Вихревые движения часто встречаются в природе и хорошо известны в технике. Это своеобразное и относительно легко наблюдаемое гидродинамическое и газодинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Из курса гидродинамики (например, [1], [2]) хорошо известно такое явление как вихревые дорожки Кармана, а также утверждения, которые называются кинематическими и динамическими теоремами Гельмгольца о вихрях. В работе М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [3] изложены результаты по исследованию кольцевых вихрей и указаны направления их дальнейшего изучения. Однако, несмотря на большое число работ, посвящённых изучению вихревых движений, ряд вопросов остаётся открытым.
Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно обеспечивают существенное увеличение интенсивности процесса и, тем самым, его экономической эффективности. В настоящей работе рассматриваются математические вопросы, связанные с изучением гидродинамических процессов вблизи оси вращения жидкости в вихревой камере, в которой частицы жидкости движутся по спиральным траекториям и выбрасываются через отверстия в торцевых крышках. Вихревые камеры такого типа используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена [4] - [6]. Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону пограничных слоев, периферийную зону и приосевую зону.
Рассматривая движение жидкости в приосевой зоне вихря, мы приходим к задаче о протекании жидкости через заданную область, на границе которой имеются участки втекания и вытекания. Первые теоретические результаты в этом направлении для движения идеальной несжимаемой жидкости были получены Н. Е. Кочиным [7], где в качестве дополнительного граничного условия было предложено задавать все компоненты вектора вихря скорости на участке втекания. В работах В. Заячковски [8] и А. В. Кажихова [9] показано, что в задаче, изучавшейся Н. Е. Кочиным, произвольно можно задавать только касательные составляющие вихря скорости. Кроме того, в работах А. В. Кажихова доказывается корректность постановки задачи протекания идеальной несжимаемой жидкости при задании на участке втекания всего вектора скоростей, а на участке вытекания — давления [10] или нормальной составляющей вектора скоростей [11]. Указанные результаты А. В. Кажихова также изложены в работе [12].
Таким образом, для движения идеальной несжимаемой жидкости удалось найти физически обоснованные и корректные постановки задач протекания. Однако, даже в этом модельном случае соответствующие теоремы существования имеют локальный характер. Для вязкой жидкости сделано значительно меньше, и многие вопросы остаются открытыми. Основная трудность заключается в правильной постановке граничных условий на участке вытекания. Один из способов преодоления этой трудности при изучении качественных свойств решений и численных расчетах является использование априорных предположений о характере движения жидкости и геометрии рассматриваемой области. Например, в монографии О. А. Ладыженской [13] сначала рассматриваются задачи с условиями непротекания на всей границе и некоторыми условиями на начальные данные, а затем делается распространение результатов на случай неоднородных граничных условий (то есть, получаем задачу протекания через заданную область), но при этом возникает требование малости норм граничных условий.
В работе [14] приведены результаты экспериментов с визуализацией приосевой зоны вихря дымом. Из фотографий видно, что приосевая зона вихря представляет собой цилиндр. В работе [15] экспериментально установлено, что при некоторых условиях радиальная и тангенциальная компоненты вектора скоростей существенно изменялись по осевой координате только вблизи торцевых крышек. В работе [14] также описан эксперимент по изучению поля скоростей в длинной вихревой камере с осесимметричным вводом. Показано, что тщательным подбором геометрии вихревой камеры можно получить осесимметрическое поле скоростей с линейной зависимостью осевой компоненты вектора скоростей от осевой координаты.
Приведённые выше экспериментальные работы указывают на физическую обоснованность предположений, которые часто используются для описания поля скоростей приосевой зоны вихря вязкой несжимаемой жидкости. Суть этих предположений состоит в том, что приосевая зона является цилиндром радиуса го, а вектор скоростей в цилиндрических координатах (г, (р, г) имеет вид и = и (г, ?), у = у (г^), и> = ги^г^) + (0.0.1) где и, у, ги — соответственно радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей. При этом из системы уравнений Навье — Стокса вытекает, что давление имеет представление.
Р = Ро (г, Ь)+р1{Ь)г + р2(!).
Р. Сулливеном [16] для упрощения модели была предложена замена искомых функций и пространственной переменной иг п уг г2 г =—, 9 = —, х = -1у.
V V Гц.
Таким образом, для поля скоростей вида (0.0.1) уравнения Навье — Сток-са преобразуются в распадающуюся систему уравнений.
2и.
— Ш2 = ~РХ, (0.0.2).
2 Г°.
Лх = Я^ххх + (| + ^ «^ + (0,0−3) хвхх + (0.0.4) 41/2 г2 / .Р Р жгу^д. + (— + 1 1 у)1Х — у^х + ql{t), (0.0.5).
