Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве

ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Отделение «Промышленные технологии»

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методическое пособие

по выполнению графических работ.

Для студентов очной формы обучения специальности

" Механизация сельского хозяйства"

Рецензенты: Боунегру Т. В., старший преподаватель ПГУ, Войкин В. Н., начальник КБ ОАО «Литмаш»

Рыбалова Т.Ф., Юсюз В. П. — методическое пособие по выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Начертательная геометрия» для студентов АТФ и ИТИ, обучающихся по направлению «Механизация сельского хозяйства» и «Технология машиностроения». Тирасполь, 2008 г., 4,3 п. л, иллюстрации.

Данное методическое пособие разработано для студентов второго курса дневного факультета АТФ специальности «Механизация сельского хозяйства» и предназначено для практической проработки курса «Начертательная геометрия». Оно включает в себя 7 разделов, 6 из которых — это примеры выполнения расчетно-графических работ. Каждый из этих разделов состоит из подразделов, одним из которых является теоретический. Он поможет студентам самостоятельно разобраться при решении задач по темам, так как в нем указывается последовательность графических построений («алгоритмы решения задач»).

Методическое пособие содержит общие требования к выполнению расчетно-графических работ, а также требования к их оформлению, задания по вариантам и контрольные вопросы, необходимые для защиты работ.

Обозначения, терминология и символика, используемая в данных методических указаниях, соответствуют приводимым в лекционном курсе и в рекомендуемой литературе.

Методическое пособие дает возможность в наименьшие сроки выполнить работы, а также глубже подготовиться к сдаче экзамена и тем самым значительно повысить уровень геометрической и конструкторской подготовки будущего инженера.

Рекомендовано к изданию методической комиссией и методическим советом ПГУ им. Т. Г. Шевченко, протокол № от _____________________.

© Авторы:

Рыбалова Т.Ф.

Юсюз В.П.

• Введение
• 1. Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ
• 2. Расчетно-графическая работа по теме «Комплексный чертеж плоскости»
• 2.1 Задание
• 2.2 Теоретический раздел
• 2.2.1 Построение следов плоскости
• 2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П₁ и П₂
• 2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения
• 2.3 Указания к выполнению задания
• 2.4 Контрольные вопросы
• 3. Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение плоскостей»
• 3.1 Задание
• 3.2 Теоретический раздел
• 3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью
• 3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек
• 3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения
• 3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником
• 3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)
• 3.4 Контрольные вопросы
• 4. Расчетно-графическая работа по теме «Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей»
• 4.1 Содержание работы
• 4.2 Теоретический раздел работы
• 4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости
• 4.2.2 Параллельность плоскостей
• 4.3 Указания к выполнению задания
• 4.4 Контрольные вопросы
• 5. Расчетно-графическая работа № 5 «Сечение поверхности сферы плоскостями»
• 5.2 Теоретический раздел
• 5.2.1 Сечение сферы плоскостью
• 5.3 Указания к выполнению РГР5
• 5.4 Контрольные вопросы
• 6. Расчетно-графическая работа № 6 «Взаимное пересечение поверхностей»
• 6.2 Теоретический раздел
• 6.2.1 Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей
• 6.2.2 Построение линий пересечения поверхностей с помощью вспомогательных сферических поверхностей
• 6.3 Указания к выполнению работы
• 6.4 Контрольные вопросы
• 7. Расчетно-графическая работа № 7″ Аксонометрические проекции"
• 7.1 Аксонометрическая проекция точки и прямой
• 7.2 Аксонометрические проекции плоских фигур и геометрических тел
• 7.3 Прямоугольная изометрическая проекция окружности
• 7.4 Изометрия шара (рисунок 7.10)
• 7.5 Указания к выполнению задания
• 7.6 Контрольные вопросы
• Литература
• Приложения

Изучение в технических вузах фундаментальных математических наук имеет первостепенное значение в формировании будущего инженера, так как они дают будущему специалисту необходимые знания для решения инженерных задач.

