Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами

В работе исследуются вопросы устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами х (0 — a (t)x (t — ю) = /(0, t > 0, (0.1) х (&- = 0, < 0, где a (t + т<�х>) = a (t), т е N — е R1, со = const > 0. т x (t) —? я* - ««) = ЛО > ^ 0» (°-2).

1=0 $) = 0 Д<0, где при z = ОД,., т (О — периодическая функция с периодом 7} = &-гсо, kt е {1,2,., ш}, т. е. периоды 7] рационально соизмеримы запаздыванию .

Актуальность темы

В настоящее время в теории устойчивости линейных периодических уравнений с запаздыванием существует несколько теорем, называемых критериями устойчивости. Отметим два из них, наиболее известных :

1) в монографии Дж. Хейл [62] приведен критерий устойчивости, основанный на свойствах мультипликаторов оператора монодромии. Теоремы такого типа рассматривались А. Стоксом, С. Н. Шимановым [63].

2) в работе З. И. Рехлицкого [38] приведен критерий устойчивости, полученный с помощью метода производящих функций (в данной работе это-теорема 1.3). В работе В. В. Малыгиной [28] этот критерий получает характерную для Пермского семинара формулировку (речь пойдет об условии существования экспоненциальной оценки функции Коши C (t, s) уравнения (0.1)) и новое доказательство (в данной работе это-теорема 1.4) .

Отметим, что в работах В. А. Тышкевича [61], В. В. Малыгиной [28],[29], В. А. Соколова [59], А. И. Башкирова [9] получает развитие одно из направлений теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, общие основы которой заложены в работах Н. В. Азбелева, Л. Ф. Рахматуллиной, В. П. Максимова [3] .

Упомянутые критерии устойчивости объединяет одно обстоятельство: они не пригодны для практического использования. В настоящее время предпринимаются попытки вывести критерии устойчивости на более конструктивный уровень, т. е. пригодный для практического использования. В работах А. М. Зверкина [20], Ю. Ф. Долгого [19] развитие получает первый из упомянутых критериев: получены результаты о спектре оператора монодромии. Отметим, что в работах Ю. Ф. Долгого об устойчивости уравнения (0.1) накладывается дополнительное ограничение на коэффициент уравнения ait): a (t) <0 te [0,2ш].

Существующая форма условия устойчивости в критерии Рехлицкого-Малыгиной (второй из упомянутых критериев) также весьма сложна для применения. Проверка этого условия представляет самостоятельную и, в общем случае, трудно решаемую задачу: расположение нулей целой по z функции Am (z, 9), зависящей от параметра 9, 6 g [0, со], относительно единичного круга на комплексной плоскости — функция Am (z, 9) задана в виде определителя, элементы которого ряды .

Цель работы. Автор предлагаемой работы, развивая идеи и результаты З. И. Рехлицкого, В. В. Малыгиной об устойчивости уравнения (0.1), предпринимает попытки вывести второй из критериев устойчивости на более конструктивный уровень, не вводя ограничений на знак коэффициента a (t) .

Методы, применяемые в работе: метод производящих функций, описанный в монографии Э. Пинни [35] и получивший развитие в работах З. И. Рехлицкого, В. В. Малыгиной — одним из основных вспомогательных средств является краевая задача для компонент производящей функции, построенной по функции Коши уравнений (1),(2), а также методы математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного, общей теории функционально-дифференциальных уравнений .

Научная новизна результатов. 1) Леммы 3.1, 6.1 о краевой задаче для компонент производящей функции, построенной по функции Коши C (t, s) уравнений (0.1),(0.2), в данной работе впервые приведены в общей ситуации: те N, хотя краевая задача в связи с рассматриваемыми уравнениями давно и хорошо известна многим авторам: А. М. Зверкин, Ю. Ф. Долгий записывают краевую задачу для мультипликаторов оператора монодромии, в монографии Э. Пинни приведена краевая задача для производящей функции, построенной по решению уравнения (0.1) в стационарном случае: a (t) = const. Автору краевая задача для производящей функции, построенной по функции Коши C (t, s) уравнения (0.1), была показана В. В. Малыгиной для случая со-периодического коэффициента a (t): a (t + со) = a (t), т. е. для m = 1 .

2) «Теоремы о независимости» от параметра s определителя краевой задачи Am (z, s), Л" ¡-n (z, s) — теоремы 3.1,6.1 — сформулированы и доказаны впервые. Однако свойство, отмеченное в этих теоремах, есть проявление хорошо известного (см., например, Дж. Хейл [62], С. Н. Шиманов [63]) свойства: спектр оператора монодромии <5(U (¿-о)) не зависит от начальной точки /0 .

