Ветвление представлений локально ?-одномерных квадратичных форм родом

§ 13. Вложение в классические решетки корней.109.

§ 14. Метод ортогонального дополнения.114.

Исследуется задача представления квадратичной формы, А размерности т родом положительно определенных квадратичных форм Q размерности п > т и находится вес рп (АjF) примитивных представлений формы, А родом 3 — [Q]. Форма, А представима родом, если хотя бы для одной формы Q рода 3 имеет решение матричное уравнение.

QW^XQX^A, (1) где гХ — транспонированная к X матрица. В диссертации вводится понятие ветвления представлений форм над кольцом целых радических чисел Zp для простых р, одновременно делящих уровень формы, А и определитель формы Q. В основу изучения положена классификация минимальных неразложимых представлений форм. В диссертации получены:

1. условия существования примитивных представлений р-одномерных форм, А ;

2. формулы веса примитивных представлений произвольной формы, А родом форм Q без ветвления;

3. формулы веса примитивных представлений р-одномерной формы, А родом форм Q в случае ветвления представлений;

4. приложения к квадратичным формам классических решеток корней, одноклассным формам, формам О небольших размерностей;

5. роды квадратичных форм с заданными локальными инвариантами.

Исторически сначала рассматривались представления чисел формами. Гаусс (1801) вывел формулу количества примитивных представлений рг (а- 13) числа, а суммой трех квадратов. Якоби (1829) ввел тета-ряды и получил аналитически, а затем чисто арифметически формулы для количества представлений г (а- 1П) числа, а суммой 4, б, 8 квадратов. Эйзенштейн получил некоторые результаты о количестве представлений числа, а суммой 3, 5, 7 квадратов.

Венков Б.А. [7] нашел метод получения особого типа формул представлений чисел тернарными формами и на этом пути доказал теорему о представлении бинарных форм тернарными (1929). Задача о представлении бинарной формы суммой трех квадратов, рассмотренная Венковым в 1928 году положила начало исследованию представимости формы формой.

Теория родов впервые была создана Гауссом для бинарного случая, в котором она имеет специфические особенности и тесно связана с группой форм относительно операции гауссовой композиции [8]. Род состоит из непересекающихся классов целой эквивалентности. Формы, принадлежащие одному роду, рационально эквивалентны.

Конвеем [20] была разработана система рсимволов для целочисленных форм, которая дает удобное обозначение для рода квадратичных форм. Не используя символ Гильберта норменного вычета, Конвей вводит элементарную систему инвариантов для квадратичных форм, значения которых являются вычетами по модулю 8. Впервые 2-адические инварианты появились в топологических исследованиях. Значение «формулы произведения» состоит в получении сравнений по модулю 8 для сигнатуры. Благодаря полученным Конвеем инвариантам, можно сразу выписывать эти сравнения, а не получать их как результат утомительных вычислений. Кроме того, Конвей [20] приводит условия существования для каждой составляющей жорданова разложения формы. На основе новой техники Конвеем были классифицируемы роды рэлементарных форм для всех простых р. В основе исследований диссертации лежит полная система канонических рсимволов рода.

Весом представлений п (А-Зг) формы, А родом CF называется сумма h (q) V o (Qi? ? (2) i= 1 X: Qi[X]=A где h (Q) — число всех классов рода Эг, o (Q?) — число автоморфизмов формы Qi.

Первый общий результат по представлению формы родом был получен Зигелем (1935) [45] п (АУ) = m (J) Д ар (А-Т), (3).

Р= 1,2,3,. где.

HQ), W = Е^77Тл W °{Qi рмасса рода jF, вычисленная в 1885 году Минковским [41].

Зигель [44], [45], используя аналитический метод, исправил неверный четный множитель в масс-формуле Минковского. Конвей и Слоэн в [30], [31] получили масс-формулу рода кубических решеток Ъп .

Локальные плотности Зигеля ар (А-Э') (3) для р ^ —1,2 определяются соотношением ар (А-,$) = pr{rnn-m{rn+l)/2)N (A-QlPr), где N (A-Q, pr) — число решений X матричного сравнения Q[X] = A (mod рг) и г" 0 — достаточно большое число. В дальнейшем предпринимались попытки вычисления локальных плотностей Зигеля с применением многомерных гауссовых сумм и точной формулы для обычной суммы Гаусса. Качественные результаты, типа теоремы Минковского-Хассе [17], с. 92 для кольца целых чисел Z получены Кнезером [40] и Сия-Китаокой-Кнезером [33]. Эрнст [32] исследовал представимость бинарной формы кватернарной формой. Китаока в работах [38], [39] и [34] техникой модулярных форм получил качественные и оценочные результаты, касающиеся локальных плотностей Зигеля.

