Некоторые начальные и начально-краевые задачи линейной гидродинамики с разрывными начальными или граничными условиями

Настоящая работа посвящена изучению качественных свойств решений некоторых начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при / ->оо, изучение гладкости решений и динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными и граничными условиями.

Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева [1], [2]. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. В работах Р. А. Александряна [3], Т. И. Зеленяка [4], В. Н. Масленниковой [5], В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [5], [7], В. П. Маслова [8] исследовалась асимптотика при а> решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.

В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика [9], Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова [10]. В монографии А. В. Глушко [11] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В [11] рассмотрены также вращающие вязкие сжимаемые жидкости. Следует отметить также работу С. Л. Ляховой [12], в которой рассмотрена задача Коши для линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса в случае, когда носитель правой части начального условия сосредоточен в круге единичного радиуса.

В настоящей работе рассматривается задача Коши и начально-краевые задачи для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей. Рассматриваются случаи разрывных начальных или граничных условий. Получены асимптотические при /->со формулы решений таких задач, доказаны теоремы о существовании решений этих задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия.

В первой главе рассматривается задача Коши для системы уравнений, описывающей малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости. На множестве Я* = е Я2, / >0} рассмотрим систему уравнений 5 дщ к02"' Ч2 d2u, ч dp ¦+—f)+— дх2 dxl.

Ht ди2 dt Пдх2 d2u, ч dp + —f) + dx2 dx2 дхх дхх дх2.

0 д, ди. диг ч. -v?—(—L + —-) = 0. Hdx2dx, дх2.

О).

2 dp du, дщ. а2—+—L + —- = 0 dt дх, Эх, v,.

Здесь v — динамический коэффициент вязкости,? = l + Aff где Л,/ипервый и второй коэффициенты вязкости, аФ Окоэффициент сжимаемости жидкости, й = (wx (х, t), щ (х, t)), xeR2, t> 0 — вектор скорости движения жидкости, p{x, t) — эффективное давление в жидкости, равное произведению отклонения давления от стационарного и величины р~0х, где р0- постоянная плотность покоящейся жидкости.

Будем искать решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: щ (х, +0) = и2 (дг, +0) = 0, р (х, +0) = р0 (х). (2).

Пусть QczR2- выпуклый компакт с гладкой границей. Моделируя включение в жидкость интрузии с разрывом начального давления, будем считать, что функция р0(х) удовлетворяет следующему условию:

Условие 1.1. р0(х) = 1, если х е Qр0(х) = 0, если х .

Доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. При выполнении условия 1.1 существует обобщенное решение {u{(x, t), u2{x, i), p (x, t)) задачи (1)-(2) такое, что Uj (x, t), j = 1,2- непрерывные и ограниченные функции xeR2, t> 0- компонента решения p{x, t) представима в виде р (х, 0 = Ро (*) ехр (-сГ2 (1 + pf v~xt) + R (x, t), (3) где R (x, t) — непрерывная и ограниченная функция при xeR2, t> 0. Начальные условия (2) выполнены в следующем смысле: lim.

->+0 0.

4).

Теорема 1.2. При выполнении условия 1.1 для задачи (1)-(2) справедливы асимптотические представления и оценки при t +оо компонент решения ф, 0 = 0(Г3), u2(x, t) = 0(Г3), p (x, t) = -к{2ж)~ха2Г2 + 0(Г3), (5) равномерные по всем х е К2. Здесь к мера множества О.

Результаты главы 1 опубликованы в [14 ]-[19 ], [29].

Во второй, третьей и четвертой главах рассматривается система уравнений, описывающая малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости.

На множестве Я1+ = {х, е Ях, лг2 >0, / > 0} уравнений следующего вида: рассмотрим систему.

Эм, д2их д2их ди дt ди.

— к ы.

— Кдх д2и, •.

-) дх2 Эх, д2и, х ди 0- сЦ дх2 ох,.

6) Эи, Эи. дщ Л аг^- + + = 0, д1.

