Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы

Симметричные пространства появились в ¡-заботах по интерполяции линеи-ных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов [11, 37] В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам, теории эксхраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространст вах.

В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Вторая глава посвящена экстраполяции в шкале? р-пространс1 В при р —> оо.

Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в ¿-^-пространствах при 1 < р < со, но не ограничены на «концах» этой шкалы — в пространствах Ь^ и (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно (см [45] или [25, гл. 12, теорема 4.41]).

Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Li[0,1].

1) Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р € (1,ро| и.

T\r^Lp = О ({р~ 1)~п) при р —1 w некотором, а > О, то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца L (log L) a, действующего ограниченно в L: 1.

Tx\Ll.

2) Если Т действует в пространстваг Ьр[0,1] при р? [р0, оо) и.

T\LpLp = 0(ра) при р —> со и некотором, а > О, тоТ действует из в пространство Орлича Exp Ll/a: ll^llcxpL"/- ^^IWIl",. где IMIexPl>/° := SUP ln~a{e/t)x*{t). y 1 0.

В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана [34, 35, 39, 40). В частности, используя введеные ими функчоры пересечения, А и суммы Е они получили эксграполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно (см., например, [39, с. 22−23]).

АРо<�Р<�оо (p~aLp) = Exp Lx’a и S1.

Рассмотрим подробнее функтор пересечения А. Если {Ля}^-) — семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и тоже банахово прос гранство Л, 'I о.

Аеев (Ад) = { а € А: ||а||д = вир ||а||л <оо,.

I вев) т. е.

1) где Ьос — пространство ограниченных функций на 0. Согласно описанию Мильмана и Яверса.

VI х.

Ехр 1Ма ра откуда, с учетом простого соо! ношения.

1*1110. = а:

1х (ро, 00) мы сразу получаем вторую часть теоремы Яно.

В работе [36] подробно рассмотрены функторы и £(г являющиеся обобщением функторов, А и Е, Авторы рассматривают совместимую пару квази-банаховых пространств (Ао, Л1) и шкалу пространств Ад, г вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в.

ДМ оиределяеп’я следующим образом:

1/г.

11/11д (.

М (0)Лйг) [щтяА0г в где М{9) — положительная непрерывная функция, парамеф функтора ДМ В частном случае г = оо получаем функтор Д. В [36] рассмотрены также различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно.

Еще больше возможностей для этого возникает, если в (1) заменить Ьх произвольным банаховым пространством F.

В первом параграфе второй главы введено определение экпраполяци-онного пространства С г относительно шкалы ¿-^-пространств на отрезке [0,1] и изложены общие свойства таких пространств Норма в Ср определяется следующим образом:

Заметим, что пространства Lp совпадают с пространствами (Li, Loch-i/p.p вещественнного метода интерполяции, т. е., в отличие от [36], меняются оба интерполяционных параметра В случае, когда параметр экстраполяции F есть проаранство Lж с весом, экстраполяционные простражчва изучались Островским Е. И. в работах [42, 44], где такие пространства названы момешными (moment spaces). Там же рассмотрены приложения к рядам и преобразованию Фурье, сингулярным интегральным операторам и теории мартингалов В связи с этими приложениями в [44] приведена ха-рактеризация сепарабельной части моментного пространства. В настоящей работе получена характеризация всех сепарабельных экстраполяционных пространств в терминах свойств параметра F, а также аналогичная характеризация всех максимальных экстраполяционных пространств Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.11. Экстраполяционное пространство Е сепарабельио тогда и только тогда, когда.

E = Cf, для некоторого F, удовлетворяющего условию feF * i™^'^!!^0−5.

Теорема 2.1.17. Экстраполяционное пространство Е максимально тогда и только тогда, когда.

Е = СР для некоторого F, удовлетворяющего условию • Х[1,м) зир ||/ • Х[1,лг]||г < оо / е Р. n.

Параграф 2.2 посвящен экетраполяционному описанию проем ранств Ор-лича и Марцинкевича. В качестве параметров экстраполяции здесь естественно рассматривать Р = Ь^и), где и) — вес, определяемый характеристиками описываемых пространств.

Теорема 2.2.4. Пусть М (ф) — пространство Марцинкевича с фундаментальной функцией (р = (р (1), — его сепарабельная часть Следующие условия эквивалентны•.