3) Многие частные случаи «характеристических» функций Лm (z), A^(z) впервые приведены в этой работе (§ 4, § 5, § 6,п.З), причем без ограничения на знак коэффициента a (t) в уравнении (0.1). Отметим, что приведенные характеристические функции совпадают с известными, полученными в работах A.M. Зверкина, Ю. Ф. Долгого .

4) Автор приводит новую формулировку критерия устойчивости для функции Коши — теорема 7.1, которая позволяет сформулировать критерий устойчивости и для уравнения (0.2) — теорема 7.2 .

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы позволяют придать известному критерию устойчивости Рехлицкого-Малыгиной более конструктивную формулировку — теоремы 7.2, 7.3. На основе этой формы критерия можно получать эффективные, т. е. выраженные через коэффициенты уравнений, признаки устойчивости, такая перспектива обозначена в работе: в ней приведен один эффективный признак устойчивости — теорема 7.4 .

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, семи параграфов и списка литературы. Библиографический список содержит 65 наименований .

1. Азбелев Н. В. Матрица Коши // Сб.науч.трудов ППИ «Краевые задачи» -Пермь, 1981 — С. 67−70 .

2. Азбелев Н. В., Березаиский Л. М. Устойчивость решений уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ППИ «Функц.-дифф.уравн.» -Пермь, 1989;С. 3−5.

3. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф.

Введение

в теорию функционально-дифференциальных уравнений М.: Наука, 1991 — 280 с.

4. Азбелев Н. В., Сулавко Т. С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения 1974 — Т.10 — № 12 — С. 2091;2100 .

5. Азбелев Н. В. О роли некоторых традиций в развитии учения о дифференциальных уравнениях // Сб.науч.трудов ПГТУ «ФДУ» Пермь, 1991 — С. 3−10 .

6. Азбелев Н. В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв.вузов.Математика 1994 — № 6 — С.8−19 .

7. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1984;272 с.

8. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости М.: Наука, 1967 — 224 с.

9. Башкиров А. И. Устойчивость решений периодических систем с последействием Канд.дисс. — Пермь, 1986 -101 с.

10. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения М.: Мир, 1967;548 с.

11. Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравненийЛ.: Изд.Ленингр.ун-та, 1981 -232 с.

12. Гусаренко С. А. Признаки устойчивости одного линейного функционально-дифференциального уравнения // Сб.науч.трудов ППИ «Краевые задачи» -Пермь, 1987;С. 41−45 .126 —.

13. Гусаренко С. А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сб.науч.трудов ППИ «Краевые задачи» Пермь, 1989 — С. 3−9 .

14. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: Наука, 1970 — 536 с.

15. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости М.: Наука, 1967 — 472 с.

16. Долгий Ю. Ф. Устойчивость одной периодической системы с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ «ФДУ» Пермь, 1988 — С. 131−136 .

17. Долгий Ю. Ф., Шиманов С. Н. О существовании зоны устойчивости для одного уравнения с запаздыванием // Сб. «Устойчивость и нелинейные колебания» Свердловск: Изд. УрГУ, 1988 — С. 11−18 .

18. Долгий Ю. Ф. Об устойчивости одной периодической системы с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ «Краевые задачи» Пермь, 1989 — С. 16−21 .

19. Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Докт. дисс.: Екатеринбург, 1994 -296 с.

20. Зверкин А. М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, соизмеримым с периодом коэффициентов // Дифференц. уравнения -1988 Т.24 — № 9 — С. 1481−1492 .

21. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием М.: Наука, 1981 — 448 с.

22. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве М.: Наука, 1971 — 104 с.

23. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ М.: Высшая школа, 1970 — Т.1 -590 с.

24. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ М.: Высшая школа, 1973 — Т.2 -470 с.

25. Максимов В. П. Линейное функционально-дифференциальное уравнениеКанд. дисс.: Тамбов, 1974 120 с. 127 —.

26. Максимов В. П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения 1977 — Т. 13 — № 4 — С. 601−606 .

27. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений Докт. дисс.: Киев, 1985 .

28. Малыгина В. В. Оценки оператор-функции Коши и устойчивость дифференциально-разностных уравнений Рук. деп. в ВИНИТИ 1.08.85, № 6128−85 -41 с.

29. Малыгина В. В. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Канд. дисс.: Пермь, 1983 — 101 с.

30. Малыгина В. В. Из истории развития теории устойчивости уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ «ФДУ» Пермь, 1991 — С. 70−78 .

31. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства М.: Мир, 1980 — 456 с.

32. Математическая энциклопедия М.: Советская энциклопедия, 1984 — Т.4 -691 стб.

33. Меркин Д. Р.

