Вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения

1. В настоящей диссертации изучается разрешимость и гладкость сильных решений второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным. Изучается вопрос описания пространства начальных данных этих задач, а также их связь с проблемой Т. Като.

Основы общей теории краевых задач для эллиптических функциоиаль-но-дифференциальных уравнений были созданы в работах A. JT. Скуба-чевского. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гордиига, исследованы вопросы однозначной, фред-гольмовой и нетеровой разрешимости в пространствах С. J1. Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Наиболее полное изложение теории эллиптических краевых задач для диф-ференциалыю-разностпых уравнений и обширную библиографию можно найти в [35].

Параболические функционально-дифференциальные уравнения с запаздываниями по времени изучались многими авторами, см. [26], [22], [29], [37], [39]. Наиболее общий случай таких уравнений, содержащих переменные запаздывания в старших производных, рассматривался в работах В. В. Власова [1], [2].

Первая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным рассматривалась в работах Р. В. Шамина и A. JI. Скубачевского [14], [36].

В [36] рассматривалось пространство начальных данных первой краевой задачи для параболических дифференциально-разностных уравнений, т. е. пространство начальных функций, для которых существует сильное решение рассматриваемой задачи. Задача о пространстве начальных данных тесно связана с известной проблемой Т. Като о корне квадратном из оператора [4]: совпадают ли V{A}-I2) с V (A*1²) для га-секто-риального оператора? В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный (Ж.-JI. Лионе [24], А. Макинтош [27], [28]). П. Аушером, С. Хофма-ном, А. Макинтошем и П. Чамичаном проблема Т. Като была решена для сильно эллиптических дифференциальных операторов и систем с ограниченными измеримыми коэффициентами [19]. В работах П. Ау-шера и П. Чамичана [20] и А. Аксельсона, С. Кейт и А. Макинтоша [21] эти результаты были перенесены на случай ограниченных областей с липшицевой границей. В работе Р. В. Шамина [17] дано явное описание пространства начальных данных первой краевой задачи для параболических функционально-дифференциальных операторов, обобщающее результаты [36], а также выделен широкий класс сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. Интересно отметить, что аналогичные функционально-дифференциальные уравнения в одномерном случае рассматривались Т. Като и Дж. Мак Леодом [25].

2. В диссертации впервые рассмотрены вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения со сдвигами по пространственным переменным в старших производных. В отличие от параболических дифференциальных уравнений, эти уравнения обладают рядом принципиально новых свойств. Например, гладкость обобщенных решений может нарушаться внутри цилиндрической области даже при бесконечно гладкой правой части уравнения. Для таких уравнений доказана однозначная разрешимость и исследована гладкость сильных решений. При этом доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а при п > 1 еще и на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала. Приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей.

При исследовании гладкости сильных решений впервые были рассмотрены вторая и третья краевые задачи для сильно эллиптического дифференциально-разостного уравнения в одномерном случае, показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в рассматриваемой области, но сохраняется в прямоугольных подобластях. Этот результат позволил в одномерном случае явно описать пространство начальных данных второй и третьей краевых задач для параболического дифференциально-разностного уравнения и получить новый класс операторов, удовлетворяющих гипотезе Т. Като. При этом новым является подход, использующий комплексный вариант интерполяции гильбертовых пространств. В многомерном случае при дополнительных предположениях получено явное описание области определения оператора, соответствующего задаче.

Описание пространства начальных данных опирается как на работы A. J1. Скубачевского и Р. В. Шамина [36], Р. Сили [31] и П. Гривара [23]. В диссертации также используются методы, основанные на теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений A. JI. Скубачев-ский [35], A. J1. Скубачевский и Е. JI. Цветков [13], Е. JI. Цветков [16]. Проверка гипотезы Т. Като опирается на работу Р. В. Шамина [17].

3. Вторая краевая задача для параболических функционально-дифференциальных уравнений возникает в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью. Квазилинейные параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи (М. А. Воронцов [38]). Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.

Математическая модель указанной системы описывается бифуркацией периодических решений квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения с преобразованием пространственных переменных. В работе А. В. Разгулина [30] эта задача рассматривалась в случае, когда область Q — круг или кольцо, а преобразование — вращение на некоторый угол. Случай произвольной области и произвольного преобразования изучался в работах A. JI. Скубачевского [12], [34].

