Влияние вибраций на гидродинамические системы: Резонансы и осредненные эффекты

Интерес исследователей к изучению влияния вибраций на поведение гидродинамических систем вызван как многочисленными технологическими применениями, так и общетеоретическими соображениями.

Вибрации, воздействуя на неоднородные среды, могут, прежде всего, являться причиной движения. С другой стороны, при определенных условиях, вибрации, оставляя состояния сред равновесными, нетривиальным образом действуют на устойчивость равновесия и даже создают новые равновесные состояния, невозможные в отсутствие вибраций.

В технологических процессах вибрации часто являются неизбежным и неконтролируемым фактором. Поэтому важно понять, как вибрации воздействуют на течения и равновесные состояния гидродинамических систем, чтобы учесть их влияние на ход процесса. Для некоторых процессов полезно использовать контролируемые вибрации, поскольку с их помощью оказывается удобным управлять течениями и их устойчивостью.

Влияние вибраций на поведение неоднородных сред носит разносторонний характер. Во многих ситуациях гидродинамическая система в отсутствие вибраций способна совершать движения периодического характера и обладает спектром собственных частот. Примером такого рода являются капиллярно-гравитационные волны на поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей, собственные колебания пузырька, взвешенного в жидкой матрице, колебательные моды конвективных движений при подогреве сверху и т. п. В отсутствие внешних воздействий, вследствие вязкой диссипации, собственные колебания, как правило, затухают. Подкачка энергии в систему, обусловленная вибрациями, может привести к резонансному возбуждению такого рода колебаний.

Хотя пионерская работа М. Фарадея [1], где, по-видимому, впервые описано явление параметрического резонанса, посвящена именно вибрационному возбуждению капиллярно-гравитационных волн и вышла более полутора веков назад, вопрос о вибрационном возбуждении резонансных колебаний в гидродинамических системах нельзя до сих пор считать полностью исследованным.

Вибрации влияют на равновесие и течения гидродинамических систем не только резонансным образом. Высокочастотные вибрации, как уже отмечено выше, могут подавить развитие неустойчивостей, возникающих в статических условиях и быть причиной возникновения необычных равновесных конфигураций. Кроме того, вибрации высокой частоты, как правило, индуцируют не только пульсационные течения собственной частоты, но, вследствие нелинейных и вязких эффектов, приводят к появлению сравнительно медленных средних движений.

В научной литературе большое место уделено вибрациям акустических частот, когда размеры неоднородностей сравнимы с длиной звуковой волны, соответствующей частоте вибраций, и становятся существенными эффекты, связанные с сжимаемостью сред. Широко исследуются такие явления, как акустический ветер, акустический подвес пузырьков газа, капель и твердых включений в жидкости, влияние ультразвуковых волн на поведение эмульсий и взвесей. Хорошее описание некоторых из этих эффектов можно найти в классической монографии [2]. Более современное состояние проблемы описано в работах [3−5]. Исследования акустического воздействия на неоднородные среды активно продолжаются и в настоящее время. Отметим здесь, например, работы [6−7], в которых изучался акустический подвес капель и пузырьков в поле тяжести и [8−9], где изучены резонансные эффекты, связанные, прежде всего, с сжимаемостью пузырьков газа в акустическом поле.

Другим подробно исследованным примером влияния высокочастотных вибраций на поведение гидродинамических систем является так называемая вибрационная конвекция. Особенно активный интерес к конвекции, индуцированной вибрациями (равно как и к термокапиллярной конвекции) возник после первых неожиданных результатов по технологическим экспериментам в невесомости [10]. Впервые осредненные уравнения вибрационной конвекции были получены в [11] путем осреднения уравнений конвекции в приближении Бусси-неска. Здесь рассматривались вибрации высоких, но не акустических частот. В дальнейшем такой подход получил значительное развитие, библиография по вибрационной конвекции насчитывает в настоящее время десятки статей. Многие результаты по данной тематике обобщены в монографиях [12−13]. Наряду с осредненным подходом продолжаются и численные эксперименты на базе полных уравнений. Отметим работу [120], где сочетаются оба этих подхода. Теоретически предсказанные в [12] эффекты, такие как динамическая стабилизация неустойчивости Рэлея-Бенара или параметрическая раскачка конвективных колебаний, получили в дальнейшем экспериментальное подтверждение [14−15]. Подход, развитый в [11], адекватно описывает термовибрационную конвекцию в замкнутых сосудах, совершающих однородные поступательные вибрации. При неоднородных или непоступательных вибрациях, а также при наличии свободной поверхности жидкости или поверхности раздела сред, такой подход становится некорректным. Как показано в [16], осреднение в этом случае надо проводить на базе полных (без упрощений приближения Буссинеска) уравнений, при этом влияние вибраций оказывается более сильным, чем в традиционном подходе вибрационной конвекции [17−18]. Теоретические расчеты, проведенные по новой схеме в [19−20], хорошо согласуются с экспериментальными результатами [21−22]. Подробное изложение различных подходов к проблеме вибрационной конвекции и обзор работ, посвященных данной тематике, можно найти в монографии [23].