Общий подход, использующий операторы Гекке, представлен в работах Андрианова А. Н. [1] - [4] и [29]. Для размерности т = 2 этот подход позволяет выразить число представлений г (раАУ), а = 1,2,3, • • • через г (А-Эг), а для произвольных размерностей т позволяет выразить усреднение.

В последнее время Андрианов [29] исследовал случай сингулярных операторов Гекке T{jp) для р, одновременно делящих определители форм Л[М] и Q. Последнее условие тождественно в нашей терминологии ветвлению представлений формы родом. Асимптотические формулы для r (A]Q) получены Рагхаваном [43]. Фоменко О. М. и Голубева Е. П. [9], [10] исследовали равномерность распределения точек на поверхностях второго порядка. Уравнение (1) определяет т векторов Xi,., Хт с нормой QXi = ац и скалярным произведением tXiQXj = a, ij, где, А = (а^). То есть уравнение (1) содержит геометрическую информацию о взаимном расположении целых точек на различных эллипсоидах.

Все решения уравнения (1) можно выразить через примитивные. Вес рп (АЦТ) примитивных представлений формы, А родом 5 °F определяется.

MeGLn{Z)Mn (Z), det М=Ъ формулой рп (А^)=? ? 1 (5).

Q}+C?{G}+C[G] ^ где {Q}+ ~ классы собственной эквивалентности рода У, — собственно эквивалентные классы рода [G] из ортогонального дополнения к, А в Q. Используя масс-формулу (4), Журавлев В. Г. [12] в 1996 году получил общую формулу Гаусса-Минковского для веса примитивных представлений формы, А родом $ pn{A-?)=m{G)-c{A-, Q, G), (6).

В правой части (6) стоит масса рода [G] и конечное произведение c (A-Q, G) = ci (AQ, G) Д cp (A-Q, G), (7) p2ad где d = Q, a — уровень формы А. Локальные множители cp (A]Q, G) (7) равны числу склеивающих векторов С mod aZp:

С] lq, p = la, р © lg, pi (8) где — локальные решетки соответствующих форм.

Таким образом, в основе подхода к задаче о весе примитивных представлений формы родом лежит аддитивный метод или метод склейки. Реально приходится рассматривать конечное число дискриминантных простых p2ad (7). Над локальными кольцами Ър квадратичные формы ведут себя проще, чем над глобальным кольцом Z, так как имеют меньшее число локальных инвариантов.

Для конкретных вычислений формулу Гаусса-Минковского (6) удобно использовать в следующем виде [12]: рп (А-$) = с (п — т) ¦ std (n — m, |G|) Д ар{АQ), (9) p2ad где с = | для п — m = 1 и с = 1 для п — т > 1, — т, |(7|).

— стандартная функция, равная произведению С-функции Римана и L-функции Дирихле. Значения std (n—m, G) посчитаны Конвеем и Слоэном [20]. Локальные множители ap (A]Q) зависят только от р-символов форм, А и Q и равны где mp (G) — р-масса рода [G], stdp (n — m, G) — стандартная р-масса рода [G]. В [12] получены локальные множители (10) для взаимно простых уровня, а и определителя d с условием, а = А, а — бесквадратное число.

Целью диссертации является получение в явном виде локальных множителей ap (A]Q) (10) в случае ветвления, когда уровень, а и определитель d имеют общие делители.

В диссертации рассматривается представимость родом У локально родномерной формы, А нечетной коразмерности п — т. Результаты сформулированы в терминах локальных инвариантов. Во введении приведем лишь основные результаты. В основу Р1ССледования положена форма примитивно представляющая А. Существование представления формы, А родом? определяется принадлежностью формы Qq© роду SF:

По определению рода [17], с. 156, Qg{C)? тогда и только тогда, когда Qq © локально (над Ър) эквивалентна некоторой форме Q? jF для всех ap (A-Q) = cp (A-Q, G) ¦ mp (G)/stdp (n — т, |G|).

10) pn (A-'J) > 0 Qi{C)? 2″. простых р = —1,2,3,. Следовательно, рп{А-Т) > 0 Qg{C) ~pQ? для всех р = -1,2,3,.