Введение

в теорию устойчивости движения М.: Наука, 1 987 304 с.

34. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом М.: Наука, 1972 — 352 с.

35. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения М.: Изд.иностр.литер., 1961 — 248 с.

36. Рахматуллина Л. Ф. Линейные функционально-дифференциальные уравнения Докт. дисс.: Киев, 1982 — 280 с.

37. Рахматуллина Л. Ф. Об определении решения уравнения с отклоняющимся аргументом // Сб.науч.трудов ППИ «ФДУ» Пермь, 1985 — С. 13−19 .

38. Рехлицкий З. И. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Изв. АН СССР 1966 — Т.30 -Вып.5-С.971−974.128 —.

39. Самойленко A.M., Кривошея С. А., Перестюк H.A. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи Киев: Вища школа, 1984 — 408 с.

40. Седова С. М. Об экспоненциальной оценке функции Коши уравнений с постоянным запаздыванием Рук. деп. в ВИНИТИ 9.12.86 — № 8393-В86 — 57 с.

41. Седова С. М. Об устойчивости одного класса уравнений с постоянным запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ «ФДУ» Пермь, 1987 — С. 44−47 .

42. Седова С. М. Об асимптотическом поведении решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием // Тезисы докладов III Уральская региональная конференция «ФДУ и их приложения» — Пермь, 1988 — С. 137 .

43. Седова С. М. Теорема о разложении функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом Рук. деп. в ВИНИТИ 14.06.89, № 3962 В89 — 74 с.

44. Седова С. М. Применение метода производящих функций к исследованию устойчивости уравнения с запаздыванием // Сб.науч.трудов ППИ «Краевые задачи» Пермь, 1989 — С. 21−25 .

45. Седова С. М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов Весенняя Воронежская математическая школа «Понтрягинские чтения — V» -Воронеж, 1994;С. 125 .

46. Седова С. М. Об устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладов III Международная конференция женщин-математиков — Воронеж, 1995; С. 39.

47. Седова С. М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Вестник ПГТУ Пермь, 1996 — С. 34−39 .

48. Седова С. М. Об устойчивости решения одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Труды III Международной конференции женщин-математиков (Воронеж, май 1995) -Вып.2 Нижний Нов-город, 1996 — С. 42−52 .129 —.

49. Седова С. М. О краевой задаче для компонент одной производящей функции // Тезисы докладов IV Международная конференция женщин-математиков -1996 .

50. Седова С. М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв.вузов. Математика 1997 — № 11 — С. 61−71 .

51. Седова С. М. Об одном свойстве функции Коши скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Тезисы докладовМеждународная конференция «Моделирование и исследование устойчивости систем» Киев, 1997 — С. 99 .

52. Седова С. М. О свойстве постоянства радиуса сходимости одной производящей функции // Вестник ПГТУ Пермь, 1998 — С. 66−72 .

53. Седова С. М. О разложении одного фундаментального решения // Тезисы докладов Научно-техн.конференция ПГТУ — Пермь, 1998 — С. 24−25 .

54. Седова С. М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Тезисы докладов VII Международная конференция женщин-математиков — Ростов-на-Дону, 1999 — С.36−37 .

55. Седова С. М. Рекуррентная формула для функции Коши одного скалярного уравнения с запаздыванием // Готовится к печати в Вестнике ПГТУ .

56. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного М.: Наука, 1976 — 408 с.

57. Симонов П. М., Чистяков A.B. Теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости уравнений с последействием // Сб.науч.трудов ПГТУ «ФДУ» -Пермь, 1991 С. 83−95 .130 —.

58. Соколов В. А. Матрица Коши и устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений Канд.дисс.: Пермь, 1986 — 127 с.

59. Тонков Е. Л., Юткин Г. И. Периодические решения и устойчивость линейного дифференциального уравнения с периодическимИкоэффициентами // Дифферент уравнения 1969 — Т.5 — № 11 — С. 1990;2001 .

60. Тышкевич В. А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений Киев: Наукова думка, 1981 — 80 с.

61. Хейл Д. Теория функциональнодифференциальных уравнений М.: Мир, 1984;422 с.

62. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл.матем.и мех. 1963 — Т.27 — Вып. З — С. 450 — 458 .

63. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом М.: Наука, 1971 — 296 с.

64. Якубович В. А., Старжинскйй В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М.:Наука, 1972;720 с.

65. Виз1о^уюг М. Азутр1-о1ус2па 81аЫ1позс ёупагтсгпусЬ ик1ас1од? Нпюлуус11 81ас.'опагпус11 ъ орогшетет ВЫуБШк, 1987 — 186 с.