Усреднение задач на тонких периодических структурах методом двухмасштабной сходимости

Актуальность темы

В диссертации рассматривается усреднение задач на периодических тонких структурах методом двухмасштабной сходимости. Такая проблема возникает при исследовании разнообразных физических процессов в микронеоднородных средах.

Тонкая 1-периодическая структура Рк характеризуется толщиной к>0 и при /2 —"0 переходит в некоторую предельную структуру Р с «нулевой толщиной». Гомотетическое сжатие Рк = еРк, где к (£) 0 при ?—">0, дает ¿-•-периодическую тонкую структуру с толщиной ек{е). Тонкие структуры удобно описывать как носители борелевых мер: на тонкой структуре Рн имеется периодическая мера рк, которая при /г —> 0 слабо сходится к мере /л, задающей предельную структуру Т*1. Обычно мера ¡-лк абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, с1(лк = рн (х)сЬс. Задачи усреднения на тонкой структуре Т7/ связаны с мерой с1рк = рк{€~хх)сЬс и их решения принадлежат «переменному» соболевскому пространству Н1{0., с1//(?), где ограниченная липшицева область.

Теории усреднения посвящена огромная литература и несколько монографий (см. [2], [13], [27], [36]). Если = с1/и = (Лх есть мера Лебега, имеет место классическое усреднение (метод асимптотических разложений Н. С. Бахвалова, метод компенсированной компактности и др.). Случай, когда с1/ик — ¿-¡-л — рскх, где р — характеристическая функция некоторого периодического открытого множества, соответствует усреднению в перфорированных областях Г2 п^. В этой теории используются различные методы, в том числе известный метод продолжения, а также альтернативная техника />связности, причем последняя годится в случае произвольной р-связной меры.

В теории усреднения широкое распространение получила интересная концепция двухмасштабного предела, выдвинутая О. Nguetseng [80] и развитая в работах G. Allaire [68] применительно к мере Лебега. Усреднению задач методом двухмасштабной сходимости посвящены работы G. Allaire, A. Dam-lamian, U. Hornung [69], M. Neuss-Radu [82] и других авторов. В. В. Жиков ввел понятие двухмасштабной сходимости, связанной с произвольной периодической мерой ц [9], а также с переменной мерой /uh [8], объединив тем самым метод двухмасштабной сходимости со своей техникой р-связности. Предельная мера /л должна быть /?-связной, в то время как связь между ¡-л и цн осуществляется через так называемые аппроксимативные условия.

Задачи усреднения на тонкой сетке (модельном примере тонкой структуры) впервые рассмотрены Н. С. Бахваловым и Г. П. Панасенко [2]. Они показали, что для скалярных задач результат усреднения не зависит от того, как толщина h (s) стремится к нулю при е —" 0. В. В. Жиков заметил, что для задач теории упругости это не так («масштабный эффект») и дал классификацию тонких структур в зависимости от соотношения между б и h (s). Исследованию масштабного эффекта для задач теории упругости посвящены работы В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой [ 14]-[ 16], С. Е. Пастуховой [29]-[31].

Аппроксимативные свойства составляют основу техники усреднения. Для каждой конкретной тонкой структуры такие свойства приходится доказывать отдельно. Для теории упругости аппроксимативные свойства для тонких сеток и тонкой ящичной структуры доказаны С. Е. Пастуховой. Вопросы, связанные с аппроксимативными свойствами, рассмотрены также в работе G.A. Chechkin, V.V. Jikov, D. Lukkassen, A.L. Piatnitski [75].

Математические вопросы, относящиеся к тонким структурам, привлекают в настоящее время многих исследователей. Сюда относятся:

1) свойства соболевского пространства, отвечающего борелевской мере, тангенциальный градиент и проблема релаксации;

2) тесно связанная с аппроксимативными свойствами проблема предельного перехода в переменном соболевском пространстве;

3) равномерные неравенства типа Пуанкаре и Корна.

Эти проблемы изучаются в работах С. А. Назарова [79], G. Buttazzo [74], Bouchitte, P. Seppecher [72], О. Cioranescu [81], I. Fragala, С. Mantegazza [77] и других авторов.

