Градуированные кольца и модули

Теория градуированных колец представляет собой важную самостоятельную ветвь теории колец со своими специфическими методами и проблемами, интенсивно развивающуюся в последнее время. Градуировки естественным образом возникают при рассмотрении таких классических объектов как кольца многочленов, групповые и полугрупповые кольца, кольца матриц. Понятие градуировки играет важную роль во многих кольцевых конструкциях, теории алгебр Ли, гомологической алгебре.

В последние десятилетия активно развивается структурная теория градуированных колец. С периодом около четверти века вышли две монографии К. Настасеску и Ф. ван Ойстайена [134, 136]. В первых работах градуировка рассматривалась по группе целых чисел Z. Отдельно рассматривалась градуировка по двухэлементной группе Z2, так называемый &bdquo-супер" случай. В 90-е годы прошлого века появилось много работ, касающихся колец и модулей, градуированных полугруппой. Различные аспекты этой теории исследовались в работах Г. Абрамса, A.B. Келарева, В. Д. Манна, К. Менини и других, при этом существенную роль в этих исследованиях играла структура самой полугруппы [26, 55, 131]. В то же время рядом авторов рассматривались кольца, градуированные по группе, и модули, градуированные по множеству, на котором действует эта группа [68, 88, 137], а C.B. Зеленовым [21] была рассмотрена и более общая ситуация, когда градуировка колец рассматривалась полугруппами, а градуировка модулей — полигонами над этими полугруппами.

Существенную роль в теории градуированных колец играют градуированные тела, то есть градуированные кольца, каждый ненулевой однородный элемент которых обратим. Поскольку градуированные модули над градуированными телами обладают рядом свойств, аналогичных линейным пространствам, то они называются градуированными линейными пространствами. Например, изучая суперкольца, M.JI. Расин [143] показал, что супералгебры эндоморфизмов конечномерных суперпространств над супертелами изоморфны в том и только том случае, если существует полулинейный изоморфизм суперпространств.

В теории колец широко известна и находит многочисленные применения теорема плотности Джекобсона: примитивное кольцо является плотным под-кольцом кольца линейных преобразований линейного пространства над некоторым телом [18]. В дальнейшем появилось много обобщений этой теоремы на всё более широкие классы колец: P.E. Джонсон [116] рассматривал первичные кольца, обладающие минимальными ненулевыми правым первичным и левым первичным идеаламиК. Кох и A.C. Мьюборн [124] распространили результат Джонсона на первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеаломДж. Зельмановичем [158, 159], была доказана расширенная теорема плотности для слабо примитивных колец.

В 90-е годы получен ряд результатов, касающихся теорем плотности для градуированных по группе колец: была доказана теорема плотности для градуированных примитивных колец [126]- получена теорема плотности для градуированных полупростых модулей [100]. Автором диссертации был получен градуированный аналог теоремы Зельмановича для градуированных группой колец, C.B. Зеленовым [21] была доказана теорема плотности для градуированных слабо примитивных колец в случае, когда градуировка колец рассматривалась по полугруппам, а градуировка модулей — по полигонам над этими полугруппами, при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигоны, а C.B. Лимаренко [34] доказал расширенную теорему плотности для суперколец, сформулированную в терминах ровной однородности. В совместной работе автора диссертации, А. В. Михалёва и уже упомянутых авторов [167] дан обзор новых градуированных теорем плотности.

При исследовании колец нередко оказывается полезным вложить рассматриваемое кольцо в кольцо, обладающее теми или иными дополнительными свойствами. Первоначально рассматривался вопрос о вложении колец в тела. В начале 30-х годов прошлого века О. Ope [140] нашел необходимые и достаточные условия вложимости некоммутативного кольца без делителей нуля в тело частных, К. Асано [59] расширил конструкции Ope на кольца с делителями нуля. В конце 1950;х годов с появлением работ P.E. Джонсона, Ю. Утуми, A.B. Голди, П. Габриэля, И. Ламбека и других значение колец частных возросло не только в связи с вложением колец, но и в связи со структурной теорией колец. В монографии Б. Стенстрёма [148], вышедшей в 1975 году, было дано систематическое изложение теории колец частных ассоциативных колец и ее применение к структурной теории колец. Дальнейшее развитие колец частных во многом связано с теорией Бейдара-Михалёва [9] ортогонального пополнения и циклом исследований В. К. Харченко по теории Галуа колец.

При построении структурной теории градуированных колец значительный интерес представляет изучение колец частных градуированных колец. При этом кольца частных градуированных колец должны естественным образом наследовать градуировку исходного кольца. Используя конструкцию Утуми, Е. Джерперс и П. Ваутерс [113] определили градуированные аналоги максимального, мартиндейловских и симметрического колец частныхустановили связь между этими кольцами и их неградуированными аналогами. Максимальные градуированные кольца частных исследовались в диссертации М. Т. Рахмана [45], классическим кольцам частных посвящены работы [22, 102, 112, 132]. В [176] дан обзор современных результатов по кольцам частных градуированных колец. Градуированным кольцам частных посвящена третья глава диссертации.

Для различных алгебраических систем важную роль при построении структурной теории играет понятие радикала. В 50-х годах прошлого века в работах А. Г. Куроша [29] и С. А. Амицура [56, 57] было заложено начало общей теории радикалов колец и алгебр. Было замечено, что общую теорию радикалов можно развивать в любых алгебраических системах, в которых имеет смысл понятие ядра с его обычными свойствами, т. е. в достаточно «хороших» категориях. Основные результаты общей теории радикалов колец и алгебр можно найти, например, в монографиях В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [5] и Б. Дж. Гарднера и Р. Вигандта [99].

