметриям динамика теорий с обеих сторон дуальности сильно ограничена, и это позволило сделать предположение о точном соответствии. Тем не менее, строгого доказательства данного соответствия пока не существует, хотя возможны лишь нетривиальные аналитические проверки, одна из которых и была проведена в данной работе. В главе 4 изучался непертурбативный подход к вычислению функционального интеграла, задающего динамику системы в конечномерном случае нульмерной калибровочной теории поля (матричной модели Янга-Миллса). Оказывается, что, опять же, благодаря нескольким симметриям, динамика теории ограничена настолько, что позволяет произвести точное вычисление статистической суммы. Использовавшийся метод локализации достаточно общий, и его обобщение может быть применено и к настоящим (в нескольких пространственно-временных измерениях) или решеточным теориям поля. В главе 5 исследовалась структура, возникающая при описании низкоэнергетической динамики N = 1 суперсимметричной теории поля с заданным древесным суперпотенциалом. Решение данной задачи быстро развивалось за последние несколько лет, при этом существенную роль сыграло геометрическое конструирование четырехмерных теорий с помощью реализаций их в десятимерной теориях суперструн, скомпактифицированных на подходящие шестимерные многообразия Калаби-Яу в присутствии определенных конфигураций D-бран. А недавно было замечено, что можно получить сильные теоретико-полевые непер-турбативные результаты с помощью достаточно простых пертурбативных вычислений в матричных моделях. Все это заслуживает внимания и стоит изучения.

Существенную роль в данной работе играла суперсимметрия. Хотя теории, описывающие наблюдаемые процессы, не обладают суперсимметрией на низких энергиях, очевидны причины, по которым все же стоит изучать суперсимметричные теории. Во-первых, все реалистичные модели Великого объединения предполагают наличие суперсимметрии на масштабах более высоких энергий с последующим нарушением на масштабе энергий, доступных современному эксперименту. Во-вторых, суперсимметричные теории хорошо подходят для теоретических исследований, поскольку их динамика может быть ограничена настолько, чтобы допускать точные решения, и в то же время оставаться нетривиальной. Возможно, что после того, как будет получен полный контроль над непертурбативной динамикой суперсимметричных теорий, обладающих свойствами точной решаемости, удастся построить описание динамики несуперсимметричных теорий, в котором разложение будет идти по параметру, характеризующему отклонение от суперсимметрии, а не по традиционной константе связи.

В заключение приведем явные результаты, полученные в данной работе.

• Показана связь между статистической суммой сигма-модели для струн, оканчивающихся на N совпадающих бранах, и наведенным действием на них.

• Вычислен потенциал для неабелевых скалярных полей Ф на N совпадающих Г>-бранах с точностью до членов шестого порядка в случае бозонной струны и суперструны Невье-Шварца-Рамона.

• В рамках вопроса о дуальности «калибровочные поля — струны» вычислен коррелятор между вильсоновской петлей и оператором Oj с большим R-зарядом в N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса, а также соответствующая дуальная струнная амплитуда. То есть, вычислена в квазиклассическом приближении амплитуда струны на фоне AdS5 х S5 с границей мировой поверхности, заданной вильсоновской петлей, испускающей состояние, дуальное оператору Oj. Результаты вычисления совпадают, что подтверждает описанную дуальность.

Показан метод вычисления квантовой статистической суммы обобщения многоматричной модели с действием неабелевых скалярных полей на нескольких бранах на произвольную калибровочную группы. Статистическая сумма вычислена явно для всех простых калибровочных групп до ранга 11 включительно, кроме случаев групп Е7 и Eg.

Выдвинута гипотеза об общей формуле для статистической суммы для всех классических серий Bn, Cn, Dn.

Описано приложение полученных результатов к решению задачи о вычислении индекса Виттена для квантовой механики DO-бран. Как дополнительный результат получены явные выражения для формулы В. Каца и А. Смилги, описывающей граничный вклад в индекс Виттена в случае произвольной калибровочной группы.

Найдено уравнение на эффективный низкоэнергетический предпотенциал для суперсимметричных Af = 1 калибровочных теорий, выполняющееся в точке экстремума соответствующего эффективного суперпотенциала. также укажем возможные направления развития затронутых тем:

К главе 2. Получить полный непертурбативный во всех порядках по силе поля потенциал для неабелевых скалярных полей на D-бранах, и с помощью преобразования Т-дуальности восстановить непертурбативное неабелево действие Борна-Инфельда.

К главе 3. Найти деформацию дуальных теорий (Af = 4 SYM и струна в AdSs х S5) к теориям более общего положения.

К главе 4. Дальнейшее исследование методов локализации в калибровочных теориях. Обобщение на случай редукции из 10 пространственно-временных измерений. Обобщение на случай производящей функции с ненулевыми источниками. Обобщение на случай калибровочных теорий, описываемых матричными моделями бесконечного ранга.

К главе 5. Выход в описании эффективной низкоэнергетической динамики Af = 1 за пределы кирального кольца, а также включение ненулевых мод в эффективной теории. Дальнейшее развитие матрично-модельного подхода для описания динамики калибровочных теорий.