Математические задачи динамики ядерных реакторов
Несколько кратких замечаний.130РАЗДЕЛ П. Физические процессы в активной зоне ядерного реактораи их математическое моделирование. 133Глава .?. Общее описание физических процессов и принципы их математического моделирования.'.&bdquo-. 133. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса// ДАН СССР. 1969. Т. 187, № 5. С. 18−21.2 В. Гермогенова Т. А. Обобщенные решения краевых задач… Читать ещё >
Математические задачи динамики ядерных реакторов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
Современные тенденции в развитии ядерной энергетики, в частности в проецировании и. эксплуатации энергетических реакторов, делают все более актуальными задачи технико-экономической оптимизации реакторов, безопасности и надежности их работы в различных условиях. Решение этих важных практических задач основывается на детальном исследовании динамики реакторов и ядерных энергетических установок (ЯЭУ) в целом.
Сложность динамических задач теории ядерных реакторов связана, в частности, с разнообразием многочисленных процессов различной физической природы и их взаимным влиянием, а также с чувствительностью реактора к различным возмущениям.
Как отмечается в [100], на стадии проектирования реакторов единственной возможностью получения и анализа их динамических характеристик является исследование соответствующих математических моделей реакторов. Стремление создать достаточно полную картину исследуемых процессов приводит к необходимости строить все более сложные математические модели реакторов. При этом сразу же возникает вопрос о корректности соответствующей математической модели, или, другимй словами, вопрос о том, насколько правильно эта модель передает основные физические особенности исследуемых процессов. В связи с этим весьма актуальной становится задача исследования математических моделей реакторов с целью установления их непротиворечивости, в частности выявления некоторых качественных свойств, присущих решениям соответствующих уравнений, наличие которых является необходимым условием корректности тех или иных математических моделей. К таким важнейшим свойствам относится, например, неотрицательность некоторых переменных во всей области их определения (плотность нейтронов, концентрации предшественников запаздывающих нейтронов и др.). Кроме того, исследование сложных математических моделей динамики реактора должно включать также и выявление способов корректного упрощения этих моделей до приемлемых в расчетной практике.
Использование достаточно общих математических моделей динамики реакторов приводит к необходимости использования численных методов их решения, т. е. в конечном счете к переходу от исходных распределенных уравнений к алгебраическим системам уравнений той или иной структуры. Важно подчеркнуть, что построение таких алгебраических систем обычно существенно опирается на априорную информацию, свя-^ занную с исходной задачей. Такой информацией обычно являются принадлежность решения к тому или иному функциональному классу, свойства операторов задачи, а также различные качественные особенности решений, которые выявляются при теоретическом исследовании исходных систем уравнений (см. [91−93]). Эта априорная информация во многих случаях оказывает решающее влияние на выбор методов вычислительной математики, используемых для практического решения задач. Важно отметить также, что обычно имеется некоторое соответствие между свойствами решения и операторов йсходней задачи и ее, алгебраического аналога.
Сказанное выше указывает на важность исследования различных качественных свойств сложных математических моделей динамики реакторов.
Математической теории реакторов, теории устойчивости стационарных режимов их работы, а также теории управления и оптимизации ядерных реакторов посвящена обширная библиография. Отметим здесь ряд монографий [18, 31, 34, 48, 74, 125, 166, 175, 204], наиболее близких по методологии и общей точке зрения на изучаемые объекты излагаемым ниже исследованиям.
Основная цель предлагаемой книги — изложение методики и резуль-. татов исследования нелинейных распределенных моделей динамики^ ядерных реакторов методами качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Такие исследования относятся к новому напр лвлению в теории ядерных реакторов, не нашедшему пока должного отражения в монографиях и учебной литературе, а используемые в книге методы исследования пока еще не получили широкого распространения среди специалистов по теории ядерных реакторов и динамике ЯЭУ. В отечественной литературе данное направление представлено по существу лишь монографиями [48, 73, 125].
Настоящая работа отличается от указанных выше монографий как охватываемым кругом вопросов, так и применяемой методикой их исследования и способом изложения материала. Практически не пересекаясь с ними, она освещает в первую очередь те вопросы теории реакторов и динамики ЯЭУ, которые либо не затронуты в других источниках- либо рассмотрены там с иных методических позиций и в меньшей степени общности.
К числу отличительных особенностей книги следует отнести, во-первых, рассмотрение достаточно общих моделей реактора, содержащих зависимости нейтронно-физических параметров реактора от состояния среды весьма общего вида. В этих моделях для описания нейтронно-физических процессов систематически используется система уравнений кинетики реактора, включающая в себя нелинейное уравнение переноса нейтронов (типа уравнения Больцмана). Последнее позволяет рассматбривать различные обратные связи в реакторе с единых позиций в общих физических предположениях.
Во-вторых, в книге развивается единый методический подход к исследованию математических задач динамики ядерных реакторов, основанный на систематическом использовании качественной теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах и некоторых специальных разделов функционального анализа.
В связи с этим в книге не только приводятся результаты исследования качественных особенностей достаточно общих распределенных математических моделей ядерного реактора, но и дается (по возможности в сжатой форме) очерк основных методов их исследования.
Коротко о содержании книги. Она состоит из трех разделов. В первом разделе излагаются основы используемого в дальнейшем математического аппарата.
Глава 1. содержит изложение избранных вопросов функционального анализа. Изложение достаточно фрагментарно и сконцентрировано вокруг нескольких наиболее важных для дальнейшего тем. Быть может, несколько более подробно и в более общей форме, чем обычно, дается описание некоторые вопросов теории линейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах, не ставших еще вполне традиционными. Описанный здесь материал систематически используется в дальнейшем, причем, как правило, без специальных ссылок. Излагаемые результаты, помимо того что они, сами по себе весьма интересны и поучительны, дают также возможность ощутить имеющиеся традиции в вопросах математической строгости. Подробное и систематическое изложение функционального анализа и тео. рии функций, а также затронутых в гл. 1 тем имеется в целом ряде монографий и руководств по функциональному анализу (см. [39, 44, 51, 54, 59, 63, 80, 107, 120, 124,154,159,220,233,270] и др.).
Глава 2. посвящена изложению вопросов качественной теории нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве. Рассматриваются вопросы разрешимости, единственности, нелокальной продолжимости классических решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Устанавливаются разнообразные оценки решений в фазовом пространстве, упорядоченном некоторым конусом. Отсюда, в частности, получаются результаты о существовании и продолжимости положительных решений йёлинейных эволюционных уравнений. Рассмотрение проводится при весьма широких предположениях о фигурирующих в уравнениях операторах. Выделяемый этими предположениями класс эволюционных уравнений, как следует из полученных в гл. 2 результатов, включает в себя и некоторые нелинейные дифференциальные уравнения с неограниченными нелинейными операторами.
Второй раздел книги посвящен краткому изложению основных физических представлений о рассматриваемых процессах и принципов их математического моделирования и состоит из трех глав.
В гл. 3 дается общее описание физических процессов в активной зон<�г ядерного реактора, вводится понятие динамической системы, обсуждается принцип обратной связи и моделирование систем с обратными связями. В последующих двух главах рассматриваются линейные (без учета обратных связей) математические модели основных физических процессов в активной зоне реактора. В гл. 4 рассматривается процесс переноса нейтронов, а в гл. 5 — процессы изменения нуклидного состава среды и процессы теплообмена. Рассмотрение линейных математических моделей процессов является основой для последующего изучения соответствующих нелинейных моделей, учитывающих их взаимное влияние. Изложение ведется преимущественно без доказательств, по ходу его даются необходимые ссылки на литературу.
Выявленные во втором разделе свойства линейных моделей физических процессов в сочетании с результатами о разрешимости нелинейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах, установленными во второй главе, позволяют перейти к рассмотрению в третьем -разделе нелинейных математических моделей динамики реактора. Третий раздел состоит из двух глав. В гл. 6 исследуется общая модель динамики реактора, описывающая процесс нестационарного переноса нейтронов с учетом обратных связей, обусловленных процессами теплопередачи и изменения нуклидного состава среды. Соответствующая нелинейная система уравнений записывается в абстрактной операторной форме. Вводятся некоторые функциональные пространства и описываются их свойств* Далее для исследования возникающей здесь абстрактной задачи Коши привлекаются результаты гл. 2. Итогом достаточно подробно проведенного рассмотрения являются утверждения о разрешимости абстрактной задачи Коши, о существовании глобального положительного решения системы уравнений динамики реактора и др. Важно отметить, что полученные здесь результаты установлены без привлечения каких-либо требований типа монотонности сечений взаимодействия нейтронов с веществом относительно температуры.
В гл. 7 обсуждаются более конкретные нелинейные модели динамики и кинетики ядерного реактора на тепловых нейтронах. Рассматриваются математические модели динамики реактора с учетом отравления ксеноном и температурной обратной связи, динамики реактора с учетом отравления ксеноном и мощностной связи, кинетики реактора с учетом температурной обратной связи. Обсуждаются вопросы разрешимости соответствующих стационарных систем уравнений, а также вопросы устойчивости их решений. Исследуются качественные свойства решений нестационарных и стационарных систем уравнений динамики и кинетики реактора. Среди них — вопросы продолжимости, ограниченности, положительности решений, вопросы существования решений с конечным временем определения (решения взрывного типа). Кратко затрагиваются также вопросы теории управления ядерными реакторами и оптимизаций стационарных режимов их работы.
На различных этапах работы над проблемами, нашедшими свое отражение в настоящей книге, автор имел благоприятную возможность пользоваться советами, поддержкой и благожелательным отношением большого числа коллег и товарищей по работе. Пользуясь возможностью, хотелось бы выразить всем им искреннюю признательность, а особенно В. И. Агошкову, Т. А. Гермогеновой, В. Д. Горяченко, A.B. Кряневу, В. И. Лебедеву, С. Ф. Морозову, А. И. Попыкину, Е. Ф. Сабаеву, В.В. Шаш-кову и С .Б. Шихову.