В 1964 году В. А. Андрунакиевич и Ю. М. Рябухин [4] показали, что общая теория радикалов ассоциативных колец может быть изложена внешним образом — на языке модулей или, что-то же самое, на языке теории представлений. При таком изложении существенную роль играют общие модули, обобщающие понятия неприводимых и первичных модулей, причем специальные радикалы характеризуются некоторыми подклассами первичных модулей [2, 3].

При рассмотрении градуированных колец градуированную версию радикала можно определить различными способами. Градуированные радикалы градуированных колец активно изучались Г. Бергманом, М. Коен, К. Мени-ни, С. Монтгомери, М. А. Бити, П. Стьюартом и другими (см. [69, 70, 85, 135]). Было установлено, что градуированный радикал Джекобсона можно определить с помощью gr-неприводимых модулей [77], а градуированный первичный радикал — с помощью gr-первичных модулей [125].

Многими авторами изучались радикалы градуированных по полугруппе колец, в их числе А. Д. Белл, Б. Гарднер, A.B. Келарев, Е. Джерперс, W.D. Манн, П. Ваутерс (см. [74], [75], [84], [118]-[121], [131] ,[150]). В этих работах исследовались свойства радикалов градуированных колец и алгебр, однородность радикалов и характеризация радикалов через радикалы компонент для отдельных классов полугрупп. В [153] были поэлементно охарактеризованы градуированные радикалы Бэра, Левицкого, Кёте и Брауна-Маккоя кольца, градуированного сократимым моноидом. Радикалам градуированных колец посвящена диссертация С. А. Абдэль Азиз [1]. В четвертой главе диссертации продолжено изучение градуированных радикалов градуированных колец.

Важное значение при исследовании градуированных колец и модулей играют так называемые градуированные эквивалентности, т. е. эквивалентности которые перестановочны со всеми функторами сдвига градуировок. В случае G = Z, такие эквивалентности были охарактеризованы автором диссертации, а также Р. Гордоном и Е. JI. Грином [103]. К. Менини и К. Настасеску заметили в [128], что результаты остаются верными и для произвольной группы G. Дж. Хейфнер [105] рассматривал градуированные эквивалентности градуированных колец с локальными единицами, А. дель Рио [144] описал градуированные эквивалентности между категориями градуированных модулей над градуированными кольцами в том случае, когда градуировка колец рассматривалась по различным группам. Градуированным эквивалентностям в категориях градуированных модулей посвящена пятая глава данной работы.

При изучении колец операторов линейных пространств и колец эндоморфизмов модулей одним из центральных вопросов является описание их изоморфизмов. Описание изоморфизмов колец линейных преобразований линейных пространств над телами приведено в монографии Р. Бэра [15]. Проблема описания изоморфизмов колец эндоморфизмов модулей фактически стартовала с теоремы Бэра-Капланского о характеризации абелевых групп их кольцами эндоморфизмов (важность модульного подхода в этой задаче была подчеркнута в монографии И. Капланского [117] по бесконечным абелевым группам). Классическая постановка задачи выясняет, когда изоморфизм колец эндоморфизмов индуцируется полулинейным преобразованиемначиная с работы К. Мориты [130] стала рассматриваться индуцируемость эквивалентностью Мориты, т. е. функтором, ассоциированным с конечно порожденным проективным образующим [80]. A.B. Михалёвым [36] была рассмотрена и более общая ситуация, когда изоморфизм колец эндоморфизмов индуцируется функтором, ассоциированным с образующим модулем: были доказаны три критерия, решающие вопрос о том, когда изоморфизм колец эндоморфизмов строгих образующих модулей (т.е. модулей, имеющих свободное циклическое прямое слагаемое) индуцируется функтором, ассоциированным с образующим модулем, эквивалентностью Мориты или полулинейным преобразованием. Наряду с описанием изоморфизмов колец эндоморфизмов модулей значительный интерес представляет описание антиизоморфизмов колец эндоморфизмов. В уже упомянутой монографии Р. Бэра [15] было установлено, что кольца линейных преобразований линейных пространств Vq и We над телами антиизоморфны в том и только том случае, если пространства Vd и We конечномерны и существует антиполулинейное преобразование сопряженного пространства pV* на пространство We, которое индуцирует антиизоморфизм. К. Уолфсон [156] привел критерий индуцируемости антиизоморфизма колец эндоморфизмов строгих образующих антиполулинейным преобразованием. A.B. Михалевым и К. И. Бейдаром [10] был установлен критерий индуцируемости антиизоморфизма колец эндоморфизмов строгих образующих антиэквивалентностью Мориты.

При рассмотрении градуированных колец вместо кольца эндоморфизмов для градуированного модуля естественно рассматривать градуированное кольцо эндоморфизмов вообще говоря, строго содержащееся в кольце эндоморфизмов модуля, рассматриваемого без градуировки. Изоморфизмам и антиизоморфизмам градуированных колец эндоморфизмов градуированных модулей близких к свободным посвящена заключительная глава данной работы.

