Векторные многоугольники в физических задачах

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

" Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина"

Физический факультет Кафедра теоретической физики и астрономии Курсовая работа

ВЕКТОРНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ по теоретической физике Специальность: Физика и информатика

Выполнил Научный руководитель Брест 2010

• Введение
• 1. О решении физических задач в средней школе
• 1.1 О возможности применения векторных многоугольников для решения физических задач
• 1.2 Роль решения задач в процессе обучения физике
• 1.3 Традиционный способ решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики
• 2. О векторных способах решения задач механики
• 2.1 Векторные треугольники скоростей и перемещений в задачах
• 2.2 Векторные многоугольники сил в задачах
• 2.3 Векторные многоугольники импульсов в задачах
• 2.4 Векторные диаграммы импульсов в задачах о столкновениях частиц
• Заключение
• Литература

Межпредметные связи физики и математики вполне естественны: физика не только экспериментальная, но и точная наука, широко применяющая различные математические методы. Математика является языком физики, и свободное владение математическим аппаратом облегчает понимание физической сущности явлений и процессов. Однако, изучая, разрабатывая и используя новый математический аппарат, физики иногда незаслуженно забывают о ранее найденных и веками эффективно служивших делу физической науки математических способах и приемах. Изучение в школе дифференциального и интегрального исчисления, несомненно, способствует приобщению школьников к современным методам научных исследований, решение многих физических задач при этом существенно упрощается. Но в механике есть ряд задач повышенной для школьников трудности, которые решаются значительно проще не с помощью дифференцирования и интегрирования, а при использовании несложных геометрических приемов, вполне доступных учащимся старших классов (особенно классов с углубленным изучением физики). Примером может служить «забытый» в современной средней школе метод решения задач кинематики и динамики, основанный на построении так называемых векторных многоугольников перемещений, скоростей, ускорений, сил, импульсов.

При изучении механики в школьном курсе физики предполагается знакомство с векторным способом кинематического описания движения, с векторной формой записи законов и формул динамики, но значительно больше внимания и времени уделяется традиционным координатному и естественному способам. Вместе с тем в ряде случаев векторный способ имеет преимущество перед координатным, не только упрощая решение конкретной задачи, но и превращая иногда сложные на первый взгляд задачи в подстановочные, решаемые практически устно.

В данной работе будут даны краткие теоретические основы и некоторые методические рекомендации по возможности применения геометрических (векторных) способов решения избранных задач кинематики и динамики в школьном курсе физики. На примерах решения конкретных задач механики будет показана эффективность применения в ряде случаев указанных способов.

1. О решении физических задач в средней школе

1.1 О возможности применения векторных многоугольников для решения физических задач

Применение векторных способов, требующих знания основ тригонометрии (в частности, теорем синусов и косинусов), для решения задач механики в непрофильном 9 классе базовой школы вряд ли эффективно в силу недостаточной математической подготовки учащихся. Эти способы рассчитаны на учащихся классов с углубленным изучением физики (тогда вполне возможно их изучение и в 9 классе) или на старшеклассников: на уроках обобщающего повторения в 11 классе общеобразовательной школы, на курсах по выбору, при подготовке к олимпиадам. Естественно, что эти способы должны широко применяться при решении задач со студентами физических специальностей ВУЗов на практических занятиях по общей физике и в физическом практикуме по решению задач.

1.2 Роль решения задач в процессе обучения физике

В последнее время наблюдается тенденция усиления внимания к решению задач при обучении физике, и им отводится значительная часть курса. Решение задач выступает и как цель, и как метод обучения. Метод решения задач с успехом используется учителями при изложении нового учебного материала и его закреплении, при проведении фронтальных лабораторных работ и особенно физических практикумов.