Начертательная геометрия, как прикладная математическая наука находит особо большое применение в конструкторской практике, где рассматривается большой комплекс технических задач с широким использованием математического аппарата. Начертательная геометрия является тем разделом геометрии, который изучает теоретические основы методов построений изображений (проекций) геометрических фигур на какой-либо поверхности и способы решения различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при помощи их изображений.

Начертательная геометрия является грамматикой «языка техники» (чертежа), построенного по определенным геометрическим правилам. Чертеж — это своеобразный язык, с помощью которого, используя лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков букв и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности (в частности на плоскости) геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т. д.) Причем этот графический язык является интернациональным, понятным любому технически грамотному человеку, независимо от того, на каком языке он говорит.

Начертательная геометрия служит наилучшим средством развития у человека его пространственного воображения, без которого немыслимо никакое творчество.

Задача этой науки — создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе их геометрических моделей, разработка теории графического отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве.

1. Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ

Каждый студент при изучении курса «Начертательная геометрия» должен выполнить расчетно-графические работы (работы), состоящие из нескольких типовых задач различных разделов курса. Работа выполняется по вариантам, варианты задания выдаются преподавателем. Целью каждого задания — закрепление знаний студентов по основным разделам курса и возможность приобрести определенные практические навыки в решении позиционных и метрических задач. Перечень работ смотри приложение А.

Прежде чем приступить к выполнения работы, необходимо ознакомиться с лекционным материалом и с краткими пояснениями решений геометрических задач и графических построений практикума.

Все работы выполняются на листах чертежной бумаги формата А3 ₍297*420).

Изображения графических элементов, указанных в условии задач, рекомендуется выполнять в масштабе 1: 1.

Все построения должны быть выполнены чертежным инструментом, тип и толщины линий должны соответствовать ГОСТ 2.303. Смотри приложение Б. При этом толщину сплошной толстой основной линии, применяемой для изображения линии видимого контура, видимых линий пересечения, линий входящих в графическую часть определителя поверхности, рекомендуется выполнять для данных работ толщиной S= (0,8 — 1,0) мм. Линии невидимого контура и невидимые линии пересечения поверхности выполнять толщиной S/2. Линии проекционной связи, вспомогательные линии построения, осевые, линии симметрии — толщиной S/3. (В данных работах разрешается результат конечного построения выполнять цветными карандашами, элементы геометрических фигур покрывать бледными тонами или наносить штриховку).

начертательная геометрия аксонометрическая проекция Изображение всех точек, используемых для выполнения чертежей, а также промежуточные результаты построений должны быть выполнены в виде окружности, диаметр которых больше S.

Наименование точек следует выполнять заглавными буквами латинского алфавита (А; В; С…) или арабскими цифрами (1; 2; 3 …), линий — заглавными буквами греческого алфавита (А; В; Г; Д… Щ), а проекции, указанных выше элементов — этими же знаками с соответствующим подстрочным индексом. Например: А > П₁ =А₁; А > П₂ = А₂; А > П₃ = А₃

Наименование и правописание букв латинского и греческого алфавитов смотри в приложении Б Буквенные обозначения, цифры, буквы и другие надписи необходимо выполнять шрифтом № 5 или № 7 в соответствии с ГОСТ 2.304. Смотри приложение В На чертежах необходимо сохранять те построения, которые дают возможность проверки правильности решения задачи и контроля графической точности построений.

В правом нижнем углу чертежа должна быть выполнена основная надпись по ГОСТ 2.104. В графе обозначение (в учебных целях) должна быть выполнена запись по типу: НГ. РГР№ 2.600 521.08, где НГ — дисциплина «Начертательная геометрия», РГР№ 2 — номер очередной работы, 600 521 — номер зачетной книжки, 08 — номер варианта.

В графе наименование записываем наименование графической работы взятые из приложения, А Каждое задание рассматривается и принимается преподавателем по бальной системе.

