Конструктивное исследование асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами

Детальное описание и исследование различных явлений окружающего мира в разных областях современной физики, биологии, экономики, медицины, экологии и других наук зачастую требует учитывать предысторию изучаемого процесса, а в некоторых случаях и состояние процесса в будущем. Математические модели для изучения задач, возникающих при исследовании этих процессов, как правило, описываются функционально — дифференциальными уравнениями (ФДУ). Функционально-дифференциальное уравнение является математической моделью, позволяющей учитывать многие специфические свойства, характеризующие реальную прикладную задачу.

При решении конкретных задач, возникающих в приложениях, применяя компьютерные методы численного анализа, мы часто убеждаемся в том, что теоретические критерии разрешимости оказываются неэффективными (трудно проверяемыми), а имеющееся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях. Сказанное приводит к мысли о попытке использования при проверке критериев возможностей современных вычислительных средств. К сожалению, при этом не удается ограничиться традиционными численными методами и алгоритмами, которые не могут гарантировать достоверность полученного результата. Недостатки традиционных численных методов и их программных реализаций приводят к постановке принципиального вопроса о возможности эффективного исследования конкретных задач с помощью методов, ориентированных на получение гарантированного результата и основанных на фундаментальных положениях общей теории и использовании возможностей современных вычислительных систем. Назовем такие методы конструктивными (методами доказательных вычислений) (computer-assisted methods). При этом необходимо отметить, что основное назначение этих методов — достоверное установление факта разрешимости задачи с помощью доказательных вычислений, и в случае разрешимости — построение приближенного решения с гарантированной оценкой погрешности. Важно отметить, что при решении задачи традиционными численными методами невозможно получать достоверные оценки точности полученного решения. При конструктивном исследовании вместе с полученным результатом удается построить гарантированные апостериорные (a posteriori) оценки качества полученного результата.

В нашей работе при конструктивном исследовании существенную роль как в установлении разрешимости исследуемой задачи, так и в построении гарантированных апостериорных оценок играет матрица Коши линейного функционально-дифференциального уравнения [1]. Наш подход, использующий матрицу Коши, позволяет, в частности, существенно улучшить точность апостериорных оценок (см. пример 1 § 1.1 и примеры 1.7.1, 1.7.2).

Задача о конструктивном исследовании различных классов операторных уравнений и сопутствующая ей задача о построении приближенного решения с гарантированной точностью является актуальной и привлекает внимание многих исследователей [74, 47, 48, 53, 51, 60, 50, 39, 63, 64, 65]. Первое систематическое изложение теоретических результатов и практического опыта «компьютерного» исследования указанных моделей можно найти в монографии [51]. В ней, с той или иной степенью подробности рассмотрены классы задачи в следующих основных направлениях исследований:

1. исследование задачи Коши (Initial Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

2. исследование краевых задач (Boundary Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

3. исследование интегральных уравнений;

4. исследование операторных уравнений.

Представленные в ней результаты базируются на интервальных вычислениях в конечномерных и функциональных пространствах и специальных методах округления при выполнении вычислительных процедур реальным компьютером.

Остановимся кратко на известных нам работах в указанных направлениях.

1. Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям проблема о построении решения задачи Коши с достоверной оценкой погрешности рассматривалась различными исследователями (см. [54, 56, 59,.

57]), в частности, в работе [72] автор изучает следующую начальную задачу: x (t) = f (t, x), x (to) = х0eDCK n.

0.1) где / - гладкая функция в [i, Q, T]xD, Т > tQ^R. В этой работе обсуждаются три основных метода, используемых для доказательства нелокальной разрешимости задачи Коши и для построения гарантированных оценок, а также трудности, возникающие при их компьютерной реализации: метод итераций (Picard-Lindelof iteration) — метод дифференциальных неравенств (differential inequalities) — метод разложения в ряд Тэйлора (Taylor expansion).

Заметим, что последний метод лежит в основе наиболее часто используемой программы AWA (AnfangsWertAufgabe), разработанной Р. Лохнером [58, 60, 53].

В работах [48, 47, 49] Б. С. Добронец изучает задачу где xeRn, x0eRn, параметр keRm и /¿-еС"([0, l]xRnxRm), q<3. Автор развивает двухсторонний метод исследования задачи Коши используя интервальный вариант теоремы о дифференциальном неравенстве и применяет один способ построения решения с помощью сплайнов.

В [74] объектом исследования является система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В ней исследуются задачи Коши:

Для этих задач автор строит приближенное решение и оценивает погрешности приближения с помощью компьютерного метода основанного на использовании разложения решения в ряд Тэйлора.

2. В работе [48] Добронцом показано что двухсторонние методы могут эффективно быть применены к исследованию вопроса о разрешимости и построении приближенного решения с гарантированной (апостериорной) оценкой погрешности краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов. В частности, автор исследует задачу Дирихле: x (t) = f (t, x, k), *G (0,Z), х (0) = а? о, y (t) = Ay{t), j,(0) — а, y{t) = Ay (t) + f{t y (0) = a, ie[0,T].

0.2) (0.3) dxi u (x) = 0, xEdft.

Полагая что aiECl (Q), q, fEC (Q) и аг>с > 0, q>О,.

В [74] изучается краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: y = Ay (t) + f (t), te[o, T, Ly (0) — <р, Ру (Т) = фAeRnxn, LeRniXn, ReRn2Xn, ^еЛ" 1, щ + П2 = пв предположении, что задача разрешима, рассматривается вопрос о приближенном построении решения с оценкой погрешности приближения.

В работах [63, 64] рассматривается скалярная нелинейная двухточечная краевая задача:

— U" {x) + F (x, U (x), Ux)) = 0, яе[0,1], (0.4).