Т.А. Гермогеиова и Н. С. Келлин просмотрели рукопись данной книги и сделали ряд полезных замечаний, которые были учтены при окончательном ее оформлении.
Автор
РАЗДЕЛ I. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛАВА 1. избранные вопросы
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1Л. Некоторые результаты теории полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах
1.1.1. Многие проблемы математической физики сводятся к изучению начальных или начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений (систем уравнений) с частными производными. Последние часто могут быть естественным образом представлены в виде абстрактной задачи Коши для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Х- Рассмотрим сначала линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Помимо значительного самостоятельного интереса их изучение является зачастую основой для последующего исследования различных нелинейных задач.
Пусть задано Уравнение = .4 (О* (О +/(0 (1.1) с начальными условиями
О1,=, о+0 = *0, С1−2) где х (?) — неизвестная абстрактная функция х (-): 1(X- А (?) -при каждом г € линейный,^вообще говоря, неограниченный оператор в X- /(?) — заданная абстрактная функция /(): X- х0 -заданный элемент X.
Задача Коши (1.1), (1.2) состоит в отыскании неизвестной функции х (?), называемой решением, удовлетворяющей в определенном смысле уравнению (1.1) и начальному условию (1.2). При этом решение должно обладать также некоторой регулярностью (гладкостью), например должна существовать (в каком-либо естественном смысле) производная Лс (?) ?с1л.
Существует достаточно обширное множество определений решения, основанных на различной интерпретации уравнения (1.1) и разных свойствах фигурирующего в нем линейного оператора.
Нас будут интересовать как наиболее адекватные изучаемым в дальнейшем прикладным задачам только некоторые из них. Под решением задачи Коши вида (1.1), (1.2) в дальнейшем, как пра-¦ вило, понимается ее классическое решение, т. е. абстрактная функция *()¦' /(J* X, принадлежащая классу C1{l^, x} П С{/^, ХА}, удовлетворяющая на if уравнению (1.1), а при t -*¦ t0 + 0 — условию (1.2). Приэтом следует считать, что х0 G D (А) — области определения линейного оператора, А (/)'. Символом ХА здесь обозначено банахово пространство, совпадающее по набору элементов с множеством D (A) и оснащенное нормой = !Ы1Х + 1И (io)7Uz
В случае стационарного оператора A (t) = А такое определение решения согласуется с теорией сильно непрерывных полугрупп линейных операторов в банаховом пространстве, а в общем случае [при достаточно гладкой зависимости оператора A (f) от параметра t — с понятием эволюционного оператора, порождаемого задачей вида (1.1), (1.2).
1.1.2. Пусть X — банахово пространство с нормой II - В (Х) = = В (X, X) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов в X. Однопараметрическое семейство непрерывных линейных операторов {i/(i), t S R+ = [0,°°)} CB (X) называется полугруппой, если выполнены следующие условия:
1) U (t)Vii) = U (t +s), Vt, s>0-
2) U{0) =, где Ix — тождественный оператор в X. Полугруппа операторов называется сильно непрерывной, или, что-то же, полугруппой класса С0, если для любого х ?
3) \U (t)x -х\у -«¦(),?-*¦ +0, т. е. если s-lim U{t)x=x. л + о
Полугруппа операторов называется равномерно непрерывной, если
4) ||t/(i) — 7V ||",", 0, t +0, т. е. s-lim U{i) = IY. ' ' о
Таким образом, сильно непрерывные полугруппы характеризуются свойствами 1—3, а равномерно непрерывные — свойствами 1,2,4. Легко видеть, что любая равномерно непрерывная полугруппа является также полугруппой класса С0 (обратное, разумеется, имеет место далеко не всегда). Теория равномерно непрерывных полугрупп особенно проста.
Ее основу составляет следующая теорема.
Теорема
1.1. Пусть {U (t), f е R+ } - однопараметрическая полугруппа ограниченных линейных операторов U (t) G В (Х) в банаховом пространстве X. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
1) {?/(0> f 6R+ } равномерно непрерывна-
2) { U{t), i? R+} равномерно дифференцируема при t = 0, т. е. существует такой ограниченный оператор S & В (X), что
3) существует такой ограниченный оператор? € В (Х), что имеет ^ мест представление им — г? 5″,
Если выполнено одно из этих условий, то полугруппа {?/(?)> * е расширяется до равномерно непрерывной однопараметрической группы {^¿(Г), ГЕИ}, для которой т)\В (Х) < «р{И%(Л'} «
Заметим, что для группы условия 1, 2 выполнены при всех г, 5 е а, причем \Щ})-1Х\В (Х) ?-«0ипри г ек+^(0 =
Из приведенной выше теоремы следует, что полугруппа равномерно непрерывна тогда и только тогда, когда ее генератор 5 ограничен. Сформулируем еще одно утверждение.
Теорема
1.2. Пусть {Щ*), г 6 11+} и {У (г), г е К+ } -равномерно непрерывные полугруппы операторов, порождаемые операторами 5 и Т соответственно, Б, Т е В (Х). Тогда имеет место оценка щ)-утВ{Х) < 115-п|г (л:)и|ехр[и1(||5||5(-г) + + П7-ИЛ (Х,)].
В частности, пусть 5 (а), а €, А С4 (А — банахово пространство с нормой |[ Ц^) — семейство операторов, непрерывно зависящее от параметра, а в следующем смысле: в) — 5(а0)НВ{ЛГ) -«О, ||а — «о 114 ^ О, причем (а) \в (Х) < С (А), V, а € А. Тогда
11^(0 — и0(0Н5(ЛГ) -«-о при, а -*¦ а0 равномерно на любом компактном интервале Д С Здесь и0(?), иа ({) — равномерно непрерывные полугруппы, порождаемые операторами 5(а0), 5 (а) соответственно.
Значительно больший интерес для
приложений представляют полугруппы класса С0. Это связано, в частности, с тем, что их могут порождать и неограниченные операторы.
Из полугрупповых свойств следует, что если условие 3 выполнено в точке / = 0, то оно имеет место при всех? € так что функция Щ ()х непрерывна на для любого х & X. Далее, для полугрупп {/(О класса С0 справедливо следующее неравенство :
II U (t) \B (Jt)
U{t)\B (X) < 1, Vi€R+, то полугруппа называется сжимающей полугруппой класса С0, U (t) е е G (1,0).
Пусть U (t) — полугруппа класса С0 в X. Инфинитезимальным оператором полугруппы { U (t), i S R+ } называется линейный оператор А, определяемый соотношением
Ах = lim ±-[U (h)x-x} (1.4) для всех х? D (A), т. е. всех элементов х Е X, для которых предел в правой части (1.4) существует.
Теорема
1.3. Инфинитезимальный оператор, А является замкнутым линейным оператором в X со всюду плотной в X областью определения D (A). Если х € D (A), то U (t)x е С1 {R± X } и на R+ имеют место равенства U (t)x = AU (t)x = U (t)Ax.
При доказательстве теоремы используется, в частности, тот факт, что множество элементов вида
Xf = - J U (a)xdo, t > 0 ' о содержится в D (A) и является плотным в X множеством.
В связи с этой теоремой возникает естественный вопрос: при каких условиях замкнутый плотно определенный оператор порождает сильно непрерывную полугруппу операторов? Ответом на йего служит следующая важная теорема.
Теорема 1.4 (Хилле-Иосида). Пусть, А — плотно определенный линейный оператор в банаховом пространстве X. Тогда, А порождает Со-полугруппу операторов U{t), t е R+}, удовлетворяющую оценке
11^(0ILm
IIKXZ-vl)-1]"!^ < —--, п = 1,2,.,
ReX — со)" для всех X таких, что Re X > со.
Следствие. Пусть, А — плотно определенный замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X. Для того чтобы оператор, А порождал С о -полугруппу сжимающих операторов, необходимо и достаточно, чтобы все X, удовлетворяющие условию Re X > 0, принадлежали резольвентному множеству р (А) оператора, А и было выполнено неравенство
НЛ-ч (4) IL, Уч <—для каждого X, ReX> 0. Л В (Х> ReX
Рассмотрим еще один класс полугрупп линейных операторов в банаховых пространствах.
Пусть S (t): R+ В (X) — полугруппа класса С0 и, А — ее производящий оператор. Полугруппа {5(i), / е R+} называется дифференцируемой, если для всех t >0 S (t)XC D (A).
Дифференцируемая полугруппа называется аналитической, если sup t IIS'(О IIa, г, < 00 0
Из определения следует, что для дифференцируемой полугруппы при t > 0 S (t)x бесконечно дифференцируемо, причем S ^ (t) е В (Х). Этим мотивируется определение аналитической полугруппы.
Из определения также следует, что если S (?) аналитическая, то функция S (t)x аналитична на R+ для любого х е X. При этом такая полугруппа имеет голоморфное расширение S (X), которое локально имеет вид оо (*
S ()x = 2 (-t)nSw (f)x —,. Ух ex п = 0 и! в некотором секторе {X:|argX| < М} с С.
Характеристика генераторов аналитических полугрупп содержится в следующей теореме.
Теорема
1.5. Пусть, А — плотно определенный линейный оператор в банаховом пространстве X. Тогда, А порождает аналитическую полугруппу на X в том и только том случае, когда существует М > 0 такое, что uu-Arlhw <^ для всех Хе С, удовлетворяющих условию ReX>
1.1.3. Пусть X — банахово. пространство, X* - сопряженное к нему. В соответствии с теоремой Хана—Банаха каждому элементу х G X отвечает по крайней мере один линейный ограниченный функционал wx Е G X* такой, что
Wjc, х> = \xfx = \wx fx*.