Важное место в теории градуированных колец занимает проблема описания градуировок. В последние годы было опубликовано много работ, касающихся описанию всех возможных градуировок на кольце матриц Мп (к) над полем к (см., например, [8, 63, 89]). В этих работах были выделены, так называемые хорошие (или элементарные) градуировки, которые характеризовались тем свойством, что все матричные единицы Е^ являются однородными элементами. Результаты данной работы позволяют дать описание &bdquo-хороших" градуировок на кольцах матриц над любыми градуированными кольцами.

Целью работы является развитие структурной теории градуированных колец на основе градуированных колец эндоморфизмов, градуированных радикалов, градуированной эквивалентности Мориты и градуированных колец частных, позволяющих, например, решить для градуированных колец следующие проблемы: проблему В. А. Андрунакиевича о специальных радикалах, градуированные варианты проблем Мориты и Бэра-Капланского.

Основные методы исследования. В диссертации используются методы классической теории колец, теории категорий и развитые методы теории градуированных структур.

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получен градуированный аналог &bdquo-треугольной теории Галуа": построены изоморфизм (антиизоморфизм) между решеткой градуированных подпространств градуированного линейного пространства над градуированным телом и решеткой правых (левых) градуированных аннуляторных идеалов его градуированного кольца эндоморфизмов, антиизоморфизм между решеткой правых и решеткой левых градуированных аннуляторных идеалов градуированного кольца эндоморфизмов. Установлено, что любой изоморфизм градуированных колец линейных преобразований градуированных линейных пространств над градуированными телами индуцируется специального вида полулинейным преобразованием линейных пространств.

2. Доказана расширенная теорема плотности для градуированных колецописаны градуированные слабо примитивные кольца в случае, если градуировка кольца рассматривается по полугруппе, а градуировки модулей — по различным полигонам над этой полугруппой (при некоторых условиях сокращения, наложенных на полигон).

3. Описаны свойства градуированного центроида Мартиндейла полупервичного градуированного кольца. Получена градуированная версия теоремы Познера, утверждающая, что градуированная первичная Р1-алгебра обладает градуированной простой конечномерной над своим градуированным центром алгеброй частных.

4. Дана характеристика специальных радикалов категории градуированных колец на языке теории представленийрассмотрены градуированные версии классических радикалов и охарактеризованы классы модулей им соответствующиеопределен класс строго первичных градуированных модулей, характеризующий градуированный строго первичный радикал. Установлено, что локально разрешимый градуированный радикал обобщенно специальной супералгебры Ли совпадает с первичным градуированным радикалом.

Введено понятие первичного радикала градуированных^-групп, дано его поэлементное описаниедоказано, что градуированный первичный радикал градуированной П-группы с условием конечности совпадает с нижним слабо разрешимым (в смысле Парфенова) радикалом.

5. Дано описание градуированных эквивалентностей Мориты в полных подкатегориях категории градуированных модулей.

6. Решена проблема Бэра-Капланского для градуированных модулей, близких к свободным. Получены три критерия для изоморфизма градуированных колец эндоморфизмов быть индуцированным при помощи градуированного полулинейного преобразования, градуированной эквивалентности Мориты или градуированного точного вложения соответственно. Получены два критерия для антиизоморфизма градуированных колец эндоморфизмов и быть индуцированным градуированным антиполулинейным преобразованием или градуированной антиэквивалентностью Мориты соответственно. Описаны &bdquo-хорошие" градуировки на кольцах матриц над градуированными кольцами.

Тем самым в диссертации решены следующие проблемы:

— построение градуированной треугольной теории Галуа;

— градуированный вариант проблемы В. А. Андрунакиевича о специальных радикалах;

— градуированный вариант проблемы Мориты;

— градуированный вариант проблемы Бэра-Капланского.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть применима при исследовании различных градуированных структур.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывалась автором.

— на научно-исследовательском семинаре по алгебре и семинаре &bdquo-Кольца и модули" кафедры Высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова.

— и на следующих научных конференциях: международной конференции по алгебре (Красноярск, 1993);

Ш международной конференции &bdquo-Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 1996) — международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша (Москва, 1998) — международной конференции &bdquo-Универсальная алгебра и ее приложения" (Волгоград, 1999) — международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре (Москва, 2000);

IV Международной конференции &bdquo-Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула, 2001) — международной алгебраической конференции, посвященной памяти З. И. Боревича (Санкт-Петербург, 2002);

V международной конференции &bdquo-Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003) — международной конференции по радикалам (ICOR-2003) посвященной памяти В. Андранукиевича (Кишинев, 2003) — международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва, 2004) — международном семинаре &bdquo-Компьютерная алгебра и информатика", посвященном 30-летию лаборатории вычислительных методов механико-математического факультета МГУ (Москва, 2005);

Ломоносовских чтения МГУ им. Ломоносова (Москва, 2007) — международной научной конференции &bdquo-Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2007) — международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В. Е. Воскресенского (Самара, 2007) — международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша (Москва, 2008, пленарный доклад) — международном алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры, посвященном 80-летию А. И. Кострикина (Москва, 2009);

УП международной конференции &bdquo-Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной памяти А. А. Карацубы (Тула, 2010, пленарный доклад) — международном алгебраическом симпозиуме, посвященном 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию A.B. Михалёва (Москва, 2010, пленарный доклад);

VLLI международной конференции &bdquo-Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 190-летию П. Л. Чебышева и 120-летию И. М. Виноградова (Саратов, 2011) — международной конференции &bdquo-Алгебра и математическая логика", посвященной 100-летию со дня рождения В. В. Морозова (Казань, 2011);

IX международной конференции, Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 80-летию со дня рождения М. Д. Гриндлингера (Тула, 2012, пленарный доклад).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [163] -[201].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, разбитых на параграфы (нумерация параграфов подчинена нумерации глав, нумерация теорем подчинена нумерации параграфов) и списка литературы. Полный объем диссертации — 212 страниц, библиография включает 201 наименование, из которых 39 — публикации автора по теме диссертации.