1) М (ф) экстраполяционно;

2) М (<�р) = Сн&bdquoгде № = Ь^Ш]-1);

3) М0(ф) экстраполяционно;

4) М°((р) = Сщ, где Щ — подпространство Н^ функций /{р), для которых ?{р)/\1/ч>\р -* 0 при р -> оо;

5) выполнено условие ч>(Ь)<�Свиртг^й-, ф (1) = 1/ф), О С? < 1- р> 1 уь.

6) выполнено условие.

1 /Р ф)< Сзир 11ШГ> 0 <? < 1. р> 1 р/а.

В нско горых случаях (но не всегда) в качес гве параметра можно взя i ь пространпво вида Fv = Loc{ip{2~v)). Доказан критерий возможное in такого описания. Будем говорить, что ip? А2, если для некоторого, а > О.

0 < c^(i2), 0 < t < 1. Теорема 2.2.9. Пусть ip (t)? Т. Следующие условия эквивалентны•.

1)ч> € А2;

2)<�р (2-р)~ШГР1 (р> 1);

ММ = M (.

Хорошо известно [23], чю пространства Орлича и Марцинкевича, лежащие достаточно «близко» к Ьж совпадают. Поэтому приведенные результаты для пространств Марцинкевича позволяют частично peumib аналогичную задачу для пространств Орлича. Следующая теорема дает еще один вариант решения проблемы экстраполяционного описания таких пространств.

Теорема 2.2.24. Пусть.

М (и) = eN^tl{u) и > 1, с некоторой выпуклой функцией N (t), удовлетворяющей условию т lim-1 = 00. t—> 00 t.

Если пространство Орлича Ьм есть одновременно пространство Марцинкевича, то.

Ьм = Clm, 7 с.

Здесь и*{р) = 8ир{рг—у (г)} функция, сопряженная к N.

Близкая по содержанию теорема сформулирована в работе [42], однако доказательство, приведенное там, ошибочно. Теорема 2.2 24 обобщает результаты работ [30, 41].

Экстраполяция со шкалы /^-пространств в пространсхва Орлича рассматривалась также Мамонтовым А. Е в работах [20, 21]. Подход, предложенный в указанных работах, связан с возможностью интегрального представления некоторых Я-функций разложением по степенным функциям.

В параграфе 2.2 приведены также различные примеры, в том числе пример нежсграполяционного пространства Марцинкевича, для которою Ьр Э М ((р) для всех р > 1.

Параграф 2.3 посвящен пространствам Лоренца Аг (</?).

В связи с изучением вопроса сходимости ортогональных рядов в симметричных пространствах, близких к Ьж, С. Ф. Лукомский доказал следующее утверждение [38]: если существует 7 > 0 такое, что для почти всех Ь € [0,1] выполнено неравенство р'(1) < 7^'(?2),.

2) то имеет место соотношение.

В параграфе 2 3 найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедливо (3), а также приведен пример функции у?, для которой не выполнено (2), но, тем не менее, имеет место (3).

Обозначим через дг пространство /г (2~п/гу/(2~п)1/'г). Его функциональным аналогом будет пространство = Ьг (2~р/Г (р'(2~р)1/Г) функций, определенных на [1, оо). Основным результатом параграфа 2 3 является следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Для каждого г? [1, оо) следующие условия эквивалентны:

Заметим, что условие ц> Е А2 возникает как при экстраполяционном описании пространств Марцинкевича, так и Лоренца (см. теоремы 2 2 9 и 2 3.1). В связи с этим в параграфе 2 4 введено понятие сильно экстраполя-ционного пространства Для таких пространств функции имеют эквивалентные нормы. Сильно эксграполяционные иросфанства всегда экстраполяционны, причем норма в параметре экстраполяции F естественным образом определяется через норму самого пространства Кроме того, для соответствующих параметров 7*1 справедливо:

В параграфе 2.4 показано, чю А2-условию удовлетворяют фундаментальные функции всех сильно экстраполяционных проаранств. Доказана теорема, устанавливающая сильную эксчраиоляционность прос1ранс1 В,.

1)ч> € А2;

2) Аг (ф) = С0г;

3) Ш = СЯг. х = и 11 = х^) = ||х||.

1″ ф которые можно получить с помощью К-метода интерполяции в парах (Л (</>), М{ф)) и (Loo, М{<�р)), если <р е А2.