Обозначим множество таких функционалов J (x). Для каждого х е X множество J (x) не пусто. Таким образом, определено отображение /(.): X X*, являющееся в общем случае многозначным, причем = {wGX* :(w, x> = \xfx = llwll^}.
Многозначное отображение /(¦) обычно называют дуальным.
Свойства дуального отображения тесно связаны со свойствами нормы в X, в частности с ее дифференцируемостью, а значит, со свойствами гладкости единичной сферы в X.
Пусть, А — линейный оператор в банаховом пространстве X с областью определения D{A). Говорят, что оператор, А :
1) диссипативный, если дня любого х € D (A) существует w € J (x) такой, что
Re< 0-
2) максимальный диссипативный, если он не является сужением какого-либо диссипативного оператора в X-
3) m-диссипативный, если он диссипативный и область значений оператора I -А совпадает со всем X, R (/ - А) = X.
Часто используются понятия аккретивного, максимального аккретив-ного, /и-аккретивного оператора. Эти понятия тесно связаны с введенными выше. В частности, оператор, А аккрегавен, если (—А) диссипати-вен. Аналогично вводятся другие понятия аккретивности.
Понятия диссипативности, аккретивности и остальные могут быть естественным путем обобщены на случай нелинейных операторов (вообще говоря, многозначных) в банаховом пространстве [180,194].
Имеется тесная взаимосвязь между диссипативностью оператора и его свойством порождать сжимающую С0-полугруппу, а именно,.всякий оператор, порождающий С0-полугруппу, диссипативен. В самом деле, пусть, А — с областью определения D (A) — порождает сжимающую С0-полугруппу U (t). Тогда для х е D (A), w € J (x) и t > 0 имеем
Re< IIw 11^*||?/(0*11^* < llwll^llxll^ =, т. е.
Re (< 0.
Следовательно, —Re (w, U (t)x) <0. Так как w, U(t)x> = <0 для любого х € D (A) и w 6 J (x), т. е. является диссипативным.
Оказывается, что при некоторых дополнительных предположениях о диссипативном операторе справедливо обратное утверждение. Приведем сначала некоторые утверждения о свойствах диссипативных операторов.
Лемма
1.1. Пусть, А — диссипативный оператор в X с областью определения D (A~y, плотной в X. Тогда, А допускает замыкание и это замыкание диссипативно.
Лемма
1.2. Пусть, А — диссипативный оператор в X. Тогда при всех а>0и всех х еD (Á-) справедливо неравенство
1 — аА) х\х > \х\х.
С помощью лемм 1.1, 1.2 может быть получен следующий важный результат [243].
Теорема 1.6 (Люмера—Филлипса). Для оператора, А в банаховом пространстве X следующие условия эквивалентны:
1) оператор, А порождает сжимающую С0-полугруппу- j
2) оператор, А плотно определен, замкнут, диссипативен и при некотором а> 0 R (I — аА) = X.
Из теоремы 1.6 может быть введено следующее утверждение.
Следствие. Если оператор, А в X — замкнутый линейный опера-юр с плотной в X областью определения и оба оператора, А и А*дисси-пативны, то, А порождает сжимающую С0-прлугруппу.
1.1.4. Пусть, А — замкнутый линейный оператор в банаховом пространстве X со всюду плотной в X областью определения D (A), порождающий сильно непрерывную полугруппу операторов {i/(i), t G R+}. Пусть X G С обладает некоторым свойством, связанным с оператором? А, например X G р (А) или X € о (А). Представляет значительный интерес вопрос, будет ли аналогичным свойством по отношению к оператору U (t) обладать число ц = exp (Xi). При этом имеет смысл и противоположный вопрос, а именно, если ц по отношению к оператору U (t) обладает каким-либо свойством, то будет ли X, exp (Xi) = ju, обладать аналогичным свойством по отношению к оператору .4. Достаточно полный ответ на эти вопросы содержится в приводимых ниже результатах.
Теорема
1.7. Пусть {U (t), t е R+} - полугруппа класса С0, А -ее инфинитезимальный оператор. Преобразование X -" exp (Xi) отображает спектр, а {А) оператора, А в спектр a [U (t) ] оператора U (t) при всех t? R+, так что ч ехр[/а (4)] С о[С^)], т. е. если X е о (А), то ?1 = ехр (Х/) € а[£/(/) ]. Аналогичное включение имеет место и для компонент спектров Ро (А) и Ра [{/(О ].
Для других компонент спектра (остаточный и непрерывный спектр) «достаточно простых» включений нет.
Рассмотрим теперь вопрос о переходе от спектра оператора ?/(0 к спектру А.
Теорема
1.8. Пусть { СА (г), г € — полугруппа класса Со" А — ее инфинитезимальный оператор. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если д 6 Ро[и{Т)] при фиксированном / > 0, причем д Ф О, и если Л (д- О = { Хи} - множество корней уравнения ехр (Х?) = д, то по крайней мере одна из точек множества Л (д- О содержится в Ро (А).Для точечных спектров полугруппы и порождающего ее оператора справедливо соотношение
Ро и (/) ] = ехр tPci (А) ] и где © либо пусто, либо сводится к точке д = 0. Кроме того, Кег [д/ --?/(/)], д Ф 0, представляет собой замкнутую линейную оболочку линейно независимых многообразий Кег [Хл/ - А], где п. пробегают те значения, при которых Х&bdquo- еРа (А) — &diams-л 2) если д 6 К, а [и (г) ] при фиксированном t >0, д# 0, то по крайней мере одно решение уравнения ехр (Х?) = д заключено в Ко (А) и ни одно решение этого уравнения не может содержаться в Ро (А) —
3) если д е Со [1/(0 ] при фиксированном * > О, д Ф 0, то ни один из корней уравнения ехр (ХО = д не принадлежит к Ра (А) и И о (А). Число д Ф О может принадлежать к С, а [?/(?) ], когда все корни уравнения ехр (Х?) = д заключены в р (А) — более того, д может даже не принадлежать замыканию множества ехр [Г, а {А) ].
Теорема 1,9. Спектральные свойства точки д = 0по отношению к оператору 1/(0 одинаковы при всех г > 0. При этом 0 Ер [¿/(О ] тогда и только тогда, когда {¿/(г),? может быть погружена в определенную на Я сильно непрерывную однопараметрическую группу ограниченных линейных преобразований { и (0, Я}
В связи с этим отметим, что необходимым и достаточным условием того, чтобы оператор, А порождал сильно непрерывную группу {ЩО, является существование постоянных М> Ои ш>0 таких, что [(Х/-^-1]"!^) < ---(1.5)
1Х| - со) для всех действительных X, |Х| > а>, и всех и е Р4+. Следовательно, условие (1.51 необходимо и достаточно для того, чтобы точка д = О принадлежала р [U (t) ]. Невыполнение этого критерия означает, что, р = 0 не принадлежит р [U (t) ], а значит, 0 G, а [U (t) ].
1.1.5. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, Л—замкнутый линейный оператор в X со всюру плотной в X областью определе-- Il-lly ния D{A), D (A) = X, порождающий С0-полугруппу iUj (t), i? Rt}, Известно [159], что в этом случае семейство i € R+} операторов в X* также является полугруппой класса С0, причем производящим оператором этой полугруппы является оператор, А * € С (Х*), обладающий плотной в X* областью определения D (A *),
-*Г|И|Л* *
А*) ^ - X*.
Если X — нерефлексивное пространство, то ситуация изменяется: полугруппа {, (/), /? R+} может уже не принадлежать классу Со, поскольку множество D (A*) может оказаться неплотным в X*. В таком случае для построения удовлетворительной теории привлекаются иные построения [14, 159, 211, 212, 238]: свойства непрерывности полугрупп рассматриваются в других топологиях, модифицируется само понятие сопряженности. Во многих ситуациях может быть использована теория сопряженных по Филлипсу операторов. В основе построений этой теории лежит понятие пространства, сопряженного к данному относительно некоторого оператора U. Последний предполагается удовлетворяющим некоторым, достаточно широким, требованиям. Этим требованиям, в частности, удовлетворяют производящие операторы С0-полугрупп.
Введем некоторые определения.
Замкнутый оператор U € C (Z) называется ©--оператором, если:
1) область определения D (U) оператора Uплотна в X,
D (U) = X-
2) при X -*¦ 00 справедлива оценка
Для заданного ©--оператора Uвекторное пространство
11V der ^
В{и*) л = х@сх* называется пространством, сопряженным к X относительно ©--опера тора II.
Заметим, что множество Х@ плотно в X* относительно слабой топологии а (Х*, X) в X*.
Зафиксируем в X ©--оператор U. Пусть X® — ©--сопряженное пространство к X относительно U, а В — линейный оператор в X с плотной в X областью определения D (В),
-II-IL
D (B) = X.
Обозначим
D = J*T®}.
Сужение оператора В* на множество D, т. е. оператор, действующий в X*, имеющий множество D в качестве области определения и совпадающий с В* на D, будем обозначать {?*} 0. При этом ?>({#*} 0) = D и область значений оператора {?*}" лежит в X*. Далее, пусть д = {х*ех* :x*eD (?*) n х®-, я*х*ел:®} cd.
Сужение оператора В* на множество Д обозначим Впри этом D (B®) = А и область значений оператора В®- принадлежит X®.
Наконец, напомним, что линейный оператор В в X называется перестановочным с оператором U, если существует X? р (V), при котором R^(U)Bx = BR (U)x, Ух € D (B). Множество всех операторов из Т В (Х), перестановочных с U, называется коммутантом оператора U. Оказывается, что если оператор В перестановочен с оператором U., ?1−11^ причем D (B) = X, то оператор В* перестановочен с U*.
Приведем некоторые свойства сопряженных (по Филлипсу) операторов [159,261].
Теорема 1.10. Если В — линейный оператор в X с плотной в X областью определения D (B), то В®- - замкнутый оператор в X®, В®-? е С (Х®).