1. Абдэль Азиз С. А. Радикалы градуированных колец: Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — М., 1986.

2. Андрунакиевич В. А. Первичные модули и радикал Бэра // Сиб. матем. журн. 1961. — Т. 2, № 6. — С. 801−806.

3. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Специальные модули и специальные радикалы // ДАН СССР. 1962. — Т. 147, № 6. — С. 1274−1277.

4. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Модули и радикалы // ДАН СССР 1964. Т. 156, № 5. — С. 991−994.

5. Андрунакиевич В. А., Рябухин Ю. М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.

6. Бабич A.M. О радикале Левицкого // ДАН СССР. 1959. — Т. 126, № 2. — С. 242−243.

7. Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука, 1990.

8. Бахтурин Ю. А., Зайцев М. В., Сегал С. К. Конечномерные простые градуированные алгебры // Матем. сб. 2008. — Т. 199. — № 7. — С. 21−40.

9. Бейдар К. И., Михалёв A.B. Ортогональная полнота и алгебраические системы // Успехи матем. наук. 1985. — Т. 40, вып. 6(246). — С. 77−115.

10. Бейдар К. И., Михалёв A.B. Антиизоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным, индуцированные антиэквивалентностя-ми Мориты // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1996. — Вып. 19. -С. 338−344.

11. Бейдар К. И., Пихтильков С. А. О первичном радикале специальных алгебр Ли // Успехи мат. наук. 1994. — № 1. — С. 233.

12. Бейдар К. И., Пихтильков С. А. Первичный радикал специальных алгебр Ли // Фундамент, и прикл. матем. 2000. — Т. 6, вып. 3. — С. 643−648.

13. Березин Ф. А. Ведение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. М.: Изд-во МГУ, 1983.

14. Бовди A.A. Групповые кольца. Ужгород: Изд-во Ужгород, ун-та, 1974.

15. Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: Изд-во иностр. лит., 1955.

16. Голубков А. Ю. Первичный (Я/*-разрешимый) радикал унитарной группы над кольцом с инволюцией // Фундамент, и прикл. матем. -2000. Т. 6, № 1. — С. 93−119.

17. Голубчик И. З., Михалёв A.B. Элементарная подгруппа унитарной группы над PI-кольцом // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1985, № 1. — С. 30−36.

18. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.

19. Зайцев М. В., Сегал С. К. Конечные градуировки простых артиновых колец // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2001. -№ 3. — С. 21−24.

20. Залесский А. Е., Михалев A.B. Групповые кольца // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 2. М: ВИНИТИ. — 1973. -С. 5−118.

21. Зеленов C.B. Теоремы плотности Зельмановича для колец, градуированных по полугруппам // Фундамент, и прикл. матем. 2001. — Т. 7, № 2. — С. 373−385.

22. Канунников A. J1. Градуированные варианты теоремы Голди // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2011. — № 3. — С. 46−50.

23. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М: Наука, 1982.

24. Каш Ф. Кольца и модули. М.: Мир, 1981.

25. Кашу А. И. Функторы и кручения в категориях модулей. Кишинев, 1997.

26. Келарев A.B. Недавние результаты и открытые вопросы о кольцах, градуированных полугруппами // Фундамент, и прикл. матем. 1998. — Т. 4, № 4. — С. 1115−1139.

27. Кемер А. Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно порожденной PI-алгебры // ДАН СССР. 1980. — Т. 245, № 4. — С. 793−797.

28. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. Т.1. М.: Мир, 1972.

29. Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб. 1953. — Т. 33, № 1. С. 13−26.

30. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973.

31. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

32. Латышев В. Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями // Сиб. матем. журн. 1963. — Т. 4, № 4. — С. 821−829.

33. Латышев В. Н., Михалев A.B., Пихтильков С. А. О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 2003. — 3. — С. 29−32.

34. Лимаренко C.B. Слабо примитивные суперкольца // Фундамент, и прикл. матем. 2004. — Т.10, № 3. — С. 97−142.

35. Михалёв A.B. Изоморфизмы полугрупп эндоморфизмов модулей // Алгебра и логика. 1966. — Том 5. — № 5. — С. 59−67.

36. Михалёв A.B. Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1989. № 2. С. 20−27.

37. Михалёв A.B., Шаталова M.А. Первичный радикал решеточно-упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — С. 178−184.

38. Михалёв A.B., Шаталова М. А. Первичный радикал решеточно-упорядоченных групп // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. 1990. — № 2. — С. 84−86.

39. Михалёв A.B., Шаталова М. А. Первичный радикал il-групп и ГМ-групп // Фундамент, и прикл. матем. 1998. — Т. 4, № 4. — С. 1405−1413.

40. Нуретдинов И. Р., Зеленов C.B. Градуированные регулярные кольца // Труды 12 Международной конференции FPSAC’OO «Формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика», дополнительные тезисы. М. — 2000. — С. 51−52.