Ветвление представлений проявляется в том, что форма, А и род перестают однозначно определять род форм G (11) из ортогонального дополнения к А. Внутри же фиксированного рода [С] возможно существование нескольких неэквивалентных орбит {С} матриц сцепки (11). В результате, локальный множитель ветвления ap (A-Q) надкольцом Zp для р, делящих одновременно, а и d, распадается на сумму: а.

Gi] {Cj}.

12) по неэквивалентным родам [G] и орбитам {С} .

Поясним суть ветвления на конкретном примере. Форма пятимерной классической решетки корней нулевой суммы.

2 1111 12 111 112 11 1112 1 11 112 имеет инварианты d — 6, о (А5) = 1440, 3⁵ = 1 43+1, 2а5 = 1//02^ .

Li Ъ.

Рассмотрим бинарную форму, А = бесквадратного нечетного.

Я2 определителя, А. Если уровень, а формы, А делится на 3, то возникает ветвление представлений формы, А одноклассной формой А5 над кольцом Z3, так как наибольший общий делитель уровня, а и определителя d равен 3. Тогда возникают два неэквивалентных рода [С] из ортогонального дополнения к, А в Q. В этом случае ветвящийся множитель а’з (A-Q) (12) распадается на сумму слагаемых а? з (A]Q, Gr) = (З2 — 1)/2, ot^A^Q^G11) = 1, в случае совпадения знаков = ?3(Q), где.

63(A) =, e3(Q) = (^-j — знаки блоков Лз и Q3 жорданова разр J ' ^ у р ложения формы, А и Q соответственно, равные символу Лежандра (j^j. Значение множителей произведения (9) равны с (3) = 1, a2(A-Q) = std (3) = 2131. Так как род формы решетки А5 одноклассный, то по (5) и (9) получаем число примитивных представлений формы, А формой А5 рг (А-А5)= 30 (9+(I)) Д + (13) то есть, найдено число решений диофантовой системы уравнений х1 + • • • + xi = ai, У1 + • • • + У1 = «2, хоуо + • • • + = ь, XQ +. .. + ХЪ — у0 +. .. + у5 = 0 .

Формула (10) показывает, что используемый в работе метод является аддитивным, поскольку вес примитивных представлений выражается с помощью склейки (8) через число родов G и орбит матриц {С}. Параметризации примитивных представлений X (1) родами ортогонального дополнения и орбитами матриц сцепки посвящена Глава 1.

В § 1 вводится описание системы р-адических символов для обозначения рода квадратичных форм. Приведены условия существования для каждой жордановой составляющей разложения квадратичной формы над локальными кольцами Ър. Формула произведения позволяет восстановить инварианты формы, полученной прямой ортогональной суммой двух форм.

В § 2 сравниваются два подхода к вычислению веса представлений п (А-3г) формы родом. В § 3 получена биекция между множеством примитивных представлений X (1) формы, А родом и множеством классов эквивалентности родов [G] из ортогонального дополнения к, А в Q: {X} м- [С]. Откуда следует разбиение множества примитивных представлении pr (A-Q) = Y/Pr (A-JQ,[G}). g].

Таким образом, получаем в Предложении 3.1 классификацию примитивных представлений первого уровня. Внутри же фиксированного рода [G] верна биекция {X} {С} между орбитами представлений (3) и орбитами {С} сцепляющих формы, А и G матриц С из множества решений матричного сравнения аА1[С] = —G (mod aZp) из (11). Это классификация представлений форм второго уровня (Предложение 3.2). Для описания всех возникающих родов [G] и орбит матриц сцепки {С} используется локальный метод теории квадратичных форм — переход Z.

Роды квадратичных форм G имеют размерность к — п — т и определитель а" -~|<5|.

G| ~ ~1аГ.

При наложении ограничений на размерность и масштаб блоков жор-данова разложения над кольцом Zp форм, А и Q, удается получить все возникающие роды [G] и орбиты матриц сцепки {С}. В работе рассматриваются формы, А вида.

А~р Аг @pvAp^ (14) где dim, А = т — 1- v = 1,2,3- р — нечетное простое, делящее одновременно, а и d. Используем утверждение Леммы 4.1, касающееся числа примитивных представлений^{-одномерной} формы рг (Ах ф pvAp,-Q) = pr (puApvQ Q Аг), (15) где Q © Ai — любая форма У с условием Q = А (В У. Если форма QQ, А не существует, то pr (A-Q) = 0. Равенство (15) позволяет, не умаляя общности, ограничить дальнейшее рассмотрение формами, А — pv Ар" размерности т = 1.