Эх,.

Эх, ^ где юО определены выше, щ{х,{), и2{х,() — компоненты вектора скорости, и3(х,/) — отклонение давления от стационарного.

Задача состоит в нахождении решения системы (6), удовлетворяющего начальным условиям ' и1(х1,х2,+ 0) = 0, и2(х1,х2,+0) = 0, и3(х, х2,+0) = 0, (7) и граничным условиям щ (х, +0, *) = 0, щ (х, +0,0 = (8).

Систему уравнений (6) можно записать в матричном виде следующим образом:

Аи{х, 1) = 0, (9).

А = э, А 0 д д1 Эх, д, э.

0 —М д1 Эх2 э д 2 Э.

— —.

Эх, дх2 д (дх2 дх22' и{х^) = {их{х^), и2{х,(), щ (х,{))т, Т — знак транспонирования.

По вектор — функции 11{х,{), заданной при ^ е Д1, х2 >0, г >0 построим вектор-функцию Р (х, 0 = (п (хДу2(хДу3(л-, 0) г следующим образом: vj (x, t) = l0йj (x, t), ] =, 3, у2(Х, 0 = /, Й2(Х, 0, (10) где /0 — оператор продолжения функции нечетным образом на х2 < 0, а /, -оператор продолжения функции четным образом на х2 < 0. Знак ~ - это продолжение функции нулем при / < 0.

Справедливы следующие утверждения.

Лемма 2.1.1. Если вектор-функция является решением задачи (6)-(8), то вектор-функция У (х, 0, построенная в (10) удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению:

АУ = ?, (П) где /г = (0-^2−0)г, р2 = 2 + 2³⁰(Х^)8(Х2). (12).

Пусть выполнено следующее условие:

Условие 2.1. Функция м>3(*Р0 имеет вид и>3(х, 0 = р{{хх)р2^), где ^(х,) — характеристическая функция отрезка [-1−1], а функция р2(0 е С°°(0-+оо) и имеет компактный носитель, причем р2(0) = 0.

Лемма 2.2.1. При выполнении условия 2.1 обобщенное решение задачи (11) можно формально представить в следующем виде.

Г1-Г2)(У|-Гз).

-+7—Г/&.Г.УЧ (п-пХп-г,) 21.

П-ГЖ-Ь) Ь-ГгЪ-Гг) ^ 1.

— а^Г'5^" И*) Рг (*, ПУ< +.

Г, -Уг)Ьу,).

Уг ~ У)(Уг ~ Уг) (Уз ~ Ух)(Уз ~ У г) где — обратное преобразование Фурье,.

13).

14).

Л-*=(ад), (16) a функция F2(x, t) определена в (12) — yl, y2, y3-корни уравнения:

P (s, r) = 0, (17).

P (s, y) = (r + vsf)(a2y (y+vs2)+|s|2). (18).

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда в S'^R*) существует обобщенное решение U = (ul, u2, u3) задачи (6)-(8) такое, что t.

B{(x, tт)/2(т)с1т, (19) о где x = (xl, x2), f2(t) = 2p2(t) + 2a2vp/2{t).

Функция является непрерывной, равномерно ограниченной функцией по (xvx2)eR2,t>O>0 при любом ?>0. Справедливо следующее представление этой функции xvx2) + в- (x, t) + В (x, t) e, a'2y'1, (20).

-±eta'2y'lF-x 2л где.

X* X>

Функции В (х,^), В2 (х,?) есть непрерывные и ограниченные функции при всех х1 е Я1, х2 > 0, / > 0. Свертки в правой части (20) непрерывны и равномерно по л^еД1, х2 >0, > 0 ограничены, -обратное преобразование Фурье- 6(() функция Хэвисайда. <

ЩШ) = ви (х>* - + в2>2(х^ - т)(//(г) — /2(0))</г, (22) о о где функция В21 (х,^ в (22) является непрерывной, равномерно ограниченной по (х15д:2) е Д2, / > ^ > 0 функцией при любом 8 > 0. Справедливо следующее представление этой функции.