4. Диссертация состоит из трех глав и введения. В первой главе рассматривается вторая и третья краевые задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в одномерном случае:

Щ — (R2QUx)x + Rqux + Rqqu = f (x, t) ((x, t) G QT) (1).

— R2Qux + au) |x=0 = 0- (R2Qux + 0u) x=d = 0 (0 < t < T) — (2) u|<=0 =.

< T < oo, / G L2(Qt), v € ?2(0, d) — си, /3 > 0. Разностные операторы определяются следующим образом. Обозначим через /д: 2/2(0, с?) ^(М) оператор продолжения функций нулем вне интервала (0, d), Pq: ^(М) ^(0, d) — оператор сужения функций на интервал (0, d). Тогда Riq = PqR{Iq (i = 0, 1, 2), iV JV r.2u)(x) = aku (x + k) — (ж) = ^ + k=—N k=-N N.

Rqu)(x)= Cku (x + k). k=-N.

Здесь ajfc, — комплексные числа, a iV такое, что d — N+в, 0 < в < 1.

В разделе 1.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, выраженные через коэффициенты уравнения (1), попутно приводятся необходимые для изложения сведения из теории разностных операторов.

В разделе 1.2 дается определение слабого решения задачи (1) — (3) с помощью операторного уравнения вида щЛи = / с начальным условием ut=0 = ср.

Кроме того, приводится определение слабого решения в смысле интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений, а также существование и единственность слабого решения задачи (1)-(3).

В разделе 1.3 изучается вопрос сохранения гладкости решений по времени (так называемые сильные решения). Аналогично работе [36] доказывается, что сильные решения существуют тогда и только тогда, когда ip принадлежит интерполяционному пространству D (A), b2(Q)]i/2> гДе, А — m-секториальный оператор, соответствующий задаче (1) — (3).

В разделе 1.4 приведен пример, когда гладкость сильных решений задачи (1) — (3) может нарушаться внутри интервала Q. С другой стороны, доказывается, что гладкость сохраняется в подобластях Qsi х (О, Т). Если 9 = 1, то Qu = Q2i = (/ - 1, 1) {I = 1, ., N + 1). Если 9 < 1, то Qu = {l-l, I-1 + 9) {I = 1, ., N + l), Q21 = (1−1 + 9, l)(l = 1, ., N).

В разделе 1.5 приводятся критерии сохранения гладкости сильных решений на границах соседних прямоугольных подобластей Qsi х (О, Т). Приводятся примеры, как на сохранение, так и на нарушение гладкости.

В разделе 1.6 доказывается, что [D (A), ?2(Q)]i/2 — W^Q), где через W^(Q) обозначено пространство Соболева комплекснозначных функций из L/2(Q), имеющих обобщенные производные из L2(Q). Доказательство использует комплексный вариант интерполяции граничных условий, применявшийся в работах Сил и [31] и Гривара [23]. Доказывается справедливость гипотезы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с краевыми условиями второго и третьего рода.

Вторая глава посвящена второй краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения в многомерном случае. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение п п ui ~ XI (RijQUxj)xi + X RiQUx' + R°Qu = Е (4) i, j=1 г=1 с краевым условием п.

RijQUXj cos (v, Xi) = 0 ((X, t) е Тт) i, j=1.

5) и начальным условием ut=o = ср (х) (х е Q).

6) где Q С Мп — ограниченная область с границей dQ = иМг- (г = 1,., 7Vo)> г п > 2. Здесь Mi — (п — 1)-мерные многообразия класса С00 открытые и связные в топологии 9Q. Предположим, что в окрестности каждой точки х 6 К = dQ UMi область Q удовлетворяет условию конуса.

QT = Q х (О, Т), 0 < Т < оо, Гг = (dQ К) х (О, Т), г/ - единичный вектор внешней нормали к Гг, /? L, 2(Qt), а ^ 6 ^(Q) — Разностные операторы RijQ, RiQ определяются следующим образом. Обозначим через Iq: LiiQ) L2(ln) оператор продолжения функций нулем вне области Q, Pq: L2(Rn) -> I/2(Q) ~ оператор сужения функций на Q. Тогда RijQ = PQRijIQ, RIQ ~ PqRJQ,.