В § 4 для произвольных форм G найдены все сцепляющие, А и G вектора С и вычислены локальные инварианты получающихся при этом квадратичных форм Qq©. Основные результаты об орбитах {X} содержатся в § 5. Здесь классифицированы орбиты {С} по содержащимся в них векторам С минимальной длины и выписаны соответствующие минимальные представления X = Q{C) и их веса си (Теорема 5.1).

Для v = 1 возможны всего 2 вида минимальных представлений.

При v = 2 появляются уже 7 видов минимальных представлений размерностей один, два и три соответственно (Теорема 5.2): 1. Одномерные формы рХ1=рАр, u>i=l, Х20 = 12 i w20 —.

16) где 12 р2Х 1 =р2Ар2, u) i = .

17).

2. Двумерные формы.

— Х20 — 12 j РХ20 = Р ¦ 1−2,²⁰ = 1;

18).

-^22 — © р2 ' I 772 5² = WХ2а = Ар2 0ра • для, а > 2, о-2а = (р — 1)/2.

19).

20).

3. Трехмерные формы х32 = 12 ®Р2АР2, 0*32 = 1;

21).

Х3а = Ар2 е ра • 1- для, а > 2, w3a = 1. (22).

Здесь.

I Т (^ -2 — 3 (—-) ], если щ = г]2 = ы=<! 1 > Даv v р;

— [ р — 2+1 —)) в остальных случаях, 4 V Р // а,.

Я+с) / ар (Е~1 + с-1) где т] = (—-:—- 1, т]2 = (—-:—-). И в этом случае по Тео Р / V Р J реме Витта о продолжении изометрии двух подпространств до изометрии содержащих их невырожденных пространств, можно считать, что а-блок матрицы G равен (с О.

Gpa = I с с = са1, если G }[С'а] = са ф 0(mod р) 0 cL{Gpa) или (h 0 ^.

Gpa —.

T-L I.

01, с /2 = I 7 если са = 0(mod р) .

1 0.

V 0 JHGp*) у.

Если же v = 3, то минимальных представлений становится 13 различных видов (Теорема 5.3):

1. Одномерные формы р3Х1 =р3Арз, ^ = 1. (23).

2. Двумерные формы.

Х20 = 12~,²⁰ = 1, (24 рХ20,²⁰ = 1, (25 р2Х20, w20 = l, (26 ±19^(^1), = СР — 1), (27).

28) х23 = 1±@ Р3АР3, = {р- 1)/2, (29) рХ2а = р (Арз ©-К • 1±) для, а > 3, = (р — 1)/2. (30).

3. Трехмерные формы рХп =p{lz ®р2Арг)} о-32 = 1, (31).

Х33 = 1^Фр3Арз, сс^зз = 1, (32) pXl = р (Ар3 ©-ра • 12-) для, а > 2, о-3а — 1, (33) за = 12″ © Ра ¦ ^ Для а^З, и-3а = (р — 1)/2. (34).

4. Четырехмерные формы.

Х^а = 12© Радля «^ 2, а-4а = 1. (35).

Из вида минимальных неразложимых представлений получаются полезные следствия. Зная минимальные представления, легко получать условия существования представлений форм, а также находить число орбит {X} для решений квадратичного уравнения Q[X] = А: число орбит равно взвешенному числу разложений формы Q в виде прямой суммы X © У с произвольной второй формой Y .

Пусть квадратичная форма Q размерности п ^ 3 имеет определитель Q, не делящийся на р. Тогда уравнение Q[X] = А имеет над Zp одну орбиту {X}, то есть у него решения существуют и получаются из любого фиксированного Ь преобразованиями, а из ортогональной группы O (Q) над Zр.

Не удается кратко сформулировать условия для произвольных форм Q, при которых продолжает оставаться одна орбита {X}, так как при разложении Q в сумму X © Y наблюдается сильное ветвление и перевод его на язык соотношений между инвариантами формы Q только запутывает ситуацию. Вместо этого приведем пример форм Q с большим числом орбит {X} .

Множество всех решений (zr1? • • •, х4) из кольца Zp квадратичного уравнения х + рх + р2х + ръх — ръ распадается на (7р — 3)/4 или (5р + 1)/4 орбит соответственно условию р = 1 или — l (mod 4).