Теорема 1.11. Если ограниченный линейный оператор В в X перестановочен с оператором U, то В®- = l?*}0? В (Х®) и справедливо неравенство ||5®|| < ИДИ.
Теорема 1.12. Есл’и линейный оператор В в Хс плотной в X областью определения D (B) перестановочен с U, то р (В) = р (В®-) и для всех? ? р (В) справедливы соотношения
V*0) = = R?(B) = VA@)
Кроме того, оператор В®- перестановочен с оператором U®. В частности, р (С/®-) = р (U), при всех Х? р (?/) 11Дх (£/0) II
Приведенные результаты позволяют рассмотреть понятие сопряженной (поФиллипсу) полугруппы.
Пусть линейный оператор, А в' X — производящий оператор Со-полу группы { T (t), t е R+}. Оператор, А является ©-оператором, поэтому может быть построено пространство XQ, ©--сопряженное к пространству X относительно оператора А. Как известно, для всех х € D (A) справедливо соотношение T (t)Ax =AT (t)x, t е R+, т. е. операторы, А и T (t) перестановочны. В таком случае согласно теореме 1.11 ¡-Г®- (О = = { T*(t)} 0 € B (X f), и так как семейство (Г*^), t G R+ } образуют полугруппу, то полугруппу образует и семейство {Г®-^), t € R+}
Для С0-полугруппы {Г (0, t € R+} с производящим оператором, А сопряженной полугруппой называется семейство операторов {Г®(г), t Е R+ } ЕВ (Xе), где X® — ©-сопряженное пространство к X относительно ©--оператора А.
Одним из важнейших результатов теории является следующее утверждение [159, 261].
Теорема 1.13. Если {T (t), t е R+} - полугруппа класса С0 с производящим оператором А, то сопряженная полугруппа { Г®- (/), t € R+} также принадлежит классу С0 и ее производящим оператором является оператор А@.
Весьма интересна характеристика сопряженной полугруппы, содержащаяся в следующем утверждении.
Теорема
1.14. Пусть {T (t), t е R+} - полугрупт~класса С0. Оба- 1 значим Г s [х* € X*: Mm Т*(т)х* = х* J С X*. Тогда X® = Г. т-++О
Из теоремы 1.14 (щедует, что пространство Xе СХ* является наибольшим подпространством пространства X*, на котором полугруппа { 7*(t), t? R+} сопряженных (в классическом смысле) операторов сохраняет свойства непрерывности. Таким образом, сужение этой полугруппы на множество Г фактически и образует сопряженную (по Фил-липсу) полугруппу операторов { Т®- (f), t Е R+ }.
1. Агошков В" И, О свойствах решения уравнения переноса с энергетической зависимостью// Проблемы теории и численного решения завдч переноса частиц. М.: ОВМ АН СССР, 1983. С. 3−9,.
2. Агошков В. И. Некоторые вопросы теории и приближенного решения задач Р переносе частиц. М.: ОВМ АН СССР. 1984. 206 с.
3. Агошков В. И. Пространства функций с дифференциально-разностными характеристиками и гладкость решений уравнения переноса// ДАН СССР, 1984. Т. 276, № 6. С. 1289- 1293.
4. Агошков В. И, Поныкин А. й., Шихов С. Б, К теории малых возмущений для уравнения переноса// Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики, М.: ОВМ АН СССР, 1985. С. 76−84.
5. Base Л. П., Вояощеакв A. It, Гермогенова Т. А. Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения. М.: ИПМ км. М, В. Келдыша АН СССР, 1986. 231с.
6. Балакришнан А.
Введение
в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве: Пер. с англ./ Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1974. 259 е.
7. Бахтин И. А, О существований полусобственных векторов и о крмическом режиме реактора// Сибирский матем. журнал. 1965. Т. б, № 5. С. 949- 957.
8. Бахтин И. А. Применение топологических методов к исследованию критического режима реактора// ДАН СССР, 1966. Т. 167, № 1. С. 16−18.
9. Бахтин И. А. О непрерывных ветвях полусобствеиных векторов нелинейных операторов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30, № 5. С. 1017−1026.
10. Бедениг Д. Газоохлаждаемые высокотемпературные реакторы: Пер, с нем. М.: Атомиздат, 1975. 224 с.
11. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов: Пер. с англ./ Под ред.B. II. Артамкина. М.: Атомиздат, 1974.496 с.
12. Бсльцман Л. Лекции по теории газов: Пер. с нем./ Под ред. Б. И. Давыдова. М.: Гостехтеориздат. 1956. 554 с.
13. Больцмаи Л" Избранные труды: Пер, с нем./ Отв. ред. Л. С. Полак, М: Наука, 1984. 589 с.
14. Браттеяи У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: Пер. с англ./ Под ред. Л. Д. Кудрявцева. М.: Мир, 1982. 512 с.
15. Вайиберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 416 с.
16. Васильева А. Б., Бутузов В. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
17. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях, М.: Изд-во МГУ, 1978. 106 с. .
18. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории пеоеноеа частиц// Тр. МИАН СССР им. В. А Стеклова. 1961. Т. 61. С. 3−158.
19. Владимиров В, С. Особенности решения уравнения переноса// Журн. вы-числ. матем. и матем. физики. 1968. Т. 8, № 4. С. 842−851.
20. Воронков А. В., Чуянов В. А. О методе решения нестационарных кинетических уравнений с учетом выгорания// Атомная энергия. 1969. Т. 27, № 2.C. 140.
21. Ворсжкоя А. В., Масленников М. В. О математической модели нейтронно-физических процессов в ядерном реакторе// Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1982. С. 84−101.
22. Воров"" А. А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости (Обзор). Препринт ВНИИ системных исследований. М., 1981. 40 с.
23. Воронов А. А.
Введение
в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.
24. Галамин А. Д.
Введение
в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах: Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, .1990. 536 с.
25. Галин Н. М. О тензоре коэффициентов турбулентной теплопроводности// Теплофизика высоких температур. 1975. Т. 13, № 5. С. 984 988.
26. Галин Н. М., Кириллов Л. П. Тепломассообмен (в ядерной энергетике): Учеб. пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987. 376 с.
27. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решения уравнения переноса// ДАН СССР. 1969. Т. 187, № 5. С. 18−21.2 В. Гермогенова Т. А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса// Жури, вычисл, матем. и матем. физики. 1969. Т. 9, № 3. С. 605−625.
28. Гермогенова Т. А. Численные методы решения кинетического уравнения в задачах физики защиты от излучений реактора//' Атомная энергия. 1975. Т. 38, № 6. С. 401−405.
29. Гермогенова Т. А, Оценки решений краевых задач для уравнения переноса// Препринт ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша, № 139. 1982. С. 28.
30. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука. 1986. 272 с.
31. Гидродинамика и теплообмен в атомных энергетических установках (ос/ новы расчета)/ В. И. Субботин, М. X. Ибрагимов, П. А. Ушаков и др. М.: Атомиздат, 1975. 408 с.
32. Горбунов В. П., Шихов С. Б. Нелинейная динамика ядерных реакторов. М.: Атомиздаг, 1975. 116 с.
33. Горяченко В. Д. Методы исследования устойчивости ядерных реакторов. М.: Атомиздаг, 1977. 296 с.
34. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г, Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов// Успехи матем. hbvk 1957. Т. 12, № 2. С. 43−118,.
35. Груйнч Л. X." Мартынюк А. А., Риббенс-Павелла М, Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях: Киев: Науко-ва думка, 1984. 308 с.
36. Гусев Н. Г., Дмитриев П. П, Радиоактивные цепочки: Справочник. М.-. Атом-издат, 1978. 88 с.
37. Дадецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М: Наука. 1970. 536 с.
38. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория: Пер. с англ./ Под ред. А. Г. Костюченко. М/. Изд-во иностр. лит., 1962. 895 с.
39. Дегаяьцев Ю. Г., Пономарев-Степной Н. Н., Кузнецов В. Ф. Поведение высокотемпературного ядерного топлива при облучении. М.: Энергоатомиздат, 1987. 208 с.
40. Делайе Дж., Гио М., Рнтмюллер М. Теплообмен и гидродинамика двухфазных потоков в атомной и тепловой энергетике: Пер. с англ,/ Под ред. П. Л. Кириллова. М: Энергоатомиздат. 1984. 424 с.
41. Дементьев Б. А. Кинетика и регулирование ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1986. 272 с.
42. Дементьев Б. А. Ядерные энергетические реакторы: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1990. 352 с.
43. Дьедонне Ж. Основы современного анализа: Пер. с англ./ М: Мир, 1964. 430 с.
44. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.464-с.
45. Емельянов И. Я., Ефанов А. И., Константинов Л. В. Научно-технические основы управления ядерными реакторами. М.: Энергоатомиздат, 1981. 360 с.
46. Емельянов И. Я., Гаврилов П. А., Селиверстов Б. Н. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975. 280 с.
47. Ершов Ю. И., Шихов С. Б. Математическиеосновы теории переноса: В 2-х т. М.: Энергоатомиздат. Т. 1. 1985. 232 с.
48. Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б. Кинетика цепного распада урана// Журн. эксперим. и теорет. физики. 1940. Т. 10, № 5. С. 477−482.
49. Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.241с.
50. Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ./ М.: Мир, 1967. 624 с.
51. Истомин И. В., Юрьев В. С. К вопросу о влиянии изгибов твэлов на устойчивость энергетического реактора// Тр. физико-энергетического института. М.: Атомиздат, 1974. С. 389−395.
52. Кадомцев Б. Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии// ДАН СССР. 1957. Т. 113, № 3. С. 365−369.
53. Казимиров В. И., Плотников В. И., Старобинец И, М. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума// Изв. АН СССР. Сер: ма-тем. 1985. Т. 49,№ 1. С. 141−159.
54. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем: Пер. с англ./ Под ред. Я. 3. Цыпкина. М.: Мир, 1971. 398 с.
55. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.
56. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: Пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.
57. Като Т. Теория возмущений линейных операторов: Пер. с англ./ Под ред. В. П. Маслова. М.: Мир, 1972. 740 с.
58. Кога Т.
Введение
в кинетическую теорию стохастических процессов в газах: Пер. с англ./ Под ред. В. В. Струминского. М.: Наука, 1983. 272 с.
59. Кокорев Л. С., Харитонов В. В. Теплогидравлические расчеты и оптимизация ядерных энергетических установок. М.: Энергоатомиздат, 1986. 248 с.
60. Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы// ДАН СССР. 1947. Т. 56, № 1. С. 7−10.
61. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
62. Крамеров А. Я., Шевелев Я. В. Инженерные расчеты ядерных реакторов. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1984. 736 с.
63. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332с.
64. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. Главы нелинейного анализа. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.
65. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.
66. Красносельский М. А., Крейн С. Г., Соболевский П. Е. О дифференциальных уравнениях с неограниченными операторами в банаховых пространствах// ДАН СССР. 1956. Т. III, № 1. С. 19−22.
67. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
68. Крейн С. Г., Хазаи М. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве// Математический анализ. Т. 21 (Итоги науки и техники). М.: изд. ВИНИТИ СССР, 1983. С. 130- 264.
69. Кривохатский А. С., Романов Ю. Ф. Получение трансурановых и актиноидных элементов при нейтронном облучении/ Под ред. В. М. Вдовенко. М.: Атом-издат, 1970. 320 с.
70. Крутлов А. К., Рудик А. П. Реакторное производство радиоактивных нуклидов. М.: Энергоатомиздат, 1985. С. 256.
71. Крянев А. В., Шихов С. Б. Существование и свойства стационарных режимов в ядерных реакторах с учетом отравления ксеноном// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Динамика ядерных энергетических установок. 1976. Вып. 2(10). С. 51−56.
72. Крянев А. В., Шихов. С. Б. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат. 1983. 280 с.
73. Крянев А. В.'Существование, единственность и устойчивость стационарных температурно-нейтронных распределений в размножающих средах// Препринт № 124 ОВМ АН СССР. М., 1986. 16 с.
74. Кузнецов Ю. Н. Теплообмен в проблеме безопасности ядерных реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1989. 296 с.
75. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
76. Ладыженская О. А., Ривкинд В. Я., Уральцева Н. Н. О классической разрешимости задач дифракции// Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. 1966. Т. 92. С. 116−146.
77. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 540 с.
78. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. М.: Наука, 1985. 352 с.
79. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач: Пер. с франц./ Под ред. О. А. Олейник. М.: Мир, 1972. 587 с.
80. Лионе Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными: Пер. с франц./ Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.:Мир, 1972. 414 с.
81. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с франц./ Под ред. В. В. Грушина. М.: Мир, 1971. 367 с.
82. Лихачев Ю. И., Пупко В. Я. Прочность тепловыделяющих элементов ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1975. 278 с.
83. Ломов С. А.
Введение
в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981. 400 с.
84. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука, 1975.480 с-.
85. Лыков А. В., Алексашенко В. А., Алексашенко А. А. Сопряженные задачи конвективного теплообмена. Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1971. 346 с.
86. Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция: Пер. с англ./ М.: Атомиздат, 1972.
87. Мазья В. Г., Соболевский П. Е. О производящих операторах полугрупп// Успехи матем. наук. 1962. Т. 17, № 6 (108). С. 151−154.
88. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения: Пер. с англ./ Под ред. Н. Н. Баутина и Е. А. Леонтович. М.: Мир, 1980. 368 с.
89. Марчук Г. И. Применение сопряженных уравнений к решению задач математической физики// Успехи механики. 1981. Т. 4, № 1. С. 3−27.
90. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 535 с.
91. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971.456 с.
92. Марчук Г. И., Орлов В. В. К теории сопряженных функций// Нейтронная физика/ Под ред. П. А. Крупчицкого. М.: Госатомиздат, 1961. С. 30−45.
93. Масленников М. В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием// Тр.? МИАН СССР им. В. А. Стеклова. 1968. Т. 97. С. 3−133. ' Г ¦
94. Матросов В. М., Анапольский Л. Ш., Васильев С. Н. Метод сравнения в ма- -тематической теории систем/ Под ред. В. М. Матросова. Новосибирск: Наука, 1980.481 с.
95. Месаровт М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы: Пер. с англ./ Под ред. С. В. Емельянова. М.: Мир, 1978. 311 с.
96. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости/ Под ред. А. А. Воронова, В. М. Матросова. М.: Наука, 1987. 312 с.
97. Мйзохата С, Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504 с.
98. Митенков Ф. М. Актуальные задачи динамики энергетических реакторов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных реакторов. 1981. Вып. 6 (19). С. 3 -5.
99. Митенков Ф. М., Чирков В. А. Физические основы управления ЯЭУ: Учеб. пособие. Горький: Горьковский политехнический институт им. А. А. Жданова, 1979. 93 с.
100. Митенков Ф. М&bdquoМоторов Б. И. Механизмы неустойчивых процессов в тепловой и ядерной энергетике. М.: Энергоиздат, 1981. 88 с.
101. Мищенко Е. €>., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М: Наука, 1975. 248 с.
102. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных, сред. М.: Наука, 1978, 336 с. ,.
103. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложен?". М.: Наука, 1969. 480 с.
104. Новиков В. М., Шихов С. Б. Теория параметрического воздействия на перенос нейтронов/'М.:.Энергоиздат, 1982. 192 с.
105. Обен Ж. П., Эклккд И. Прикладной нелинейный анализ: ileo, с англ./ М.: Мир, 1988. 512 с.
106. Овчинников 3. ©., Смирнов Л. В. Динамические свойства трубопровода с движущейся жидкостью// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика и техника ядерных" реакторов. 1981. Вып. 6(19). С. 6−16. *.
107. Опойцев В, И. Гетерогенные и комбинированно-вогнутые операторы// Сибирский матем. журн. 1975. Т. 16, № 4. С. 781−792.
108. Опойцев В. И., Хуродзе Т. А, Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Изд. Тбилисского ун-та. 1984, 246 с. 11! Петухов Б. С., Геник Л. Г., Ковалев С. A. Теплообмен в ядерных энергетических установках. М.: Атомиздат, 1974, 408 с.
109. Пинегин А. А., Шихов С Б, Устойчивость реактора по отношению к возникновению ксевоновых колебаний// Физика ядерных реакторов. М.: Атомиздат. 1978. Вып. 7. С. 74−83.
110. Плдодоский В. И., Погорелов S, И. Автоматическое управление и защита теплоэнергетических установок АЗС. М.: Энергоатомиздат, 1983, 292 с.
111. Пономарев-Степной Н. Е, Глушков Ё. С. Профилирование реактора. М.: Знергоатомиздат, 1988. 240 с.
112. Понтрягин Л. С, Болтянский В. Г, Гамкрелкдзе Р. В., Мищенко Е. ф. Математическая теория оптимальных, процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
113. Постников И. С., Сабаев Е. Ф. Хеевоновая неустойчивость реакторов в" тепловых нейтронах и методы стабилизации распределения нейтронного потока// Изв. АН БССР. Сер. физюсо-техн. наук. 1967. № 3. С. 46−52.
114. Пупко В. Я., Зродников А. В., Лихачев Ю. И. Метод сопряженных функций в инженерно-физических исследованиях. М.: Энергоатомиздат, 4*984. 232 с.
115. Рид М, Саймон Б. Методы современной математической физики. Т, 1. Функциональный анализ: Пер. с англ./ Под ред. М. К. Поливанова. М.: Мир, 1411. 357 с.
116. Рудик А. П. Оптимизация физических характеристик ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1979. 280 с.
117. Руднк А. П. Ксеноновые переходные процессы в ядерных реакторах. М.: Атомиздат, 1974. 72 с.
118. Рудик А. П. Физические остовы ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1979.120 с.
119. Рудки У. Функциональный анализ: Пер. с англ./ Под ред. Е. А. Горина. М.: Мир, 1975. 443 с.
120. Сабаев Е. Ф. Системы сравненю для нелинейных дифференциальных уравнений и их приложения в динамике реакторов. М.: Атомиздат, 1980. 192 с.
121. Сабаев Е. Ф. Динамика реакторов с положительной обратной связью по реактивности// Атомная энергия. 1980. Т. 49, № 3. С. 193 -195.
122. Самарский А. А., Галактионов 3. А., Курдюмов С П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.
123. Саичес-Паяенсш Э. Неоднородные среды и теория колебаний: Пер. с англ./ Под ред. О. А. Олейник. М.: Мир, 1984. 472 с.
124. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М: Наука, 1971. 436 с.
125. Слесаре" И. С., Сироткин А. М. Вариационно-разностные схемы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 3 04 с.
126. Смирнов Л. В., Овчинников В. Ф, Колебания элементов конструкций Я ЗУ, вызванные потоком теплоносителя// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Динамика ядерных энергетических установок. 1975. Ч. 1. Вып. 2(8). С. 3−22. 1975, Ч. 2. Вып. 1 (9). С. 3−23.
127. Соболев С Л.
Введение
в теорию кубзтурных. формул. М.: Наука, 1974. 808 с.
128. Соло мяк М. 3. Оценка нормы резольвенты эллиптического оператора в пространствах Lp? Успехи матем. наук. 1960. Т. 15, № 6 (96). С. 141−148.
129. Структура турбулентного потока и механизм теплообмена в каналах/ Ч. X. Ибрагимов, В. И. Субботин, В. П. Бобков и др. М: Атомиздат, 1978. 2−96 с.
130. Струминский В. В. Аэродинамика и молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1985. 240 с.
