Алгоритмы явного метода с переменным порядком точности для моделирования жестких линейных динамических систем

Результаты исследования/ отраженные на рис. 54, показали:

— при использовании Э для вычисления выходной величины звена зависимости ОМ0 шах (А), ОМ1 шах (л) и ОМ2 шах (Л) совпадают в некотором диапазоне от границы устойчивости до экстремальной точки для ОМ2 тах (/г), а далее из-за погрешности округления последняя зависимость изменяется по своей траектории;

— точность вычисления производной 1 порядка при использовании Э и ЭК для определения выходной величины звена совпадает с точностью вычисления выходной величины, а при использовании РК4 обеспечивается точность вычисления этой производной несколько выше, чем для ЭК;

— точность вычисления производных 2 порядка практически одинакова для всех случаев (зависимость ОМ2пазх (Н) от правой границы устойчивости, характерной для использованного метода, при малых значениях точности соединяется с соответствующей зависимостью, полученной для Э, и далее повторяет ее траекторию).

Анализируя результаты, приведенные на рис. 55, пришли к такому выводу:

— зависимости ОМ2 тах (/г) для всех вариаций ППТ5 имеют одинаковый характер и самые большие значения погрешности;

— зависимости ОМ0 гпах (Л) и ОМ1тах (й) при использовании ППТ5,0 изменяются по одной траекториизависимости ОМ0тах (/г) при ППТ5,1 и ОМ]тах (Л) при ППТ5,1-ППТ5,4 тоже соединяются в одну траекторию;

Для более точного вычисления производных можно использовать коэффициенты расчетной формулы ППТ и организовать вычисление производных по найденным в главе 2 выражениям (2.2)-(2.5). Если создать массив УР ив него, кроме самой выходной величины, занести ее производные, то элемент с индексом Кр этого массива можно вычислить по формулам: при т + Кр<�п

УРкрСКкр г +Г2 •СКкр 2 +. + Гт+1 -СКщ, ^ (3.4) гфи т + Кр>п m+j-n+l а/О'1−1)/" / и грКр=икКрЛ-ивх+ ДЖ^.л ¦ + • Г, (3.5)

Массивы коэффициентов {ШГ} и {ОТ} формируются по выражениям: при т+Кр-п<0

С^Кр, ] ~ВККр,] при т + Кр-п~ 0 при /я + Л/>-" = 1 иККр, 1 = + ВККр, п+2 •^и.и ' иКкр, г =вкКр, п+2 п

СККр,] ~ВККр,] +АКп,-'ВККр, п+1 +ВККр, п+2'ЦЛКп, 1 •АК1,п

1=1 при т + Кр-п = 2 п иккрЛ =ВККр, п+ +Ж", иМ^, и+2+№А>(и+з1Ж",/Я/, и — —

ВККр, П+2 +ВККр>П+3АКП, П> иККр, 3 =ВККр, П+2> п

СККр, 3 =ВККр,] +АКп,]БККр, гм +ВККруп+2^АКп-АК1,п + 1 п ВККр, п+з? АКк, п

Л=1 т + Крп~3 п

ХАКп, 1АК1, к 1=1 при и

ШКр, =вкКр, п+1 +АКп, пвкКр, п+2 + ВККр, Я+3 ЪАКп, 1АК1, П вкКр

Л=1 Ч/=1 У п иккр, 2 =вкКр, п+2 +ВККр, п+ъАКп, п +ВККр, п+4У?АКп, 1'АК1,п ' =вкКр, п+1 + ВККр, пыАКп, п> иККрА = ВККр, п+4 п

СККр,=ВККр^ +ВККр, п+АКп,] +БККр, гИ-2^АКп¹, п + п {п ВККр, п+зТ АКк, п ЪАКп, 1АК1, к к=1 ч/=1 л и ^ и ВККр, п+А? лкт, п? АКк, пЪЖп, 1АК1, к т= к=А /=1

Элементы массива коэффициентов {ВК} определяются по значениям коэффициентов передаточной функции звена следующим образом: Ж

Ар,/

4) 7=1. т +1.

