Исследование напряженно-деформированного состояния упругих тел методом малого параметра

Описывая поведение реального объекта, исследователи вынуждены переходить от самого объекта к его идеализированной модели со среднестатистическими свойствами и к модели внешних воздействий.

Почти всякая идеализация в значительной степени сводится к пренебрежению некоторыми величинами с целью «упрощения задачи». Полученное решение приближенно описывает поведение рассматриваемого реального объекта, и часто возникает необходимость получения более точного решения. Для этого нужно учитывать различного рода несовершенства (понятие несовершенства конкретизируется в каждой задаче) изучаемого объекта и характеристики, более точно описывающие внешнее воздействие. При решении подобных задач исследователи вынуждены пользоваться различного рода приближенными методами.

Наиболее часто используется метод малого параметра или метод возмущений. С помощью этого метода исходная задача сводится к последовательному решению более простых линейных задач, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику.

Метод малого параметра берет свое начало от работ Пуанкаре [73,92,93], давшего ряд приближенных решений задачи о трех телах в небесной механике. В своей известной книге [73] он предложил метод разыскания периодического решения системы уравнений первого порядка. За девять лет до появления этой работы та же идея была развита русским академиком А. Линдстедтом [55] ив дальнейшем теоретически обоснована A.M. Ляпуновым в его монографии [56].

Метод малого параметра нашел широкое применение в гидродинамике. Так Лайтхилл и Уитэм [90,95] сделали важное обобщение метода Пуанкаре, полученный метод в дальнейшем стали называть методом возмущения координат. Го [89] показал, что пригодное решение может быть получено только при помощи решений типа «пограничного слоя». Важное обобщение этого метода было дано Линь Цзя-Цзяо [91] для гиперболических уравнений в случае двух переменных. Обзор в этой области был дан в монографии Ван-Дайка [20].

В теории нелинейных колебаний следует выделить работы Малки-на, Каменкова и др. [57,44]. Метод, разработанный Малкиным, позволяет обнаружить периодические решения в тех случаях, когда при помощи квазилинейной теории этого сделать не удается. Ван-дер-Поль открыл качественно новый подход к изучению колебательных движений [94]. В последующие годы Крылов, Боголюбов, Митропольский, Зубарев и др. предложили и развили метод, который получил широкое применение в различных областях инженерной практики и физики.

Значительно продвинулось изучение вращательных движений, теории резонансных явлений. Из числа авторов, внесших существенный вклад в эту область, прежде всего, следует упомянуть В. М. Волосова, Б. П. Моргунова, Ф. Л. Черноусько.

Метод возмущений нашел широкое применение в механике сплошных сред, что отражено в монографии Д. Д. Ивлева и Л. В. Ершова [40].

Среди работ по применению метода малого параметра в теории упругости следует отметить работы А. Н. Гузя и его сотрудников [31−35]. Г. Краудерер [45] предложил при помощи метода малого параметра учитывать физическую нелинейность упругого материала. Эти представления были использованы В. А. Жалниным в [38]. Дальнейшее развитие они получили в работах Л. А. Цурпала [84].

Метод малого параметра также нашел применение в теории упру-гопластических сред.

Одна из первых работ, выполненных по непосредственному приложению метода малого параметра к решению упругопластических задач, принадлежит А. П. Соколову [78]. Он определил в первом приближении двуосное напряженное состояние тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

Онат и Прагер [68] впервые дали решение задачи жесткопластиче-ского анализа, основанное на полной линеаризации уравнений для напряжений и скоростей перемещений.

A.A. Ильюшин [42] исследовал течение вязкопластической полосы при малых возмущениях границы в лагранжевых координатах. Позднее А. Ю. Ишлинский [43] выполнил аналогичное исследование в эйлеровых координатах.

Д.Д. Ивлевым был выполнен ряд исследований по определению уп-ругопластического состояния тел методом малого параметра [40,41].

JI.M. Качанов [46] рассмотрел кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разностенных труб.

Б.А. Друянов [36] при помощи метода малого параметра учел неоднородность пластического материала. Свойства пластического материала характеризуют малый параметр в работах JI.A. Толоконникова и его сотрудников [82].