В Главе 2 в явном виде получены формулы веса примитивных представлений формы, А родом 3 в случае ветвления, то есть когда уровень, а и определитель d имеют общие делители р. А так же для взаимно простых, а и d доказан результат, снимающий ограничения, налагаемые в [12]: d = Q и, а — бесквадратное.

Для форм, А (14) в § 7 найдены локальные множители ap (A-Q). Так, например, для коразмерности к = 3 эти множители равны: ap{A-Q)=p (p + ?l{A) ap (A-Q)=p*(p + ?l (A) Q j, если v = 2, если v = 3.

Рассмотрим пятимерную шахматную решетку корней. Она является четной подрешеткой кубической решетки Z5 и состоит из векторов Db = {х G Z5: Xi +. + ж5 = 0(mod 2)}, ее матрица Грама имеет вид.

Qds = 2 О -1 О 0.

0−100 2−100 -12−10 0−12−1 0 0−12 У и инварианты d — 4, о (В5) = 25 -5!, h (D5) = 1, 2д. = 1 и 04j 5. Положим, Oi b что четная бинарная форма, А = | имеет нечетный уровень, а .

Ь а2 J.

Находим std (3) = г^З" 1, а2(АD5) = 2~3 — и по (11) и из п. 7.1 получаем формулу pr (A-D5) = 80- (2- (I)) Д ^(р + фд), р\а, рф2 дающую число примитивных решений системы уравнений х + .+х = аи у +. + у = а2, Х1У1 +. х5у5 = Ь, +. + хъ = ?/! + .+ 2/5 = 0(mod 2). В §§ 8 — 10 исследуется ветвление представлений р-одномерной формы, А (14) родом с ограничениями на размерность или масштаб блоков жорданова разложения форм. Формы Q имеют вид.

Q Qi ®psQPs с dim Qps = 1 или 2, s ^ 1.

Основные результаты этих параграфов представлены в Теореме 11.1 для р-одномерных форм Q и в Теореме 11.2 для р-двумерных форм Q. Так, например, если 5 = 1 или s = 2, то Теорема 11.1 имеет вид.

Теорема 11.1. Если род форм Q Q1 (BpsQps с одномерным блоком Qps представляет форму, А (14), тогда множитель ветвления для нечетного р, делящего, а и d одновременно в случае нечетной разности размерностей п — т вычисляется по формулам:

1. Если 5 = 1, то.

Q) = (pn' + ep (A)ep (Q))/2, oW = l, Q) =zpn'/2(pn' - l)/2, дляр = 2, (36).

Q) =pn'(pn' - l)/2, для is = 3;

2. Если s — 2, v = 2, mo.

P (A-Q) =pn'{pn' - l) l2+pn'lpn, l2 + 8l)(1) +pn yp (A ap (A ap (A где последнее слагаемое не равно нулю при ер2 (А) = ер2 (Q), знак) ?i (Q)e1(A)sp2(Q), если epi (A) • ep2(Q) =.

1 = и Р р умножается на (—1) в противном случае.

Шестимерная решетка корней Госсета Eq имеет матрицу Грама.

Ее, =.

2 -1 0 0 0 0.

— 1 2 -1 0 0 0.

0 -1 2 -1 0 0.

0 0 -1 2 -1 -1.

0 0 0 -1 2 -1.

0 0 0 -1 -1 2 и инварианты d = 3, о (Е6) — 28 • З4 • 5, 3#6 = 1+53+1, 2Еб = ljj0. Пусть тернарная форма, А имеет четный уровень, а и жорданово разложение над кольцом Z3: А = А1 © ЗУ, ^ = 1,2,3. Тогда по (36) находим ветвящийся множитель а3(А-Ев) = (З2 + г3(А))/2, если v = 1- аз (А-Е6) = 3(32 — 1)/2 = 12, если z/ = 2- (37) а>з (А-Е6) = 32(32 — 1)/2 — 36, если z/ = 3.

Учитывая, что std (3) = 2~13~1, а2(АЕе) = 2~2, находим число примитивных представлений формы, А формой решетки Е6 рг (АД6) = 25 • З3 • 5 • а3(АД6) Д р" «1 (р + ?i (A) (-), где множитель а%(АЕ6) находится по (37). При s = v = 2 возникают два вида форм G :

G1 = Gtf ©-р2<&- (c)p4G?4} = 1, &2 = и' - 1, = 1,.

GII=p2GIpi, fe2 = n' + l.