В настоящей работе основное влияние уделяется вибрациям неакустических частот при изотермических условиях. Поэтому следует сделать более подробный обзор литературы по данной тематике.

Как уже отмечалось выше, первая работа, посвященная параметрическому резонансу на поверхности жидкости [1], появилась еще в 1831 году. В указанной статье описан ряд экспериментов, в частности эксперименты по возбуждению стоячих волн на поверхности жидкости, налитой на вибрирующую в вертикальном направлении упругую пластинку. Теоретическое объяснение было дано Рэлеем [2] на основе теории идеальной жидкости. Было показано, что рябь Фарадея есть проявление параметрического резонанса, что объяснило наблюдавшееся в [1] соотношение частот: частота возбуждаемых волн была равна половине частоты вибраций. Интерес к указанному эффекту возродился в 1950;х годах в связи с техническими приложениями. В работах [24−25] была более подробно развита линейная теория ряби Фарадея для свободной поверхности невязкой жидкости. В рамках этой теории порог возбуждения ряби нулевой", & ч экспериментах, однако, рябь всегда возбуждается пороговым образом. Связано это с диссипативными эффектами и потому порог не может быть определен в рамках модели идеальной жидкости. Впервые порог возбуждения параметрических волн определен, по-видимому, в [26−27], где учет вязкости был произведен феноменологически, путем подстановки демпфирующего слагаемого в уравнение Матье, описывающего поведение поверхности невязкой жидкости при наличии вертикальных вибраций. Экспериментальные исследования в [27−28] показали, что стационарный режим стоячих волн, возникающий на поверхности жидкости в вибрирующем сосуде, при увеличении амплитуды вибраций становится неустойчивым и сменяется системой хаотически двигающихся волновых конгломератов. Указанный эффект подробно исследован в ряде теоретических и экспериментальных работ [29−31]. Дальнейшее увеличение амплитуды вибраций приводит к фонтанированию капель с поверхности жидкости [27]. Отметим цикл работ теоретического и экспериментального характера [32−34], в которых изучались параметрические волны не на свободной поверхности жидкости, а на поверхности раздела несмешивающихся сред разной плотности. Список работ, посвященных ряби Фарадея, насчитывает в настоящее время сотни названий. Довольно подробную библиографию можно найти в обзорах [35−36]. К сожалению, эти обзоры несколько устарели, поскольку исследования параметрических волн продолжаются с прежней интенсивностью. До сих пор нет полной ясности даже в линейной теории параметрически возбуждаемых волн, особенно для жидкостей с большим значением коэффициента вязкости, неясно до конца также влияние конечной толщины слоя жидкости [37−38]. Нелинейная теория ряби Фарадея впервые исследована в работе [39] на основе модели идеальной жидкости. Довольно полное исследование нелинейных аспектов параметрически возбуждаемых волн проведено в [40], на основе Лагранжева подхода. При таком подходе затруднительно учесть диссипативные эффекты, поэтому в [40] вязкость не учитывалась^либо вводилась модельным образом, когда предполагалось, что вязкая сила, действующая на жидкую частицу, пропорциональна ее скорости. В работах [41−42] подобная методика применялась для волн в стратифицированных средах. В дальнейшем нелинейная теория ряби Фарадея развивалась в [43−48] и других работах. Отличительной особенностью цитированных работ является либо полностью невязкий подход, либо феноменологический учет вязкости, когда демпфирующее слагаемое добавляется в амплитудные эволюционные уравнения, полученные в невязком приближении.