Выполненные работы студент должен хранить у себя и в конце семестра зачтенные (положительно оцененные) расчетно-графические работы сброшюровываются в альбом размером 297*420, первым листом которого должен быть титульный лист. Как выполнять титульный лист смотри методическое пособие «Шрифты чертежные» (разработка кафедры ТМС). Образец титульного листа в приложении Г. Альбом предъявляется на зачете, а затем во время сдачи экзамена.

В случае невыполнения установленного количества графических работ студент не допускается к сдаче экзамена по «Начертательной геометрии» .

Терминологию и обозначения используемую в данных методических указаниях смотри в приложении Д.

2. Расчетно-графическая работа по теме «Комплексный чертеж плоскости»

Целью данной работы является изучение способа ортогонального проецирования точек, отрезков прямых линий и плоских фигур. Построение плоскости общего положения, главных линий плоскости, следов плоскости. Определение натуральной величины отрезка и плоской фигуры.

2.1 Задание

Для плоскости У, заданной треугольником АВС:

построить проекции следов плоскости У (АВС);

определить углы ц и щ наклона плоскости У (АВС) к плоскостям проекций Р₁ и Р₂;

поворотом вокруг горизонтали или фронтали определить натуральную величину треугольника АВС.

Координаты точек А, В и С выбираем из таблицы 2.1 по вариантам. Образец выполнения работы смотри в приложении Е.

Таблица 2.1 — координаты точек. В миллиметрах

2.2 Теоретический раздел

2.2.1 Построение следов плоскости

Для построения следов плоскости достаточно определить следы двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения этой задачи пользуемся следующим алгоритмом: чтобы найти горизонтальный след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М₂ как точку пересечения фронтальной проекции g₂ прямой g с осью; недостающая горизонтальная проекция М₁ совпадает с горизонтальным следом прямой g, то есть М? М₁; для нахождения фронтального следа N прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N₁, как точку пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью; недостающая фронтальная проекция N₂ совпадает с фронтальным следом N, то есть N? N₂

Рисунок 2.1

2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П₁ и П₂

Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций П₁ и П₂ перпендикулярны соответственно горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла наклона плоскости У, заданной прямой, а и точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ без искажений. Для решения данной задачи (смотри рисунок 2.2):

проведем через точку С горизонталь h (h₁, h₂);

из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А₁К₁ и А₂К₂ проекции перпендикуляра (А₁К_{1 +} h);

натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к плоскости П₁ находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).

Рисунок 2.2

Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций смотри на рисунке 2.3

Рисунок 2.3

2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом вращения

При решении метрических задач связанных с определением истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить треугольник параллельно плоскости П_1, то за ось вращения следует принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей (смотри рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

Построения выполняются в следующей последовательности:

через точку С проведем горизонталь h (h₂¦ х_1,2);

из точек А₁ и В₁ восстанавливаем перпендикуляры к h₁;

строим проекции радиуса вращения одной из них (например А), это будут проекции А₁О₁ и А₂О₂;

по двум проекциям определяем истинную величину радиуса вращения R_А. В настоящем примере радиус определен методом вращения (его также можно определить методом треугольника);

отрезок R_А откладываем от точки О вдоль той прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;

через полученную точку и неподвижную D₁ проводим прямую до пересечения с прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их пересечении отмечаем точку ;

соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С₁, получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет натуральную величину треугольника АВС;

фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в прямую линию, совпадающую с С₂D₂.

2.3 Указания к выполнению задания

Указания к выполнению задания по координатам точек А, В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж плоскости У (АВС), при этом выбираем ось х, начало координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа (смотри приложение Е);

для построения следов плоскости У (АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых (отрезков) плоскости У. В нашем примере выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел 2.2.1;

найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых, соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;

определяем углы наклона плоскости У (АВС) к плоскостям П₁ и П_{2 (}смотри раздел 2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.

2.4 Контрольные вопросы

Что мы называем следом плоскости и как его определить на комплексном чертеже.

Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

Определение натуральной величины треугольника методом вращения.

3. Расчетно-графическая работа по теме «Взаимное пересечение плоскостей»

Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов способом конкурирующих точек.