Алгоритм вычисления выходной величины и ее производных по формулам (3.4),(3.5) реализован в программе. Результаты расчета производных при решении системы дифференциальных уравнений по Э, ЭК, РК4 и ППТ5,4 приведены в приложении 4.

Значения максимальных погрешностей и затрат времени при па^ раметрах Л = 0,01 и 71=100 с. указаны в таблице 4.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнении исследований и разработок сформирован алгоритм явного метода с переменным порядком точности и с минимальным объемом вычислений на каждом шаге интегрирования, который может быть использован при решении жестких динамических систем. При выполнении исследований получены следующие основные выводы и результаты:

1. Анализ существующих численных методов интегрирования дифференциальных уравнений показал, что для уменьшения затрат машинного времени на получение решения необходимо перенести все вычисления, связанные с повышением порядка точности, на этап формирования исходных данных.

2. Получены расчетные формулы явного метода с переменным порядком точности и с минимальным объемом вычислений на каждом шаге интегрирования (поэлементная реализация матричного метода). Это возможно, если при фиксированном шаге интегрирования в процессе подготовки исходных данных определяются коэффициенты расчетных формул метода, учитывающие заданное число членов разложения решения в ряд Тейлора, а на каждом шаге интегрирования выполняются вычисления, аналогичные однократному определению правых частей дифференциальных уравнений.

3. Разработан алгоритм вычисления коэффициентов расчетных формул метода, имеющий вложенную структуру, который обеспечивает заданной порядок точности метода при изменении всего лишь одного параметра К (порядка точности метода), а также алгоритм определения решения на каждом шаге интегрирования.

4. Предложен способ вычисления выходной величины динамического звена и ее производных при моделировании звеньев с передаточной функцией, порядок числителя которой условно превышает порядок знаменателя, и разработан алгоритм, применение которого возможно и в случае, когда решение уравнений для звена с нормированной передаточной функцией выполнено любым другим численным методом.

5. Получены, траектории изменения погрешности, общие для всех явных методов 2,3,., К порядка, для разных способов вычисления входной величины звена. Их анализ позволяет оценить возможности расширения границ областей устойчивых решений при моделировании явными методами.

6. Разработаны рекомендации для устранения возможности переполнения разрядной сетки в процессе вычисления коэффициентов расчетных формул метода для систем с малыми значениями постоянных времени отделькшс звеньев такие как: изменение точности представления констант и переменных, применение масштабирования по времени.

7. Алгоритмы явного метода с переменным порядком точности могут быть применены для моделирования динамических систем при решении как нежестких, так и жестких задач, а также при организации микропроцессорного управления электроэнергетическими системами.

БИБЖОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ

1.Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Гостехиздат Украины, 1969. 77с.

2. Alexander R. Diagonally Implicit Runge-Kutta Methods for Stiff O.D.E. // SI AM J. Numer .Anal. 1977.-Vol.14. N6. P. 1006−1021.

3. Амосов A.A., Дубинский Ю. А., Копченова H.B. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1994. 600с.

4. Бабенко К. И. Основы численного анализа, — М.: Наука, 1986. 744с.

5. Баглаев Ю. П. Вычислительная математика и программирование. Учеб. пособие для студентов втузов. -М.: Высшая школа, 1990. 544с.

6. Базуткин В. В., Литвинов А. Л. Метод расчета переходных процессов в неоднородных длинных линиях и обмотках трансформатора // Электричество.- 1996. № 11. С.10−19.

7. Баранов Г. Л., Макаров A.B. Структурное моделирование сложных динамических систем.- Киев: Наукова думка, 1986. 272с.

8. Бахвалов Н. С. Численные методы. Анализ. Алгебра. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1973.-631с.

9. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.- М.: Наука, 1987. 600с.