Несмотря на обилие работ, посвященных параметрическому возбуждению волн на поверхности жидкости, некоторые особенности возбуждения и развития ряби Фарадея остаются неясными. На взгляд автора, недостаточно выяснены важные теоретические вопросы, связанные с влиянием вязкости на нелинейное развитие параметрических волн.

Отметим еще, что наряду с классической задачей Фарадея, в настоящее время довольно широко исследуется параметрическое возбуждение ряби с учетом ряда осложняющих факторов: границы раздела вязких сред [49−50], близость системы жидкость-пар к критической точке [51−52], неизотермичность системы [53], наличие сообщающихся сосудов [54−56] и т. д.

Другим примером гидродинамической системы, обладающей спектром собственных колебаний, является капля жидкости (или газовый пузырек), взвешенная в жидкой матрице другой плотности. Спектр собственных частот такой капли рассчитан Чандрасекаром [57]. В литературе интенсивно изучается поведение такой системы в поле вибраций акустической частоты [58−60]. В этом случае резонанс может иметь место только для мод высокой частоты, но при таких частотах характерна сильная диссипация энергии вследствие вязких эффектов. Поэтому резонансные колебания капли в поле вибраций акустической частоты, как правило, не наблюдаются. Интересные результаты получены в экспериментах [61−62], где капля подвешивалась в жидкой матрице акустическим полем, состоящим из двух ультразвуковых компонент с близкими частотами. Комбинационная частота, равная разности частот двух компонент, оказывалась при этом близка к собственным частотам низших мод колебаний капли и в эксперименте наблюдалось резонансное возбуждение колебаний капли на указанной комбинационной частоте. Что касается поведения капли (или пузыря) в вибрационном поле неакустической частоты, то оно в научной литературе практически не изучено.

Кроме резонансных движений, высокочастотные вибрации приводят, как правило, к появлению осредненных эффектов. Примером двоякого действия вибраций может служить поведение такой простой системы, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса [63−64]. В отсутствие вибраций, в статическом поле тяжести, маятник имеет два положения равновесия: устойчивое нижнее и неустойчивое верхнее. Вертикальные колебания точки подвеса с частотами, равными или кратными собственной частоте маятника могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, приводя к параметрическому резонансу. С другой стороны, вертикальные вибрации высокой частоты приводят к тому, что верхнее положение равновесия становится устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации точки подвеса достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [65]. Отметим еще нелинейные исследования [66−67], которые показали, что при достаточно интенсивных вертикальных вибрациях с частотами, сравнимыми с собственной частотой маятника, поведение последнего становится весьма сложным и проявляет элементы стохастики.

В гидродинамических системах высокочастотные вибрации также, при определенных условиях, приводят к стабилизации равновесных состояний, неустойчивых в статических условиях и приводят к возникновению новых равновесных конфигураций. В работах [68−69] описаны эксперименты по динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора, когда высокочастотные вертикальные вибрации приводят к устойчивости инверсного положения сред (тяжелая жидкость налита поверх легкой). Там же отмечено, что при высокочастотных горизонтальных колебаниях сосуда плоская поверхность раздела сред становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный периодический рельеф, амплитуда которого определяется уровнем вибраций. Подробное экспериментальное исследование указанных эффектов было продолжено в [70−73], где были обнаружены некоторые новые интересные явления, такие, например, как удвоение пространственного периода рельефа при повышении интенсивности вибраций. Теоретически проблема динамической стабилизации неустойчивости Рэлея-Тейлора изучалась в [74], где границы устойчивости плоской поверхности раздела сред определялись численно, путем приближенного расчета соответствующего определителя Хилла [75−76]. Аналогичные эксперименты не для свободной поверхности, а для системы двух жидкостей описаны в [77]. Установлено, что и здесь высокочастотные вибрации подавляют развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора, причем на некоторых частотах наблюдается аномальная диффузия, вызванная, по-видимому, параметрическим резонансом.