Г°2% = - хРхх — ^ + (0.0.6) где.
21/2 ~^хх 2, 4х iiW =—J77~' №) = —2-,.
4/9i/ 8pi/2 p = const > 0 — плотность, */ = const > 0 — кинематическая вязкость.
Если выполняются необходимые условия согласования, то от системы уравнений (0.0.2) — (0.0.6) отделяются уравнение (0.0.6) и тождество (0.0.2)*, из которых при известных функциях Р и в легко определяются функции W2 и ро. Уравнения (0.0.4), (0.0.5) являются линейными относительно функций в и w и при известной функции Р могут рассматриваться по отдельности. Уравнение (0.0.3) содержит лишь одну неизвестную функцию F и, следовательно, отделяется от получившейся системы уравнений. Поэтому, в определенном смысле, оно является ключевым уравнением системы (0.0.2) — (0.0.6).
В ранних работах [16] - [22] рассматривалось поле скоростей (0.0.1), в котором слагаемое w отсутствовало (тогда в выражении для давления будет отсутствовать слагаемое pz). При этом формально получается задача о протекании жидкости в бесконечном по переменной z цилиндре, и условия на торцах цилиндра не задавались, в виду достаточности гра.
Это тождество даёт условие согласования, наложенное на начальные данные для функций ги? и Г. Кроме того, граничные условия, задаваемые для хи^, переносятся на Рх. ничных условий на боковой поверхности.
Из соображений того, что при замене переменной 2 на 2 — уравнения Навье — Стокса не изменяются, в работах [23], [24] отмечается, что осевая компонента вектора скоростей не обязана быть однородной по переменной а, следовательно, может быть не равным нулю. При этом возникает необходимость задавать функцию д (Ь), так как граничных условий на боковой поверхности цилиндра не достаточно для её нахождения. В декартовых координатах условие, задающее функцию определяет производную по нормали от давления на участке втекания и имеет следующий вид.
0−0.7).
Таким образом, показано, что предположение (0.0.1) позволяет не только упростить систему уравнений Навье — Стокса, но и задавать краевое условие только на одном из торцов цилиндра.
Стационарные уравнения (0.0.2) — (0.0.4) с различными граничными условиями и в предположении, что функция = 0, рассматривались в работах [16] - [22]. Вопрос о разрешимости стационарного уравнения (0.0.4) не представляет особой трудности, поскольку его общее решение можно выписать в виде в{х) = Сг + С21 ехр (-1 о о / поэтому основное внимание уделялось исследованию уравнения (0.0.3).
В работах [16], [17], [20] для некоторых частных случаев граничных условий найдены стационарные решения уравнения (0.0.3), выражаемые в элементарных функциях, например,.
Е (х)=ах или Р (х) = -2ах — 6(1 — еах).
В работе [19] проведён анализ разложения решений стационарных уравнений (0.0.2) — (0.0.4) в ряд по малому параметру, в качестве которого выбран квадрат числа Россби. В работе [20] приведены расчёты решений задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными.
F (0) = 0, Fx (0) = a, Fxx (0) =.
В работе [21] предложен алгоритм расчета решений краевых задач для стационарных уравнений (0.0.2) — (0.0.4), учитывающий специфику этих уравнений, результаты этих расчетов сопоставлены с экспериментальными данными, полученными при измерении тангенциальной и осевой компонент вектора скорости в вихревой камере [26]. В работе [21] также показано, что стационарное уравнение (0.0.3) с граничными условиями.
240) = 0, F{l) = Fu Fx (1) = F2 (0.0.8) может иметь несколько решений, и предложен способ, основанный на теории подобия, позволяющий численно определять эти решения и области неединственности решения в пространстве параметров (Fi, F2), определяющих краевые условия (0.0.8).
В работе [22] наиболее подробно, по сравнению с другими работами, были изучены свойства решений задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с условиями.
F (0) = 0, Fx (0) = a, q2~ заданная константа. (0.0.9).
Доказана единственность решения и его непрерывная зависимость от начальных данных. В работе [21] для решения задачи (0.0.3), (0.0.9) выписаны рекуррентные соотношения, определяющие коэффициенты сходящегося в окрестности х = 0 ряда Тейлора, а в работе [22] доказана аналитичность решения задачи (0.0.3), (0.0.9) при х > 0, и изучено поведение решения и его производных до третьего порядка включительно при х —> +оо. Основываясь на этом, показано, что множество пар чисел (FbF2) таких, что существуют константы a, q2, для которых.
F (l, a, q2) = F1, FX{1, а, q2) = F2 9 здесь а, #2) — решение задачи Коши для стационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными (0.0.9)), является замкнутым множеством в К2 и не совпадает со всем пространством, то есть существуют пары значений (Рь/^), при которых стационарная задача (0.0.3), (0.0.8) не имеет решений.