В2, (х^У" «+ В2Х «» + В21 (*,/), (23) где функции В21(х^), В2Х (х^), В2Х (х^) непрерывные и ограниченные функции при всех />0, ххеЯ1, х2 >0. Свертки в правой части (23) непрерывны и равномерно по хх е х2 > 0, / > 0 ограничены;

Е2(х{, х2)= Х'+21 — (24).

1+1) +х (х, -1) +х.

Функция В22[х,{) в (22) является непрерывной и равномерно ограниченной функцией аргументов л-еЛ2,/>?>0при произвольном ?>0. Для этой функции справедливо представление.

В2>2 (*, г) = В22Х (х,()е'а'2у'1 + В2Х2 + В2Х з (х,(), (25) где функции В2г}(х,{), у = 1,2,3 — непрерывные и ограниченные функции при всех хх еЯ х2 >0, />0. щ (х^)=вз (х^-т)/2(т)с1т, (26) о где функция Вг в (26) непрерывна и равномерно по хх е Я1, х2 > 0, * > 8 > 0 ограничена. При X -" +0 для функции Вг{х,() справедлива оценка В3(х^)<�—^ с постоянной о 0, не зависящей от хеЯ2. Справедливо следующее представление для функции В3 (х,{): ч 1 .-2−1 1~/~/ —1а~2у~1.

В^ = 2Л «^, х2)±^В3(х,^ + Вг{х,()е2. (27).

Функции В3 (л-,/) и В3(х^) непрерывны и равномерно по еД1×2 >0, О0ограничены;

§ з (х'х2) = —(аг^-^-^ - ап^——-), (28).

ТС Х>£.

Из теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение:

Теорема 2.6. Компоненты и^х^),} = 1,2 решения задачи (6) — (8) являются непрерывными, равномерно по хх еЯ1, х2 ?0, * ?0 ограниченными функциями, компонента щ{х,{) решения является непрерывной равномерно ограниченной функцией переменных хх еЯ1, х2 >0, *>0, причем Ншм,(д, 0 = 0,/ = 1,2,3.

Перейдем к изложению результатов третьей главы диссертации, в которой изучается поведение при t-> оо ядер и компонент решения задачи (6)-(8).

Теорема 3.1. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения {ик (х, 1), иг{х, 1), иъ (х, 1)) задачи (6) — (8) справедливы формулы (19), (22), (26).

При этом для функций В{- В2у, В22, Вг справедливы при t->+ оо асимптотические представления и оценки.

В1(х, 0 = О (Г2)(+х2) — (29).

30).

Ви (х, 0 = -Г1 + О (Г2у, (31) ж.

ЬМ = 0(Г3)±±-е-***е2(х1,х2), (32).

2 а V где функция g2(xvx2) определена в (24). Асимптотические оценки 0(-) в (29)-(32) равномерны по всем х1 е Ях2 > 0. Следствие 3.1. При выполнении условий теоремы 3.1 справедлива асимптотическая при ¿—>+со оценка В3(х^) = 0(Г3), которая равномерна по всем х, еЯх2 >0.

Теорема 3.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (щ (х,?), и2(х^), и3(х^)) задачи (6) — (8) справедливы следующие асимптотические оценки и представления при / -" оо и2(х, о=—(+1)г1)/2(0Л+(Кг*)]|/2(0|Ло п ^ о о.

00 щ (х, 0<�сГ3 \/2″)Ж. о.

Проверка выполнения граничных условий (8) проведена в главе 4. Теорема 4.2. Пусть выполнено условие 2.1. Тогда для решения (щ (х, 0, и2 (х,/), Щ (х, 0) задачи (6) — (8) справедливы соотношения: lim ux{xx, x2, t) = 0 при всех xx e R t > 0 lim u3(xx, x2, t) = w3(xx, t) при всех xx e R xx *±, t> 0- lim u3 (± 1, x2, t) = — w3 (Xj, t) при всех t > 0.