41. Парфенов В. А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли // Сиб. матем. журн. 1971. — Т. 12, № 1. — С. 171−176.

42. Пихтильков С. А. О специальных алгебрах Ли // Успехи мат. наук. -1981. Т. 36, № 6. — С. 225−226.

43. Размыслов Ю. П. Об одной проблеме Капланского // Известия АН СССР. Сер. матем. 1973. — Т. 31. — С. 483−501.

44. Размыслов Ю. П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах // Алгебра и логика. 1974. — Т. 13, № 3. — С. 337−360.

45. Рахман М. Т. Инъективные модули, кольца эндоморфизмов и локализации в случае градуированных колец: Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — М., 1982.

46. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, I. М.: Мир. 1977.

47. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, II. М.: Мир, 1979.

48. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М: Мир, 1971.

49. Часов А. А. Изоморфизмы градуированных матричных алгебр // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2004. — № 5. — С. 12−18.

50. Цукерман Г. М. Кольца эндоморфизмов свободных модулей // Сиб. ма-тем. журн. 1966. — Т. 7, № 5. — С. 1161−1167.

51. Жевлаков К. А., Слинько A.M., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

52. Щукин К. И. Д/*-разрешимый радикал групп // Матем. сб. 1960. — Т. 52, № 4. — С. 1024−1031.

53. Эльмахди С. С. Градуированные регулярные модули и градуированные V-модули: Дисс.. канд. физ.-мат. наук. — М., 1985.

54. Abrams G., Menini С. Embedding modules in graded modules over semigroup-graded rings // Comm. Algebra. 2001. — V. 29, no. 16. — P. 2611−2625.

55. Abrams G., Menini C., del Rio A. Realization theorems for categories of graded module over semigroup-graded rings // Comm. Algebra. 1994. -V. 22, no. 13. — P. 5343−5388.

56. Amitsur S.A. A general theory of radicals, I: Radicals in complete lattices// Amer. J. Math. 1952. — V. 74. — P. 774−786.

57. Amitsur S.A. A general theory of radicals, II: Radicals in rings and bicategories // Amer. J. Math. 1954. — V. 76. — P. 100−125.

58. Amitsur S.A. On rings of quotients // Symposia Mathematica. 1972. — V. 8. — P. 149−164.

59. Asano K. Aritheoremetische idealtheorie' in nichtkommutativen ringen // Japan J. Math. 1939. — V. 15. — P. 1−36.

60. Bahturin Yu. On Lie subalgebras of associative Pi-algebras //J. Algebra. 1980. — V. 67, no. 2. — P. 257−271.

61. Bahturin Y., Giambruno A., Riley D. Group-graded algebra with polynomial identity // Izrael J. Math. 1998. — V. 104. — P. 145−155.

62. Bahturin Yu.A., Montgomery S. Pi-envelopes of Lie syperalgebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. — V. 127, no. 10. — P. 2829−2939.

63. Bahturin Yu. A., Sehgal S.K., Zaicev M.V. Group graging on associative algebras // J. Algebra. 2001. — V. 241. — P. 677−698.

64. Bahturin Ju.A., Zaicev M.V. Group gradings on matrix algebras // Canad. Math. Bulletin. 2002. — V. 45. — P. 499−508.

65. Beachy J. Some aspects of noncommutative localization // Noncommutative Ring Theory, Int. Cjnf., Kent, 1975. Berlin: Springer, 1976. — (Lect. Notes in Math. V. 545). — P. 2−31.

66. Beachy J. Generating and cogenerating structures // Trans. Amer. Math. Soc. 1971. — V. 158. — P. 75−92.

67. Beattie M.A. A generalization of the smash product of a graded ring //J. Pure Appl. Alg. 1988. — V. 52, no. 2. — P. 219−226.

68. Beattie M.A., Dascalescu S. Categories of modules graded by G-sets // J. Pure Appl. Alg. 1996. — V. 107. — P. 129−139.

69. Beattie M.A., Stewart P.N. Graded radicals of graded rings // Acta Math. Hung. 1991. — V. 58, no. 3−4. — P. 261−272.

70. Beattie M.A., Liu S.-X., Stewart P. Comparing graded versions of the prime radical // Canad. Math. Bull. 1991. — V. 34, no. 2. — P. 158−164.

71. Beidar K.I., Martindale W.S., Mikhalev A.V. Rings with generalized identities. New York: Marcel Dekker, 1996.

72. Beidar K. I., Chebotar M. A. When is a graded PI algebra a PI algebra? // Comm. Algebra. 2003. — V. 31, no. 6. — P. 2951−2964.

73. Bell A.D. Localization and ideal theory in Noetherian strongly group-graded rings // J. Algebra. 1987. — V. 105. — P. 76−115.

74. Bell A.D. Prime ideals and radicals in rings by Clifford semigroups // Comm. Algebra. 1997. — V. 25. — P. 1595−1608.

75. Bell A.D., Stalder S.S., Temply M.L. Prime ideals and radicals in semigroup-graded rings // Proc. Edinb. Math. Soc. 1996. — V. 39, no. 1. — P. 1−25.

76. Bergen J., Cohen M. Action of commutative Hopf algebra // Bull. Lond. Math. Soc. 1986. — V. 18. — P. 159−164.

77. Bergman G. On Jacobson radicals of graded rings // preprint.

78. Bican L., Jampor P., Kepka T., Nemec P. Prime and coprime modules // Fund. Math. 1980. — Vol. 57. — P. 33−45.

79. Boboc C., Dascalescu S. Gradings of matrix algebras by cyclic groups // Comm. Algebra. 2001. — V. 29. — P. 5013−5021.