Исследованию ряда задач по упругопластическому деформированию плоских и осесимметричных тел посвящены работы М. А. Артемова [5−9], С. А. Вульман [22−25], Т. Д. Семыкиной [26,27,77], В. В. Кузнецова [53], Ю. М. Марушкей [58], Савина Г. И. [75,76].

Используя при решении задач методом малого параметра, мы сталкиваемся с одной из наиболее сложных проблем — линеаризация граничных условий.

Были предложены различные пути решения. Вопрос линеаризации граничных условий весьма подробно рассмотрен в работах Л.С. Лейбен-зона [54], А. Ю. Ишлинского [43], Д. Д. Ивлева [40].

При решении упругопластических задач возникает проблема нахождения границы, разделяющей упругую и пластическую области.

Д.Д. Ивлев и Л. В. Ершов [40] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее.

Г. И. Быковцев и Ю. Д. Цветков [18,19] предложили модификацию метода малого параметра, когда пластическое течение начинается с некоторой точки граничного контура. Используя схему Быковцева-Цветкова, Б. Г. Зебриков [39] рассмотрел задачу о развитии пластической зоны при нагружении эллиптической трубы.

Б.Д. Аннин и Г. П. Черепанов дали решение задачи о всестороннем растяжении плоскости с отверстием [4,86]. При этом, в отличие от схемы Ивлева-Ершова, решение в упругой области определялось методами теории функции комплексного переменного.

Метод возмущений нашел широкое применение в решении трехмерных задач устойчивости для материалов с упругопластическими и сложными реологическими свойствами. В обзорных статьях и монографиях А. Н. Спорыхина, А. Н. Гузя, М. Т. Алимжанова [79,30,32,1−3] отражено развитие метода возмущений в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел.

Для метода малого параметра важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи. Например, Д. Д. Ивлев в книге [40] писал, что «фундаментальное значение для метода малого параметра имеет вопрос о сходимости приближений».

В некоторых частных случаях этот вопрос анализировался. Венд-том, а еще ранее в работах М. В. Келдыша и Ф. И. Франкля [48], была показана сходимость рядов, полученных при помощи М2-разложения при чисто дозвуковом течении.

Пуанкаре [73] показал, что для уравнения второго порядка, описывающего периодические колебания, когда малый параметр входит в правую часть, что при условии аналитичности правой части метод малого параметра будет сходящимся. Представление решений в виде рядов по степеням малого параметра опирается на теорему Пуанкаре [73] о сходимости этих рядов при достаточно малых значениях параметра. Работа Г. В. Каменкова [44] содержит результаты, которые могут оказаться полезными при проведении исследовании сходимости таких рядов.

Для квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности С. Н. Шимановым [87,88] и И. Г. Малкиным [57] разработан способ построения периодических решений при помощи последовательных приближений в случае нескольких степеней свободы, и доказана сходимость этих приближений к искомому периодическому решению, указаны условия существования такого решения в случае резонанса.

Сходимость метода малого параметра проиллюстрирована в [40] путем сравнения точных решений с приближенными. Точные решения в напряжениях для двуосного растяжения толстой и тонкой пластины с круговым отверстием получены Л. А. Галиным [28] и Г. П. Черепановым [86].

Из анализа работ следует, что при исследовании напряженно-деформированного состояния упругого тела методом малого параметра вопрос об оценке погрешности метода рассматривался только в некоторых частных случаях или путем сравнения с известными точными решениями. Идея нахождения решения путем разложения по двум и более малым параметрам применялась при исследовании колебаний квазилинейных систем [72]. В данной работе идея разложения решения по двум малым параметрам применяется при нахождении решения, описывающего напряженно-деформированное состояние твердых тел.

Настоящая работа посвящена нахождению приближённого решения задач методом малого параметра при исследовании напряжённо-деформированного состояния упругих тел и оценке погрешности полученного решения. Предложенный метод базируется на идее о разложении всех функций по малым параметрам, если таковые входят в математическую модель рассматриваемого процесса.

Работа содержит исследования изгиба стержней, упругой прямоугольной пластины и исследование напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругой трубы.