Внутри фиксированного рода [Gп] впервые возникает ветвление представлений второго уровня: две неэквивалентные орбиты матриц сцепки {С}. В этом случае возможны 4 вида минимальных представлений (17), (18), (19), (21) при выполнении всех условий, налагаемых на блоки жорданова разложения форм, А и Q.

Рассмотрим двуклассный род, состоящий из неэквивалентных форм вида.

2 1 О О (Л 12 10 0 q2 = z1 © 0 12 10 0 0 12 1 0 0 0 1 5 2q = Yj о. Вес примитивных.

Qi = z4 е.

2 1 1 5 V с инвариантами п = 6, d = 9, 3q = 1~591 представлений тернарной формы, А ~3 А © 32А3 нечетной ступени, а родом = [Q] вычисляется по формуле.

1 с: pn{A-^) =-a2(A-Q) Д Pv~v + e ^А)), 1 если.

9(А) = -1- a2(A-Q) = -(1 ± 2″ 1) при oct = ±1 или ±3(mod 8), где oct = — ti (A)(mod 8), если ^ = +1- oct = 4 — ^(A)(mod 8), если = — 1. Здесь t1(A) — странность блока А1 формы А.

Пусть теперь форма Q будет р-двумерной, тогда ветвящиеся множители будем находить по Теореме 11.2, которая для s = 1 и для s = 2 имеет вид.

Теорема 11.2. Если форма, А (Ц) представима родом форм Q Qi © PsQps с двумерным блоком QpS, тогда множитель ветвления для нечетного р, делящего, а и d одновременно в случае нечетной разности размерностей п — т вычисляет, ся по формулам: 1. Если s — 1- то для v — 1.

Q) = Шп'-2)/2 + ег)(рп' - 1)(р — е2)-г + (р<'2 + для ъ> = 2 а, d/lJT /У — 3 а.

— 1 где последнее слагаемое не равно нулю, если? P (Q) =.

Знаки ?i = Р. п'/2 Р l (Q)?l (A), ?2 Р.

Q), £з = ?1.

2. Если s — 2 — то для v = 1 1 a-Q) = -1)(Р для v — 3 а, Р а,.

40) = - i)(P2″ V" '-2/2) + о)0> - ft)" 1 + f4v + p" ''2(p" ''2 +?i) + p"'-l (p («'-2)/2 +?l)(p» ' - 1),.

I)) где последние два слагаемых не равны нулю, если ер2 (Q) — (— J — знаки 1 п'/2.

— 1.

V (Q) •.

VP У V Р.

Рассмотрим трехклассный род форм вида.

Qr = а4 е 5 • z1, g2 = z3 ф 5 • z2, = z1 р

2 0 0 1.

0 3 -1 -3.

0 -1 2 1.

1 -3 1 6 с инвариантами п = 5, h = 3, d — 25, o{Q) — 480, o (Q2) = 384, о (<2з) = 64, 5q = l+35+2, 2q = 1⁵. Пусть бинарная квадратичная форма, А с четным уровнем, а имеет вид над Z5 А А1 © 5и. При таких условиях возникает ветвление представлений формы, А родом над локальным кольцом Z5. Вес примитивных представлений формы, А четного уровня, а родом равен р" \а, рф2,5 где ветвящиеся множители равны ab{A-Q) = 15(1 + £{А)) + (5 + ?i (A))/2, если 5||аa,(A-Q) = 75(1 + ?l (A)) + 5 (б + ег (А), если 52||аa5{A-, Q)=m{l+s1(A)) — + если 53||а, а локальный множитель a2(A]Q) = 23(4-b?-2), где е2 =.

Если s = 1, то при v = 1 возможен только один вид форм Gпри у — 3 появляются 4 вида форм G:

G1 = Gj (c)p3Glp3 ep5GJpB, к0 = 1- h = nf- 2- кь = 2, G77 = p2G77 © p3G-37 (c)/G77, = /с5 = 1- h=7i> - 1, GIH = p3Gr/ © /G777, k3 = n'-k4 = l, GIV = P2Gf/ ф p3GJ/ ф p4G7r, *2 = 1- fc3 = n' - 2- *4 = 2.

И в этом случае возможны 4 вида минимальных вложений (24), (27), (26), (35).

Рассмотрим трехклассный род 5 °F = {Qi,^,^} с инвариантами п = 6, h = 3, с? = 81, 3q — 1+49+2, 2q = 1/®. Формы, входящие в g2(5-t (A)) этот род имеют вид.

2010 0 2 0 1 10 5 0 0 10 5.