131. Струминский В. В. К кинетической теории газов и дисперсных сред// ПММ. 1986. Т/50, № 6. С. 911−917.
132. Стумбур 3. А. Применение теории возмущений в физике ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1976. 128 с.
133. Стыркковмя М. А., Полонский В. С, Цнклаури Г. В. Тепломассообмен и гидродинамика в двухфазных потоках атомных электрических станций. М.: Наука, 1982. 370 с.
134. Султавгазщ У. М. Дифференциальные свойства решений смешанной задачи {Сотая для нестационарного кинетического уравнения. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1971.
135. Султангазии У. М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат з задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата: Наука, 1979. 268 с.
136. Теистов С. Г. Уравнения гидродинамики двухфазных жидкостей// ДАН СССР. 1945. Т. 50. С. 99−102.
137. Teneros С. Г. Вопросы гидродинамики двухфазных смесей 1. Уравнения гидродинамики и энергии// Вестник МГУ. Сер. матем. механика. 1958. № 2. С. 15−27.
138. Тихонов А. H. О зависимости решения дифференциальных уравнений от малого параметра// Матем. сборник. 1948. Т. 22(64), № 2. С. 193−204. У.
139. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных// Матем. сборник. 1952. Т. 31 (73), № 5. С., 575— 586. '.
140. Тихонов A. IL, Васильева А. Б., Свешников A. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 232 с.
141. Уолтер А., Рейнольде А. Реакторы-размножители на быстрых нейтронах: Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1986. 624 с.
142. Уонэм У. М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход: Пер. с англ./ Под ред. С. В. Емельянова. М.: Наука, 1980. 376 с.
143. Усачев Л. Н. Уравнение для ценности нейтронов, кинетика реактора и теория возмущений. Реакторостроение и теория реакторов. М.: Гостехтеор-издат, 1955. С. 251−259.
144. Федак И. И., Колесов В. С, Михайлов В. И. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985. 280 с.
145. Федореико Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.488 с.
146. Филатов А. Н., Шарова Л. В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 152 с.
147. Филмпчук Е. В., Потапенко П. Т., Постников В. В. Управление нейтронным полем ядерного реактора, М.: Энергоиздат, 1981. 280 с.
148. Формальскнй А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974. 368 с.
149. Функциональный анализ (Сер. Справочная математическая библиотека). — 2-е изд./ Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972. 544 с.
150. Хаммел Г., Окрент Д. Коэффициенты реактивности в больших энергетиче- > ских реакторах на быстрых нейтронах: Пер. с англ. М.: Атомиздат, 1975. 304 с.
151. Харркс Т. Теория ветвящихся случайных процессов. Пер. с англ./ М.: Мир, 1966.355 с.
152. Харман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Пер. с англ./ Под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир, 1970. 720 с.
153. Хеирт Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Л. Далецкого. М.: Мир, 1985. 376 с.
154. Хиляе Э., Филлнпс Р. Функциональный анализ и полугруппы:1 Пер. с англ./ Под ред. В. М. Алексеева и С. В. Фомина. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 829 с. 160. xjotkok а. Устойчивость ядерных реакторов: Пер. с англ./ м.: Госатом-издат, 1963. 68 с.
155. Хромов В. В., Кузьмин А. М., Орлов В. В. Метод последовательной линеаризации в задачах оптимизации реакторов на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1978. 88 с.
156. Хэррис К., Валенка Ж. Устойчивость динамических систем с обратной связью: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 360 с.
157. Чанг К., Хаузе Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения: Пер. с англ./ Под ред. H. X. Розова. М.: Мир, 1988. 247 с.
158. Шабалии Е. П. Импульсные реакторы на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1976. 248 с.
159. Шнхов С. Б. Некоторые вопросы математической теории критического состояния реактора// Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 1967. Т. 7, № 1. С. 113−127.
160. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973. 376 с.
161. Шихов С. Б., Шкурпелов А. А. Анализ нестационарного уравнения переноса нейтронов с размножением// Вычислительные методы в теории переноса. М.: Атомиздат, 1969. С. 218.
162. Шихов С. Б., Шкурпелов А. А. Анализ нестационарного кинетического уравнения переноса нейтронов в замедляющих и размножающих средах// Теоретические и экспериментальные проблемы нестационарного переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972. С. 97−165.
163. Шмелев А. Н., Мурогов В. М., Юрова Л. Н. Некоторые вопросы физики воспроизводства горючего в реакторах-размножителях на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1979. 80 с.
164. Шмульян Ю. Л. Вполне непрерывные возмущения операторов// ДАН СССР. 1955. Т. 101, № 1.С. 35−38.
165. Шутяев В. П. Некоторые свойства гладкости решения уравнения переноса по энергетической переменной// Численные методы и статистическое моделирование в теории переноса. Новосибирск, 1980. С. 81−88.
166. Энгелькииг Р. Общая топология: Пер. с англ./ М.: Мир, 1986. 752 с.
167. Якубов С. Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения// Тр. Моск. матем. об-ва. 1970. Т. 23. С. 37−60. (М.: изд. МГУ).
168. Якубов С. Я. Равномерная корректность задачи Коши для эволюционных уравнений и приложения// Функ. анализ и его приложения. 1970. Т. 4, № 3. С. 86- 94.
169. Akcasu Z., Lellouche G. S., Shotkin L. M. Mathematical Methods in Nuclear Reactor Dynamics: Academic Press, 1971.
170. Amann H. Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems// Lecture Notes in Math. 1976. V. 543. P. 1−55.
171. Ardito A., Riccardi P. An apriori bound for the Cauchy problem in Banach space// Atti Accad. Naz. Lincei. CI. Sei. fis., mat. e. natur., 1974. V. 56, N 4. P. 473 481.
172. Arendt W. Generators of positive semigroups// Lecture Notes in Math. 1984. V. 1076.P. 1−15.
173. Bali J. M. Finite time blow-up in nonlinear problems//Nonlinear Evolution Equations: Academic Press, 1978. P. 189−205.
174. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces: Noordhoff Int. Publ., 1976.
175. Batty C. J. K., Robinson D. W. Positive one-parameter semigroups on ordered Banach spaces// Acta Applicandae Math. 1984. V. 2, N 3−4. P. 221−296.
176. Bell G. I. On the stochastic theory of neutron transport// Nucl. Sei. and Eng. 1965. V. 21, N2. P. 390−401.
177. Belleni-Morante A. Un problema non lineare di trasporto di neutroni// Ann. Mat. Puraed Appl. 1969. V. 82. P. 97−114.
178. Belleni-Morante A. Trasporto di neutroni con sezioni d’urto dipendenti dalla temperatura// Ann. Mat. Рига ed Appl. 1976. V: 108. P. 85−95.
179. Belleni-Morante A. Neutron transport with temperature feedback// Nucl. Sei. and Eng. 1976. V. 59. N 1. P. 56−58- N 3. P. 282.
180. Benedek A., Panzone R. The spaces Lp, with mixed norm//Duke Math. J. 1961. V. 28, N 3. P. 301−324.
181. Bihari I. A generalization of a lemma of Bellman and its application to uniqueness problems of differential equations// Acta Math. Acad. Sei. Hung. 1956. V. 7, N1. P. 81−94.
182. Boltzmann L. Weitere Studien uber das Warmegleichgewicht unter Gasmole-, kulen// Wein. Akad. Sitzungsber. 1872. Bd 66. S. 275−370 (Русский перевод см. в 13., с. 125−189).
183. Boltzmann L. Vorlesungen uber Gastheorie: Leipzing, J. A. Barth, Bd 1−2, 1895−1898 (Русский пер. см. в 12.).h.
184. Boons' I. A. Constitutive Equations for Two-Phase Flows// Two-phase flows and heat transfer with applications to Nuclear Reactor Design Problems: The Kingsport Press, Inc., 1978, P. 157−178. '.
185. Brauer F. Global behaviour of solutions of ordinary differential equations// J. Math. Anal. Appl. 1961. V. 2, N 1. P. 145−158.
186. Brauer F., Sternberg 8, Local uniqueness, existence in the large, and the convergence of successive approximations// Amer. J. Math. 1958. V. 80, N 2. P. 421−430. Errata, 1959. V. 81, N3. P. 797.
187. BrowderF. E. On the spectral theory of elliptic differential operators. !./,/ Math. Ann. 1961. Bd 142, N 1. P. 22−130.
188. Biowdet F, E. Nonlinear eauations of evolution and nonlinear accretive operators In Banach spaces// Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73, N 6. P. 867−874.
189. Busenbeig S. N. Decay characteristics for nonlinear differential equations ffi Banach spaces// J. Math. Anal, Appi. 1974. V. 47, N 1. P. 210−221. .
190. Busoni G. A stationary nonlinear transport problem//, Transport Theory and Statistical Physics. 1979. V. 8. P. 147−162.
191. Busoni G., Frosali G. A temoerature-dependent nonlinear neutron transport problem// J. Math. Anal. Appl. 1979. V.~72, N 2. P. 703−715.
192. Calvert B. D. Semigroups in an ordered Banach space// .?. Math. Soc. Japan. 1971. V. 23, N 2. P. 3i 1−319.
193. Coffman C. V., Baffin R. I., Mizel V. J. Nonuniform!)' elliptic equations: positivity of weak solutions// Bull. Amer. Math. Soc. 5 973. V. 79, N 2. p. 496−499.
194. Conti R. Sulla prolungabilita' delle soluzione di un sistema di equazioni dif-ferenziali ordinarie// Boll. Unione Mat. italiana. 1956. V. 2, N 4. P, 510−514,.
195. Cook J. Mathematical foundations// Computing Methods in Reactor Physics: Gordon and Breach, 1968. P. 542−579.
196. Cumo M. Elementi di termotecnica del reattore: Roma,' CNBN, 197.1. 437 p.).
197. Dachusn B., Guantien Z. The optimal control of the power distribution of the nuclear reactor// Contr. Scl and TechnoL Proc. 8th World Congr. IF AC. 1981. Kvoto. V. 1.1982. P. 225−230.