Актуальность темы

Повышение требований к теоретическому предсказанию точности расчетов, необходимость предсказания поведения конструкций при внешних воздействиях требуют разработки более сложных математических моделей, которые с достаточной точностью могут описать рассматриваемые процессы и явления. В этой связи возникает необходимость разработки методов, позволяющих проводить расчеты по этим моделям. При решении подобного рода задач часто используется метод малого параметра. Возможность вычисления решения задачи, описывающей поведение деформируемого тела, с оценкой погрешности имеет важное практическое значение. Это позволяет дать более точную оценку полученного решения, получить аналитическое решение с заданной точностью. В настоящее время имеются достаточные средства вычислительной техники для численного решения задач, однако, приближенные методы не теряют при этом своей важности. Они позволяют давать решения в виде сравнительно простых аналитических выражений и дают качественную оценку напряженно-деформированного состояния.

Цель работы. Развитие приближенного метода исследования напряженно-деформированного состояния твердых тел с оценкой погрешности полученного результата. Определение напряженно-деформированного состояния стержней, пластины и толстостенной трубы из нелинейно-упругого материала.

Научная новизна состоит в том, что получен применимый на практике критерий непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения от функций, входящих в это уравнение и граничные условияпроведено исследование напряженно-деформированного состояния упругого консольного стержня с учетом начальных несовершенств (отличие границы исследуемого тела от некоторой канонической формы [33] и физическая неоднородность материала тела) при чистом изгибена основе сформулированного критерия получена граница сходимости метода малого параметра в пространстве внешних воздействийрешение рассматриваемых задач механики сплошных сред ищется в виде степенных рядов по двум параметрампроведена оценка погрешности, найденного решения, которая совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлораполучены приближенные решения, описывающие изгибы стержней и пластины, а также напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений, с учетом несовершенств и дана оценка найденных решений.

Практическое значение. Более точное решение, полученное методом малого параметра, позволяет оценить учет влияния различного рода нелинейностей и несовершенств при исследовании напряженно-деформированного состояния одномерных и пространственных тел с оценкой погрешности. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения и анализа решения задач различных отраслей техники.

Достоверность. Полученный критерий непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения от функции является следствием частного случая известной классической теоремы функционального анализа [49].

Достоверность полученных автором результатов подтверждается апробированностью используемых моделей механики сплошных сред и сопоставлением этих результатов с уже известными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999; на 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999; на Воронежской весенней математической школе, 1999; на 7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; на международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в одиннадцати научных публикациях [10,11,13−15,29,50,51,60−62].

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 95 наименований. Работа содержит 92 страницы машинописного текста, включая 9 рисунков.

Заключение

.

На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

1. Решения, полученные на основе математических моделей, соответствующих деформируемому телу с каноническими и неканоническими границами, будут мало отличаться друг от друга при любых внешних воздействиях, если в этих моделях учтена только физическая нелинейность.

2. Изогнутая ось упругого консольного стержня, нагруженного сосредоточенным моментом на свободном конце, по форме мало отличается от дуги окружности при любом значении момента, если в свободном состоянии стержень мало отличается от однородного прямолинейного стержня постоянного сечения.

3. Т.к. в рамках области сходимости метода малого параметра разложение по параметрам совпадает с рядом Тейлора, то это позволило сделать оценку погрешности, которая совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.

4. Отличия напряженно-деформированных состояний рассмотренных неидеальных стержней и пластины от напряженно-деформированных состояний идеальных при продольно-поперечном изгибе характеризуются величинами того же порядка малости, что и величины, характеризующие начальные несовершенства, если точка, соответствующая параметрам нагрузок не выходит за область сходимости метода малого параметра.

5. Отличие напряженно-деформированного состояния неиделальной нелинейно-упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействи.

83 ем внутреннего и внешнего давлений, от осесимметричного характеризуется величинами того же порядка малости, что и величины, характеризующие начальные несовершенства, если точка, определяемая параметрами нагрузок, не выходит за область сходимости метода малого параметра.

6. Получено, что при исследовании напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы граница области сходимости метода малого параметра совпадает с границей области существования осесимметричного состояния трубы.