Физической задачей в учебной практике обычно называют небольшую проблему, которая в общем случае решается с помощью логических умозаключений, математических действий и эксперимента на основе законов и методов физики. Задачи условно подразделяются на стандартные (для решения которых достаточно применить известные на данном уровне знаний формулы и уравнения, выражающие физические закономерности) и нестандартные (для решения которых необходимы не только знание физических законов и формул, но и умение делать не объединенные известными алгоритмами предположения, сопоставления, рассуждения и умозаключения). Вполне естественно, что нестандартные для данного уровня знаний и умений задачи могут быть отнесены к стандартным на другом, более высоком уровне.

Решение и анализ задач позволяют понять и запомнить основные законы и формулы физики, создают представления об их характерных особенностях и границах применения. Задачи развивают навык в использовании общих законов материального мира для решения конкретных вопросов, имеющих практическое и познавательное значение. Умение решать задачи является лучшим критерием оценки глубины изучения программного материала и его усвоения. Наряду с этим при решении задач у школьников воспитывается трудолюбие, пытливость ума, смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес к учению, воля и характер, упорство в достижении поставленной цели, формируется особый стиль умственной деятельности, особый метод подхода к физическим явлениям. В процессе решения задач вырабатываются навыки вычисления, работы со справочной литературой, таблицами.

Решение задач служит простым, удобным и эффективным способом проверки и систематизации знаний, умений; позволяет в наиболее рациональной форме проводить повторение ранее изученного материала, расширение и углубление знаний, осуществлять действенную связь преподавания физики с обучением математике, химии, черчению и другим учебным предметам.

1.3 Традиционный способ решения задач кинематики и динамики в школьном курсе физики

Векторная запись многих уравнений физики более полно отображает соответствующие процессы и является более простой и компактной, поэтому она нашла свое применение в современном школьном курсе механики (пример тому — векторная форма записи законов и формул динамики). Векторная форма уравнений в сочетании с соответствующими рисунками раскрывает физическую ситуацию в задаче и предопределяет ее успешное решение. Однако, в процессе решения задач кинематики и динамики используют обычно проекции векторов (координатный способ).

В методической литературе по вузовскому курсу общей физике рекомендуется придерживаться следующего плана решения задачи кинематики:

1) рационально выбрать систему отсчета с указанием начала отсчета времени и обозначить на схематическом чертеже все кинематические характеристики движения (перемещение материальной точки за рассматриваемый промежуток времени, мгновенную скорость в конце и начале перемещения, ускорение и время);

2) записать кинематические законы движения для каждого из движущихся тел в векторной форме;

3) спроецировать векторные величины на координатные оси и проверить, является ли полученная система уравнений полной;

4) используя кинематические связи, геометрические соотношения и специальные условия, данные в задаче, составить недостающие уравнения;

5) решить полученную систему уравнений относительно неизвестных;

6) перевести все заданные величины в одну систему единиц и вычислить искомые величины;

7) проанализировать результат и проверить его размерность.

При решении задач в школьном курсе физики также приемлем данный алгоритм, причем в большинстве случаев пункт 2 опускается, и сразу записываются скалярные уравнения, включающие проекции рассматриваемых в задаче векторных величин.

Для решения задач по динамике общий алгоритм следующий:

1) выяснить, с какими телами взаимодействует движущееся тело, и, сделав схематический чертеж, заменить действие этих тел силами;

2) записать уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторной форме;

3) спроецировать векторные величины на координатные оси (значительно облегчает решение задачи рациональный выбор расположения начала координат и направлений координатных осей);

4) если полученная система уравнений не является полной, составить недостающие уравнения, используя третий закон Ньютона, законы трения или законы кинематики;

5) решить полученную систему уравнений относительно неизвестных в общем виде и проверить размерность искомой величины;

6) сделать численные расчеты, проанализировать полученные результаты.

Если в задаче рассматривается движение нескольких тел, необходимо записать второй закон для каждого из них и учесть кинематические и динамические связи между ними (например, равенство ускорений тел, жестко связанных между собой, равенство сил действия и противодействия и т. д.).

При анализе задач и составлении уравнений, описывающих физические процессы и явления нужно хорошо знать, какие из величин, входящие в формулы физики, являются скалярными, а какие векторными.