198. DaviesE. B. pne-parameter semigroups. Academic Press, 1980. 226 pp.
199. Detailing K. Ordinary Differentia! Equations in Banach Scsces// lecture Notes., in Math. V. 596. P. 1−136.
200. Delhaye J.-M, Sur ies eauations generaies des systemes dlohasiques// C. R Acad, Sci. Paris. 1968. Y. 267, N 18. Ser. AP. 660−663.
201. Dexing F, Guangtian Z. A control problem for reactor theory// Acta Sci. Math. 1984. V. 4, N 3. P. 351−363.
202. Dieudonne J, A. The index of operators in Banach spaces/'/ Integral Equations and operator theory. 1985. V. 8, N 5. P. 580−589.
203. Dougiis A. Pronerties of weak solutions of generalized radial transport sanations// J. Differential Equations. 1965. V. 1, N 2. P. 240−272.
204. Edwards D. A. On translates of ?." -functions// J. London. Math. Soc. 1961, V. 36, pt, 4, N 144. P. 431−432.
205. Feller W. Semi-groups of transformations in general weak topologies/7 Ann. of Math. (2). 1953. V. 57. P. 287−308.
206. Feller W. The parabolic differential equations and associated semigroups of transformations/'/ Ann. of Math. (2). 1952. V. 55. P. 468−519.
207. Posas C., Gussi G", Poenaro V. Une methode diiecte da ic f aux derivecs partielles hyoerboitques, quasilineaires en deux yari j iten. 1956. Bd*15, N 2. S. 89−116.
208. Foias C., Gussi G., Poenaru V. Sur les solutions genera! «> c s tions lineaires et quasilineaires dans fespace de Banach// RevRPR). 1958. V. 3, N 2. P. 283−304.
209. Ginoux .!. J., editor. Two-phase flows and heat Irannuclear reactor design problems. Hemisphere Publ. Corooratior % «>1.c. 1978. ' ' J.
210. Greenspan E. New developments in sensitivity theory// Advances in Nuclear Science and Technology. Vol. 14. New-York-London: Plenum Press, 1982. P. 313— 361.
211. Hartman P. The existence and stability of stationary points// Duke Math. J. 1966. V. 33, N2. P. 281−290.
212. Ishii M. Thermo-fluid Dynamic Theory of Two-Phase Flow. Paris: Eyrolles, 1975• du.
213. Ishii S. Linear evolution equations -— + Aft) u = 0- a case where A (t) is strongdtly uniform-measurable// J. Math. Soc. Japan. 1982. V. 34, N 3. P. 413−423.
214. Istratescu V. I. Fixed point theory: An introduction. Dordrecht: Reidel, 1981. P. 467.
215. Jorgens K. An asymptotic expansion in the theory of neutron transport// Comm. Pure and Appl. Math. 1958. V. 2, N 1. P. 219−242.
216. Kaper H. G. The initial-value transport problem for monoenergetic neutrons in an infinite slab with delayed neutron production// J. Math. Anal. Appl. 1967. V. 19, N 1. P. 207−230.
217. Kaper H. G., Kellogg R. B. Continuity and differentiability properties of the solution of the linear transport equation// S1AM J Appl. Math. 1977. V. 32, N 1. P. 201 214.
218. Kaper H. G" Lekkerkerker C. G., Hejtmanek J. Spectral Methods in Linear Transport Theory. Basel-Boston-Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1982. S. 345.
219. Kastenberg W. E. Stability analysis of nonlinear space dependent reactor kinetics// Advances in Nuclear Science and Technology. V. 5. New-York-London: Academic Press. 1969. P. 51−93.
220. Kato T. Linear evolution equations of «hyperbolic» type// 3. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Ser.IA. 1970. Y. 17, N 1−2. P. 241−258.
221. Kato T, Linear evolution equations of «hyperbolic» type. Il// J. Math. Soc. Japan. 1973. V. 25, N 4. P. 648−666.
222. Kato T. Quasi—linear equations of evolution, with applications to partial differential equations// Lecture Notes in Math. 1975. V. 448. P. 25−70.
223. Kato T. Singular perturbation and semigroup theory// Lecture Notes in Math. 1976. V. 565. P. 104−112.
224. Kato T. Quasilinear equations of evolution in nonreflexive Banach. spaces// Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1982. V. 5. P. 61−76.
225. Kendall D. G. Sur quelques criteres classiques de compacite dans certains espaces fonctionnels, et la theorie des semi-groups de transformations// J. de Math. Pures et Appl. 1959. V. 38, N 3. P. 235−244.
226. Knowles i. B. Principles of nuclear power station control// J. Brit. Nucl. Energy Soc. 1976. V. 15, N 3.P. 225−236.
227. Ruiner A., John O., Kucik S. Function Spaces. Prague: Acaderoia, 1977. P. 454.
228. Lakshmikantham V. Differential equations ill Banach spaces and extension of Lyapunov’s method// Proc. Cambridge Phil. Soc. 1963. V. 59, N 3. P. 373−381.
229. Lakshmikantham V., Leela S. Cone-valued Lyapunov functions// Non-linear Analysis: Theory, Methods and Applications. 1977. V. 1, N 3. P. 215−222.
230. Lakshmikantham V., Leela S. Differential and Integral inequalities: Theory and Applications. V. 1,2. New-York-London: Academic Press, 1969.
231. Lazarevie' B., Obrartovi? D. Cuk N. Modal approach to the optimal control system synthesis of a nuclear reactor// Int. J. Control. 1972. V. 16, N 5. P. 817−839.
232. Lehner J., Wing G. M. Solution of the linearized Boitzmaim equation for the slab geometry//Duke Math. J. 1956. V. 23, N 1. P. 125−142.
233. Le wins J. Linear stochastic neutron transport theory// Proc. Royal Soc. London. 1978. V. A362. P. 537−558.
234. Londen S.-O. Stability analysis of nonlinear point reactor kinetics// Advances in Nuclear Science and Technology. V. 6. New-York-London: Academic Press. 1972. P. 45−63.
235. Lumer G., Phillips R. S. Dissipative operators in a Banach space// Pacific J. Math. 1961. V. II. P. 679−698.
236. Mika J. The effect of delayed neutrons on the spectrum of the transport operator// Nukleonik. 1967. V. 9, N 1. P. 46−48.
237. Mingzhu Y., Dcxing F., Guangtian Z. The application of the perturbation method in nuclear reactor// Transport Theory and Statistical Phys. 1986. V. 15, N 4. P. 503−527.
238. Mohler R. R., Kolodziej W. 3. An Overview of bilinear systems theory and ap-plications// IEEE Trans. Syst. Man and Cybern. 1980. V. 10, N 10. P. 683−688.
239. Mohler R. R., Shen C. N. Optimal Control of Nuclear Reactors. New-York-London: Academic Press. 1970. P. 326.
240. Muller M. Uber das Fundamentaltheorem in der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen// Math. Z. 1927. Bd 26, N 4. S. 619−645.
241. Munes A., Micheletti A. M. Un estensione della teoria variazionale classica degli autovalori pcr operatori ellitice del secondo ordine// Boll. Unione mat. Ital. 1973. V. 7, N2.P. 285−301.
242. Nagasawa M, Multiplicative excessive measures and duality between equations of Boltzmann and of Branching processes// Lecture Notes in Math. 1975. Y. 465. P. 471 485.
243. Nagy J. Lyapunov’s direct method in abstract local semi-flows// Comment. Math. Univ. Carolinae. 1967. V. 8, N 2. P. 257−266.
244. Nelkin M. Asymptotic solutions of the transport equation for thermal neutrons// Phisica. 1963. V. 29, N 4. P. 261−273.
245. Noble L. D., Akcasu Z. A. Boundedness and finite escape time in reactor with arbitrary liiiear feedback// Trans. Amer. Nucl. Soc. 1964. V. 7, N 2. P. 261.
246. Pal L. On the theory of stochastic process in nuclear reactor// Nuovo Cim. Suppl. 1958. V. 7. P. 25−42.
247. Pao C. V. On nonlinear neutron transport equations// J. Math. Anal. Appi. 1973. V. 42, N 3. P. 578−594.
248. Pao C. V. On nonlinear time-dependent multi-velocity transport equations// J. Math. Anal. Appl. 1973. V. 44, N 3. P. 729−744.
249. Pao C. V. Positive solutions of a time and energy dependent neutron transport problems// J. Math. Phys. 1975. V. 16, N 10. P. 2166−2171.
250. Pao C. V. On the blowing up behavior of solutions for a parabolic boundary value problem// Applicable Anal. 1980. V. 10, N 1. P. 5−13.
251. Pao C. V. Nonexistence of global solutions for an integrodifferential system in reactor dynamics// SIAM J. Math. Anal. 1980. V. 2, N 3. P. 559−564.
252. Pazy A. A class of semilinear equations of evolution II Israel J. Math. 1975. V. 20, N1. P. 23−36.
253. Phillips R. S. The adjoint semi-group// Pacific J. Math. 1955. V. 5, N2. P. 269- 283.
254. Phillips R. S. Semi—groups of positive contraction operators// Czech. Math. J. 1962. Y. 12(87), N 2. P. 294−313.
255. Rauch J. Stability of motion for semilinear equations// Boundary Value Problems for linearEvolution Partial Differential Equations. Liege, 1976. P. 319−349.
256. Ribaric M., Vidav I. Analytic properties of the inverse A-1 (z) of an analytic linear operator valued function A (z)//'Arch. Rat. Mech. Anal. 1969. V. 32, N 4. P. 298 310.