10. Бахвалов Ю. А., Никитенко А. Г., Лотов Б. Н., Щербаков В. Г. Численное моделирование магнитного поля и силовых взаимосвязей электромагнитного захвата конусосборочных устройств комбинированным методом // Электротехника.-1997. № 10. С.37−39.

11. Башарин A.B., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Управление электроприводами. Ленинград: Энергоиздат, 1982.-392с.

12. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 482с.

13. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984. 136с.

14. Бородулин М. Ю. Оценка точности численного моделирования вынужденных процессов в электрических цепях // Электричество.- 1996. № 11. С.56−61.

15. Борцов Ю. А., Бурмистров A.A. Адаптивный электрогидравлический следящий привод // Электротехника.- 1996.-№ 3. С.60−64.

16. Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. Автоматизированный электропривод с упругими связями. 2-е изд., перераб. и доп.- СПб.: Энергоиздат, 1992. 288с.

17. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. 223с.

18. Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. 157с.

19. Бояринцев Ю. Е. Численные методы решения сингулярных систем / Ю. Е. Бояринцев, В. А. Данилов, A.A. Логинов, В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1989. 222с.

20. Бояринцев Ю. Е., Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука, 1998. 224с.

21. Butcher J.С. The non-existence of ten stage eighth order Explicit Runge-Kutta methods // BTT. -1985. -vol. 25. P.521−540.

22. Васильков Ю. В., Васильковa H.H. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 1999. 256с.

23. Verner J.H. Explicit Runge-Kutta methods with estimates of the local truncation error.//SIAM J.-Numer.Anal.- 1978. Vol.15. P.772−790.

24. Вилячкин JI.В., Алишников Ю. П. Компьютерная модель асинхронного вентильного каскада // Электротехника.-1997. № 9. С.40−45.

25. Водовозов В. М., Иванова Е. А. Компьютерные системы моделирования электропривода // Электротехника.- 1996.-№ 7. С.48−51.

26. Волков Е. А. Численные методы. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1987. 248с.

27. Воропай Н. И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 110с.

28. Воропай Н. И. Исследование проблем энергетики в институте систем энергетики им. JI.А.Мелентьева СО РАН // Электричество.- 2000. № 10. С.2−6.

29. Gear C.W. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations: is There Anything Left to do? //SIAM Review.- 1981. Vol.23. № 1. P.10−24.

30. Гоппе Г. Г., Федорова З. А. Алгоритмы и программы численных методов решения задач САУ на ЭВМ: Учебное пособие для студентов электротехнических специальностей вузов. Иркутск: ИрГТУ, 2001. 152с.

31. Гоппе Г. Г., Федорова З. А. Моделирование электроприводов на ПЭВМ: Учебное пособие для студентов электротехнических специальностей вузов. Иркутск: ИрГТУ, 2001. 248с.

32. Дейнеко В, В. Методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е издание. Новосибирск: Наука, 1994. 240с.

33. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ.- М.: Мир, 1988. 334с.

34. Деннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловSной оптимизации и решения нелинейных уранений: Пер. с англ.- М.: Мир, 1988. 440с.

35. Джонсон К. Численные методы в химии: Пер. с англ.-М.: Мир, 1983. 504с.

36. Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ: Справочник. М.: Наука, 1987. 240 с.

37. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATHCAD 7 в математике, физике и в Internet. М: Нолидж, 1998. 352с.

38. Егоров В. Н., Корженевский-Яковлев O.B. Цифровое моделирование систем электропривода. J1.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1986, — 168с.

39. Ешенко A.A., Федорова З. А. Системы управления электроприводами (системы подчиненного регулирования параметров электропривода): Методические указания по выполнению курсового проекта. Иркутск: ИрГТУ, 2001. 43с.

40. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978.-512с.

41. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем. М.: Наука, 1976. 828с.

42. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1953. 458с.

43. Комлев В. П., Андрианов М. В. Применение метода структурного аналитического моделирования для анализа САУ электроприводами // Электротехника. 1998. № 2. С. 4143.