80. Bolla M.L. Isomorphisms between endomorphism rings of progenerators // J. Algebra. 1984. — V. 87. — P. 261−281.

81. Braun A. The nilpotency of the radical in a finitely generated Pi-ring //J. Algebra. 1984. — V. 89, no. 2. — P. 375−396.

82. Burgess W.D. Rings of quotients of group rings // Can. J. Math. 1969. -V. 21. — P. 865−875.

83. Buys A., Gerber G. K. The prime radical for S7-groups // Comm. Algebra. 1982. — V. 10. — P. 1089−1099.

84. Clase M.V., Jespers E. On the Jacobson radical of semigroup graded rings // J. Algebra. 1994. V. 169. — P. 79−97.

85. Cohen M., Montgomery S. Group-graded ring, smash products, and group action // Trans. Amer. Math. Soc. 1984. — V. 282, no. 1. -. P. 237−258- addendum: Trans. Amer. Math. Soc. — 1987. — V. 282, no. 2. — P. 810−811.

86. Cohen M., Rowen L.H. Group-graded rings // Comm. Algebra. 1983. -V. 11, no. 1. — P. 1253−1270.

87. Dade E.C. Group-graded rings and modules // Math. Z. 1980. — V. 174, no. 3. — P. 241−262.

88. Dade E.C. Clifford theory for group graded rings //J. Reine Angew. Math. 1986. — V. 369. — P. 40−86.

89. Dascalescu S., Ion B., Nastasescu C. and Rios Montes J. Group gradings on full matrix rings //J. Algebra. 1999. — V. 220. — P. 709−728.

90. Dauns J. Prime modules // J. Reine Angew. Math. 1978. — V. 298. — P. 156−181.

91. Daus L., van Oystaeyen F. Regularity and generalized invertibility in graded rings // New techniques in Hopf algebras and graded rings theory. Proceeding. 2007. — P. 79 -84.

92. Dickson S. E. A torsion theory for Abelian categories // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. — V. 121. — P. 223−235.

93. Fang H., Stewart P. Radical theory for graded rings // Austral. Math. Soc. (Series A). 1992. — V. 52. — P. 143−153.

94. Feller E.H., Swokowski E.W. Prime modules // Can. J. Math.- 1965. V. 17. — P. 1041−1052.

95. Ferrero M., Jespers E., Puezylowski E.R. Prime ideals of graded rings and related matter // Comm. Algebra. 1990. — V. 18, no. 11. — P. 3819−3834.

96. Fosner M. In the extended centroid of prime superalgebras with applications to superderivations // Comm. Algebra. 2004. — V. 32, no. 2. — P. 689−705.

97. Fuller K.R. Density and equivalence // J. Algebra. 1974. — V. 29. — P. 528−550.

98. Gardner B.J., Plant A. The graded Jacobson radical of associative rings // Bui. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat. 2009. — V 59, no. 1. — P. 31−36.

99. Gardner B.J., Wiegandt R., Radical theory of rings New York: Marcel Dekker, 2004.

100. Jensen A., Jondrup S. Classical quotient rings of group graded rings // Comm. Algebra. 1992. — V. 20. — P. 2923−2936.

101. Jespers E., Wauters P. A general notion of noncommutative Krull rings // J. Algebra. 1988. — V. 112. — P. 388−398.

102. Jespers E. Commputing the extended centroid of Abelian-group graded-rings // Comm. Algebra. 1992. — V. 20, no 12. — P. 3603−3608.

103. Jespers E. Jacobson rings and rings strongly graded by an abelian group // Israel J. Math. 1988. — V. 63. — P. 67−78.

104. Johnson R.E. Representations of prime rings // Trans. Amer. Math. Soc. -1953. Vol. 74, no. 2. — P. 351−357.

105. Kaplansky I. Infinite abelian groups. The University of Michigan, 1954.

106. Kelarev A.V. When is the radical of band sum of rings is homogeneous? // Comm. Algebra. 1990. — V. 18. — P. 585−603.

107. Kelarev A.V. The regular radical of semigroup rings of commutative semigroups // Glasgow Math. J. 1992. — V. 34. — P. 133−141.

108. Kelarev A.V. Radicals of algebras graded by cancellative linear semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. — V. 124, no. 1. — P. 61−65.

109. Kelarev A.V. Semisimple ring graded by inverse semigroup //J. Algebra.- 1998. V. 205. — P. 451−459.

110. Kelarev A.V., Okninski J. The Jacobson radical of graded Pi-rings and related classes of rings //J. Algebra. 1996. — V. 186. — P. 818−830.

111. Kilp M., Krauner U., Mikhalev A.V. Monoids, acts and categories with applications to wreath products and graphs. BerlinNew York: de Gruyter, 2000.

112. Koh K., Mewborn A.C. Prime rings with maximal annihilator and maximal complement right ideals // Proc. Amer. Math. Soc. 1965. — V. 16, no. 5. P. 1073−1076.

113. Liu S.-X., van Oystaeyen F. Group-graded rings, smash product and additive categories // Perspectives in ring theory. Kluwer Academ Press, 1988. — P. 299- 300.

