Актуальность темы
исследования. В диссертации исследовались, представляющиеся в настоящее время важными и перспективными в плане применения, динамические системы с наличием запаздывания и подкачек. Многие динамические системы являются составными и содержат в ссбе несколько связанных между собой подсистем. Во многих случаях процессы в различных подсистемах сильно различаются по времени. В таких случаях целесообразно изучать предельные динамические системы, в которых быстрые процессы в некоторых подсистемах считаются мгновенно проходящими. В этих случаях результат таких процессов сказывается в медленной части системы в виде мгновенного изменения некоторых фазовых координат. Такое явление называется подкачкой. В теоретических работах и в приложениях теории колебаний изучались и использовались только простейшие динамические системы в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с подкачкой. Классическим примером таких разрывных колебаний являются генераторы пилообразного напряжения.
Отсутствие общих аналитических методов исследования не позволяло изучать периодические процессы в системах с подкачкой и сдерживало возможность разработки устройств, описываемых такими математическими моделями. Несмотря на то, что были известны некоторые свойства простейших систем с запаздыванием и подкачкой, а также сформулирован ряд гипотез о существовании и единственности периодических решений в них, отсутствие общих методов решения этих вопросов не позволяло накапливать опыт решения поставленных задач. Поэтому на данный момент развития исследования этой проблематики возникла необходимость разработки специального аппарата аналитического исследования для изучения уже поставленных задач, как в случае непрерывных, так и для дискретных моделей динамических систем с подкачкой, а также доказательства и проверки высказанных гипотез.
Особый интерес представляют динамические системы с запаздыванием, как пример бесконечномерной динамической системы. Математические модели для систем с запаздыванием и подкачкой были впервые предложены А. Д. Мышкисом. Им же были осуществлены первые исследования в этой области и высказан ряд гипотез, которые изучались в настоящей работе. Разрабатываемый математический аппарат исследования должен быть приспособлен и для исследования такого рода систем. Необходимо находить при заданных значениях параметров все периодические процессы, а также выделять те из них, которые обладают свойствами, обусловленными условием подкачки. В простейших случаях такое условие является условием неотрицательности решения. Также требуется находить все множество значений параметров, при которых существуют периодические решения, а также проводить исследования устойчивости этих решений.
Цель работы. Целью работы является разработка новой методики исследования непрерывных и дискретных динамических систем с условием возможной подкачки, как содержащих запаздывание, так и без него. В соответствии с поставленной целью основными задачами исследования являются:
1. Найти максимальное множество значений параметра непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки для которых справедлива теорема о существовании положительных периодических решений.
2. Для каждого значения параметра в найденной области проверить наличие единственности положительного периодического решения, сформулировав и доказав теорему единственности этого решения.
3. Найти аналитическое выражения для периодического решения непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки в виде ряда или конечного выражения.
4. Найти максимальное множество значений параметра дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки, для которых справедлива теорема о существовании положительных периодических решений.
5. Для каждого значения параметра в найденной области проверить наличие единственности положительного периодического решения дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки, сформулировав и доказав теорему единственности этого решения.
6. Найти аналитическое выражения для периодического решения дискретной динамической системы второго порядка с условием подкачки. Исследовать найденные решения на устойчивость в малом. Исследовать периодические решения на устойчивость в целом.
7. Для непрерывной динамической системы второго порядка с условием подкачки найти максимальную область значений параметров, при которых существует единственное периодическое решение. Исследовать это периодическое решение на устойчивость.
Методика исследования. Методологические исследования проведены на основе использования интегрального преобразования Эйлера-Лапласа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, теории разностных уравнений, качественной теории динамических систем, теории устойчивости.
Научная новизна. Научная новизна исследования заключается в следующем:
1 Специально для модели непрерывных динамических систем с запаздыванием и без него автором был впервые использован метод, основанный на интегральном преобразовании Эйлера-Лапласа, который позволяет свести изучение исходной системы с возможностью подкачки к изучению специального рода бесконечномерной, в случае наличия запаздывания, системы разностных уравнений. Исследование полученной системы разностных уравнений позволило получить аналитическое выражение для периодического решения непрерывной динамической системы первого порядка с запаздыванием и условием подкачки в виде экспоненциального ряда.
2. С помощью преобразования Эйлера-Лапласа найдены интегральные оценки полученного экспоненциального решения в виде однократных и двукратных интегралов специального вида, позволившие для системы первого порядка с запаздыванием и подкачкой сформулировать и доказать теорему существования и единственности однофрагментных положительных периодических решений для параметра системы к, принадлежащего интервалу (е1,1п (1 + /2)].
3. При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью подкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения. Найден аналитический вид периодического решения и длина периода. Доказано, что помимо найденных аналитически периодических решений, других не существует. Доказано, что при фиксированном значении параметра дискретной динамической системы, в ней может существовать не более двух однофрагментных положительных периодических решений. Исследована устойчивость найденных периодических решений в целом.
4. Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений. Доказана единственность периодических решений при каждом конкретном значении параметров непрерывной системы второго порядка. Найденное периодическое решение исследовано на устойчивость в целом.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит, как теоретический, так и практический характер. Теоретическая ценность исследования состоит в разработке аналитических методов нахождения периодических решений исследуемых динамических систем с подкачкой с помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа. Этот гибкий аппарат создает возможность исследовать вопросы связанные с существованием и единственностью периодических решений и исследовать их на устойчивость.
Практическая значимость исследования заключается в возможности применения разработанных математических моделей и аппарата их исследования для динамических систем более общего вида, а также для изучения колебательных процессов в целом ряде электронных устройств (ключевых схем, генераторов колебаний специальной формы, преобразователей напряжения из постоянного в переменное).