3.1 Задание

Найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В, С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.

Таблица 3.1 — Координаты точек. В миллиметрах

3.2 Теоретический раздел

3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью

При решении данной задачи необходимо четко различать следующие этапы ее выполнения (алгоритм):

проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее, то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (), которую проводят через прямую, а (а). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется брать одну из проецирующих (_{1 2});

построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта с заданной плоскостью сигма (n =);

определение точки К как точки пересечения данной прямой, а и построенной прямой n (аn = К)

определение видимости прямой на плоскостях проекций.

На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а, пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС ((АВС)). Точка пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей) плоскости дельта (₁), которая с заданной плоскостью сигма пересекается по прямой (n =). Искомая точка К пересечения прямой, а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения прямых, а и n (К = а n).

Рисунок 3.1

Как решается эта задача на эпюре Монжа (комплексном чертеже), смотри на рисунке 3.2

Рисунок 3.2

На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной задачи: определить точку пересечения прямой, а с плоскостью сигма, заданной двумя параллельными прямыми в и с (а (в с) =К).

Рисунок 3.3

Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим образом:

через прямую, а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость дельта (₂);

вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную плоскость сигма по прямой 12;

находим проекции этой прямой сначала 1₂ 2_{2 (}1₂2₂ а₁₂₎, потом1₁ и 2₁ (точка 1 принадлежит прямой в, а точка 2 прямой с, следовательно их проекции принадлежат одноименным проекциям этих прямых);

находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а; 1₁2₁ а₁=К₁, К₁ К_{2 (}а 12) = К.

При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки. Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости взята горизонтально — проецирующая плоскость, то первой из двух будет определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К₁, а затем К_{2 (}смотри рисунок 3.3).

3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек

Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно (рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную проекцию 1₂ точки 1. В ней как бы пересекаются прямые, а и в, но они попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в пространстве точки, принадлежащие прямым, а и в находятся на одном перпендикуляре к плоскости _2. Если пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а, а прямая в за ней, следовательно, на ₂ видим сначала а₂, а потом в₂. Видимость для горизонтальной плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой, а и с (). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим, что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а, следовательно, прямая, а на данном участке выше и мы ее видим.

3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей, либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.

Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.

При решении этой задачи (вторая позиционная задача) пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:

проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные поверхности;

определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей (m и n);

отмечают точки пересечения построенных линий, которые и являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.

Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости провести не произвольно, а через какие — либо две из сторон многоугольников. В нашем примере вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше). Находим линию 12 пересечения плоскости дельта () с плоскостью треугольника АВС ((АВС) = 12). Точка М есть точка пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12 ЕD), а точка N результат пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри 3.2.2).

Рисунок 3.4

3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником

Построение сечения многогранника требует многократного решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5

Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.

N = АА¹

Для нахождения точки N проводим вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через ребро АА¹.

Она пересекает плоскость по прямой 12. Построив 1₂2₂ определяем точку N₂ и с помощью линии проекционной связи находим вторую проекцию точки N-N₁. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.

L = ВВ¹, M = СС¹

3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)

На листе формата А3, расположение книжное, по координатам точек, А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.

По координатам точек К, М, N и L выполняем комплексный чертеж призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер призмы и сторон треугольника.

Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра, следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого находится как точка пересечения ребра с плоскостью (АВС).

Р = КК¹

R = ММ¹

S = NL

Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК¹ проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта. Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости дельта (1₁2₁ К₁К'₁₂₎. С помощью проекции линии связи находим 1₂ и 2₂. Искомая точка Р находится на пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВ 12). Точки R и S находим аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).

Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей проекций.

3.4 Контрольные вопросы

Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;

Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;

Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных поверхностей плоскостями.