114. Liu S.-X., Beattie M., Fang Hongjin. Graded division rings and the Jacobson density theorem //J. Boijing Normal University (Natural Science). 1991. V. 27, no. 2. P. 129−134.

115. Martindale W. S. Prime rings satisfying a generalized polynomial identity //J. Algebra. 1969. — V. 12. — P. 576−584.

116. Menini C., Nastasescu C. When is R-gr equivalent to the category of modules? // J. Pure Appl. Alg. 1988, no. 3. — P. 277−291.

117. Menini C., del Rio A. Morita duality and graded rings // Comm. Algebra.- 1991. V. 19, no. 6. — P. 1765−1794.

118. Morita K. Category-isomorphisms and endomorphism rings of modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. — V. 103. — P. 451−469.

119. Munn W.D. A class of band-graded rings // J. Lond. Math. Soc. 1992. -V. 45. — P. 1−16.

120. Nastasescu C., Nauwelaerts E., van Oystaeyen F. Arithmetically graded rings revisited // Comm. Algebra. 1986. — V. 14, no. 10. — P. 1191−2017.

121. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded and filtered rings and modules. Lect. Notes in Math. No. 758. Berlin: Springer, 1979.

122. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Graded ring theory. Amsterdam: North-Holland, 1982.

123. Nastasescu C., van Oystaeyen F. The strongly prime radical of graded rings // Bull. Soc. Math. Belg. Ser. B. 1984. — V. 36. — P. 243−251.

124. Nastasescu C., van Oystaeyen F. Methods of graded rings. Berlin: Springer, 2004.

125. Nastasescu C., Raianu S., van Oystaeyen F. Modules graded by G-sets // Math. Z. 1990. — V. 203, no. 4. — R 605−627.138. van Oystaeyen F. Note on graded von Neumann regular rings // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1984. — V.29, no. 3. — P. 263−271.

126. Ohtake K. Equivalence between colocalization and localization in Abelian categories with applications to the theory of modules // J. Algebra. 1982. V. 79. P. 169−205.

127. Ore O. Linear equations in non-commutative fields // Ann. of Math.-1931.-V. 32. P. 463−477.

128. Passman D.S. Commputing the symmetric rings of quotients //J. Algebra.- 1987. V. 105. — P. 207−235.

129. Passman D.S. Infinite crossed products. — Math. Department Univ. of Wisconsin, 1988.

130. Racine M. L. Primitive superalgebras with superinvolution //J. Algebra. -1998. V. 206. — P. 588−614.144. del Rio A. Graded rings and equivalence categories // Comm. Algebra. -1991. V. 19, no. 3. — P. 997−1012.

131. Regev A. Existence of identities in A <&F B // Israel J. Math. 1972. — V. 11, no. 2. — P. 131−152.

132. Sehgal S.K., Zaicev M.V. Graded identities of group algebras // Comm. Algebra. 2002. — V. 30, no. 1. — P. 489−505.

133. Scheunert M. The theory of Lie superalgebras. Lect. Notes Math. No 716. 1979.

134. Stenstrom B. Rings of quotients. An introduction to methods of ring theory.- Berlin: Springer, 1975.

135. Tachikawa H., Ohtake K. Colocalization and localization in abelian categories //J. Algebra. 1979. — V. 56. — P. 1−23.

136. Wauters P., Jespers E. Rings graded by an inverse semigroups with finite many idempotents // Houston J. Math. 1989. — V. 15. — P. 291−304.

137. Wisbauer R. On prime modules and rings // Comm. Algebra. 1983. -V. 11. — P. 2249−2265.

138. Wisbauer R. Foundations of Module and Ring Theory. Paris: Gordon and Breach, 1991.

139. Wnag Yao, Ren Yan-li. The characterization of graded radicals by means of elements // J. Jishou Univ. Natur. Sci. Ed. 1999. — V. 20, no. 3. — P. 41−45.

140. Wolfson K. G. An ideal-theoretic characterization of the rings of all linear transformations // Amer. J. Math. 1953. — V. 75, no. 2. — P. 358- 386.

141. Wolfson K. G. Isomorphisms of the endomorphism rings of a class of torsionfree modules // Proc. Amer. Math. Soc. 1963. — V. 14, no. 4. — P. 589−594.

142. Wolfson K. G. Anti-isomorphism of endomorphism rings of locally free modules // Math. Z. 1989. — V.202. — P. 151−159.

143. Yahya. H. A note on graded regular rings // Comm. Algebra. 1997. -V. 25, no. 1. — P. 223−228.

144. Zelmanowitz J. An extension of the Jacobson density theorem // Bull. Amer. Math. Soc. 1976. — V. 88, no. 4. — P. 551−553.

145. Zelmanowitz J. Weakly primitive rings // Comm. Algebra. 1981. — V. 9, no. 1. — P. 23−45.

146. Zelmanowitz J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. -V. 163. — P. 341−355.

147. Zhu, Bin. Graded primitive ring and Kaplansky’s theorem // Beijing Shuifan Daxue Xuebao. 1998. — V. 34, no. 1. — P. 1−5.

148. Ware R. Endomorphism rings of proective modules // Trans. Amer. Math. Soc, 1971. V. 155, no. 1. — P. 233−256.

149. Балаба И. Н. Эквивалентности Мориты категорий градуированных модулей // Успехи мат. наук. 1987. — Т.42, вып. 3(255). — С. 177−178.