Много работ математиков и механиков было посвящено усреднению в так называемых моделях «double porosity», когда пространство RiV разбито на две непересекающиеся периодические части, причем коэффициент проницаемости равен 1 в одной из них и б-2 в другой (Т. Arbogast, J. Douglas, U. Hornung [70], Г. В. Сандраков [34], [35], B.B. Жиков [9] и др.). Для приложений интересен также и тот случай, когда жесткая фаза (где коэффициент проницаемости равен 1) представляет собой тонкую структуру.

Важное место в теории усреднения занимают спектральные задачи. В монографии O.A. Олейник, Г. А. Иосифьяна, A.C. Шамаева [27] изучено поведение спектра при усреднении в перфорированных областях, когда исходные операторы действуют по существу в переменном гильбертовом пространстве. Аналогичные вопросы широко обсуждаются в настоящее время и для случая усреднения на тонких структурах.

Цель работы. Доказательство аппроксимативных свойств для тонких структур. Исследование связи между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном соболевском пространстве. Усреднение задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью, методом двухмасштабной сходимости. Исследование вопроса компактности в пространстве L2(Q, dju^) и поведения спектра оператора с двумя малыми параметрами при усреднении.

Общая методика исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории функционального анализа и теории меры.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказаны аппроксимативные свойства для модельных тонких структур на плоскости и в пространстве.

2. Установлена связь между аппроксимативными свойствами и предельным переходом в переменном соболевском пространстве.

3. Доказаны теоремы усреднения для задач с двумя малыми параметрами, в том числе и для среды с двойной пористостью.

4. Доказан принцип компактности в пространстве 1}{О., с1/и^) для ряда структур на плоскости и в пространстве.

5. Описано асимптотическое поведение собственных значений оператора с двумя малыми параметрами и доказана сходимость спектров по Хаусдорфу при усреднении.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер и могут найти применение при изучении физических процессов в микронеоднородных средах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В. В. Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете в 2001;2003 гг., на Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2001;2003 гг.), на Всероссийских научно-технических конференциях «Современные проблемы математики и естествознания» и «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» (г. Н. Новгород, 2001;2003 гг.).

Публикации автора. По теме диссертации опубликовано 25 печатных работ, в том числе 8 статей, 17 тезисов докладов на Всероссийских и Международных конференциях. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[47].

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 10 параграфов, и списка литературы из 82 наименований,.

1. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // ДАН СССР. — 1975.-Т. 221, № 3.-С. 516−519.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

3. Боголюбов H.H., Миропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. М.: Наука, 1967.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

6. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

7. Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. -М.: Мир, 1966.

8. Жиков В. В. Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах // Известия РАН. Серия матем. 2002. — Т. 66, № 2. — С. 81 148.

9. Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости//Матем. сб. 2000. Т. 191, № 7. — С. 31−72.

10. Жиков В. В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Матем. сб. 1996. Т. 187, № 8. — С.3−40.

11. Жиков В. В. К технике усреднения вариационных задач // Функц. анализ и его приложения. 1999. — Т. 33, выпуск 1. — С. 14−29.

12. Жиков В. В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сборник. -1998. Т. 189, — № 8. — С. 27−58.

13. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.

14. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об усреднении задач на сетках критической толщины // Доклады РАН. 2002. — Т. 385, № 5. — С. 1−6.

15. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодических сетках критической толщины // Матем. сб. 2003. — Т. 194, № 5.-С. 61−96.

16. Жиков В. В., Пастухова С. Е. Об усреднении на периодических сетках // Доклады РАН. 2003. — Т. 391, № 4. — С. 443−447.

17. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

18. Канторович J1.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1976.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.

20. Котельникова A.A. Вопросы компактности для функций на графах // Тезисы докладов Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Владимир: ВлГУ, 2002. — С. 143 146.

21. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

22. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

23. Мазья В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

24. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1976.

25. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

26. Олейник O.A. О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при слабой сходимости коэффициентов // УМН. 1975. — Т. 30, № 4. — С. 259−260.