Теорема 2.4.6. Пусть функция ip (i) удовлетворяет А2 -условию, F — произвольный параметр вещественного метода интерполяции Тогда пространства.

A (.

Теорема 2 4.6 обобщает некоторые результаты работы [3], где рассматривались пространства Орлича Ьф, построенные по функциям Орлича М вида М{и) = ехр (Ф (м)) с выпуклой Ф, и пространства (Lос, Ьф) р

Конструкция сильно экстраполяционного пространства также обобщает результаш работ [30, 41], в которых эксграполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции в виде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В этих работх, в частности, показано, чю условия.

I® ||S||.

SUp-L < 00 и Slip— < 00 p> p p>1 p эквивалентны. По поводу декомпозиционной техники смотрите также [29, 31].

Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [12, 18, 19, 25, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45] В параграфе 2 5 рассмотрены приложения экстраполяционного описания симметричных пространств к вопросу сходимости ортогональных рядов. Доказаны сле^-ющие теоремы.

Теорема 2.5.1. Пусть Е = Су, а система {.Ги}^! — минимальна и полна в Е. Тогда, если для всех х € Е и натуральных N n хп{х)хп.

71=1 7(Р) • 1кНр при р > ро, где {х*п} — система, сопряженная к {хп}, то для любого х? Е ряд ос п= 1 сходится кх в пространстве Е = Сщ/^).

Теорема 2.5.2. Пусть пространство Е сильно экстпраполяционно. Тогда, в условиях теоремы 2 5.1, для любого х? Е ряд ос.

У! хп{х)хп п=1 х\е=\х -«не. сходится кх в пространстве Ек с нормой где х г = 1у х*^, к (Ь) = 1/7(1пе/<).

Известно, что тригонометрическая система и система Уолша не являются базисами в пространствах, расположенных «слишком близко» к Ьх В то же время в работах [12, 38] С Ф. Лукомский доказал, чгю ряды, но тригонометрической системе и системе Уолша, рассматриваемые в просфан-ствах Лоренца подобного типа, сходятся относительно нормы несколько более широкого пространства Там же доказаны теоремы о точности этого пространства. В диссертации изучаются аналогичные вопросы для се-парабельной части пространства Марцинкевича. Из теоремы 2 5.2 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.5.4. Пусть </? € А2, {Фп}% 1 ~~ ортоиормированная система и для всех х 6 М0(<^) и натуральных N где Сп (х) — коэффициенты Фурье функции х. Если система {фп} полна в М°(<�р), то для любого х € М°(</?) ряд.

Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша.

Третья глава посвящена вопросу дополняемости подпространств симметричных пространств, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями аь, = = а (2кЬ — 1) одной функции, а = а (Ь).

В работах [32, 33] рассмотрен случай симметричного пространства Е = Е[0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства порожденного дизъюнктными сдвигами функции, а? Е, 1) Пространство Ечш названо «хорошим» (Е е М), если любое нодпространаво вида <2п дополняемо. В указанных работах даны необходимые и досточные условия для принадлежности пространства классу М, выделены классы «хороших» пространств среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца Там же предложена характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариашное пространаво Е совпадает с иросгране 1вом Ьр (0 < р < оо) тогда и только тогда, когда оба пространства Е и ассоциированное к нему Е' принадлежат классу М. р

00 п=1 сходится кх в пространстве М°((р), где х.

1п е/Г.

Аналогичные вопросы для пространства Е на отрезке [0,1] рассматривались в работе [27]. Именно, для произвольного, а е Е и двоичных интервалов рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции, а .

Пространства <2а>п = врап^ап^}^] конечномерны и, следовательно, дополняемы. В [27] вводится множество N0(Е), состоящее из всех функций, а € Е, для коюрых подпространства <2&bdquo-)П равномерно дополняемы в Е. Там же рассмотрены свойства пространства мультипликаторов М (Е), состоящего из всех измеримых функций х = а-(£), для которых произведение х (Ь)у{8) принадлежит Е, 1] х [0,1] для всех у 6 Е. Доказано, что для сепарабельного пространства имеет место равенство Ыц (Е) = М (Е), приведена характеризация пространств £р[0,1], аналогичная характеризации £р[0, оо) в [32, 33] (см. далее теорема 3.2.3).