Xj ~^+0 2.

34).

35).

Утверждения, доказанные во второй, третьей и четвертой главах, опубликованы [19 ] - [20], [23] - [26], [29].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными, описывающую малые колебания в вертикальной плоскости вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости:

AU = а л —vA dt 0 0 jT dxj.

0 д д —m dt 8 d dx2 u2.

0 -со g d dt 0 v, И д dxx d дх2 0 0 / 0;

36) и{х,{) = (?/, (л, {), иг (х, 0, и, (х, {), иА (х, 0) Г, Тзнак транспонирования, х е Яг+ = {х = (Хр^)—") < хх < оо, 0 < х2 < оо}- I > 0. Здесь их (х,{) и £/2(х, 0 горизонтальная (вдоль оси Ох,) и вертикальная (вдоль оси Ох2) составляющие скорости движения частицы жидкости в точке х в момент времени t, С/З (х, 0-отклонение плотности от стационарной в точке х в момент времени I, £/4(подавление жидкости в точке х в момент времени укоэффициент вязкости жидкости, со0 — частота Вейсяля — Брента, g — ускорение свободного падения.

Систему (36) дополним начальными условиями и2(х{, х2,+0) = 0;

1, если хх + (х2 — 2Я)2 < Я2- 0, если х2х+{х2−1К?>Кг.

U3(xx, x2,+V) = w0{x) =.

37) и граничными условиями.

Ux{xx,+0,0 = 0- U4(xx,+0,t) = 0 .

Теорема 5.1. Компоненты ?/.(*, 0,7 = 1,2,4 решения задачи (36)-(38) являются непрерывными равномерно по хеД2,0</<Г ограниченными функциями при любом Т> 0. Компонента из (х^) пред ставима в виде иг{х,() = ц>0(х) + и*г{х,{), где разрывная функция и^х) определена в (37), а функция С/З*(х, 0 непрерывна и равномерно по xeR2,0 0.

Рассмотрим начально-краевую задачу в полупространстве хх е В. х2 > 0,* > 0 для системы уравнений (36) с начальными условиями.

С/,(*рх2,+ 0) = 0, — = 1,2,3 (39) и граничными условиями +0,0 = 0, £/4(*р+ 0,0 = дЩщ (Х1), (40) где 1[11](д-1) — характеристическая функция отрезка [-1,1].

Задача (36),(39),(40) может быть сведена к обобщенной задаче Коши:

АУ = Г1= (0,2д^)1111](х1)^(х2), 0,0)т. (41).

Здесь х1}Х2,0,Х2>0. и.(х1,х2, Цх2>0 [-и.(х1,-х2,0,х2<0'-] } д, 0 = 0 при I < 0 для всех х е Я2.

Условие 5.1. Для функции /(0 конечен интеграл оо.

1+о|доИ=с5>1<�оо. о.

Теорема 5.2. Пусть #(0,^(0 6 (?(0) = 0 и выполнено условие 5.1 для функций ^(О^ЧОТогда существует обобщенное решение уравнения (41), которое представимо в виде 0 +^, 0, (43) где.

КМ=Ш тУы (44) иг аг с) л- /2 Ы от с).

KM= 2.

Км=m. mds.

71 R2 И.

V](x, 0 = 0, j = 1,2,3- Jffcr) = Ji-^Ä-LД •.

Справедливы следующие оценки компонент решения при t +0 у = 1,2;

2(0,").

Vj°(, t).

Г4'(*, 0|<�С|;

0,") 1−0,5.

2(0,") — 7 = 3,4;

46).

47).

48).

49).

50).

51).

Кроме того, функции (44)-(47) являются непрерывными, равномерно по t>0,xeR2 ограниченными функциями, а функция V4l (x, t) есть непрерывная функция при xl eRx2 =?0.

Теорема 5.3. Пусть q (t), q'(t) е 12(0,со), ?/(0) = 0 и выполнено условие 5.1 для функций q (t), q'(t). Тогда компоненты решения задачи (36),(39),(40) удовлетворяют условиям limi/1(x"x2,0 = 0, — = l, 2,3- lim Ul (xl, x2, t) = 0- lim U4(., x2,.)-q (.)lU] I =0.