Qi = Z2 q2 = %1 J.

2 1.

1 0 0 2 0 2 V.

0 0 3 1 0 2 15 -10 10.

0 1 0 6.

Qз.

2 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0.

1 0 3 0 2 2 0 1 0 3 2 -2 0 0 2 2 5 0 V.

0 0 2 -2 0 5.

Предположим, что тернарная форма, А имеет четный уровень, а. Тогда вес примитивных представлений формы, А родом 3 вычисляется по формуле pn (A]3') = ^a2(A-Q)($l-el (A)) + 3) JJ р"~р + ?l (A)), где локальный множитель а2(АQ) равен a2(A-Q) = 2~3(4 + е2), знак.

Для вычисления правой части формулы веса (9) нужно знать локальные инварианты формы, А и рода 5 °F. Для вычисления же левой части формулы (9) по определению (2) требуется знание представителей всех классов форм • • •, Q/, рассматриваемого рода и порядков o{Q), ¦ ¦ ¦, o (Qh) их групп автоморфизмов. Если род 5 °F одноклассный, h = 1, то формула веса дает количество примитивных представлений pr (A-Q) индивидуальной формой pr (A-Q)=o{Q)pn{A-T). (38).

Задачу нахождения одноклассных родов размерности п ^ 3 исследовал Уотсон [46]- [50]. Он установил: 1) размерность п рода с условием h = 1 не превосходит 10- 2) число одноклассных родов конечно. Уотсон перечислил все такие роды. Применение (38) к формам Уотсона дает число примитивных представлений pr (AQ) индивидуальной формой Q, что особенно важно в теории чисел.

В § 15 найдены формулы количества представлений четных чисел, А = а кватернарными формами Q из списка Уотсона [47] (см. также [35]) с нечетными определителями. Рассмотрим, например, кватернарную форму Q 2 0 0 1 ^.

0 2 11.

0 14 1 1 1 1 6 /.

39) с инвариантами п = 4, h = I, d = Q9, o (Q) = 8, 3q = 1~33+1, 23q = 13 231, 2q = 1. Тогда количество примитивных представлений четного числа, А = а кватернарной формой (39) находится по формуле (9), локальные множители вычисляются по формулам (36) из Теоремы 11.1, и если число, а делится на З3 и на 232, окончательную формула имеет вид: pr (a-Q) = 72 864 Д f^L+f^jY.

Одним из приложений задачи представления является проблема вложений решеток. Решетка L определяет матрицу Грама Q = Qi — симметрическую целую матрицу, составленную из значений скалярных произведений (ei, ej) базисных векторов ei,—-, еп решетки L.

Существование вложения, А <�—)¦ Q гамерной решетки La в пмерную решетку Lq, п ^ т, равносильно существованию целых решений уравнения (1) для их матриц Грама, А = Ai и Q = QL. Примитивному представлению формы, А формой Q соответствует примитивное вложерт ние Ач означающее, что Zмодуль I/д Lq свободный.

Если форма Q одноклассная, то результаты Главы 2 позволяют найти число примитивных вложений pr (LALq) решетки La с матрицей Грама, удовлетворяющей условию (14), в решетку Lq .

В качестве решеток L рассмотрены классические решетки корней Ап (п = 4, 5, 6), Eq. Все они одноклассны.

Рассмотрим решетку А$ с матрицей Грама 2 1 1 1 1 1 2 1111 12 111 112 11 1112 1 11 112.

Afi = с инвариантами п = 6, h = 1, d = 7, o (Aq) = 25 • З2 • 5 • 7, 7Л (. = 1~57−1, 2а6 — 1//0 • Количество примитивных представлений тернарной формы, А формой решетки А6 равно рг (ААв) = 420 • аг (ЛА6) Д р¹ (р + ^ (Л) f), где локальные множители вычисляются по формулам (36) из Теоремы 11.1: dj' а7(А-А6)= (j2- (^JJ/2, если 7||аа7(А-А6) = 7(72 -1)12 = 168, если 72||аab (A]Q) = 72(72 — 1)/2 = 1176, если 73||а.

Для получения конкретных формул веса представлений формы родом известных родов форм классических решеток оказывается недостаточно. В § 14 используется метод ортогонального дополнения для получения полных родов форм. Если {Xi} - орбиты всех примитивных представлений одно-классной формой Q одноклассной формы А, и Ki L Хгдля /Г, — С [К], то классы {Ki} С [К] образуют полный род (Теорема 14.1).