44. Красовский A.A. Некоторые актуальные проблемы науки управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 1996. № 6. С.8−16.

45. Крутько П. Д., Максимов А. И., Скворцов Л. М. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. / Под ред. П. Д. Крутько.- М.: Радио и связь, 1988. 306с.

46. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Начало теории вычислительных методов. Дифференциальные уравнения. Минск: Наука и техника, 1982. 286с.

47. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. 2-е изд.: Пер. с англ. / Под ред. Б. М. Наймарка. М.: Мир, 1977. 584с.

48. Мартынов В. А. Анализ динамических режимов индуктивных электромеханических устройств // Электричество. 1995. № 3. С.46−51.

49. Мартынов В. А, Шелыкалов Ю.я. Моделирование динамических электромагнитных процессов электрических машин методом зубцовых контуров // Электротехника. 1996.-№ 2. С.21−25.

50. Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений: Пер. с англ.- М.: ИЛ, 1955. 8с.

51. Михалевич B.C., Волкович И. Л. Вычислительные методы исследования и проектирования сложных систем.- М.: Наука, 1982. 288с.

52. Мудров А. Е. Численные методы на ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП «РАСКО», 1991.-272с.

53. Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ: Пер. с нем.-М.: Энергоатомиздат, 1991. 220с.

54. Никитенко А. Г., Бахвалов Ю. А., Щербаков В. Г. Аналитический обзор методов расчета магнитных полей электрических аппаратов // Электротехника. 1997. № 1. С. 1519.

55. Новаш И. В. Об использовании неявных методов численного решения дифференциальных уравнений в расчетах электромагнитных переходных процессов // Известия вузов. Электромеханика. 1994. № 1−2. С.44−48.

56. Новиков Е. А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1997. 195с.

57. Ортега Дж., Пул У.

Введение

в численные методы решения дифференциальных уравнений./Пер. с англ.- Под ред. A.A. Абрамова.- М.: Наука, 1986. 288 с.

58. Основы теории колебаний./В.В. Мигулин, В. И. Медведев, Е. Р. Мустель, В. Н. Парьхгин. Под ред. В. В. Мигулина.-2-е изд., перераб. М.: Наука, 1988, — 392с.

59. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5. x: В 2-х т. М.: Диалог-МИФИ, 1999. Т1.-366с.- Т2. 306с.

60. Wright К. Some relations ships between implicit Runge-Kutta collocation and Lancross t methods, and their stability properties. //BTT. -1970. -Vol. 10. -P. 217 227.

61. Ракитский Ю. В., Устинов С.M., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. -М.: Наука, 1970.-208 с.

62. Ребенков Е. С., Бабокин Г. И. Синтез структур и определение параметров системы автоматического управления электропривода с переменной жесткостью упругого звена. // Электричество. -1995. -№ 6. С. 48−54.

63. Самарский А. А.

Введение

в численные методы: Учеб. пособие для вузов.-2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 288с.

64. Семенов Н. П. Метод расчета электромагнитных процессов в системе автономный инвертор напряжения асинхронная машина.// Электричество.-1995.-№ 1. С.45−55.

65. Сигорский В. П., Петренко А. И. Алгоритмы анализа электронных схем.-М.: Сов. радио, 197 6.-608 с.

66. Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ.-М.: Мир, 1986.-229 с.

67. Скворцов JI.M. Адаптивные методы цифрового моделирования динамических систем.// Известия РАН. Теория и системы управления.-1995.-№ 4. С.180−190.

68. Скворцов JI.M. Адаптивные методы численного интегрирования в задачах моделирования динамических систем. // Известия РАН. Теория и системы управления.-1999.-№ 4.-С.72−78.

69. Смит Д.M. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей. -М.: Машиностроение, 1980.-271с.

70. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта М.: Мир, 1979.-312с.

71. Таранкин C.B., Тютиков В. В. Методы и средства построения многоканальных электромеханических систем. // Электротехника.-1995.-№ 5. С.38−43.

72. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие.-М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат.лит., 1967.-320с.

73. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галерки-на: Пер. с англ.- М.: Мир, 1988.-352с.

74. Форсайт Дж., Мелькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ.- М.: Мир, 1980.-280с.

75. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990.-512с.

76. Чуа Л. О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ.-М.: Энергия, 1980.-640с.

77. Чернецкий В. И., Дидук Г. А., Потапенко A.A. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем./Под ред. В. И. Чернецкого. Л.: Энергия, 1970.-374с.

78. Численные методы в теории автоматического управления: Учебное пособие. / Под ред. A.B. Липатова.-М.: Изд-во МАИ, 1994.-56с.

79. Shampine L.F., Watts H.A. The art of writing a Runge-Kutta code. //II, Appl.Math.Comput.-1979. Vol.5.-P.93−121.

80. Щрейнер P.Т. Системы подчиненного регулирования электроприводов. Часть 1. Электроприводы постоянного тока с подчиненным регулированием координат: Учебное пособие для вузов.-Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.проф.-пед.унта, 1997. -279с.

81. Штейнбрунн И. Моделирование динамических характеристик приводов подач металлорежущих станков. // Электротехника. -1996.-№ 1. С.25−27.

82. Щтеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978.-461с.

83. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ.: пер. с англ.- М.: Мир, 1982.-238с.

84. Эльскгольц Л. Э., Норкин С. Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- М.: Наука, 1971.-296с.1. Утверждаю:

85. Проректор ИрГТУ по учебнойо внедрении результатов рав учебный процесс. А

86. Программный комплекс представлен тремя видами программ:

87. Моделирование систем автоматического управления на основе передаточной функции.

88. Структурное моделирование.

89. Моделирование на основе математического описания в форме уравнения состояния.

90. Декан ЭТФ Зав. кафедрой ЭЭТ1. А .С. Жданов1. С с сс I1. Г. Г. Гоппе1. Утверждаю:

91. Проректор ИрГТУ-ио научнойработе, д.х.д^дроферсор, 1. Актоб использовании результатов работ доцента Федоровой З. А. в научно-исследовательских разработках кафедры «Электропривода и электрического транспорта».

92. Применение алгоритмов и программ, использующих метод с переменным порядком точности для моделирования динамических систем, позволило в несколько раз уменьшить затраты машинного времени на исследование систем управления технологическими процессами.

93. Декан ЭТФ Зав. кафедрой ЭЭТ1. А. С. Жданов Г. Г. Гоппе

94. Результаты выполнения программы расчета переходных процессов -••¦¦-¦ выходной величины динамического звена1. ХР, У л юн)

95. Э, ТЬ=0.1- dXP=dYP=0.2- ЭИ, ТЬ=0.1- 6ХР^УР=0.2;

96. Л0М|=1дек- <^=10с.- Тр=0.223с.- с!|0М|=1декй=10с.- Тр=0.277с.- ОМтах=+2.503Е-01 при t~12.ec. 0Мшах=+6.163Е-03 при t=10.9c.1. ХР, УРН

97. РК4, ТЬ=0.1- dXP=dYP=0.2- dlОМ|=1декdt=10c.- Тр=0.441с.- Штах=+1.143Е-05 при г:=14.1с.1. ХР, ур, ОИи.1. ГГ^Ф'^ПРПГГ!^ ^ПЛП^уг^

98. Б, Т- 11=0.1- dXP=dYP=0.2- <11 ОМ|=1 дексИ:=10с. Тр=0.328с.- 0Мшах=-3.071Е-03 при t~10.ec.

99. Л, Т- 11=0.1- dXP=dYP=0.2- d|ОМ|=1 декdt=10c.- Тр=0.277с.- Омтах=+6.169Е-О3 при 1:"10.9с.1. ХР, ур, ом

100. НЭ, ТЬ=0.1- dXP=dYP=0.2- d10М| =1декс!^10с.- Тр=0.273с.- 0Мтах=+1.490Е-01 при t= 9.5с.