257. Robinson D. W. On positive semigroups// Publ. RIMS Kyoto Univ. 1984. V. 20, N1. P. 213−224.
258. Scharf G. Functional-analytic discussion of the linearized Boltzmann equation// Helvetica Physica Acta. 1967. V. 40, N 7. P. 929−945.
259. Stakgold I., Payne L. E. Nonlinear problems in nuclear reactor analysis// Lecture Notes in Math. 1973. V. 322. P. 298−307.
260. Stark K. Modal control of a nuclear power reactor// Automatica. 1976. У. 12, N6. P. 613−618.
261. Stewart H. B. Spectral theory of heterogeneous diffusion systems// J. Math. Anal. Appl. 1976. V. 54, N 1. P. 59−78.
262. Tanabe H. Equations of Evolution. LondonPitman, 1979. P. 257.
263. Tarski A. A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications// Pacific J. Math. 1955. V. 5, N 2. P. 285−309.
264. Tzanos C. P. Enrichment zoning and control rod programming for reactivity and power shape control// Nucl. Sci. Technol. 1978. V. 41, N 2. P. 195−206.
265. Vidav I. Existence and uniqueness of nonnegative eigenfunctions of the Boltzmann operatorII J. Math. Anal. Appl. 1968. V. 22, N 1. P. 144−155.
266. Walter W. Differential and Integral Inequalities. Berlin-Heidelberg—New-York. Springer-Verlag, 1970. P. 348.
267. Walter W. Ordinary differential inequalities in ordered Banach spaces// J. Differential Equations. 1971. V. 9, N 2. P. 253−261.
268. Wambsganss M. W., Jr. Vibration of reactor core components// Reactor and Fuel-Processing Technology. 1967. V. 10, N 3. P. 208−219.
269. Wazewski T. Systemes des equations et des inegalites differentielles ordinaires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications// Ann. Soc. Polon. Math. 1950. V. 23. P. 112−166.
270. Weaver L. E. Reactor dynamics and control. New-York: Elsevier, 1968. P. 304.
271. Wiberg D. M. Optimal control of nuclear reactor systems// Advances in Control systems. V. 5. New-York: Academic Press. 1967. P. 301−388.
272. Williams M. M. R. Random processes in Nuclear Reactors. Oxford. Pergamon Press, 1974. P. 243.
273. Wintner A. The non-local existence problem of ordinary differential equations// Amer. J. Math. 1945. V. 67, N 2. P. 277−284.
274. Кузнецов Ю. А. Оптимизация деформируемых систем при наличии ограничений на собственные частоты// Оптимизация конструкций при динамических нагрузках. Тарту: Изд. ТГУ, 1979. С. 46−48.
275. Кузнецов Ю. А. Задача оптимизации физических характеристик ядерного реактора// ДАН СССР. 1981. Т. 260, № 3. С. 583−587.
276. Кузнецов Ю. А. О необходимых условиях оптимальности в задачах управления системами, описываемыми собственными функциями эллиптического оператора// Сибирский матем. журн. 1982. Т. 23, № 3. С. 118−135.
277. Кузнецов Ю. А. Необходимые условия оптимальности в задачах оптимизации физических характеристик ядерных реакторов. Горький. 1983. Деп. в ВИНИТИ 15.07.83, № 4002−83. 80 с.
278. Кузнецов Ю. А. О некоторых задачах качественной теории нелинейных интегродифференциальных систем уравнений кинетики реакторов// Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. M.: ОВМ АН СССР. 1983. С. 70−81.
279. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Корректность постановки смешанной задачи для нестационарного уравнения переноса// Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, № 9. С. 1639−1648.
280. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Интегродифференциальная система уравнений кинетики реактора// Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, № 8. С. 1491−1503.
281. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Математические задачи кинетики реак-. I тора// ДАН СССР. 1974. Т. 218, № 3. С. 543−546.
282. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Математические задачи кинетики реактора// Вопросы' атомной науки и техники. Сер. Динамика ядерных энергетических установок. 1974. Вып. 2 (6). С. 43−55.
283. Кузнецов К). А., Морозов С. Ф. О необходимых условиях оптимальности в задачах управления процессами переноса// Прикладная матем. и механика. 1974. Т. 38, № 2. С. 290−300.
284. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Некоторые оптимальные задачи кинетию' реакторов// ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 4. С. 791−794.
285. Кузнецов Ю. А, Морозов С. Ф. Слабые решения системы уравнений кинетики реакторов// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, № 6. С. 10 611 072. •.
286. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Некоторые оптимальные задачи кинетики реакторов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41, № 5. С. 1170−1196.
287. Кузнецов 10. А., Морозов С. ®. Задачи оптимизации переходных процессов в динамике ядерных реакторов// Оптимизация динамических систем. Минск: Изд-во БГУ. 1978. С. 82−86.
288. Кузнецов Ю. А., Морозов С. Ф. Применение слабых решений в задачах оптимального управления ядерными реакторами// Дифференциальные уравнения. 1979. Т. 15, № 5. С. 942−943.
289. Кузнецов Ю. А., Сабаев Е. Ф. Устойчивость стационарного решения нелинейных уравнений кинетики реактора// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Динамика ядерных энергетических установок. 1975. Вып. 2(8). С. 40−53.
290. Кузнецов Ю. А., Сабаев Е. Ф. Интегральная модель количества движения// Применение метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1975. С. 161−166. У.
291. Кузнецов И). А., Сабаев Е. Ф. Интегральная модель количества движения для одномерных двухфазных потоков// Теплофизика высоких температур. 1976. Т. 14, № 2. С. 321−327.
292. Кузнецов Ю. А., Сабаев Е. Ф. Оценки решений в фазовом пространстве и устойчивость инвариантных множеств// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 11, № 2. С. 212−222.
293. Кузнецов Ю. А., Сабаев Е. Ф. Вычисление ляпуновских величин для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве в некоторых критических случаях// ДАН СССР. 1978. Т. 240, № 4. С. 778−781.
294. Кузнецов 10. А., Сабаев Е. Ф. Об устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения в банаховом пространстве в критическом случае// Динамика систем. Устойчивость динамических систем и процессов управления. Горький: Изд. ГГУ. 1979. С. 38−58.
295. Кузнецов Ю. А., Шашков В. В. Об одной нелинейной системе уравнений теории ядерных реакторов// Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Изд. ГГУ. 1979. Вып. 3. С. 163−169.
296. Кузнецов 10. А., Шашков В. В. Об одной нелинейной интегродифферен-циальной системе уравнений кинетики реакторов// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16, № 12. С. 2250−2266.
297. Кузнецов Ю. А., Шашков В. В. Об ограниченности области притяжения стационарного состояния регулируемого ядерного реактора с положительной температурной обратной связью// Препринт ОВМ АН СССР № 31. М., 1982. 43 с.
298. Кузнецов Ю. А., Шашков В. В. О неограниченных решениях нелинейной системы уравнений кинетики ядерных реакторов// ДАН СССР. 1982. Т. 265, № 3. С. 587−592.
299. Кузнецов Ю. А., Шашков В. В. О нелокальной продолжимости решений нелинейных интегро дифференциальных систем уравнений кинетики реакторов// Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 10, С. 1769−1782.
300. Некоторые результаты теории полугрупп линейных операторов g в банаховых пространствах .
301. Вопросы теории линейных эволюционных уравнений в банаховых пространствах.. ^.
302. Элементы нелинейного анализа. 29Глава 2. Вопросы теории нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве .35.
303. Основные определения и предположения.35.
304. Теорема существования и единственности локального классического решения.'.• 42.
305. Продолжимость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- .56.
306. Некоторые критерии существования глобального решения-. 75.
307. Оценки решений дифференциальных уравнений в фазовом пространстве и их продолжимость.95.
308. Некоторые способы построения систем сравнения.115.
309. Несколько кратких замечаний.130РАЗДЕЛ П. Физические процессы в активной зоне ядерного реактораи их математическое моделирование.. 133Глава .?. Общее описание физических процессов и принципы их математического моделирования.'.&bdquo-. 133.
310. Основные физические процессы, происходящие в активной зоне ядерного реактора.. 1333.2, Динамические системы и принцип обратной связи. 144Глава 4. Математические модели процесса переноса нейтронов и их свойства, 152.
311. Методы кинетической теории и система уравнений кинетики реактора. ,. .. 152.
312. Операторная формулировка задачи. Основные предположения и функциональные классы. 156.
313. Свойства операторов и разрешимость абстрактной задачи Коптадля системы уравнений кинетики реактора. 162.
314. Сопряженная теория и некоторые замечания о нелинейных задачах теории переноса.. 172.
315. Асимптотическое разложение решения. Вопросы положительности решений в теории переноса. 179.
316. Точечная кинетика реактора и коэффициенты реактивности. 184Глава .5. Математические модели процессов изменения нуклидного состава среды я теплообмена. 190.
317. Уравнения кинетики превращений нуклидов и некоторые свойства их решений. 190.
318. Математические модели процессов теплопереноса з ядерном реак- ' у торе. 205).
319. Постановка задачи и основные определения.221.
320. Некоторые функциональные пространства.230.
321. Взаимосвязь пространств и ¡-^(К X <3- Г). .. 242.
322. Некоторые функциональные свойства одного интегрального оператора .256.
323. Свойства операторов абстрактной задачи Коши.264.
324. Разрешимость абстрактной задачи Коши и некоторые качественные особенности ее решений.276Глава 7. Математические модели динамики ядерного реактора на тепловых нейтронах. 291.
325. Математическая модель динамики реактора с учетом отравления ксеноном и температурной обратной связи. 291.
326. Математические модели кинетики реактора с учетом температурной обратной связи.. .. 311.
327. Существование стационарных решений системы уравнений кинетики реактора. 33,0.
328. Некоторые замечания об устойчивости стационарных решений системы уравнений кинетики реактора.345 у.
329. Математическая модель динамики реактора с учетом отравления ксеноном и мощностной обратной связи. 358Список литературы.. 370.