Условие одноклассности рода форм, А при малых размерностях т = dim, А неограничительно. Для приложенний наиболее важным является случай, когда, А = а — число, a Q — решетка корней. Так, для получения локально двумерного рода форм возьмем форму семимерной кубической решетки корней Q = Z7 и. в качестве специализации, одноклассную би, А нарную форму, А = I = 3 • Z. Представления Q[X] = А распа.

V0 Ч даются на две неэквивалентные орбиты вида.

1 1 1 0 0 0 0 Xi= |, =.

0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 У 0 1 -1 1 о о о.

Ортогональные дополнения к ним образуют два неэквивалентных класса форм {Кi} = Z3 © 3 • Z2, {К2} = Z1 © А2 © А2 рода [К] с инвариантами h = 2, d = 9, 3к = 1+33+2, 2К = l^i, о (К) = 384, о (К2) = 576 .

В этом же параграфе показано как по отдельному представителю К можно восстанавливать полный род [К]. Для этого вкладываем форму К в одноклассную форму Q минимальной возможной размерности п. Определяем орбиты {X} представления Q[X] = К. Тогда по Теореме 14.1 ортогональные дополнения {К{} X {Xi} будут образовывать полный род [К], содержащий исходного представителя К .

В § 15 получены формулы веса представлений^{-одномерных} форм, А родами форм Q, полученных методом ортогонального дополнения.

Рассмотрим трехклассный род J, состоящий из форм.

Qi=Z*.

2 О 0 7 0 -10 4 1.

Q2 = Z'.

Qa = Z1.

0 1 2.

1 -1 V.

2 0.

118 1 2−116.

3 1 1 -2.

1 3 2 0.

1 2 4 -2.

— 2 0 -2 5 с инвариантами п = 5, h — 3, d = 49, o (Q1) = 64, o (Q2): 32, °(Фз) — 16, 7g = l+37+2? 2q =. Вес примитивных представлений бинарной формы, А нечетного уровня, а родом 5 °F по Теореме 11.2 и (9) для 72||а вычисляется по формуле.

343 рп (А^) = —a2(A-Q)(l — фА)) Ц f'^p + s^A)), р" \а, рф2,1 где локальный множитель a2(A-Q) вычисляется по формуле.

3 1 сх2(АQ) = - или -, если oct = ±1 или ± 3(mod 8) 8 8 и oct а" 2,.

1 — ti (A)(mod 8), если = +1, oct = 5 — *i (>t)(mod 8), если.

— 1.

В заключение еще раз остановимся на полученных в диссертации результатах. Для форм локально родномерных, А (14) нечетной коразмерности к = п — rn 1) найдены условия существования примитивных представлений р-одномерной формы, А родом if- 2) получена формула веса для примитивных представлений рп (А- 3*) родом 3: формы, А нечетной коразмерности- 3) рассмотрены приложения формул веса к формам классических решеток корней, одноклассным формам и формам небольших размерностей- 4) найдены роды квадратичных форм с заданными локальными инвариантами.

Все результаты диссертации новые, полученные формулы проверены с помощью компьютерных программ.

В работе использованы следующие обозначения.

Q = Qn ~ положительно определенная квадратичная форма и тождественная ей матрица Грама, tQ — транспонированная матрица Q, |Q| - определитель формы Q, dim Q — размерность формы Q,.

Мпхт (М) — множество матриц размера п х т с элементами из кольца.

JR,.

Z, Zp — целые рациональные и радические числа, Fp — поле вычетов по модулю р, (j^j — символ Лежандра,.

GLn (M) — группа целочисленных унимодулярных матриц с элементами из кольца JR,.

SLn (]R) — подгруппа GLn (lR) определителя ±1, {Q} - класс эквивалентности квадратичной формы Q, 3 = [Q] ~ Р°Д формы Q, эквивалентность над кольцами Z и Zp соответственно,.

ГГч/.

А © G — прямая ортогональная сумма форм, А и Q ,.

С].

А © G — склейка форм, А и G, где С — форма склейки, Lq — решетка, отвечающая форме Q ,.

Q = Ql (c) — жорданово разложение формы, А над кольцом Zp, 1п — единичная матрица размерности п ,.

Qi 7 Qn — нечетная и четная формы соответственно,.

Zn — кубическая Nмерная решетка,.

Ап — решетка корней нулевой суммы,.

Dn — шахматная решетка корней,.

Е6, E-j, Е$ - решетки корней Госсета.

11. Основные результаты.