Вторичные редукции в бифуркационном анализе вариационных задач с симметрией

При изучении равновесных состояний упругих систем, фазовых перс-ходов в кристаллах, нелинейных волн в реагирующих средах и ряда других проблем современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача.

Vx (x) — hif, (1) в которой V (x) — гладкое семейство гладких функционалов (на банаховом пространстве Е или гладком банаховом многообразии М), симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд группы Ли G на Е:

Vx (T9x) = Vx (x) Ух, X, (2).

А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве L (конечномерном или бесконечномерном).

В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с дискретной и круговой симметриями (2) при следующих основных условиях:

1. функционал V{x) фредгольмов индекса нуль;

2. действие группы G задано гомоморфизмом д > Тд — из G в группу 0(H) (линейных ортогональных преобразований II), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;

3. в случае непрерывной симметрии (G — группа Ли положительной размерности) представление Тд является гладким гомоморфизмом (т.е. отображение д t-> Тд из SO (2) в SO (II) является гладким) с дополнительным условием: Тд (М) С М (многообразие М инвариантно относительно Тд).

Фредгольмовость функционала V на Е означает, что x) h=(f (x), h), (3) где /: R —> F — гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса банаховых пространств, (•, •) — скалярное произведение в пространстве II, содержащем Е и F как непрерывно и плотно вложенные подпространства.

Фредгольмовость V на подмногообразии М означает фредгольмо-вость второго кодифференциала V на М [16].

Пх>и изучении бифуркаций решений вариационных задач, содержащих параметры, достаточно хорошо зарекомендовал себя метод конечномерной редукции [35], [16], который использован и в настоящей диссертации.

Вопросам анализа уравнений с групповой симметрией посвящена обширная литература (например, монографии и статьи JI.B. Овсянникова, Н. Х. Ибрагимова, П. Олвера, A.M. Виноградова с соавторами, В. Ф. Зайцева, А. Т. Фоменко, В. А. Треногина, Б. В. Логинова, З.И. Ба-лапова и др. [21] - [25], [29], [41], [42], [48], [49], [12], [62] [63, 64]).

Ряд аспектов теории функционалов с групповой симметрией развивался также при непосредственном воздействии эквивариантной теории Морса (А.Т. Фоменко, В. В. Шарко [63, 64] и др.) и теории ветвления решений нелинейных вариационных эквивариантпых уравнений (Н.А. Бобылев, Б. В. Логинов, В. А. Треногин и др. [4], [11], [41], [36], [62]).

Уравнения с круговой и бикруговой симметриями изучались в работах Б. В. Логинова [41], В. Г. Звягина [27, 28], В. Кравцевича [34], Б. М. Дарипского, Ю. И. Сапронова, Е. В. Ладыкиной [16] и др. В работах А. В. Гнездилова [13] изучались уравнения с поликруговой симметрией.

Используемый в диссертации подход к анализу инвариантных функционалов идейно опирается, с одной стороны, на теорию Ботта [69] (о критических многообразиях) с ее развитием в виде теории Морса для боттовских интегралов (А.Т. Фоменко и др., [52], [63], [74, 75]) и, с другой стороны, на теорию эквивариантных особенностей гладких функций (В.И. Арнольд, С.М. Гусейп-Заде, В. Поэнару, С.Т. С. Уолл, Д. Сирсмаидр., [2], [77], [79]).

Известно, что многие вопросы бифуркационного анализа вариационных задач в условиях симметрии могут быть сведены к соответствующим вопросам теории миниверсальиых разверток краевых и угловых особенностей гладких функций, развитой В. И. Арнольдом, С.Т.С. Уол-лом, Д. Сирсмой, Д. Питом, Т. Постоном и др., [1], [78]. В рамках теории фредгольмовых функционалов на банаховых многообразиях сравнительно недавно был получен ряд новых результатов, связанных с анализом бифуркаций вблизи краевых и угловых особых точек границы банахова многообразия (Ю.И.Сапроновым, А. В. Гнездиловым, О. Ю. Даниловой, О. В. Швыревой, М. А. Хуссаином и А.В. Белоглазо-вым, [54] - [55], [14], [16]). Отметим также задачу о бифуркации минимальных поверхностей с симметриями и ограничениями, в которой были получены новые результаты на основе метода фредгольмовых функционалов А. Ю. Борисовичем [7], [8] и JI.B. Стеиюхиным [60], [61].