В диссертации изучается вопрос о дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства фа = браг^а/,}]^, порожденного функциями.

Как и в работе [27], выявлена связь этого вопроса со структурой пространства мультипликаторов М (Е). Изучению последнего посвящен параграф 3.1, в частности, доказана следующая характеризация М (Е).

Теорема 3.1.3. Пусть Е — произвольное симметричное простран.

• >

ЯплМ = ство на [0,1]. Тогда у € М (Е) тогда и только тогда, когда сущ (ствует константа С > О такая, что для произвольного набора действительных чисел, а = (аО^ справедливо неравенство.

00 г=1 с Е ос г=1 хд, — характеристическая функция множества.

Дг = (2″ г, 2-г+1],.

У* = г/(2Ч-1), если I € Д&bdquoиначе.

Пусть {ае X: 1 = / 6 и о.

Введем в рассмотрение оператор

00 / I ладо.

Л = 1.

Рв1/х (0 =? 2к I Шх{з) Ж ак{1),.

1 = 1 у д где.

Л (0.

2Н — 1), если Ь € А*.

4).

5).

О, иначе.

Через будем обозначать множество таких, а € У (Е), для коюрых существует функция / е ^(Е") такая, что оператор Р0>/ ограничен. В параграфе 3.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.2.8. Если Е — симметричное пространство, интерполяционное меэюду Ь.

Теорема 3.2.12. Если Е — симметричное пространство на [0,1], се-парабелъное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны:

1) Существует С > О такое, что.

00 00 00.

С" 1 < У>а* < С 2 СкХЬк к=1 Е к=1 и к-1 для произвольного, а € V (E) с ||a||?- = 1 и всех наборов {сд,}j, q, € R;

2) Для произвольных, а € V (E) ufe V (E'), удовлетворяющих (4), оператор Paj, определенный в (5), ограничен;

3) Е = Lp для некоторого р? [1, оо].

Автор выражает глубокую благодарное! ь своему научному руководи ie-лю, профессору, доктору физико-математических наук, Сергею Владимировичу Асташкину за постоянное внимание к работе, поддержку и совеш при подгоювке диссертации.

1. Асгашкин C.B. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp—пространств / С. В. Асташкин // Функцион. анализ и его прил 2003. Т 37. No 3 С. 73−77.

2. Асташкин, С. В Об экстраполяционных свойствах шкалы Lpпространств / С. В Асташкин / Матем. сборник. 2003. Т. 194. No б С 23−42.

3. Асташкин, C.B. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным меюдом интериоляции / С. В. Асташкин // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2 С. 264−289.

4. Асташкин, C.B. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к Loo / С. В. Астшкин, К. В. Лыков // Сиб матем. ж. 2006. Т. 47. № 5. С. 974−992.

5. Асташкин, С В. Экстраполяционное описание некснорых симмефич-ных пространств / С. В. Асташкин, К. В. Лыков // Тр. матем. цен фа им. Н. И. Лобачевского. Материалы VII международной Казанской летней научн. школы-конференции. Казань. 2005. С 12−13.

6. Асташкин, C.B. О некоторых новых соотношениях между нормами вклассе симметричных пространств / С. В Асташкин, К. В Лыков // Воронежская зимняя математическая школа С Г. Крейна — 2006 Тезисы докладов. Воронеж. 2006. С. 13.

7. Берг, Й. Интерполяционные нросхрансгва Введение / Й. Берг, Й.Лефстрем. М: Мир, 1980.

8. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / ЛВКанюрович Л В, ГП.Акилов. С.-Пб.: Невский диалект, 2004. 816 с.

9. Кашин, B.C. Ортогональные ряды / Б. С. Кашин, А. А Саакян. М. АФЦ, 1999. 550 с.

10. Красносельский, М. А. Выпуклые функции и iipocipanciBa Орлича / М. А. Красносельский, Я Б.Рутицкий. М.: Физматгиз, 1958 272 с.

11. Крейн, С. Г. Интерполяция линейных операторов / С. ГКрейн, Ю. И. Петунин, Е М.Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с.

12. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Loo / С. Ф. Лукомский // Матем. замегки. 2001. Т. 70, No 6 С. 882 889.

13. Лыков, К. В. Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К В Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 2 (42). С. 28−43.