В работах [22], [24], [25] изучались вопросы о существовании и устойчивости решений нестационарного уравнения (0.0.3) с начальными данными и стационарными граничными условиями.
В работе [22] изучен вопрос об устойчивости однопараметрического семейства стационарных решений вида Р = ах в пространствах [0,1] и С4[0,1]. Это вполне стандартные пространства с весовыми нормами 1 тцм = /(х<2Рххх + г2) Н^Нсчод] = \^хххх\ст + 11^11сз[0,1]. о.
Использование весовых пространств обусловлено вырождением уравнения (0.0.3) в точках границы. Установлено, что при, а > —6 стационарное решение Р = ах устойчиво в выше указанных пространствах, а при, а < — 6 — неустойчиво. Так же показано, что все стационарные решения, удовлетворяющие условиям Рх (0) > 0, Рхх (0) > 0, устойчивы в пространстве И^О, 1].
В работах [24], [25] рассматривалась начально-краевая задача для проинтегрированного по х уравнения (0.0.3), для которой доказано существование решения «в малом» по? при небольших отклонениях начальных данных от стационарного решения в норме С:[0,1], а также сформулирован критерий устойчивости по Ляпунову стационарного решения в пространстве С^О, 1] в терминах отрицательности спектра оператора, полученного путем линеаризации оператора из уравнения (0.0.3) на этом стационарном решении.
Ограничимся вышеперечисленными ссылками на работы, которые напрямую соответствуют тематике рассматриваемых в диссертации задач, и некоторые результаты которых будут использованы автором в дальнейшем. Более полную библиографию по работам данного направления можно найти, например, в книгах [23], [27].
Ещё раз отметим, что в предположениях (0.0.1) система уравнений Навье — Стокса преобразуется в распадающуюся систему уравнений (0.0.2) — (0.0.6). Как видно из её структуры, при известных функциях Гид, тождество (0.0.2) и уравнение (0.0.6) позволяют легко определить функции г^ и ро. Таким образом, система уравнений Навье — Стокса сводится к рассмотрению уравнений (0.0.3) — (0.0.5). Решение уравнения (0.0.3) и его производные входят в другие уравнения в качестве коэффициентов. Этим, а также отделяемостью уравнения (0.0.3) от остальных уравнений системы, можно объяснить то, что именно для уравнения (0.0.3) достаточно хорошо изучены различные стационарные краевые и эволюционные начально-краевые задачи.
Основными результатами настоящей диссертации являются доказательства существования и устойчивости решений специального вида для системы уравнений Навье — Стокса. Прежде всего, доказывается однозначная разрешимость начально-краевых задач для уравнений (0.0.4), (0.0.5). Отметим, что эти уравнения являются вырождающимися, поскольку коэффициент при старшей производной обращается в нуль на части границы. Поэтому исследование вопроса о существовании решений потребовало введения специальных весовых пространств и изучения некоторых их свойств. При исследовании устойчивости найден пример поля скоростей, у которого устойчивость нарушается только по осевой компоненте, а по другим компонентам сохраняется.
Кроме того, в диссертации предложено ослабление априорных предположений, рассматриваемых ранее другими авторами, наложенных на структуру решений системы уравнений Навье — Стокса, которое приводит к полю скоростей вида и = и (г, ?), V = У (г, г) + У2(г, ги = ?) + гс^т", Ь) г, (0.0.10) где, как и прежде, и, у,1и — радиальная, тангенциальная и осевая компоненты вектора скоростей соответственно. Получена система уравнений, которая расширяет систему (0.0.2) — (0.0.6) и при этом, в отличии от системы (0.0.2) — (0.0.6), не распадается на отдельные уравнения. Для одного семейства решений расширенной системы изучен вопрос о разрешимости начально-краевой задачи, а так же вопрос о том, на сколько появление новой искомой функции влияет на границу устойчивости.
Из приведённых рассуждений, используя предположение об устойчивости функций Р (х, Ь) и #2(2, ?), можно сделать следующие выводы:
1) остаются в силе все результаты пункта 2.4.4 об устойчивости и неустойчивости функции и)(х, ?);
2) если устойчива функция ги{х, ?), то сохраняются результаты пункта 2.4.1 о том, что функция в{х, ?) не изменяет границ устойчивости, которые определяет функция Р{х, Ь) (только теперь границу устойчивости может определять и функция 92{х,£))-•.
3) если устойчивость функции ио (х, ?) нарушается, то вопрос об устойчивости функции #1(2, ?) требует дополнительного исследования (этот вывод связан с наличием в правой части уравнения (3.1.21) произведения функций и 02(х, 1), которое может быть как ограниченным, так и неограниченным).