Как видно из приведенных алгоритмов решения задач по кинематике и динамике, для вычислений чаще всего используют соответствующие уравнения в проекции на оси координат, поэтому возникает необходимость обучить учащихся преобразованию векторного уравнения в уравнения для проекций, т. е. прежде всего, выработать у них умение определять проекцию вектора на ось. Для этого полезно следующее алгоритмическое предписание:

1) изобразить вектор графически в избранном масштабе; указать на рисунке начало координат и координатную ось;

2) спроецировать на ось начальную и конечную точки вектора;

3) найти длину отрезка между проекциями этих точек на ось; если можно, выразить длину отрезка через модуль вектора;

4) обозначить наименьший угол между положительным направлением оси и направлением вектора; определить этот угол;

5) если указанный угол острый, то приписать проекции знак «+», если нет, то приписать проекции знак «-» .

6) записать проекцию вектора: длину отрезка, определенную в п. 3, со знаком, установленным в п. 5 (или: вычислить проекцию вектора по формуле a_x = acos, если известен |a|).

Таким образом, при решении задач школьного курса по кинематике и динамике применяется координатный способ, предполагающий использование, по крайней мере, двух алгоритмов.

Предлагаемый в последующих разделах данной работы векторный (геометрический) способ решения в ряде случаев имеет преимущество перед координатным. Решение задач с использованием векторного способа предполагает построение векторных многоугольников скоростей, перемещений, ускорений, сил, импульсов. Решение векторных многоугольников (т.е. таких, сторонами которых являются векторы) производится по тем же правилам, что и решение обычных многоугольников. При этом, если получившаяся при построении фигура является косоугольным треугольником, ее решение сводится к применению теоремы синусов и теоремы косинусов. Если же треугольник получается прямоугольным, решение упрощается (используются соотношения сторон и углов прямоугольного треугольника, теорема Пифагора). Таким образом, при применении векторных многоугольников для решения некоторых задач механики отпадает необходимость в проекцировании векторных величин на оси координат, чем, в первую очередь, и упрощается решение конкретной задачи.

2. О векторных способах решения задач механики

2.1 Векторные треугольники скоростей и перемещений в задачах

Кинематика изучает «геометрию» движения — математическое описание движения без анализа причин, его вызывающих. Другими словами, без выяснения вопроса, почему рассматриваемое движение происходит именно так, а не иначе, устанавливается математическое соотношение между его различными характеристиками, такими как перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, время движения.

При движении тела (материальной точки) его перемещение можно рассматривать как геометрическую сумму нескольких последовательных перемещений, например,

. (2.1 1)

Соответствующий (2.1 1) многоугольник (треугольник) перемещений представлен на рис. 1. Изменение скорости тела

; (2.1 2)

этому выражению соответствует треугольник скоростей (рис.2).

Если тело движется с постоянным по величине и направлению ускорением, то выражение для скорости в любой момент t времени имеет вид:

; (2.1 3)

где при t = 0. В общем случае направления векторов начальной скорости и ускорения могут не совпадать. Треугольник скоростей, соответствующий выражению (2.1 3), приведен на рис. 3. Вектор перемещения при этом определяется следующим образом:

. (2.1 4)

Рисунок 1. Рисунок 2. Рисунок 3.

Векторные треугольники перемещений представлены на рис. 4 — 6.

Рисунок 4. Рисунок 5. Рисунок 6.

Наиболее эффективно применение векторного способа, основанного на построении векторных треугольников скоростей и перемещений, в тех случаях, когда известны направления векторов ускорения и одной из скоростей (например, начальной). Это относится, в частности, к задачам о движении тепа под действием сипы тяжести.

При движении двух тел (материальных точек), зная их перемещения и относительно некоторой системы отсчета, можно вычислить перемещение второго тепа относительно первого:

. (2.1 5)

Разность скоростей теп (относительная скорость) определяется при этом выражением:

(2.1 6)

соответствующим закону сложения скоростей Галилея:

(2.1 7)

где и v₂ — скорости первого и второго теп в неподвижной системе отсчета («неподвижность» системы относительна), — скорость второго тела относительно первого. Векторные треугольник и параллелограммы скоростей, соответствующие формулам (2.1 6) и (2.1 7), представлены на рисунке 7.