Основные результаты настоящей диссертации получены при изучении 1) локальных бифуркаций экстремалей параметрических семейств гладких фредгольмовых функционалов в случае нетрадиционной щ—симметрии (симметрии относительно четырех инволюций) при условии 4—мерного вырождения порождающей особой точки и 2) при изучении нелокальной редуцируемости к другой вариационной задаче, допускающей нелокальную редукцию Ляпунова — Шмидта — в случае круговой симметрии (SO (2)—симметрии).

Все исследования в диссертации проведены посредством использования специально разработанных для рассмотренных задач модификаций редуцирующей схемы Ляпунова — Шмидта.

Основные задачи диссертации можно сформулировать следующим образом:

1) локальное и нелокальное описания геометрических структур дис-криминантных множеств (каустик) в целом или их сечений (для рассматриваемых типов порождающих особенностей);

2) классификация раскладов бифурцирующих экстремалей (bif—раскладов), отвечающих всевозможным регуляризирующим гладким возмущениям (локальным и нелокальным) изучаемых уравнений;

3) приложение к задаче о фазовых переходах в кристаллах;

4) описание вещественных подалгебр Ли в М{2, С);

5) приложение к модельной задаче — о петлеобразных решениях уравнения Эйлера — Пуассона на группе Ли.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы — разработка и апробация новых методов изучения локальных и нелокальных бифуркаций орбит экстремалей G—инвариантных фредгольмо-вых функционалов.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы общей теории бифуркаций решений нелинейных фредгольмовых уравнений, теории групп и алгебр Ли, вариационного исчисления и теории гладких функций многих переменных. Методологическую основу развитого в диссертации анализа составляет модифицированный метод Ляпунова-Шмидта.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Развита новая схема анализа бифуркаций экстремалей фредголь-мова функционала из копечнократной критической точки, приспособленная к случаю симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.

2. Изучены плоские сечения каустики и описаны расклады бифур-цирующих критических орбит в случае Ъ—симметрии и 4—мерного вырождения порождающей особой точки.

3. Разработано новое приложение к задаче фазовых переходах в кристаллах.

4. Дано описание вещественных подалгебр Ли в М (2, С) малой размерности.

5. Разработано приложение к задаче о бифуркациях петлеобразных решений уравнения Эйлера — Пуассона на группе SL (2).

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование и новое развитие методу фредгольмовых функционалов в вариационном исчислении и, в частности, дают обоснование и развитие методу конечномерных редукций для изучения бифуркаций экстремалей в условиях групповой симметрии.

Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных проблем классической механики и математической физики, связанных с вариационным подходом и симметрийным анализом краевых задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2001 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамических системам (г. Суздаль, 2004 г.), на конференции «Образование, наука, производство и управление в XXI веке» (г. Ст. Оскол, 2004 г.), на семинаре отдела нелинейного анализа НИИ математики ВГУ и на семинаре проф. Костина В. А. по математическому моделированию (математический факультет ВГУ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах [80] - [87].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых па 15 параграфов, и списка цитируемой литературы из 87 наименований. Общий объем диссертации — 100 стр.

1. Арнольд В. И. Математические методы классической механики /В.И. Арнольд. М.: Наука, 1989. — 472 с.

2. Арнольд В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн Заде. — М.: Наука. 1982. — 304 с.

3. Бобылев Н. А. Леммы Морса для функционалов вариационногоисчисления / Н. А. Бобылев, Ю. М. Бурман // Функц. анализ и его прил. 1991. — Т.25, №¦ 3. — С.1−11.

4. Бобылев Н. А. Геометрические методы в вариационных задачах /Н.А. Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин. М.: Магистр, 1998. — 658 с.

5. Бобылев Н. А. О бифуркации экстремалей вариационных задач /Н.А. Бобылев, М. А. Красносельский // Докл. АН СССР. 1990. — Т. 314, N 2. — С. 265−268.

6. Борзаков А. Ю. Применение методов конечномерной редукции кглобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуф-финга// Сборник трудов математическогго факультета ВГУ. 2005. Вып.9. С.9−22.

7. Борисович А. Ю. Редукция задачи о бифуркации минимальных поверхностей к операторным уравнениям и отыскание бифуркаций от катеноида, геликоида, поверхностей Шерка и Эннепера// Успехи матем. наук. 1986. Т.41, вып.5. — С. 165−166.

8. Борисович А. Ю. Функционально-операторный метод исследованиябифуркаций в эквивариаптной проблеме Плато// Известия ВУЗов. Математика. 1997. т. 2 (417), N.l. — С.56−65.

