Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом

Актуальность темы

В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (см., например [17], [25], [36], [39], [43]). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А. Берлингом в [24] и реализован впоследствии Г. Бьорком в [25]). Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р. Брауна, Р. Майзе и Б. А. Тейлора [30]. В отличие от Г. Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид о-(|а-|), х? К7*, но, с другой стороны, ослабили требование полуад дитивности и сверху, заменив его следующим условием:

3К > 1: ш (х + у) < К{ 1 4- ш (х) + и (у)) для всех х > 0, у > 0.

Пространства, исследуемые в [30], задаются при помощи весовых последовательностей вида {пй-}^! и {—о-}^, и называются проп странствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш (г) — гр пространство, задаваемое последовательностью {— о-}^, совпадает с проп странством Жеврея порядка которое, как известно, используР ется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А. В. Абаниным и Е. С. Тищенко [2], [15] (см. также [16]) была исследована более общая, чем в [30] ситуация, когда пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по индексу) последовательностей весовых функций зависящих от одной переменной. Случай, когда весовые функции зависят от переменных ., |жлг|, а пространства задаются последовательностями как в [2], [15], [16] не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [2], [15], [16], [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.

С другой стороны, в последнее время возрос интерес к решению задач типа Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах (см., например, [5], [6], [8]-[10], [27], [28], [32], [33], [36], [42]).Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:

Теорема Бореля (1895г.- см. [29]) Для любой последовательности {ха}а€к0 вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция / одной вещественной переменной с = хау Уа € N0.

Теорема Уитни (1934г.- см. [44]) Пусть К ф 0 — компакт в и (/а)а€ 1Члг —последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны: г) 3/ € С°°(КЛГ): /<в>|* - /*, Уа € и) Ут € N0 и, а € N9 равенство равномерно пох, у? К, когда у — х —> 0. Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тесной взаимосвязью решения задач о продолжении с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений и о разложении в ряды экспонент (см., наприм., [8]). Ю. И. Любич и В. А. Ткаченко в [9] доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде упомянутых выше работ, в случае неквазианалитических классов при дополнительном ограничении на {гап}^0 аналоги теоремы Бореля справедливы. В частности, в [5] дано прямое построение функций /(х) по значениям ее производных в нуле для классов Жеврея. Для пространств, определяемых последовательностями {пи-}^ и {—о?}^, где ш— одномерная весовая функция задачи Бореля и Уитни рассмотрели Дж. Бонет, Р. Браун, Р. Майзе, Б. А. Тейлор в работах [27], [28], [42]. Они получили критерий, дающий полную характеризацию пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, для которых такие аналоги имеют место. Необходимо отметить, что достаточная часть критерия справедлива для любого непустого компакта К (К—компакт из теоремы Уитни), а необходимая часть выполняется при дополнительном ограничении, что компакт К—выпуклый. А. В. Абаниным в работах [1], [21] было установлено, что вышеупомянутый критерий справедлив в случае компактов произвольной структуры.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов, полученных в [30], [2], [15] на случай пространств ультрадифференцируемых функций, задаваемых последовательностями многомерных функций {(*-«}, неубывающих и невозрастающих по п и решение проблем Бореля и Уитни о продолжении в пространствах, определяемых последовательностями вида {—о-}^!, где а-—многомерный вес.

7Х.

Цели работы. В диссертационной работе исследованы следующие аспекты сформулированных выше задач:

— изучение свойств пространств ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье, построенных по произвольной последовательности многомерных весовых функцийописание топологически сопряженных к ним, получение аналога теоремы типа Пэли-Винера-Шварца;

— получение необходимых и достаточных условий на многомерный вес о-, при которых для соответствующих пространств ультрадифференцируемых функций справедливы аналоги теорем Бореля и Уитни.

Методы исследования. В диссертационной работе, в основном, используются классические методы теории обобщенных функций, функционального анализа и теории целых функций. При исследовании аналогов теорем Бореля и Уитни существенную роль играют методы теории двойственности и, в частности, переход к сопряженной задаче.

Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти дальнейшее применение, в задачах разрешимости уравнений типа свертки и в вопросах разложения ультрадифференцируемых функций в ряды экспонент.

Апробация работы. Основные результаты неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского государственого университета (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник), на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце литературы. Результаты главы I опубликованы в [45], [46], глав II и III— в [48], [49], главы IV— в [47]. В совместной с научным руководителем работе [45] по результатам главы I А. В. Абаниным были предложены условия на многомерный вес, при которых удается обобщить результаты работ [2], [15], [30], а само это обобщение и все результаты получены автором диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 49 наименований. Объем диссертации — 115 страниц машинописного текста.

1. Абанин A.B. Характеризация классов ультрадифференцируе-мых функций, допускающих аналог теоермы Уитни о продолжении Ц ДАН. 2000. Т.371. т. С. 151−154.

2. Абанин A.B., Тищенко Е. С. Пространства ультрадиффе-ренцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. т. С. 5−8.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики И М.:Наука. 1988. 512с.

4. Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных переменных // М.:Наука. 1964.

5. Джанашия Г. А. О задаче Карлемана для класса функций Жев-ре // Доклады АНСССР. 1962. Т.145. № 2. С. 259−262.

6. Зобин Н. М. Теоремы продолжения и представления для пространств типа Жеврея // ДАН СССР. 1973. Т.212. № 6. С. 1280−1283.

7. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче.1. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Матем. сб. 1975. Т.97. т. С. 193−229.

8. Любич Ю. И., Ткаченко В. А. О восстановлении бесконечно дифференцируемых функций по значениям их производных в нуле // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. 1969. вып. 9. С. 134−141.

9. Митягин B.C. О бесконечно дифференцируемой функции с заданными значениями производных в точке // Доклады АН СССР. 1961. Т.138. т. С. 289−292.И. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства // М.: Мир. 1967. 266 с.

10. Робертсон А. П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные пространства // М.:Мир. 1967. 257с.

11. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // М.: Мир. 1973. 496 с.

12. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Периодический сборник переводов иностранных статей, 1957, Т.1, № 1.

13. Тищенко Е. С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Пэли-Винера-Шварца // Деп. в ВИНИТИ, 09.09.98, № 2767 D 98 — 38с.

14. Тищенко Е. С. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них // Диссертация на соиск. уч. степ. канд. ф.-м.н. Ростов-на-Дону. 2002. 124с.

15. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1. Теория распределений и анализ Фурье // М.: Мир. 1986.

16. Шефер X. Топологические векторные пространства // М.: Мир. 1971.

17. Эдварде Р. Функциональный анализ // М.: Мир. 1969.1071 с.

18. Abanin A. V, On certain criteria for weak sufficiency // Notes 40(1986). P. 757−764.

19. Abanin A.V. On Whitney’s extension theorem for spaces of ultradifferentiable functions // Math. Ann. 2001. V.320. P. 115 126.

20. Abanin A.V. Thick spaces and analytic multiplicators // Izv.Vysh.Ucheb.Zaved. Sev.-Kav. Region. Estestv.nauki. 4(1994). P. 3−10.

21. Baernstein II, A. Representaition of golomorphic functions by boundary integrals // Trans. Amer. Math. Soc. 160(1971). P. 27−37.

22. Beurling A. Quasi-analyticity and general distributions /1 Lectures 4 and 5. AMS Summer Institute. Stanford. 1961.

23. Bjorck G. Linear partial differential operators and generalized distributions 11 Ark. Mat. 1965. V.6. P. 351−407.

24. Boas R.P. Entire functions // New York. Academic. Press. 1954.

25. Bonet J., Braun B.W., Meize R., Taylor B.A. Whitney’s extension theorem for non-quasianaitic classes of ultradifferentiable functions // Stud. Math. 99(1991). P. 155−184.

26. Bonet J., Meize R., Taylor B.A. Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Roumieu type // Proc. R. Ir. Acad. 89A (1989). P. 53−66.

27. Borel E. Sur quelques points de la th e orie des fonctions H Ann.Sci.Ec.Norm.Super. IV.Ser. 12(1895). P. 9−55.

28. Braun R.W., Meise R., Taylor B.A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math 17(1990). P. 206−237.

29. Bruna J. An extension theorem of Whitney type for non quasi-analytic classes of functions // J. London Math. Soc.(2) 22. 1980. P. 495−505.

30. Carleman T. Lecons sur les fonctions quasi-analytiques // Raris. 1926.

31. Carleson L. On universal moment problems // Math. Scand. 9(1961). P. 197−206.

32. Chou C.-C. La transformation de Fourier complexe et l’equation de convolution // LMN 325, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1973.

33. Edwards R.E. Functional analysis: Theory and aplications H Holt. Rinchart and Winston. Inc. New York. 1965.

34. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables H New York: Whiley-Interscience Publ. 1970.

35. Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V.35. M. P. 193−208.

36. Hestenes M.R. Extension of the range of a differentiate function H Duke Math.J.8(1941). P. 183−192.

37. Komatsu H. Ultradistributions /. Structure theorems and a characterization // J. Fac. Sei. Tokyo Sec. IA 20 (1973), P. 25 105.

38. Lions J.L., Magenes E. Problemes aux limites non homogenes et applications // Vol. 3. Dunod, Paris 1970.

39. Malgrange B. Ideals of differentiable functions // Oxford Univ. Press.(1966).

40. Meize R., Taylor B.A. Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type // Ark. Mat. 26(1988). P. 265−287.

41. Eoumieu С. Sur quelques extensions de la notion de distributions U Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. Paris. 3 Ser. 77 (i960), P. 41−121.

42. Whitney H. Functions differentiable on the boundary of regions Ц Ann. Math. 35 (1934) P. 482−485.Список работ по теме диссертации.

43. Абанин A.B., Ляликова Е. Р. Пространства улътрадифферен-цируемых функций с ростом производных, определяемым многомерными весами // РГУ. Ростов н/Д. 1999. 28с. Деп. в ВИНИТИ 4.08.99. ДО2563-В99.

44. Ляликова Е. Р. Пространства пробных функций типа Бер-линга и Румье с учетом роста по переменным // РГУ. Ростов н/Д. 1997. 29с. Деп. в ВИНИТИ 6.08.97. ДО2625-В97.

45. Ляликова Е. Р. Об аналогах теорем Бореля и Уитни // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 1. С. 28−30.

46. Ляликова Е. Р. Теоремы Бореля и Уитни в пространствах бесконечно дифференцируемых функций, определяемых многомерными весами II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. т. С. 27−29.

47. Ляликова Е. Р. Об одном аналоге теоремы Уитни // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо. 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 135−137.