14. Лыков, К. В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства / К. В Лыков // Вестник СамГУ 2006. № 4 (44) С 5−12.

15. Мамонтов, А. Е О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкоеIи, I / А Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 2. С. 408−420.

16. Мамон юв, А. Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости, II / А. Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 3. С. 635−649.

17. Мамонтов, А. Е Интегральные представления и преобразования Л^ функций, I / А. Е Мамон юв // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. К" 1. С 123 145.

18. Мамонтов, А. Е. Интегральные представления и преобразования М-функций, II / А Е. Мамонтов // Сиб. матем. ж. 2006. Т 47. № 4 С 811 830.

19. Рохлин, В. А. Об основных понятиях теории меры / В А. Рохлин // Математический сборник. 1949. Т. 25. № 1. С. 107−150.

20. Рутицкий, Я Б О некоторых классах измеримых функций / Я. Б. Рутицкий // Успехи мат. наук. 1965 Т. 20. № 4. С. 205−208.

21. Симоненко И. Б. Инюрполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И. Б. Симоненко // Матем. сб. 1964 Т 63.C. 536−553.

22. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды Т2 / А. Зигмунд М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Astashkin, S.V. Tensor Product in Symmetric Function Spaces / S.V.Astashkin // Collect. Math. 1997. V 48 P 375−391.

24. Astashkin, S.V. Multiphcator Space and Complemented Subspares of rearrangement invariant space / S.V.Astashkin, L Maligranda and E M. Semenov // Journal of Functional Analysis 2003 V. 202 P 247 276.

25. Brudnyi, Yu.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Yu.A.Brudnyi, N.Ya.Krugliak. North Holland Publish., 1991.

26. Capone, C. On extrapolation blowups in the Lp-scale / С Capone, A. Fiorenza, M. Krbec // J. of Ineq. And Applicat. 2006. V. 2006.

27. Edmunds, D. E. On decomposition in exponential Orlicz spaces /D.E.Edmunds, M. Krbec // Math. Nachr. 2000. V. 213 P. 77−88.

28. Fiorenza, A. On an optimal decomposition in Zygmund spaces / A. Fiorenza, M. Krbec // Georjian Math. Jour. 2002. V. 9. No. 2 P. 271−286.

29. Hernandez, F.L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov //J Fun< Anal. 1999 V. 169, No. 1. P 52−80.

30. Hernandez, F. L A characterization of Lp among rearrangement invariant function spaces / F.L.Hernandez, E M. Semenov // Positivity 2000 V 4, No. P. 253−258.

31. Jawerth, B. Extrapolation Spaces with applications / B. Jawerth, M. Milman // Mein, of the Amer. Math. Soc 1991. V 89, No. 440 82 PP.

32. Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B Jawerth, M. Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math Conference Proc, 5. 1992. P 81−105.

33. Karadzhov, G. Extrapolation theory: New results and applications / G Karadzhov, M. Milman //J Approx Theory. 2005. V 133, No 1 P 3899.

34. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces. J. Lindenstrauss, L.Tzafriri. BerlinHeidelbergNew York. Springer-Verlag, 1979. 244 p.

35. Lukomskii, S.F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces / S.F.Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9, No 2. P. 229−238.

36. Milman, M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis / M.Milman. Berlin. Springer-Verlag, 1994. 162 pp (Lecture Notes in Math. V. 1580).

37. Milman, M. Extrapolation spaces and a. e convergence of Fourier series / M. Milman // J. of Approx. Theory. 1995. V. 80, No. 1 P. 10−24.

38. Neves, J. On decompositions in generalized Lorentz-Zygmund spaces / J. Neves // Boll. Unione Mat. Ital. Sez B Artie. Ric Mat (8). 2001 V 4, No. 1. P. 239−267.

39. Ostrovsky, E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications / E. Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/406 534, v. l, 25 06 2004.

40. Ostrovsky, E. A remark on the inequalities of Bernstein-Markov type in exponential Orlicz and Lorentz spaces / E Ostrovsky //Electronic Publ, arXiv/FA/411 617, v. l, 27.11 2004.

41. Ostrovsky, E. Some new moment rearrangement invariant spacestheory and applications / E. Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/605 732, v. l, 29.05.2006.

42. Yano, S. An extrapolation theorem / S. Yano // J. Math Soc Japan 1951. V 3, No. 2. P 296−305.