а) б) в)

Рисунок 7.

Заметим, что в задачах об одновременном движении двух или нескольких тел целесообразно, как правило, связывать систему отсчета с одним из этих тел и использовать понятия относительных скорости и перемещения.

2.2 Векторные многоугольники сил в задачах

Основное уравнение динамики материальной точки является математическим выражением второго закона Ньютона и имеет вид:

(2.2.1)

где — масса материальной точки, — ее ускорение, - действующая на материальную точку сила (или равнодействующая нескольких сил, определяемая их геометрической суммой). Таким образом, при наличии нескольких складываемых сил можно построить их векторный многоугольник. При этом ускорение равно нулю, если равнодействующая сила равна нулю.

2.3 Векторные многоугольники импульсов в задачах

Как известно, одна из форм второго закона Ньютона имеет вид:

(2.3.1)

где — импульс тепа (материальной точки), — его изменение за время — средняя за время сипа, действующая на тело. Формула (2.3.1) представляет собой математическое выражение так называемой теоремы об изменении импульса: изменение импульса тепа равно импульсу средней сипы, приложенной к телу.

Аналогичные формула и теорема имеют место и для системы теп, но в этом случае — суммарный импульс тел системы, - средняя за время геометрическая сумма внешних сил, действующих на тепа системы (так называемый главный вектор внешних сил). При импульс тепа (или системы тел) сохраняется:, .

2.4 Векторные диаграммы импульсов в задачах о столкновениях частиц

Остановимся на механическом описании процессов неупругого и упругого соударений, имеющем прикладное значение в разных разделах физики. Рассмотрим сначала «самопроизвольный» (без воздействия внешних сил) распад частицы на две составные части — на две частицы, движущиеся после распада независимо друг от друга. Наиболее просто процесс выглядит в системе отсчета, в которой частица до распада покоилась; в этой системе будет покоиться центр масс двух образовавшихся после распада частиц. Назовем эту систему отсчета Ц-системой. По закону сохранения импульса сумма импульсов обеих образовавшихся после распада частиц в Ц-системе равна нулю, т. е. импульсы частиц равны по модулю и направлены в противоположные стороны Модуль импульса каждой частицы определяется из закона сохранения энергии:

(2.4 1)

где и - массы образовавшихся частиц, и — их внутренние энергии, - внутренняя энергия исходной частицы. Тогда энергия распада

. (2.4 2)

Распад возможен при е>0. Из (2.4 1) и (2.4 2) находим:

(2.4 3)

где - приведенная масса образовавшихся частиц. Скорости частиц после распада в Ц-системе: и .

Перейдем к системе отсчета, в которой первичная частица движется до распада со скоростью. Эту систему отсчета обычно называют лабораторной системой (JI-системой). Пусть скорость одной из частиц после распада в JI-системе равна, а в Ц-системе равна. Тогда

или; (2.4 4),, (2.4 5)

где — угол выпета частицы по отношению к направлению скорости. Зависимость скорости распадной частицы от направления ее вылета в JI-системе может быть представлена с помощью диаграмм (рисунок 8).

A А

О О

Рисунок 8.

Из рисунка 8 видно, что при частица может вылететь под любым углом; при - только вперед под углом, где

. (2.4 6)

Легко установить связь между углами вылета в JI-системе и в Ц-системе:

(2.4 7)

причем если при каждому значению соответствует одно значение, то при каждому значению соответствует два значения (за исключением случая ).

Перейдем к изучению столкновений частиц. Задача о неупругом столкновении двух частиц обратна задаче о распаде частицы на две, рассмотренной выше. В Ц-системе справедливо выражение (2.4 1), а величина в этом случае равна приращению внутренней энергии составной частицы, образовавшейся в результате неупругого столкновения.