Теория возникновения рельефа на поверхности раздела сред в поле высокочастотных горизонтальных вибраций была построена в [78−79], где был проведен линейный и слабонелинейный анализ указанного явления. Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментами [72−73]. В работе [80] численно была рассчитана эволюция рельефа при увеличении интенсивности вибраций и показано, что при достаточно сильных вибрациях рельеф преобразуется в систему страт, границы которых практически вертикальны, что также хорошо согласуется с экспериментальными данными [72−73].

Наряду с вибрациями линейной поляризации представляют интерес вибрации более сложного вида: поступательные вибрации круговой поляризации, хаотические трехмерные вибрации, вибрации непоступательные, когда кроме поступательных смещений имеет место повороты сосуда, содержащего неоднородные среды. В работе [81] показано, что поступательные вибрации круговой поляризации подавляют развитие рэлеевской капиллярной неустойчивости жидкого столба жидкости. Непоступательность вибраций, как в изотермическом случае, так и в случае тепловой конвекции приводит к новым эффектам. Общая теория осредненных течений при наличии вибраций общего вида построена, как уже указывалось в [23], проведенные эксперименты [82−83] хорошо согласуются с теоретическими и численными расчетами, проведенными по схеме, предложенной в [23].

Неоднородность вибраций, а также наличие поверхности раздела (или свободной поверхности) при однородных вибрациях, приводят, как правило, к появлению медленных, осредненных течений. Впервые эффект генерации вихревого среднего течения колеблющимся в жидкости твердым телом описан в [84−85]. При высокочастотных вибрациях тела вблизи его поверхности возникает тонкий вязкий скин-слой Стокса. В этом слое, вследствие нелинейных эффектов, возникает, наряду с пульсационным движением, среднее течение вихревого характера, проникающее далеко за пределы стоксова слоя. Другой механизм формирования средних течений вибрациями, характерный для систем с поверхностью раздела жидкостей (или со свободной поверхностью жидкости) изучен Лонге-Хиггинсом и Доре [86−87] применительно к бегущей по поверхности волне. Поскольку вибрации, как правило, приводят к генерации волн на поверхности жидкости, то указанный механизм должен проявиться и в этом случае. Расчеты и эксперименты [88] показывают справедливость такого положения.

Высокочастотные вибрации, действуя на каплю или пузырек, взвешенные в среде другой плотности, не возбуждают, в большинстве случаев, резонансных колебаний, поскольку моды колебаний высокой частоты имеют мелкую структуру и эффективно подавляются вязкостью. Тем не менее, такие вибрации сильно влияют на поведение капли. В уже отмеченных работах [58−60], где рассматривается поведение капли в акустических полях, исследованы такие эффекты, как возникающие вследствие вибраций средние силы, действующие на каплю и изменение ее средней формы. При теоретическом описании указанных эффектов важную роль играет сжимаемость сред, характерная для акустических частот (эксперименты проводятся обычно в ультразвуковой части спектра). Влиянию вибраций акустической частоты на поведение эмульсий и взвесей посвящен цикл работ, обобщенных в уже упоминавшихся работах [4−5].

Что же касается вибраций неакустических частот, а также вибраций с поляризацией, отличающейся от линейной, вопрос об их осредненном влиянии на каплю (пузырек), взвешенную в жидкой матрице, изучен недостаточно.

В экспериментах Челомея [89] наблюдалось парадоксальное поведение твердого тела в контейнере с жидкостью, совершающем вертикальные вибрации высокой частоты: под действием вибраций всплывали тела с плотностью, превышающей плотность окружающей среды, и тонули тела, легкие по сравнению с жидкостью. Теоретическому объяснению эффекта посвящены работы [90−91]. В них показано, что при вибрациях сосуда с жидкостью, содержащей твердые включения, вследствие разной инерционности тел и жидкости, возникают пульсационные течения, которые приводят к появлению средней силы, действующей со стороны жидкости на тело. Было показано, что эти силы действуют на тела таким образом, что они притягиваются к ближайшей из стенок сосуда. В [92−93] проведен расчет сил взаимодействия между двумя телами, возникающих при указанных вибрациях сосуда. В цитированных работах рассматриваются тела с высокой степенью симметрии (сферы и цилиндры), поэтому не изучались осредненные моменты сил, которые, в принципе, могут возникать в вибрирующем сосуде.