Эти утверждения доказаны в пятой главе и опубликованы в [21] - [22], [28]-[30].

1. Соболев C. J1. Об одной новой задаче математической физики / C.JI. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. Математика. — 1954. — Т. 18, № 1. — С. 350.

2. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / C.JI. Соболев // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1960. — № 3. — С. 20−55.

3. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С. JI. Соболева / P.A. Александрян // Тр. / Моск. Матем. о-во. 1960. — Т. 9. — С. 455−505.

4. Зеленяк Т. И. Об асимптотике решений одной смешанной задачи / Т. И. Зеленяк // Диф. уравнения. 1966. — Т. 2, № 1. — С. 47−64.

5. Масленникова В. Н. Оценки в Lp и асимптотика при t-> со решениязадачи Коши для системы С. JI. Соболева / В. Н. Масленникова // Тр. / МИ АН СССР. 1968.-Т. 103.-С. 117−141.

6. Масленникова В. Н. Системы Соболева в случае двух пространственных переменных / В. Н. Масленников, М. Е. Боговский // Докл. АН СССР. -1975.-Т. 221,№ 3.-С. 563−566.

7. Масленникова В. Н. О системах Соболева с тремя пространственными переменными / В. Н. Масленникова, М. Е. Боговский // Дифференциальные уравнения с частными производными: тр. семинара C.JI. Соболева. Новосибирск, 1976. — С. 49−68.

8. Маслов В. П. О существовании убывающего при ¿—"со решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области / В. П. Маслов // Сиб. мат. журн. 1968. — Т. IX, № 6.-С. 1351−1360.

9. Глушко A.B. Однозначная разрешимость задачи Коши для уравнений динамики вязкой жидкости / A.B. Глушко, C.JI. Ляхова // Труды математического факультета: сб. науч. тр. / Воронеж, гос. ун-т. -Воронеж, 1999.-С. 35−39.

10. Федорюк М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. М.: Наука, 1977. — 368 с.

11. Баева С. А. Задача Коши для уравнений динамики вязкой жидкости с начальными данными, разрывными на границе выпуклого компакта / С. А. Баева — Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2004. — 58 с. — Деп. в ВИНИТИ 13.01.04, № 49-В 2004.

12. Баева С. А. Разрешимость задачи Коши с разрывными начальными условиями, моделирующей колебания вязкой сжимаемой жидкости / С. А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа: материалы конф. Воронеж, 2004. — С. 16−17.

13. Баева С. А. Асимптотические при /-«+оо формулы решения начально-краевой задачи для системы уравнений Навье-Стокса в случае разрывного граничного условия / С. А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. унта. Сер. Физика, математика. 2004. — № 1. — С. 67−70.

14. Баева С. А. О начально-краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально стратифицированных жидкостей / С. А. Баева, A.B. Глушко // Изв. Вузов. Математика. — 2006. — № 1(524). — С. 13−15.

15. Баева С. А. О динамике разрывов решений в начально краевых задачах малых колебаний вязких экспоненциально-стратифицированных жидкостей / С. А. Баева, A.B. Глушко // Вестн. Елецкого гос. ун-та. Сер. Математика, Физика. — 2004. — Вып. 5. — С. 78−88.

16. Баева С. А. Об одной начально краевой задаче гидродинамики с разрывными граничными условиями /А. В. Глушко, С. А. Баева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2005. — № 2. — С. 128 132.

17. Баева С. А. Начальные и начально краевые задачи гидродинамики с разрывными начальными и граничными условиями / С. А. Баева // Трудыматематического факультета ВГУ / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. -С. 7−14.

18. Баева С. А. Оценки решения одной начально краевой задачи гидродинамики с разрывными граничными условиями / С. А. Баева // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна: материалы конф. — Воронеж, 2006. — С. 17−18.