27. Олейник O.A., Иосифьян Г. А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных сред. М.: МГУ, 1990.

28. Олейник O.A., Шамаев A.C. Некоторые задачи усреднения в механике композиционных материалов и пористых сред // Механика неоднородных структур. Киев: Наукова думка, 1986. — С. 185−190.

29. Пастухова С. Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на сингулярных периодических структурах // Доклады РАН. 2002. — Т. 382, № 1. — С. 7−10.

30. Пастухова С. Е. Усреднение для нелинейных задач теории упругости на тонких периодических структурах // Доклады РАН. 2002. — Т. 383, № 5. -С. 596−600.

31. Пастухова С. Е. Усреднение задач теории упругости на периодической ящичной структуре критической толщины // Доклады РАН. 2002. — Т. 387, № 4.-С. 447- 451.

32. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

33. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

34. Сандраков Г. В. Осреднение нестационарных уравнений с контрастными коэффициенами // Доклады РАН. 1997. — Т. 335, № 5. — С. 605−608.

35. Сандраков Г. В. Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред // Доклады РАН. 1998. — Т. 358, № 3. — С. 308−311.

36. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984.

37. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

39. Шамаев A.C. Спектральные задачи в теории усреднения и G-сходимости // ДАН СССР. 1981. — Т. 259, № 2. — С. 294−299.

40. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972.

41. Шульга С. Б. Усреднение нелинейных вариационных задач с помощью двухмасштабной сходимости // Труды математ. института им. В. А. Стеклова. 2002. — Т. 236. — С. 371−377.

42. Шумилова В. В. Об усреднении задачи с двумя малыми параметрами в среде с двойной пористостью // Матем. заметки. 2003. — Т. 74, № 5. — С. 297−299.

43. Шумилова В. В. Об аппроксимативных свойствах для тонких сеток и тонкой ящичной структуры // Сборник трудов молодых ученых Владимирского государственного педагогического университета. Выпуск 3. Владимир: Изд-во ВлГПУ, 2003. — С. 290−297.

44. Шумилова В. В. Некоторые вопросы усреднения задач с двумя малыми параметрами // Аспирант и соискатель. 2002. — № 13. — С. 188−194.

45. Шумилова В. В. О предельном переходе в некоторых переменных соболевских пространствах // Аспирант и соискатель. 2003. — № 16. — С. 144−147.

46. Шумилова В. В. О предельном переходе для одного линейного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXIX Гагаринские чтения». Т.2. -Москва: МАТИ, 2003. С. 92−93.

47. Шумилова В. В. К вопросу усреднения задач на тонких сетках и тонких ящичных структурах // Тезисы докладов IV ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 25−26.

48. Шумилова В. В. К вопросу о выполнении аппроксимативных свойств для периодической тонкой ящичной структуры // Объединенный научный журнал. 2002. — № 29. — С. 49−53.

49. Шумилова В. В. Об усреднении задачи с двумя малыми параметрами методом ассимптотических разложений // Аспирант и соискатель. 2003. -№ 16.-С.141−143.

50. Шумилова В. В. О вариационном методе решения задачи Дирихле для одного нелинейного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXVIII Гагаринские чтения». Москва: МАТИ, 2002. — С. 103−104.

51. Шумилова В. В. Усреднение одной вариационной задачи для тонких периодических сеток с помощью двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции «XXVII Гагаринские чтения» Москва: МАТИ, 2001. С. 68−69.

52. Шумилова В. В. О сходимости спектров при усреднении задач с двумя малыми параметрами // Тезисы докладов VI ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» — Н. Новгород: НГТУ. 2003. -С. 28.

53. Шумилова В. В. Об аппроксимативных свойствах для структур в пространстве // Тезисы докладов VI ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ. — 2003. — С. 29.

54. Шумилова В. В. Об аппроксимативных свойствах для структуры на плоскости // Тезисы докладов VI ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ. — 2003. — С. 30.

55. Шумилова В. В. Об усреднении одной задачи в среде с двойной пористостью // Тезисы докладов IV ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ. — 2002. — С. 24.