Следует отметить еще теоретические и экспериментальные работы последнего времени [94−95], посвященные поведению твердых тел в жидкости при непоступательных (качательных) вибрациях.

Проведенный краткий обзор научной литературы, посвященной влиянию вибраций на поведение гидродинамических систем, показывает актуальность данной тематики, которая связана как с практическими приложениями, особенно в условиях микрогравитации, так и с общетеоретическим интересом. Из этого обзора следует также, что остается широкий спектр вопросов, требующих дальнейшего изучения.

В задаче о классической ряби Фарадея не до конца исследована роль дис-сипативных эффектов, особенно при наличии границы раздела сред. Не развита в полной мере нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн с последовательным учетом вязкости. Требует аналитического решения задача о подавлении неустойчивости Рэлея-Тейлора с помощью вертикальных вибраций. Не исследована устойчивость поверхности раздела сред при горизонтальных вибрациях с поляризацией отличной от линейной. Требует изучения поведение капли (пузыря), взвешенной в жидкости другой плотности при наличии вибрационного поля неакустической частоты. В этой задаче не изучены как резонансные явления, так и эффекты, появляющиеся при высокочастотных вибрациях. Не исследована вибрационная генерация осредненных течений вблизи поверхности раздела жидкостей. Представляет интерес, в связи с технологическими экспериментами в космосе, изучить влияние вибраций на устойчивость цилиндрической поверхности раздела сред. Не изучено ориентирующее действие вибраций на несимметричные твердые тела, взвешенные в жидкости, а также взаимодействие твердых включений при неоднородных вибрациях. Целью диссертационного исследования является изучение перечисленных вопросов и некоторых связанных с ними задач.

Содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе диссертации изучается влияние вертикальных вибраций на устойчивость плоской поверхности жидкости или поверхности раздела жидкостей. Рассматриваются вибрации с частотами сравнимыми с собственными частотами невысоких мод капиллярно-гравитационных волн, поэтому на первый план выходят резонансные эффекты.

В разделе 1.1 в линейной постановке изучается классическая задача Фа-радея для свободной поверхности вязкой жидкости. Для сосуда, глубина которого велика по сравнению с длиной возбуждаемых волн, получено эволюционное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее амплитуду отклонения поверхности от равновесного положения. Это уравнение замкнуто, в том смысле, что не содержит частных производных и включает в себя функцию только времени. Анализ этого уравнения позволяет получить уточненное значение порога возбуждения и волновое число ряби Фарадея.

Здесь же эта задача решена для поверхности раздела жидкостей со сравнимыми вязкостями и плотностями. Показано, что наличие второй среды сильно влияет на условия возникновения параметрических волн. Конечная вязкость и плотность второй, более легкой жидкости приводит к заметному сдвигу резонансной длины волны, а также сильно поднимает порог возбуждения ряби. Уже для поверхности раздела таких разных по плотности сред, как вода и воздух, учет конечных плотности и вязкости воздуха приводит к увеличению порога возбуждения параметрических волн на 8−10% по сравнению со случаем свободной поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

По результатам диссертации можно сделать следующие выводы:

1. При вычислении порога возбуждения параметрических волн необходимо корректно учитывать вязкость жидкости;

2. Значительное влияние на порог возбуждения ряби Фарадея имеет вязкость и плотность легкой жидкости, даже если они намного меньше соответствующих параметров тяжелой жидкости;

3. Корректная нелинейная теория параметрически возбуждаемых волн может быть построена только при последовательном учете вязкости, в противном случае возникают трудности, связанные с коротковолновой неустойчивостью решений;

4. Вибрационный и термокапиллярный механизмы возбуждения поверхностных волн сильно и несимметричным образом взаимодействуют между собой, эффект Марангони приводит к немонотонному изменению порогового значения вибраций;

5. Вблизи критического состояния необходим сравнительно высокий уровень вибраций, необходимый для возбуждения волн на межфазной поверхности, связано это с тем, что в этом состоянии велик уровень диссипации и мала разность плотностей фаз;

6. При возбуждении параметрического резонанса критическая амплитуда скорости вибраций (именно этим параметром определяется подводимая от вибратора мощность) растет с частотой вибраций и, следовательно, при высокочастотных вибрациях резонансные явления затруднены высоким уровнем диссипации;

7. Для вибраций высокой частоты особо большое значение имеют осредненные эффекты. Так вертикальные вибрации приводят к дополнительной упругости поверхности раздела сред и могут, таким образом, предотвратить развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора.