Здесь ciijh, dih — комплексные числа, множество М состоит из конечного числа векторов с целочисленными координатами.

В разделе 2.1 приводится постановка задачи, формулируется условие сильной эллиптичности и даются необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности, попутно приводятся необходимые для изложения сведения о разностных операторах.

В разделе 2.2 доказывается существование и единственность слабого решения задачи (4) — (6) путем ее сведения к абстрактному операторному уравнению. Приводится также определение слабого решения в смысле.

Riju)(x) = aijhu (x + h) (г, j = 1, ., п) heM.

Riu)(x) = aihu (x + h) (г = 0, 1, ., п). heM интегрального тождества. Доказывается эквивалентность этих определений.

В разделе 2.3 рассматриваются сильные решения задачи. Аналогично одномерному случаю показано, что оператор, соответствующий эллиптической части уравнения, является генератором аналитической полугруппы. Методами теории полугрупп доказана однозначная сильная разрешимость задачи.

В разделе 2.4 приведены примеры, когда гладкость сильных решений второй краевой задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения может нарушаться внутри цилиндра Qt, как на границе некоторых цилиндрических подобластей, так и в окрестности некоторых (п — 1)-мерных гиперплоскостей. Доказывается, что гладкость сохраняется в некоторых цилиндрических подобластях и может нарушаться на границах соседних цилиндрических подобластей, а также на цилиндрических множествах, мера которых сколь угодно мала.

В разделе 2.5 приводится критерий сохранения гладкости сильных решений на границах соседних цилиндрических подобластей. Приводятся примеры, как на сохранение, так и на нарушение гладкости. В частности, построены примеры сохранения гладкости в подобластях вплоть до их границ, а также примеры сохранения гладкости во всей области.

В разделе 2.6 аналогично работе Р. В. Шамина и A. JI. Скубачев-ского [36] при предположении сохранения гладкости решений в подобластях, конечного числа подобластей и их липшицевости доказывается, что [D (A), Li{Q)]i2 С W^iQ), где Л — m-секториальный оператор в Z/2(Q), соответствующий сильно эллиптическому дифференциально-разностному уравнению с краевыми условиями второго рода. Вопрос о справедливости обратного вложения W^Q) С [Т>(А), -^2(Q)]i/2 остается открытым. Решение его эквивалентно положительному решению проблемы Т. Като для сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, определенных на функциях, удовлетворяющих краевым условиям второго рода, в многомерных областях.

Третья глава посвящена третьей краевой задаче для параболического дифференциально-разностного уравнения. Рассматривается дифференциально-разностное уравнение п п.

— (RiiQUxi)xi + RiQUxi + R°Qu = 6 W (7).

ZJ=1 г=1 с краевым условием п.

RijQUXj cos (u, Xi) + а (х)и = 0 ((x, t) e Гт) (8) i, j=1 и начальным условием u|t=o =.

< a G C (<9Q), остальные обозначения введены выше.

Результаты и структура третьей главы аналогичны результатам и структуре второй главы.

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7] - [11], [32], [33]. Результаты диссертации излагались на IV Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2005 г.), XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2006 г.), III Международной конференции «Математические идеи П. Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания» (Обнинск, Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2006 г.), Всеукраинской научной конференции молодых ученых и студентов по дифференциальным уравнениям и их приложениям, посвященной 100-летию Я. Б. Лопатинского (Донецк, Донецкий национальный университет, 2006) — на семинаре в Московском энергетическом институте под руководством Ю. А. Дубинского, семинаре кафедры общей математики факультета ВМиК МГУ под руководством академика РАН Е. И. Моисеева и И. С. Ломова, на семинаре в Московском государственном университете путей сообщения под руководством А. Д. Мышкиса, на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством В. А. Кондратьева, на семинаре в Российском университете дружбы народов под руководством A. JI. Скубачевского, на научном семинаре в Московском авиационном институте, посвященном 80-летию Г. А. Каменского.

1. Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 1995, т. 186, № 8, 67−92.

2. Власов В. В. О разрешимости и оценках решений функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева. — Труды Математического института РАН, 1999, т. 227, 109−121.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: МИР, 1966.

4. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: МИР, 1972.

5. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: МИР, 1971.

6. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

7. Селицкий А. М. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — Современная математика. Фундаментальные направления, 2007, т. 21, 114−132.

8. Селицкий А. М., Скубачевский A. JI. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. — УМН, 2007, т. 62, вып. 1, 207−208.

9. Скубачевский A. J1. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения. — Дифференциальные уравнения, 1998, т. 34, № 10, 1394−1401.

10. Скубачевский A. JL, Цветков Е. JI. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциально-разностных уравнений. — Дифференциальные уравнения, 1989, т. 25, № 10, 1766−1776.

11. Скубачевский A. JL, Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения. Математические заметки, 1999, т. 66, вып. 1, 145−153.

12. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: МИР, 1980.

13. Цветков Е. JI. Разрешимость и спектр третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения. — Математические заметки, 1992, т. 51, вып. 6, 107−114.

14. Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. — Математический сборник, 2003, т. 194, № 9, 141−156.

15. Ashyralyev A., Sobolevskii P. Е. Well-posedness of parabolic difference equations. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1994.

16. Auscher P., Hofmann S., Mclntosch A., Tchamitchian P. The Kato square root problem for higher order elliptic operators and systems on Жп. — J. Evolution Equations, 2001, vol. 1, 361−385.

17. Auscher P., Tchamitchian P. Square roots of elliptic second order divergence operators on strongly Lipschitz domains: L2 theory. — J. Anal. Math., 2003, vol. 90, 1−12.

18. Axelsson A., Keith S., Mcintosh A., The Kato square root problem for mixed boundary value problems. — J. London Math. Soc., 2006, vol. 74, № 2, 113−130.

19. Di Blasio G., Kunisch K., Sinestrari E. L2-regularity for parabolic partial integrodifferential equations with delay in the highest-order derivatives. J. Math. Anal. Appl., 1984, vol. 102, № 1, 38−57.

20. Grisvard P. Equations differentielles abstrites. — Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4e ser., 1969, 2, 311−395.

21. Lions J. L. Espaces d’interpolation et domaines de puissances fractionnaires d’operateurs. — J. Math. Soc. Japan., 1962, v. 14, № 2, 233−241.

22. Kato Т., Mc Leod J. B. The functional differential equation. — Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v. 77, 891−937.

23. Kunisch K., Shappacher W. Necessary conditions for partial differential equations with delay to generate Co-semigroup. — J. Differ. Equat., 1983, v. 50, № 1, 49−79.

24. Mcintosh A. On the comparability of A1!2 and A*½. Proc. Amer. Math. Soc., 1972, v. 32, 430−434.

25. Mcintosh A. Square roots of elliptic operators. — J. Func. Anal., 1985, v. 61, 307−327.

26. Nakagiri S. Structural properties of functional differential equations in Banach spaces. — Osaka J. Math., 1988, v. 85, 353−398.

27. Razgulin A. V. Rotational multi-petal waves in optical system with 2-D feedback. Chaos in Optics, Proceedings SPIE, 1993, v. 2039, 342−352.

28. Seeley R. Interpolation in LP with boundary conditions. — Studia Math., 1972, v. 44, 47−60.

29. Selitskii A. M. The second mixed problem for parabolic differential-difference equation. — Abstracts of the 4th Int. Conf. in Differ, and Funct. Differ. Equations, Moscow, 2005, 70−71.

30. Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics. — Nonlinear Anal., 1998, v. 32, № 2, 261−278.

31. Skubachevskii A. L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. Basel-Boston-Berlin: Birkhauser, 1997.

32. Skubachevskii A. L., Shamin R. V. The mixed boundary value problem for parabolic differential-difference equation. — Functional Differential Equations, 2001, v. 8, 407−424.¦ r107.

33. Staffans 0. Some well-posed functional equations which generate semigroups. J. Differ. Equat., 1985, v. 58, № 2, 157−191.

34. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation. Chaos, Solitons, and Fractals, 1994, v. 4, № 8−9, 1701−1716.

35. Wu J. Semigroup and integral form of a class of partial differential equations with infinite delay. — Differ. Integr. Equat., 1991, v. 4, № 6, 1325−1351.