4. Расчетно-графическая работа по теме «Взаимная перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей»

Цель работы: закрепить знания и навыки в построении проекций точек, прямых и плоскостей в соответствии с координатным способом их задания, приобрести навыки в решении позиционных задач на прямую и плоскость, научиться строить прямые и плоскости, параллельные и перпендикулярные заданным плоскостям, а также приобрести умение определять натуральную величину отрезка прямой по его комплексному чертежу.

4.1 Содержание работы

Определить расстояние от точки D до плоскости сигма заданной треугольником АВС.

Построить плоскость тэта, параллельную плоскости сигма и находящуюся на половине расстояния от точки D до плоскости сигма.

Через вершину В плоскости сигма провести плоскость дельта перпендикулярно отрезку АС и построить линию пересечения двух плоскостей (сигма и дельта).

Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 4.1

Таблица 4.1 — Координаты точек, в миллиметрах

4.2 Теоретический раздел работы

4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости

Так как расстояние от точки до плоскости есть ни что иное, как перпендикуляр, проведенный из этой точки к плоскости, то наша задача сводится к проведению этого перпендикуляра. Прямая линия перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любым двум взаимно пересекающимся прямым этой плоскости. Если в качестве этих прямых взять две любые взаимно пересекающиеся горизонталь и фронталь, то мы можем сказать, что если прямая перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — перпендикулярна фронтальной проекции фронтали той же плоскости (l? (h; f) > l₁h₁ l₂f₂). При этом справедлива и обратная теорема, то есть, если проекция прямой перпендикулярна одноименным проекциям главных линий плоскости, то такая прямая перпендикулярна плоскости (смотри рисунок 4.1)

Рисунок 4.1

Рассмотрим применение этих теорем при решении практических задач.

Задача 4.1 Определить расстояние от точки D до плоскости тэта, заданной треугольником АВС.

Ход решения задачи (смотри рисунок 4.2):

как бы не была задана плоскость, проводим в ней любую фронталь (f₁; f₂) и горизонталь (h₁; h₂);

из точки D₁ восстанавливаем перпендикуляр к h₁, а из точки D_{2 -} перпендикуляр к f₂ и получаем направление перпендикуляра l (l₁ l₂);

находим точку К = l? И (как найти эту точку, смотри задачи на пересечение прямой и плоскости);

D₁К₁ и D₂ К₂ проекции перпендикуляра. Его натуральную величину находим любым известным способом. В данной задаче его натуральная величина найдена методом треугольник

Рисунок 4.2

Часто приходится решать задачу обратную — строить плоскость, которая проходит через заданную точку, А перпендикулярно данной прямой (рисунок 4.3). Как правило, эту плоскость задают главными линиями плоскости (горизонталью и фронталью), так как известно направление этих главных линий плоскости. Через точку, А проводим горизонталь (ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции прямой и через эту же точку, А проводим фронталь плоскости (ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции прямой).

Рисунок 4.3

4.2.2 Параллельность плоскостей

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Через точку пространства можно провести пучок прямых линий параллельных данной плоскости.

На комплексном чертеже (эпюре Монжа) (смотри рисунок 4.4) плоскость сигма задана двумя параллельными прямыми и через точку пространства К проведена плоскость, параллельная заданной, при этом прямая g параллельна с, а прямая е параллельна прямым, а и в

Рисунок 4.4

У параллельных плоскостей их главные линии (следы) соответственно параллельны. На рисунке 4.5 плоскость сигма задана следами и дана точка К, через которую нужно провести плоскость, параллельную плоскости сигма. Для этого через точку К проведем одну из главных линий плоскости (например горизонталь). Через след горизонтали будет проходить новая плоскость сигма.

Рисунок 4.5

4.3 Указания к выполнению задания

Задание должно быть выполнено на листе формата А3, расположение альбомное и образец его выполнения смотри приложение И. Лист условно делится на две части, и в левой части выполняется задание 4.1.1 и 4.1.2, в правой части — задание 4.1.3 По координатам точек А, В, С и D выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и точки D.