8. Аналогичный эффект оказывают на поверхность раздела поляризующихся сред вращающиеся в горизонтальной плоскости электрические и магнитные поля, для магнитного поля этот эффект имеет место и в случае проводящей жидкости;

9. Горизонтальные поступательные вибрации высокой частоты сильно влияют на устойчивость поверхности раздела сред, в отличие от вертикальных вибраций их влияние носит дестабилизирующий характер. При достаточно высоком уровне вибраций, поляризованных по кругу, плоская поверхность раздела становится неустойчивой и на ней возникает практически неподвижный рельеф в виде гексагональных ячеек для слоев большой толщины и длинноволнового неподвижного солитона при тонких жидких слоях.

10. Вибрации не только влияют на форму поверхности раздела сред, но и генерируют осредненные течения, их основной источник — тонкий стоксов слой вблизи поверхности раздела сред;

11 .Вертикальные вибрации, имеющие вид высокочастотного дублета, приводят к совместному эффекту: высокочастотная составляющая придает дополнительную упругость поверхности жидкости, в то время как комбинационная частота, равная разности частот дублета, приводит к возбуждению параметрического резонанса;

12.Своеобразный вид имеет параметрический резонанс для жидкой капли, взвешенной в жидкой же матрице другой плотности, здесь одновременно возбуждаются две соседние моды собственных колебаний с периодической передачей энергии от одной моды к другой,.

13.В рассматриваемом случае влияние вязкости носит несколько парадоксальный характер, учет вязкости приводит, как щ следовало ожидать, к конечному порогу возбуждения резонанса, но при этом уширяет зону неустойчивости — колебания возбуждаются при значении параметров, для которых невозможен резонанс в идеальной жидкости;

14.При воздействии на каплю высокочастотного дублета картина резонанса резко меняется: на комбинационной частоте возбуждается только нижняя мода собственных колебаний, соответствующая ее форме в виде эллипсоида вращения;

15. При высокочастотных вибрациях резонанс подавлен, но влияние вибраций проявляется в изменении формы капли, она приобретает форму эллипсоида вращения, сплюснутого в направлении вибраций, его эксцентриситет растет по мере роста уровня вибраций. Вибрации, поляризованные по кругу, придают капле форму вытянутого эллипсоида вращения, его большая полуось перпендикулярна плоскости вибраций;

16.Осевые вибрации цилиндрической жидкой зоны делают ее поверхность неустойчивой, даже если развитие капиллярной неустойчивости подавлено центробежными силами, на поверхности пороговым образом возникает стационарный волновой рельеф;

17.В вибрационном поле возникают средние силы и моменты сил, действующие на твердое тело со стороны жидкой матрицы, в которой оно взвешено, они не только притягивают тела к стенке сосуда, но оказывают на них ориентирующее действие, разворачивая несимметричные тела так, чтобы их широкая сторона была перпендикулярна направлению вибраций;

18. Твердые тела взаимодействуют между собой в вибрационном поле, силы быстро убывают с ростом расстояния между телами, вибрации и здесь стремятся оказать ориентирующее действие, например, круговые цилиндры выстраиваются так, чтобы линия, соединяющая их оси, была перпендикулярна направлению вибраций, эффект взаимодействие тел имеет место и в случае неоднородных вибраций;

19.При неоднородных вибрациях на каплю, взвешенную в жидкости другой плотности, действуют средние силы даже вдали от стенок сосуда, при этом ее форма имеет более сложный вид, чем при однородных поступательных вибрациях.

Полученные результаты свидетельствуют о сильном и разнообразном влиянии вибраций на неоднородные гидродинамические системы. Учет этого влияния необходим там, где вибрации возникают неконтролируемым образом. С другой стороны из приведенных результатов видно, что контролируемые вибрации мргут эффективно использоваться для управления устойчивостью гидродинамических систем.

Автор благодарен своим соавторам и другим коллегам, как теоретикам, сотрудничество с которыми принесло ему неоценимую пользу, так и экспериментаторам, чьи результаты служили ему вдохновляющей поддержкой при проведении исследований.