9. Борисович Ю. Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теорияЛере-Шаудера / Ю. Г. Борисович, В. Г. Звягин, Ю. И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977 — Т.32 — Вып.4 — С.3−54.

10. Брекер Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брекер, Л. Ландер. М.: Мир, 1977. — 208 с.

11. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. М.: Наука, 1968. — 528 с.

12. Виноградов A.M. Симметрии и законы сохранения управляемой математической физики / A.M. Виноградов, И.С. КрасильщикМ.: Факториал, 1997 464с.

13. Гнездилов А. В. Бифуркации критических торов для функционалов с 3—круговой симметрией / А. В. Гнездилов // Функц. анализ. 2000. Т.34, вып.1- С.83−86.

14. Гнездилов А. В. Угловые особенности фредгольмовых функционалов / А. В. Гнездилов, Ю. И. Сапронов, О. В. Швырева // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. 2003, вып. 1. С.99−114.

15. Даринский Б. М. Бифуркации экстремалей вблизи особенности многомерной сборки / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Известия ВУЗов. Математика. Т. 2. Казань: Форт-Диалог, 1997. -С. 35−46.

16. Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царев С. Л., Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов// Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. Т. 12. 2004. С. З-140.

17. Дарииский Б. М. К термодинамической теории сегнетоэлектрических фазовых переходов в кристаллах / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов, В. В. Шалимов // Кристаллография. 1999. -Т.44, N 4. — С. 1−5.

18. Darinskii M.M. Phase transitions in crystals characterized by polarization and deformation components of the order parameter / M.M. Darinskii, Yu.I. Sapronov, V.V. Shalimov // Ferroelectrics. -2002. V. 265. P. 31−42.

19. Дарииский Б. М. Дискриминантные множества и расклады би-фурцирующих решений фредгольмовых уравнений / Б. М. Даринский, Ю. И. Сапронов // Современная математика и ее приложения. Тбилиси. 2003. Т.7. — С.72−86.

20. Даринский Б. М. Фазовые переходы в доменных границах ферроиков / Б. М. Дарииский, А. А. Дьяченко, Ю. И. Сапронов, М. Н. Чаплыгин // Известия РАН. Сер.: физическая. 2004. Т768, N 7. -С.920−926.

21. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев // Дифференциальные уравнения, 1989. Т.25, N3. С.379−387.

22. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев // JI.: ЛГПИ, 1989 — 80 с.

23. Зайцев В. Ф. О дискретно-групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Зайцев // ДАН СССР, 1988;Т.299, N3 С.542−545.

24. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой метод интегрирования уравнений нелинейной механики / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин // Препринт N339. М.: ИПМ АН СССР, 1988 44 с.

25. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповые методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. / В. Ф. Зайцев, A.В. Флегонтов // Л.: ЛИИАН, 1991. 240 с.

26. Зачепа В. Р. Локальный анализ фредгольмовых уравнений /B.Р. Зачепа, Ю. И. Сапронов // Воронеж, ВГУ. 2002. — 185 с.

27. Звягин В. Г. Индекс нулевой точки вполне непрерывного возмущения фредгольмова отображения, коммутирующего с действием тора / В. Г. Звягин // Известия ВУЗов. Математика, 1997 N2C.47−55.

28. Звягин В. Г. К теории степени эквивариантных ФоС^ВЯ-отображений / В. Г. Звягин // Доклады РАН, 1999. Т.364, N2. С.155−157.

29. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов //- М.: Наука, 1983 280с.

30. Изюмов Ю. А. Фазовые переходы и симметрия кристаллов / Ю. А. Изюмов, В. И. Сыромятников // Москва, Наука. 1984. -247 с.

31. ИллсДж. Основания глобального анализа / Дж. Иллс//Успехи матем. наук. 1969. Т.24, N 3. — С. 157−210.

32. Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. Киев: Наукова думка. 1979. 216 с.

33. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических / В. Клин-генберг.// М.: Мир. 1982. — 416 с.

34. Кравцсвич В. Бифуркация систем обратимых по времени /B. Кравцевич, Дж. By // Известия ВУЗов. Математика Казань, 1997. N2. С.75−85.

35. Красносельский М. А. Об одной схеме исследования вырожденных экстремалей функционалов классического вариационного исчисления / М. А. Красносельский, Н. А. Бобылев, Э.М. Мухамади-ев // ДАН СССР. 1978. — Т. 240, N 3. — С. 530−533.

36. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайпикко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко // М.: Наука, 1969. — 456 с. 1.