Порядок выполнения задания 4.1.1

В плоскости сигма проводим фронталь и горизонталь (для удобства данного чертежа фронталь и горизонталь проводим через вершину С, через вершину D проведем прямую l_, перпендикулярную плоскости сигма, для этого проводим l₂ f₂ и l₁ h_1; находим точку пересечения построенной прямой l с заданной плоскостью сигма (алгоритм решения данной задачи смотри в разделе 3.2.1 данного методического указания) l??=К К₁D₁ и К₂D₂ — проекции перпендикуляра КD или расстояние от точки, а до плоскости сигма; для нахождения натуральной величины отрезка DК можно воспользоваться любым известным способом. В нашем примере использован метод прямоугольного треугольника. Для этого из конца (любого) отрезка К₁D₁ восстановим перпендикуляр, на котором отложим Y = Y _к — Y _D и тогда К₁ = Р DКР

Через середину отрезка DК необходимо провести плоскость сигма, параллельную плоскости сигма. Для этого отрезок DК делим на две части, получаем точку L (находим L₁ и L₂) и через точку L проводим плоскость тэта, которую задаем двумя пересекающимися прямыми m и n И (n?m), при этом mРРАС, а n РРАВ.

На поле чертежа справа выполняем комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и через вершину В проводим плоскость дельта, перпендикулярную стороне АС (плоскость дельта задаем горизонталью и фронталью). При этом строим f₂А₂С_2, а h₁А₁С₁. Чтобы найти линию пересечения этих двух плоскостей, нам достаточно найти точку пересечения плоскости дельта прямой АС, так как одна точка пересечения (В) у нас уже есть. Для этого через отрезок АС проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф и найдем прямую 12, по которой плоскость дельта пересекается плоскостью фи (12=Д?Ф). точка К находится на пересечении прямых АС и 12 (К= АС?12). Проводим линию пересечения двух плоскостей и определяем видимость. (В примере точка К найдена другим способом).

4.4 Контрольные вопросы

Назовите алгоритм решения задачи на построение перпендикуляра из точки к плоскости.

Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, перпендикулярной к данной прямой;.

Назовите алгоритм решения задачи на построение плоскости, параллельной заданной.

5. Расчетно-графическая работа № 5 «Сечение поверхности сферы плоскостями»

Цель работы: изучить способы и приобрести умение в построении линий пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения.

5.1 Содержание работы: выполнить линии пересечения поверхности сферы плоскостями частного положения (фронтально-проецирующими). Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы 5.1, образец выполнения задания смотри приложение К.

Таблица 5.1 Задания по вариантам. В миллиметрах

Для всех вариантов центр сферы О (50; 60; 60), и радиус сферы равен 40 мм.

5.2 Теоретический раздел

При построении линии пересечения одна из проекций линии пересечения задана (это фронтальная, так как известны координаты X и Z). В условии нашего задания секущие плоскости являются фронтально — проецирующими, поэтому решение задачи значительно упрощается. В случае, если секущая плоскость общего положения, следует воспользоваться одним из способов преобразования ее в плоскость частного положения (проецирующую). Естественно, что преобразованиям надо подвергнуть и заданную сферическую поверхность.

5.2.1 Сечение сферы плоскостью

Сечение сферы плоскостью рассмотрим на примере решения задачи. Пусть дана сфера и фронтально — проецирующая плоскость дельта (смотри рисунок 5.1). окружность, по которой плоскость дельта пересекает сферу проецируется на П₁ в виде эллипса. Две вершины этого эллипса точки 1 и 2 являются высшей и низшей точками (главные точки линии пересечения сферы поверхностью) сечения. Для их нахождения пользуются тем, что они являются очевидными, то есть находятся на пересечении секущей плоскости с главным меридианом сферы. Находим 1₂ и 2₂ и по линии связи и по принадлежности очерковой образующей определяем горизонтальные проекции точек 1 и 2 (1₁; 2₁). Точки 3 и 4 тоже являются главными точками линии пересечения — это точки смены видимости на горизонтальной плоскости проекций и принадлежат экватору сферы, точки 5 и 6 определяют большую ось эллипса (1₂5₂ = 5₂2₂; 5₁6₁ = 1₂2₎.