Рассмотрим задачу об упругом столкновении двух частиц, при котором не изменяется их внутреннее состояние. Как известно, в JI-системе скорость центра масс двух частиц с массами и скоростями и определяется выражением:

. (2.4 8)

Скорости частиц до столкновения в Ц-системе связаны с их скоростями в JI-системе известными соотношениями

, (2.4 9)

где. В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц в Ц-системе остаются после столкновения равными по модулю и направленными в противоположные стороны, в силу закона сохранения энергии модули импульсов в Ц — системе при столкновении не меняются. Таким образом, в Ц-системе результат столкновения сводится лишь к повороту скоростей обеих частиц, причем после поворота скорости остаются направленными в противоположные стороны. Если единичный вектор выражает направление скорости первой частицы после столкновения, то в Ц-системе.

. (2.4 10)

Чтобы вернуться к JI-системе, нужно к этим выражениям добавить скорость центра масс:

(2.4 11)

Этим исчерпываются сведения, которые можно получить из одних только законов сохранения импульса и энергии. Направление вектора зависит от условий взаимодействия частиц (от взаимного расположения во время столкновения и т. п.).

Для геометрической интерпретации результатов перейдем опять к импульсам. Из (2.4 11) получим:

(2.4 12)

где — приведенная масса частицы. Векторная диаграмма импульсов, соответствующая (2.4 12), приведена на рисунке 9. Здесь

,.

При заданных и радиус окружности и положения точек А и В неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности.

С

А О В

Рисунок 9.

В частном случае, когда частица с массой до столкновения покоится в JI-системе, имеем:

, (2.4 13)

т.е. на диаграмме т. В лежит на окружности; ОВ = ОС - радиус, вектор совпадает с импульсом первой частицы до удара. При этом точка А может находиться внутри (если ) или вне (если) окружности (рисунок 10). Несложно показать, что углы и отклонения частиц после столкновения по отношению к (к направлению удара) могут быть выражены через угол поворота первой частицы в Ц-системе:

, (2.4 14)

С С

А О В, А О В

Рисунок 10.

Модули скоростей частиц после удара в Л-системе также могут быть выражены через угол и модуль относительной скорости до удара:

. (2.4 15)

Отметим, что сумма определяет угол разлета частиц после столкновения. При эта сумма больше, при - меньше , угол разлета частиц равной массы прямой.

Заключение

В ряде случаев векторный способ имеет преимущество перед координатным, не только упрощая решение конкретной задачи, но и превращая иногда сложные на первый взгляд задачи в подстановочные, решаемые практически устно.

В работе рассмотрены возможности использования одного из не-стандартных методов решения задач механики в курсе физики средней школы. Основные результаты можно сформулировать следующим обра-зом:

1. Показана роль решения задач при обучении физике, приведены алгоритмы решения задач координатным способом.

2. Сформулированы теоретические основы векторных способов решения избранных задач кинематики и динамики.

3. Подобраны и составлены задачи, для решения которых целесообразно применение векторных способов.

Данные задачи могут быть использованы на уроках физики общеобразовательной школы, для формирования навыков у учащихся применения векторных способов для решения задач.

1. Секержицкий, В. С. Векторные способы решения избранных задач механики / В. С. Секержицкий, И. В. Секержицкий [Электронный ресурс]. — Электрон. текстовые, граф., дан. (4 Мб). — Брест: БрГУ имени А. С. Пушкина, 2009. — Рег. № 88 от 19.11.2009.

2. Бугаев А. И. Методика преподавания физики в средней школе. / Бугаев А. И. // Просвещение. — 1981. — С.211−218.

3. Кабушкин В. К. Методика решения задач по физике. / Кабушкин В. К. // Изд-во Ленинградского ун-та — 1972. — С 132−140.

4. Каменецкий С. Е Методика преподавания физики в средней школе. / Каменецкий С. Е., Иванова Л. А. // Просвещение. — 1987. — С. 204−212.

5. Перышкин А. В. Основы методики преподавания физики. / Перышкин А. В. // Просвещение. — 1984. — С.92−108.