37. Даринский Б. М. Фредгольмовы функционалы с круговой симметрией и периодические волны / Б. М. Даринский, Е. В. Ладыкииа, Ю. И. Сапронов // Математические модели и операторные уравнения. Том 2. Воронеж: ВорГУ. 2003. — С. 52−67.

38. Ладыкина Е. В. О бифуркации критических орбит функций с непрерывными симметриями /Е.В. Ладыкина // Сборник статей молодых ученых математического факультета ВГУ. Воронеж: ВорГУ, 2003. С.64−73.

39. Ладыкина Е. В. Бифуркации орбит критических точек фредгольмовых функционалов с круговой симметрией /Е.В. Ладыкина // Воронеж: ВорГУ. НИИ математики. Препринт N13. Август, 2005. -27 с.

40. Ленг С.

Введение

в теорию дифференцируемых многообразий /C. Ленг // М.: Мир, 1967. — 204 с.

41. Логинов Б. В. Теория ветвления нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности / Б. В. Логинов // Ташкент: Фан, 1985. — 184 с.

42. Матвеев С. В. Круглые функции Морса и изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко, В. В. Шарко. // Матем. сборник, 1988. Т.135, N3. С.325−345.

43. МилнорДж. Теория Морса / Дж. Милнор // М.: Мир. 1965.

44. Николаи E. J1. К задаче об упругой линии двоякой кривизны// Труды по механике. М.: Гостехиздат. 1955. С.45−277.

45. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1977. — 232 с.

46. Обен ЖП. Прикладной нелинейный анализ / Ж.-П. Обен И. Экланд М.: Мир, 1988. — 510 с.

47. Обухов A.M. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа// ДАН СССР. Т. 184, № 2. 1969.

48. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников // М.: Наука, 1978,.

49. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер // М.: Мир, 1989 — 639 с.

50. Псров А. И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов // Воронеж: изд. ВГУ, 1981. — 196 с.

51. Попов Е. П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. М.: ОГИЗ. 1948. 170 с.

52. Постпиков ММ.

Введение

в теорию Морса / М. М. Постников //- М.: Наука. 1971. 568 с.

53. Постои Т. Теория катастроф и её приложения / Т. Постон, И. Стюарт // М.: Мир. 1980. — 608 с.

54. Сапронов Ю. И. Многомодовые бифуркации упругих равновесий / Ю. И. Сапронов // Прикл. матем. и механ. 1988. Т.52, вып 6. -С.997−1006.

55. Сапронов Ю. И. Полурегулярные угловые особенности гладких функций / Ю. И. Сапронов // Матем. сборник. 1989. Т.180, N 10. — С. 1299−1310.

56. Сапронов Ю. И. Нелокальные конечномерные редукции в вариационных краевых задачах / Ю. И. Сапронов // Математические заметки. 1991. Т.49, вып.1. — С.94−103.

57. Сапронов Ю. И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах// Успехи матем. наук. -1996. Т. 51, N 1. С. 101−132.

58. Сапронов Ю. И. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах / Ю. И. Сапронов, C. J1. Царев // Матем. заметки. 2000. Т. 58, N 5. — С. 745−754.

59. Сапронова Т. Ю. О методе квазиинвариантных подмногообразий в теории фредгольмовых функционалов/ Т.Ю. Сапронова// В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж, ВГУ. 2000. — С. 107−124.

60. Стенюхин JI.B. О бифуркациях минимальных поверхностей с ограничениями./ J1.В.Стенюхин// Труды математического факультета, в.7 (новая серия).Воронеж: ВорГУ, 2002. С.137−141.

61. Стенюхин JI.B. Проблема Плато и лагранжев формализм./ Ю. Г. Борисович, Л.В.Стенюхин// Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. Вып. ХХУ!, Москва: МГУ. С. 110−129.

62. Треногий В. А. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркации, симметрия / В. А. Треногин, Н. А. Сидоров, Б. В. Логинов // ДАН СССР. 1989. — Т.309, 2. — С.286−289.

63. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения / А. Т. Фоменко М.: МГУ, 1988 — 416с.

64. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем / А. Т. Фоменко // Успехи матем. наук, 1989 Т. 44, вып. 1. С.145−173.

65. Царев С. Л. Устойчивость индекса Морса невырожденной критической точки гладкого фредгольмова функционала / С. Л. Царев // Сб. статей студентов и аспирантов матем. факультета ВГУ.- Воронеж: ВГУ, 2000. С. 57−61.