Рисунок 5.1

Пример решения задачи, когда сфера пересекается плоскостью общего положения, смотри на рисунке 5.2

Рисунок 5.2

В нашем примере h (h₁, h₂) — горизонталь, f (f ₁, f₂) — фронталь

Рассматриваемый случай можно свести к предыдущему, проделав замену плоскостей проекций (П₂ на П₄). В новой системе П₁П₄ заданная плоскость стала проецирующей и горизонтальную проекцию сечения можно построить аналогично тому, как это было сделано на рисунке 5.1 Высшая и низшая точки сечения обозначены соответственно через 1и 2 (1₁; 1₄) и (2₁; 2₄). Цифрами 3 (3₁; 3₄) и 4 (4₁; 4₄) обозначены точки, расположенные на контуре горизонтальной проекции сферы и отделяющие видимую часть горизонтальной проекции от невидимой (точки видимости). Заметим, что эти точки (3 и 4) можно определить и непосредственно в системе П₂/П₁ при помощи плоскости Д, проходящей через центр сферы П_1. Построение фронтальной проекции сечения можно выполнить независимо от уже построенной проекции сечения на плоскости П₁. Для этого следует перейти от системы П₂/П₁ к системе П₅/ П₂ (П₅ П₂) и дальнейшие построения ничем не отличаются от предыдущих. Заметим, что через 5 и 6 обозначены точки соответственно наиболее и наименее удаленные от плоскости П₂. Точки 7 и 8 расположены на меридиане сферы и определяют границы видимости фронтальной линии сечения. Если найденных точек недостаточно для построения проекций сечения (при больших размерах чертежа), то промежуточные точки могут быть определены при помощи вспомогательных секущих плоскостей (параллелей сферы).

Рассмотрим еще один пример рассечения сферы плоскостями.

Сфера рассекается плоскостями по окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскости, параллельные секущим плоскостям, и в отрезки прямых — на плоскости, перпендикулярные секущим плоскостям. На рисунке 1 показан пример — усеченная полусфера У¦П1, Г и И¦П3). Отсеченная (отброшенная) часть полусферы показана сплошной тонкой линией.

Рисунок 5.3

5.3 Указания к выполнению РГР5

На листе формата А3, расположение альбомное, выполняем в тонких линиях трехпроекционный комплексный чертеж сферы, выбрав точку О (50; 60; 60) сферы по координатам и радиусу сферы 40 мм. На фронтальной плоскости проекций по координатам точек А; В; С и D (табличку с координатами точек желательно разместить на свободном поле чертежа внизу слева), взятым согласно варианту из таблицы 5.1, выполняем фронтальную линию сечения сферы фронтально-проецирующими плоскостями. В нашем образце в приложении К это линия 1DА5А' D'1. Фронтальная проекция линии пересечения у нас уже есть, а как найти остальные проекции смотри раздел 5.2.1 данного пособия.

5.4 Контрольные вопросы

Какая фигура получается в сечении при пересечении сферы плоскостью уровня?

Какая фигура получается в сечении при пересечении сферы проецирующей плоскостью?

Перечислите графические операции при построении плоских сечений любой поверхности.

Какие точки линии пересечения поверхности вращения плоскостью называются главными (опорными).

6. Расчетно-графическая работа № 6 «Взаимное пересечение поверхностей»

Целью данного занятия является изучение способов построения линии пересечения поверхностей.

Задание: в расчетно-графической работе № 6 необходимо выполнить две задачи на построение линии пересечения поверхностей. Задачу № 6.1 смотри в таблице 6.1, задачу № 6.2 таблице 6.2, а варианты задания в таблице 6.3.

