Нахождение обратной матрицы

Лабораторная работа Нахождение обратной матрицы Задание Цели работы: научиться находить обратную матрицу и составлять алгоритм программы.

1. Обратить матрицу А:

Методом разбиения ее на клетки;

Методом разбиения ее на произведение 2-х треугольных матриц;

С помощью метода Гаусса.

2. Вычислить определитель методом Гаусса.

1. Решение Метод разбиения на клетки.

Для данного метода представим исходную матрицу в виде

где

Обратная матрица будет иметь вид

где

а — единичная матрица 2×2.

Последовательно вычислим:

а) :

б) :

в) :

г) :

Окончательно матрица D будет иметь вид:

Метод L-U факторизации.

Матрицу, А также можно представить в виде произведения треугольных матриц L и U:

где

Элементы этих треугольных матриц находятся по формулам:

Найдем элементы и :

В итоге получим:

Для нахождения обратной матрицы воспользуемся формулой:

Найдем матрицы, обратные треугольным.

Теперь найдем искомую обратную матрицу:

Метод Гаусса обратный матрица алгебраический погрешность Запишем расширенную матрицу:

Проведем линейные преобразования. Умножим первую строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой строки.

Поделим вторую строку на 3 и умножим ее последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и четвертой строки.

Разделим третью строку на -10. Умножим получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем соответственно из первой, второй и четвертой строки.

Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем соответственно из первой, второй и третьей строки.

Окончательно матрица будет иметь вид:

2. Вычисление определителя методом Гаусса Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим

.

Отбросим первый столбец и первую строку, получим

.

Поделим первую строку на 3, получим

.

Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем последовательно из второй и третьей строки, получим

.

Отбросим первый столбец и первую строку, и умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим Получив нули под главной диагональю, посчитаем определитель

3. Проверка в MathCAD

Подсчет погрешности методов.

За абсолютный результат примем обратную матрицу, полученную в системе MathCAD с помощью миноров и алгебраических дополнений. Погрешность будем вычислять с помощью наиболее отличающихся элементов матрицы.

Вычислим погрешность метода клеточного разбиения.

Вычислим погрешность метода L-U факторизации.

Вычислим погрешность метода Гаусса.

При вычислении определителя результат получился абсолютно одинаковым.

Вывод: я научился находить обратную матрицу различными способами. Наибольшую погрешность дал метод L-U факторизации, а наименьший метод клеточного разбиения.