Методы двойственности при решении нелинейных вариационных задач механики сплошной среды
Несмотря на ряд важных достижений в этой области, применительно к математическому моделированию задач о течении вязкопластичной жидкости остаются открытыми вопросы корректности и точности ттттлттлттттллл ГЧЛТТТЛТТТТГТ ПГ>ПТ>ТТТ1(Т1ЛТТТ ТТЛЛГУ OTTO TTTJOO ТТ Т/ГМТГПЛГУТТЛТ) т> т т^лпо iWWi’oiinui и ojjLLv^Aiifxzi ^ o^/Ctiumx^iuiiv/i ч/ шхшхаии жл. uuivvj/ui конечно-элементных аппроксимаций… Читать ещё >
Методы двойственности при решении нелинейных вариационных задач механики сплошной среды (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
- Перечень условных обозначений
- Глава 1.
- Устойчивый метод решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе, основанный на схеме двойственности
- 1. Постановка задачи
- 2. Метод итеративной ргох-регуляризации
- 3. Методы двойственности
- 4. Алгоритм отыскания седловой точки
- 5. Оценка погрешности численного решения
- 6. Численная реализация
- Глава 2.
- Устойчивый метод решения задачи о движении вязкопластичной жидкости Бингама с условием трения на границе
- 1. Постановка задачи
- 2. Теорема эквивалентности
- 3. Методы двойственности
- 4. Численная реализация
- 5. Движение в осесимметричном канале
Актуальность темы
Моделирование задач механики сплошной среды имеет большое прикладное значение для машиностроения, добывающей, перерабатывающей, химической промышленности, энергетики и т. д. Применение вычислительной техники позволяет заменить трудоемкий и дорогостоящий натурный эксперимент и с достаточно высокой точностью получить требуемые результаты. Однако применение вычислительного эксперимента требует тщательного исследования и обоснования используемых математических методов и алгоритмов, получения оценок погрешности приближенного численного решения.
Математическая постановка задач механики сплошной среды сводится к краевым задачам для уравнений в частных производных. Многие линейные краевые задачи допускают естественную вариационную постановку, что позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения, а исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве.
Однако большой класс важных с практической точки зрения задач имеет нелинейный характер. В последние десятилетия интенсивно.
T-vQoDT*D<3i/-vri/->cr тэаг"тдаттт, тг"ттит, та ттпттуптттл т, я тттта тятгпгт" ппггя ряпяи R ияг" тчтпг" ттл таких, как задача об упругопластическом кручении цилиндрического стержня [1, 29, 71, 72], контактная задача теории упругости [17, 24, 37, 51, 57, 64, 73, 74, 75], задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [61, 78], задача фильтрации [28] и другие. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж. Л. Лионса [18, 20, 29, 30, 57]. Данное направление развивалось и в работах отечественных исследователей: П. П. Мосолова [34], П. П. Мосолова и В. П. Мясникова [36], В. Л. Бердичевского [4], Н. Н Уральцевой [49], Н. Н Уральцевой и Т. Н. Рожковской [50], Б. Д. Аннина и Г. П. Черепанова [1], A.M. Хлуднева [51, 69, 70], А. В. Лапина [27, 28] и др.
В настоящей работе исследуется задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама [54], основной сложностью моделирования которой является наличие у среды предельного напряжения сдвига (предела текучести). Основной вклад в математическое исследование течений вязкопластичных сред внесли П. П. Мосолов и В. П. Мясников [35, 34, 36], в своих работах они сформулировали вариационный принцип для движения жестко-вязкопластичной среды общего вида и обосновали эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок задачи (задача Мосолова-Мясникова). В работах Ж. Л. Дюво, Г. Лионса и Р. Гловински [20, 65] для математического описания движения жидкости Бингама применена теория вариационных неравенств.
Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара [44, 74, 75], Б. Н. Пшеничного [42], Б. Н. Пшеничного и Ю. М. Данилина [43], И. Экланда и Р. Темама [53], Ж. П. Обена и И. Экланда [40], Ф. П. Васильева [15, 16], Ж. Сеа [45],.
А.С. Антипина [2, 3], А. А. Каплана и К. Гроссмана [19], Е. А. Нурминского [39] и др. В работах [64,18, 58, 66, 67, 68] отражен опыт численного решения нелинейных вариационных задач с использованием методов оптимизации и приводится основательный анализ этих методов с учетом специфики получающихся в результате аппроксимации конечномерных задач.
Проблемой численного решения задач о движении нелинейно-вязких и вязкопластичных сред занимаются достаточно давно. С конца 70-х годов наибольшее распространение получил метод конечных разностей. Здесь в первую очередь следует отметить работы И. М. Васенина, Г. Р. Шрагера, А. П. Нефедова, И. В. Щербаковой [13, 14, 38, 52], в которых решена задача о заполнении цилиндрических емкостей вязкой жидкостью в поле силы тяжести. Развитие методик расчета по данной тематике отражено в работах И. К. Березина [5, 6].