Таблица 6.1 — Задача 6.1

Таблица 6.2 — Задача 6.2

Таблица 6.3 — Варианты задания

6.2 Теоретический раздел

Линия пересечения поверхностей представляет собой совокупность

точек обеих поверхностей. В общем случае для нахождения линии пересечения поверхностей используется следующий алгоритм построения линии пересечения поверхностей:

Провести анализ вида поверхностей и их взаимного расположения. Анализ взаимного расположения поверхностей позволяет сделать вывод о количестве замкнутых контуров в линии пересечения. В случае проницания, когда одна из поверхностей полностью пересекается второй, линия пересечения состоит из двух контуров. Если пересечение частичное (случай врезки), линия пересечения представляет собой один пространственный контур. При касании поверхностей два контура линии пересечения имеют общую точку.

Провести анализ вида линии пересечения поверхностей. Необходимо проанализировать и возможный вид линии пересечения (ее контура): пространственный или плоский, гладкий или с изломами, симметричный или несимметричный. Линия пересечения многогранников в общем случае представляет собой пространственную замкнутую ломаную, в частных случаях — пространственные либо плоские многоугольные контура.

Линия пересечения поверхностей второго порядка в общем случае — пространственная гладкая кривая четвертого порядка. Если такие поверхности имеют общую плоскость симметрии, то и линия пересечения будет симметричной кривой. Линия пересечения поверхности вращения либо поверхности второго порядка с многогранником в общей случае — пространственная кривая с точками излома в точках пересечения ребер с поверхностью второго порядка.

Найти точки линии пересечения, определяемые непосредственным образом. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае имеет характерные (опорные) точки, с которых и следует начинать построение линии пересечения. Опорными точками являются:

точки, принадлежащие ребрам многоугольника, участвующим в пересечении;

точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций (проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми, они делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую, их еще называют точками смены видимости), но не каждая из очерковых является точкой смены видимости;

экстремальные точки, то есть точки наиболее и наименее удаленные от той или иной плоскости проекций (по отношению к горизонтальной плоскости проекций это высшая и низшая точки).

Выбрать вспомогательные плоскости — посредники для построения промежуточных точек. Основным способом построения линии пересечения поверхностей является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых результат пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, другая — той же вспомогательной поверхности с другой заданной.

Выбор вида и положения вспомогательной секущей плоскости определяется в основном следующими соображениями: необходимостью определения положения ряда опорных точек, так как опорные точки располагаются на вполне определенных линиях, то вспомогательные поверхности выбрать так, чтобы они пересекли заданные именно по этим линиям (следует определить внимание, что при решении конкретных задач каждая из опорных точек требует составления своего особого алгоритма построения, в то время как промежуточные точки могут быть построены на основании одного и того же алгоритма); любая из проведенных вспомогательных секущих плоскостей должна пересекать каждую из заданных по линиям, проекции которых должны быть графически простыми (прямая, окружность); все вспомогательные поверхности должны проводиться в пределах зоны возможного расположения (зона наложения) линии пересечения.

Вспомогательные секущие плоскости-посредники часто выбирают проецирующими или вращающими вокруг прямой (собственной или несобственной). Из проецирующих плоскостей чаще используют плоскости уровня. При определении линии пересечения двух поверхностей вращения, при их особом взаимном положении, не всегда рационально применять вспомогательные секущие плоскости, а использовать способ вспомогательных секущих сфер (концентрических и эксцентрических). Концентрические сферы-посредники применяются для определения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями. Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их концентрическими сферами.

Объединить полученные точки в линию пересечения. Объединение найденных точек в линию пересечения легче всего производится путем обхода.

Определить видимость линии пересечения и видимость поверхностей на плоскостях проекций.

Для наглядности чертежа на плоскостях проекций определяют видимость линии пересечения и самих поверхностей. При этом видимой точкой пересечения является точка, принадлежащая видимым частям обеих поверхностей.

6.2.1 Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При решении задач на построение линий пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости обычно выбирают в виде плоскостей уровня (плоскостей, параллельных плоскостям проекций). Линии двух поверхностей имеют характерные (опорные, главные) точки, с которых и следует начинать построение линий пересечения. Они позволяют видеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих плоскостей для определения произвольных точек.

Способ определения линии пересечения поверхности с помощью плоскостей, — ось которого — собственная прямая.