56. Шумилова B.B. К вопросу о сильной аппроксимируемости соленоидальных векторов для некоторых периодических тонких сеток // Тезисы докладов III ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 2.

57. Шумилова В. В. К вопросу о сильной аппроксимируемости соленоидальных векторов для некоторых периодических тонких ящичных структур // Тезисы докладов III ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 1.

58. Шумилова В. В. Усреднение одного нелинейного эллиптического уравнения с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 3.

59. Шумилова В. В. Усреднение линейного эллиптического уравнения с двумя малыми параметрами с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов II ВНТК «Современные проблемы математики и естествознания» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 3.

60. Шумилова В. В. О соленоидальных векторах на бесконечно тонкой ящичной структуре // Тезисы докладов IV ВНТК «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» Н. Новгород: НГТУ, 2002. — С. 27.

61. Шумилова В. В. О соленоидальных векторах на тонкой ящичной структуре // Тезисы докладов III ВНТК «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» -Н. Новгород: НГТУ, 2002. С. 45.

62. Шумилова В. В. О решении одной задачи Дирихле с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТК «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» — Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 46.

63. Шумилова В. В. Усреднение краевой задачи для пластины с помощью метода двухмасштабной сходимости // Тезисы докладов III ВНТКИнформационные технологии в науке, проектировании и производстве'' -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 47.

64. Шумилова В. В. Применение сглаживающих функций в задачах построения диагностических моделей // Тезисы докладов III ВНТК «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 11.

65. Шумилова В. В. Усреднение одного дифференциального уравнения для диагностики жидкой среды // Тезисы докладов III ВНТК «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве» -Н. Новгород: НГТУ, 2001. С. 12.

66. Экланд Н., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир. 1979.

67. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. — V. 23. — P. 1482−1518.

68. Allaire G., Damlamian A, Hornung U. Two-scale convergence on periodic surfaces and applications // Mathematical modelling of flow through porous media. Editors: Bourgeat A, Carasso C., Luckhaus S., Mikelic A. Singapore. -1995.-P. 15−25.

69. Arbogast Т., Douglas J., Hornung U. Derivation, convection, adsorpition, and reaction of chemicals in poros media // SIAM J. Math. Anal. 1990. — V. 21, No 4.-P. 823−836.

70. Bensoussan A., Lions J., Papanicolau G. Asymptotic Analysis for Periodic Structure. Amsterdam: North Holland, 1978.

71. Bouchitte G., Buttazzo G., Seppecher P. Energies with respect to a measure and applications to low dimensional structures \ Calc. Var. 1997. — V. 15. — P. 3172.

72. Bouchitte G., Valadier M. Integral representation of convex functionals on a space of measure \ Ann. Scuola Nor. Sup. Pisa CI. Sci. 1993. — V. 20. — P. -483−533.

73. Buttazzo G. Semicontinuity, relaxations and integral representation in the Calculus of Variations. Pitman. London. — 1989.

74. Chechkin G.A., Jikov V.V., Lukkassen D., Piatnitski A.L. On Homogenization of Networks and Juncions // Asymptotic Analysis. 2001. — No 5. — C. 320 341.

75. Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A. Homogenization of differentional operators and integral functionals. Springer-Verlag. 1994.

76. Fragala I., Mantegazza C. On some notions of tangent space to a measure \ Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1999. — V. 129. — P. 331−342.

77. Mosco U. Composite media and asimptotic dirichlet forms \ J. Funct. Anal. -1994.-V. 123. P. 368−421.

78. Nazarov S.A. Korn’s inequalities for junctions of spatial bodies and thin rods \ Math. Methods Appl. Sci. -1997. V.20, No 3. — P. 219−243.

79. Nguetseng G. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization. SIAM J. Math. Anal. — 1989. — V. 20. — P. 608 623.

80. Saint Jean Paulin J., Cioranescu D. Homogenization of Reticulated Structures // Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin-New York. — 1999. -V. 136.

81. Neuss-Radu M. Some extensions of two-scale convergense // C. R. Acad. Sciences Paris. 1996. — V. 322, Seria I. — P. 899−904.