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников. Текст изложен на 119 страницах, содержит 32 рисунка и 2 таблицы.
4.5 Выводы по главе 4.
1. На основе доказанных в первой главе свойств корней характеристического уравнения (2.7) непрерывной динамической системы с запаздыванием первого порядка оказалось возможным предложить численный метод расчета действительных и мнимых частей этих корней. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9. Численные расчеты по указанной.
Рис. 4.5: Графики функции y (t), построенной с помощью экспоненциального разложения на отрезке [1 —г, 0] при значении параметра к — 1, для первого корня Т — 1.64 и т2 = 4.35 программе подтвердили правильность остальных свойств корней, при значениях параметра к 6 (е-1,1).
Рис. 4.6: Блок-схема численного решения основной системы.
2. На основе найденной в главе второй формулы для функции F®, нули которой соответствуют длинам периодов колебаний в непрерывной системе с подкачкой и запаздыванием, а также с использованием разработанного алгоритма нахождения корней характеристического уравнения (2.7) был предложен алгоритм.
Рис. 4.7: Графическое построение численного решения основного уравнения при начальном условии ф{Ь) = 1, к = 0.5, h3 = 0.005 численного нахождения длин периодов периодических решений исследуемой системы. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9.
3. Был предложен алгоритм численного нахождения периодического решения непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой в виде найденного в главе 2 экспоненциального разложения. На основе алгоритма составлена программа, реализованная в среде MAPLE 9.
4. Для проверки правильности расчетов, предложенных алгоритмов, был реализован алгоритм прямого решения исходного уравнения с запаздыванием и подкачкой. Расчеты показали достаточно точное совпадение с результатами, полученными на основе экспоненциального разложения (точность определяется шагом прямого метода) .
Заключение
.
Результатом проведенного исследования является методика исследования непрерывных и дискретных динамических систем с условием возможной подкачки, как содержащих запаздывание, так и без пего, позволяющая решить следующие задачи:
1. Сформулирована и доказана теорема существования и единственности неотрицательного однофрагментного периодического решения динамической системы (2.1) для каждого значения параметра к в интервале (е-1,1п (1 + /2)] .
Найдено следующее уравнение для длин периодов решений системы (2.1) при параметре к из интервала (е1,1п (1 + -/2)]: где суммирование ведется по номерам всех корней характеристического уравнения системы вида ке~р + р = 0.
Найден общий вид периодического решения в указанном интервале изменения параметра к.
2. Из анализа, проведенного для возможных периодов колебаний длительностью меньшей 2 доказано, что существует счетное число значений параметра к, задаваемое следующей формулой: при которых имеются однофрагментные периодические решения системы (2.1) с длинами периодов т = ^.
Доказано, что не существует иных, кроме перечисленных параметров к, при которых существовали бы неотрицательные периодические решения системы.
3. На основе теоремы 2.2. и необходимых условий знакопеременности функций, следующей из свойств ее изображения по Лапласу и Эйлеру-Лапласу, создается возможность получить эффективные необходимые критерии существования периодических решений в более сложных динамических системах с подкачкой. при 1 — т < t < 0 при 0 < t < 1. к = п 1п (1 + у/2), п > 3, n € Z,.
2.1).
4. С помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа получено разложение в виде ряда для сужения на отрезок [—1,0] периодического решения непрерывной динамической системы с несколькими запаздываниями и возможностью подкачки. Полученная формула обобщает результаты, найденные для единственного запаздывания и может быть использована как для изучения проблемы существования и единственности периодического решения, так и для численного построения этого решения.
5. При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью подкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения.
Доказано, что помимо найденных решений дискретной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки, других периодических не существует.
Доказана гипотеза А. Д. Мышкиса о том, что условие h? (0, является необходимым и достаточным условием отсутствия периодических решений у дискретной динамической системы второго порядка.
Доказано, что при фиксированном значении параметра дискретной динамической системы второго порядка, в ней может существовать не более двух видов однофрагментных колебаний с подкачкой.
Найдены необходимые и достаточные условия того, что периодическое решение в дискретной системе единственно.
Исследована устойчивость периодических решений дискретной динамической системы в целом.
6. Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия существования периодических решений.
Доказана единственность периодических решений при каждом конкретном случае значений параметров непрерывной системы второго порядка.
Доказано, что уравнения, позволяющие получать периодические решения, могут быть найдены как с помощью классических методов теории дифференциальных уравнений, так и с помощью интегрального преобразования Эйлера-Лапласа. Последний метод, являясь более гибким, позволяет получать некоторые существенные качественные свойства периодических решений.
Доказано, что если корни характеристического уравнения непрерывной динамической системы второго порядка действительны и различны, то либо вообще не существует периодических решений, либо такое решение единственно и неустойчиво. В случае кратных ненулевых корней периодические решения отсутствуют. В случае же, когда корни комплексные, и характеристическое уравнение устойчиво, то существует и единственно устойчивое в целом периодическое решение динамической системы. Если же характеристическое уравнение неустойчиво и имеет комплексные корни, то периодические решения в динамической системе отсутствуют.
7. Разработанный комплекс программ позволяет численно получать следующие результаты:
• Рассчитывать действительные и мнимые части корней уравнения (2.7).
• Находить длины периодов колебаний в непрерывной системе с подкачкой и запаздыванием.
• Строить периодическое решение непрерывной динамической системы с запаздыванием и подкачкой в виде экспоненциального разложения (2.15).
• Для проверки правильности расчетов, реализован алгоритм прямого решения исходного уравнения с запаздыванием и подкачкой.