С середины 80-х годов для моделирования движения неньютоновских сред интенсивное развитие получил метод конечных элементов. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в книгах [21, 22, 32, 40, 41, 46, 48]. Проблема конечно-элементной аппроксимации вариационных неравенств отражена в монографиях Р. Гловинского, Ж. Л. Лионса, Р. Тремольера [18], и Главачека, 51. Гаслинтера, 14. Нечаса, 53. Ловкшека [64], Ф. Сьярле [48], С. Бреннера и Л. Скотта [55], Ф. Скарпини и М. А. Вивальди [77], Р. С. Фалка [59, 60] и др. В работах В. К. Булгакова, К. А. Чехонина и М. А. Проценко [7, 8, 9, 10, 11, 12] методом конечных элементов исследовано заполнение осесимметричных областей нелинейно-вязкопластичной жидкостью в неизотермических условиях, исследовано влияние основных реологических параметров на характер гидродинамического процесса, произведен анализ схем конечно-элементных аппроксимаций. Работа A.M. Липанова, М. Ю. Альеса, Ю. Н. Константинова [31] посвящена разработке устойчивых конечно-элементных алгоритмов решения задачи о движении вязкопластичной жидкости.
Минимизируемые функционалы для такого рода задач являются негладкими (недифференцируемыми), что накладывает определенные сложности при разработке алгоритмов их минимизации. Одной из возможностей преодоления таких трудностей является их полное или частичное сглаживание, которое успешно применялось в работах Г. Шмитта [78], А. Я Золотохина, Р. В. Найма и А. В. Пачиной [23]. Другим из направлений является применение вариационных принципов двойственности, в результате чего исходная задача минимизации заменяется задачей по поиску седловой точки функционала Лагранжа, данное направление получило свое развитие в работах Р. Гловински [65], М. Фортена [62], А. Фортена и Д. Коте [61], Брезиса [56].
Несмотря на ряд важных достижений в этой области, применительно к математическому моделированию задач о течении вязкопластичной жидкости остаются открытыми вопросы корректности и точности ттттлттлттттллл ГЧЛТТТЛТТТТГТ ПГ>ПТ>ТТТ1(Т1ЛТТТ ТТЛЛГУ OTTO TTTJOO ТТ Т/ГМТГПЛГУТТЛТ) т> т т^лпо iWWi’oiinui и ojjLLv^Aiifxzi ^ o^/Ctiumx^iuiiv/i ч/ шхшхаии жл. uuivvj/ui конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, разработки методик численного расчета и эффективных алгоритмов, устойчивых в широком спектре изменения реологических параметров вязкопластичных сред. Вследствие выполнения лишь ослабленного условия коэрцитивности минимизируемых функционалов требует дополнительного исследования и вопрос о существовании и единственности решения.
Цель работы. Разработка и обоснование приближенных методов решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств с использованием выпуклого анализа, вариационных принципов двойственности, аппарата конечно-элементных аппроксимаций и математического программирования.
Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа [26], теория выпуклого анализа и вариационных неравенств, вариационные принципы двойственности [62], методы вычислительной математики и математического программирования. Применяется теория пространств C.JI. Соболева [47], общая теория нелинейных краевых задач [20, 29, 40].
Научная новизна. В диссертации исследуется задача о движении вязкопластичной жидкости Бингама с условиями трения на границе в вариационной формулировке Мосолова-Мясникова (глава 1) и в смешанной постановке (глава 2). Получены следующие новые результаты:
1). для задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона:
1.1) исследована краевая постановка задачи;
1.2) построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией;
1.3) обоснована замена задачи по минимизации исходного функционала задачей по отысканию седловой точки функционала Лагранжа;
1.4) построен и обоснован алгоритм Удзавы по поиску седловой точки функционала Лагранжа;
1.5) установлена теоретическая оценка погрешности конечно-элементной аппроксимации;
1.6) проведены численные эксперименты;
2). для задачи о движении жидкости Бингама с условиями трения на границе в смешанной постановке:
2.1) получена вариационная постановка задачи;
2.2) исследован алгоритм решения, основанный на схеме двойственности;
2.3) проведены численные расчеты.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске в 2002 г., на семинарах «Дифференциальные уравнения» (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А. Г), на семинаре «Функциональный анализ» при ВЦ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Степанов В.Д.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Кузнецов В.Н.), на секционных заседаниях Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова в г. Владивостоке в 2001 и 2002 г., на Хабаровской региональной межвузовской конференции.