66. Царев С. Л. Один вариант леммы Морса и его приложения к нелинейным вариационным задачам / С. Л. Царев //В кн.: Топологические методы нелинейного анализа. Воронеж: Изд. ВГУ, 2000. С. 132−136.

67. Царев С. Л. Сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах с симметрией / С. Л. Царев // Современная математика и ее приложения. 2003. Т.7. — С.87−91.

68. Banach S. Uber mehrdeutige stetige Abbildungen / S. Banach, S. Mazur // Studia Math. S. 1934. — P.174−178.

69. Bott R. Nondegenerate critical manifolds / R. Bott // Ann. of Math. Ser. 2. 1954. 60, N2. — P.248−261.

70. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. V. 1 / M. Golubitsky, D. Schaeffer N.-Y.: Springer-Verlag, 1985. — 463P.

71. Golubitsky M. Singularities and Groups in Bifurcation Stewart I., Theory. V.2. / M. Golubitsky, D. Schaeffer, I. StewartN.-Y.: Springer-Verlag, 1988.-533 p.

72. Marsden J.E. Qualitative Methods in Bifurcation Theory / J.E. Mars-den // Bull. Arner. Math. Soc. 1978. — V.84, №¦ 6.

73. Marsden J.E. On the Geometry of the Liapunov-Schmidt Procedure / J.E. Marsden // Lecture Notes in Mathematics. N.-Y.: Springer-Verlag, 1979, — V. 755. — P.77−82.

74. Morse M. The Critical Points of a Function of n Variables / M. Morse // Trans. Am. Math. Soc. 1931. — V. 33. — P. 72−91.

75. Morse M. The calculus of variations in the large / M. Morse. New York, 1934.

76. Nashed M.Z. Global invertibility in nnolinear functional analysis / M.Z. Nashed, J.E. Hernander // Fixed point theory and applications. Word Scientific Publishing, River Edge, NJ. 1992. — P.229−247.

77. Роёпаги V. Singularites C°° en Presence de Symetrie / V. Poenaru // Lecture Notes in Mathematics. V.510, chapter II. N.-Y.: Springer-Verlag, 1976. — P. 61−89.

78. Siersma D. Singularities of Functions on Boundaries, Corners, etc// Quart. J. Oxford Ser. 1981. — V.32, N 125. — P. 119−127.

79. Wall C.T.C. A Note on Symmetry of Singularities / C.T.C. Wall // Bull. London Math. Soc. 1980. V. 12. P.169−175.

80. Белых Ф. А. О бифуркации метастабильных фаз в случае двух-модовой потери усточивости/ Ф.А. Белых//Современные методы теории краевых задач Тез. конф. «Поптрягипскте чтения 15». Воронеж, 2001. — С. 41−42.

81. Белых Ф. А. Трехмерные вещественные подалгебры матричной алгебры М{2, С) / Ф. А. Белых, А.В. Лобода//Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки: труды студентов. -Самара, 2002. С. 10−11.

82. Белых Ф. А. О бифуркациях экстремалей из особенности двумерной сборки/ Ф.А. Белых// Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тез. докладов. Владимир: ВлГУ, 2004. — С. 33−34.

83. Белых Ф. А. Вторичные редукции в анализе бифуркаций экстремалей из точки минимума с особенностью 3—мерной сборки/ Ф. А. Белых, А. В. Зачепа, Ю.И. Сапронов// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 1. Воронеж: ВГУ, 2005. С.18−33.

84. Белых Ф. А. Вещественные подалгебры малых размерностей матричной алгебры Ли М (2, С)/ Ф. А. Белых, А. Ю. Борзаков, А.В. Лобода// Изв. ВУЗов. Математика. 2007, N 5. С. 13−24.

85. Белых Ф. А. Вторичные редукции для случая 4—мерного вырождения краевой задачи в геликоидальной модели кристалла/ Ф. А. Белых, Ю.И. Сапронов// Математические модели и операторные уравнения. Т. 4. 2007. Воронеж, ВГУ. Изд. «Созвездие». С. 5−14.

86. Белых Ф. А. Структура ключевой функции в случае Ъ—симметрии функционала и 4—мерного вырождения порождающей особой точки/ Ф.А. Белых// Препринт НИИ математики ВГУ № 22. Май 2007 г. Воронеж: ВГУ. 15 с.

87. Белых Ф. А. К бифуркационному анализу 2-точечной краевой задачи для уравнения Эйлера-Пуассона на группе SL (2)/ Ф.А. Белых// Семинар по глобальному и стохастическому анализу, вып 2. Воронеж: ВГУ, 2007. Изд. «Созвездие». С.11−20.