Управление параметрами динамической системы для реализации самоорганизующегося процесса перехода к устойчивому периодическому режиму

Актуальность темы

.

Многие реальные динамические процессы, изучаемые в физике, химии, биологи, технике, экономике могут быть достаточно адекватно смоделированы системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Обычно эти уравнения содержат числовые или функциональные параметры. Эти параметры могут быть объектом управления или могут изменяться под воздействием объективных факторов. Важной особенностью динамических систем является их способность к самоорганизации, т. е. к переходу от неустойчивой простой структуры к более сложной устойчивой структуре. Для каждой структуры есть области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров. Если параметры попадают в область неустойчивости данной структуры, то при определенных условиях может начаться запуск процесса самоорганизации, приводящий к более сложной устойчивой структуре или к динамическому хаосу. Задачу запуска процесса самоорганизации к желательной устойчивой структуре можно разделить на две подзадачи. Первая задача — это задача оптимального управления, целью которого является попадание конечной точки траектории (например, за кратчайшее время) в область, из которой может начаться процесс самоорганизации. Вторая задача заключается в исследовании самого процесса самоорганизации, когда параметры находятся в области неустойчивости простой структуры и устойчивости более сложной структуры. В столь общей постановке эти задачи не могут быть решены. Обычно решаются более частные, конкретно поставленные задачи. Данная работа связана с решением второй задачи для важного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Актуальность задачи изучения процессов перехода от положения неустойчивого равновесия в режим самоорганизации для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков связана с тем, что они часто встречаются при решении задач управления. Кроме того, для многих моделей задач управления, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений более высокого порядка, устойчивые структуры связаны с определенными решениями систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Предполагается, что параметры системы находятся в области, в которой положение равновесия неустойчиво и есть устойчивый периодический режим. Известно, что такая ситуация может возникать, когда матрица линеаризованной системы имеет комплексное собственное значение с достаточно малой вещественной частью. Известно, какие дополнительные условия достаточно наложить на параметры, чтобы периодический режим был устойчивым (теория бифуркаций Андронова-Хопфа). В данной работе точными математическими методами исследуется самоорганизующийся процесс перехода из произвольной окрестности положения равновесия к устойчивой периодической структуре.

Цель работы.

В соответствии с идеями синергетики выделить из широкого множества параметров один или два ведущих малых параметра, ответственных за реализацию самоорганизующегося процесса в динамических системах, описать переходные процессы от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

Научная новизна.

Исследуется переход из сколь угодно малой окрестности положения неустойчивого равновесия к предельному периодическому режиму для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этот подход принципиально отличается от известных аналитических исследований устойчивости предельного цикла относительно малых возмущений, а также от использования численных методов для ограниченного диапазона параметров.

Предлагается новый способ приведения динамических систем третьего порядка к нормальной форме с использованием комплексных переменных. Для таких динамических систем выявлены области начальных данных (зависящие от значения малого параметра), из которых осуществляется переход к периодическому режиму, что принципиально отличает динамические системы третьего порядка от систем второго порядка, для которых соответствующий переход происходит из произвольной окрестности положения равновесия.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Для динамических систем второго и третьего порядков из широкого множества параметров выделен ведущий малый параметр, ответственный за переходной процесс из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Преобразование уравнений динамической системы к виду, позволяющему эффективно строить приближенные решения с любой степенью точности по малому параметру.

3. Построение приближённых решений в виде асимптотических рядов по малому параметру, описание классов функций, к которым принадлежат приближенные решения.

4. Доказательство существования решения, для которого построенные ряды являются равномерно асимптотическими по малому параметру.

Теоретическая и практическая ценность.

Многие встречающиеся в приложениях динамические системы для своего описания требуют введения нескольких (двух и более) параметров, что затрудняет проблемы управления этими параметрами и описание процессов эволюции динамических систем. В диссертации предложен метод построения ведущего параметра (как функции исходных параметров системы), ответственного за описание процесса эволюции системы. Эффективность метода иллюстрируется на трех конкретных прикладных задачах. Предложенная методика управления параметрами и способ построения приближенных решений могут быть применены для исследования достаточно широкого класса прикладных задач.

Описанные в диссертации методы могут быть обобщены и применены для исследования динамических систем более высокого порядка, а также для исследования нелинейных функциональных уравнений эволюционного типа.

Структура диссертации.

В первой главе приведён краткий обзор работ, посвященных бифуркациям Андронова-Хопфа в динамических системах второго и третьего порядков.

Во второй главе рассматривается переходный процесс от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму для динамических систем второго порядка, а в третьей главе — для динамических систем третьего порядка.

В четвёртой главе для нескольких прикладных задач показаны области значений параметров, при которых происходит переход от неустойчивого равновесия к устойчивому циклу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Можно выделить следующие результаты диссертации.

1. Для динамических систем второго и третьего порядков, содержащих параметры, выделен ведущий малый параметр е, ответственный за самоорганизующийся процесс перехода от неустойчивого равновесия к устойчивому периодическому режиму.

2. Для системы, приведенной к нормальной форме с точностью до величин порядка построены приближенные решения в виде многочленов степени /V-1 по степеням е. Построенные решения реализуют переход из малой окрестности неустойчивого положения равновесия к устойчивому периодическому режиму. Дано описание классов функций, к которым принадлежат коэффициенты полученных многочленов.

3. Доказано существование решения системы в пространстве непрерывных функций с равномерной весовой нормой, отличающегося от построенного приближённого решения на величину порядка о{ел).

4. Для систем Рёсслера и Валлиса указаны области значений параметров, при которых из окрестности неустойчивого положения равновесия осуществляется переход к устойчивому предельному циклу.

Можно также отметить направления дальнейшей работы по теме диссертации.

1. Для систем третьего порядка исследовать случай, когда вещественное собственное значение системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия, также является малым.

2. Для систем третьего порядка исследовать поведение фазовых траекторий в случае, когда начальные условия заданы в сколь угодно малой окрестности положения равновесия.

3. Для прикладных задач теории управления сопоставить приближённые решения, получаемые численно и приближённые решения, найденные аналитически с помощью разложений в асимптотические ряды по малому параметру.