150. Балаба И. Н. О слабо примитивных градуированных кольцах // Успехи мат. наук. 2001. — Т. 56, вып. 6. — С. 139−140.

151. Балаба И. Н. Градуированные регулярные кольца // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2002. — Т. 8, вып. 1. -С. 5−9.

152. Балаба И. Н. Градуированные первичные PI-алгебры // Фундамент, и прикл. матем. 2003. — Т.9, № 1. — С. 19−26.Перевод: Balaba I. N. Graded prime Pi-algebras / / Journal of Mathematical Sciences. 2005. — V. 128, no. 6. — P.3345−3349.

153. Бал аба И. Н. Индуцируемость антиизоморфизмов колец эндоморфизмов градуированных модулей антиполулинейным преобразованием // Успехи мат. 2008. — Т. 63, вып. 3. — С. 151−152.

154. Балаба И. Н., Михалёв А. В. Изоморфизмы и антиизоморфизмы колец эндоморфизмов градуированных модулей, близких к свободным // Доклады Академии Наук. 2009. — Т. 425, № 5. — С. 1−4.

155. Балаба И. Н. Первичные градуированные модули // Фундамент, и прикл. матем. 2008. — Т. 14, № 4. — С. 65−74.Перевод: Balaba I. N. Prime graded modules // Journal of Mathematical Sciences. 2009. — V.163, no. 5. — P. 487−492.

156. Балаба И. Н., Канунников A. JL, Михалёв A.B. Кольца частных градуированных ассоциативных колец // Фундамент, и прикл. матем. -2011;2012. Т. 17, № 2. — С. 3−74.

157. Балаба И. Н. Градуированное максимальное кольцо частных // Известия ТГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 1997. — Т. З, вып. 1. — С. 5−7.

158. Balaba I.N. Special radicals of graded rings // Bui. Acad. Stiinte Repub. Mold. Mat. 2004. — V 44, no. 1. — P. 26−33.

159. Балаба И. Н. Радикалы в категории градуированных по полугруппе колец // Чебышевский сб. 2004. — Т. 5, вып. 4 (12). — С. 58−64.

160. Балаба И. Н. Изоморфизмы градуированных колец линейных преобразований градуированных векторных пространств // Чебышевский сб. -2005. Т. 6, вып. 4(16). — С. 6−23.

161. Балаба И. Н., Ефремов В. А. Градуированные кольца частных полупервичных градуированных колец // Чебышевский сб. -2010. Т 11, вып. 1(33) — С. 20−30.

162. Балаба И. Н. Градуированные регулярные кольца и модули // Чебышевский сб. 2010. — Т. 11, вып. 3(35). — С. 22−31.

163. Балаба И. Н. Кольца частных полупервичных градуированных колец // Труды междунар. семинара «Универсальная алгебра и ее приложения». Волгоград, 2000. — С. 21−28.

164. Балаба И. Н. Теоремы плотности градуированных колец // Сб. трудов ППС ТГПУ (Толстовские чтения), ч.2. Тула, 1996. — С. 23.

165. Балаба И.H. Эквивалентности в категории градуированных модулей // Сб. тезисов междунар. конф. по алгебре. Красноярск, 1993. — С. 12.

166. Балаба И. Н. Градуированные слабо примитивные кольца // Сб. тезисов Ш Междунар. конфер." Современные проблемы теории чисел и ее приложения". Тула,.1996. — С. 12.

167. Balaba I.N. Graded maximal right ring of quotient//Тезисы докладов междунар. алгебр, конф. памяти А. Г. Куроша. М.: МГУ. — 1998. — С. 33.

168. Балаба И. Н. Кольца частных полупервичных градуированных колец // Сб. тезисов междунар. конфер. «Универсальная алгебра и ее приложения». Волгоград, 1999. — С. 16.

169. Балаба И. Н. Градуированные регулярные модули // Сб. тезисов междунар. алгебр, семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре. Москва, 2000. — С. 5−6.

170. Балаба И. Н. Регулярные кольца, градуированные полугруппой // Тезисы докладов IV междунар. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 2001. — С. 16−17.

171. Балаба И. Н. Градуированный вариант теоремы Познера // Тезисы докладов междунар. алгебр, конференции, посвященной памяти З. И. Боревича. СПб: ПОМИ им. Стеклова, 2002. — С. 15−16.

172. Балаба И. Н. Регулярные строго градуированные кольца // Тезисы докладов V междунар. конф. «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения «. Тула: ТГПУ, 2003. — С. 21−22.

173. Balaba I.N. Graded radicals of graded rings // International conference on radicals (ICOR-2003) dedicated to the memory of prof. V. Andrunakievich (program and abstacts). Chishinev. — 2003. — P. 14−16.

174. Балаба И. Н. О градуированном радикале Джекобсона // Тезисы докладов междунар алгебр, конф., посвященной 250-летию МГУ и 75-летию кафедры высшей алгебры. М., 2004. — С. 9−10.

175. Балаба И. Н. Градуированные кольца линейных преобразований // Междунар. научная конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 2007. — С. 8- 10.

176. Балаба И. Н. Изоморфизмы градуированных колец эндоморфизмов // Междунар. конф. по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В. Е. Воскресенского: тезисы докладов. Самара: Изд-во «Универс групп», 2007. — С. 7−8.

177. Балаба И. Н. Градуированные простые артиновы кольца // Материалы междунар. конф. «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова. Казань: КФУ. — 2011, С. 43−44.