B0[U] = B^U] = 0.

Здесь F — заданная непрерывная на [0, l]xi?xi? функция, Bq, B — линейные ограниченные функционалы одного из двух видов:

В0[и] = -а0и'(О) + 7о"(0), Bi[u] = aiu (1) + 7iw (l), или.

В0[и] = w (l) — u (0), Bi[u] = и (1) — u (0).

Предлагается метод, с помощью которого можно доказать разрешимость задачи (0.4) и построить приближенное решение с указанием окрестности, содержащей точное решение задачи (0.4).

3. Проблема компьютерных методов оценки погрешности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма привлекала и привлекает внимание многих исследователей [46]. Основная задача состоит в построении решения с достоверной оценкой погрешности. В работе [50] для интегрального уравнения Фредгольма второго рода: 1 z (t)~ jK (t, s) z (s)ds = f (t), /е[0,1], о рассматриваемого в пространстве непрерывных функций, предложен один конструктивный метод оценки погрешности приближенного решения. Основная идея метода состоит в переходе от исходного уравнения к уравнению с вырожденным ядром, аппроксимирующим ядро K (t, s):

Kn{t:s) =? ? к{и^)ф{{г)ф5{з). i=13=1.

4. В работе Бабенко К. И. и Петровича В. Ю. [6] исследуется вопрос о разрешимости так называемого функционального уравнения Фейген-баума, возникающего в теоретической физике (см., например, [61]). Доказательство разрешимости этого уравнения получено авторами на основе «компьютерной» проверки условий теоремы Л. В. Канторовича о неподвижной точке.

Большинство упомянутых работ, основаны на применении методов интервального анализа [73, 55]. При использовании интервального анализа как инструмента для получения гарантированных результатов характерны трудности, связанные с плохо контролируемым и, как правило, катастрофически быстрым расширением интервалов, что является существенным препятствием для решения практических задач. Этот недостаток носит принципиальный характер [72].

В нашей работе при построении и реализации конструктивных методов исследования интервальные вычисления не используются. Мы используем другой подход основанный на операциях в классах так называемых вычислимых объектов, введенных в работах [1, 39, 40]. Необходимые сведения о вычислимых объектах (функциях и операторах) изложены в главе I. При этом мы продолжаем исследования Максимова В. П. и Румянцева А. Н., разработавших конструктивные методы исследования применительно к исследованию разрешимости линейных краевых задач [39, 40, 29, 42]- к локализации собственных значений краевых задач [42]- к исследованию устойчивости периодических систем с запаздыванием [42, 40]- к исследованию управляемости и наблюдаемости линейных систем управления [42]- к исследованию разрешимости нелинейных краевых задач [28, 42, 41].

Продолжая упомянутые исследования мы применим конструктивные методы к изучению одного класса функционально — дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами.

Значительный вклад в развитие теории уравнений с запаздыванием был сделан за последние 45 лет. Первая книга, посвященная указанной проблематике, была опубликована Мышкисом в 1951 г. Второе издание этой книги, вышедшее в 1972 г. [36], содержит большое число литературных ссылок, а также интересных исследований, посвященных теории линейных уравнений с запаздыванием. Развитию общей теории уравнений с запаздыванием, а также отдельных ее направлений (устойчивость, колебания), частично или полностью посвятили свои монографии Белл-ман и Кук [11], Хейл [18], Эльсгольц и Норкин [27], Колмановский и.

Носов [14], Азбелев, Максимов и Рахматуллина [1], и другие.

Нас интересуют результаты, для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом и периодическими параметрами, касающиеся свойства асимптотической периодичности решений. В связи с этим необходимо также упомянуть некоторые работы, посвященные уравнениям с запаздыванием и периодическими параметрами, например, [20, 22, 43, 44, 13, 12, 16, 15, 17, 4], а также добавление Зверкина A.M. «Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами» в [11].

В нашей работе рассматриваются:

1. система линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами г ?(f) — P (t)x[h (t)] = /(f), te[о, оо),.

U (0 = v (0, если? < 0, ж (0) = а (0.6) в предположениях: столбцы пхп-матрицы Р: [0, оо)—>Rnxn и функция /: [0, оо)—>Rn — периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периодезапаздывание h: [0,оо)—>R имеет вид h (t) = t — A (t), 0Rn, такова, что функция (fh: [0, оо)—>Rn, определенная равенством f 0, если h (t)>0, l^[/i (f)], если h (t) < 0, измерима и ограничена в существенном на [0, оо) —

2. система нелинейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами.

Г i (t) — P (t)x[h (t)] = f (t) + F (x[q (t)]), fG[0, оо),.

U (0 = ?>(0, если? < 0, ^ я (0) = а (0.8) в предположениях: столбцы пхп-матрицы Р: [0, оо)—s-ñ-nxn и функция f: [0, оо)—>Rn — периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периодезапаздывания h: [0,оо)—>R и q: [0, оо)—>R соответственно имеют вид h (t) = t. — A (f), 0<А (t)<T, q (t) = t — 5(t), 0[0,Т]- S: [0, оо)—"[0, Т] измеримы и периодичны с периодом Тфункция Г: В!1-*В!1 дифференцируема и вир Г’гх< У^бД" (| • | - норма в Яп) — начальная функция, х<1 р: [—Т, такова, что функции (рн, (рч: [0, оо)—- измеримы и ограничены в существенном на [0, оо)..

В центре нашего исследования — вопрос о существовании такой Т-перио-дической функции у: [0, оо)—>Rn, что всякое решение x{t) задачи Коши (0.5), (0.6) (или (0.7), (0.8)) асимптотически стремится («стабилизируется») к y{t)..

Дадим точное определение, используя при этом удобный для дальнейшего рабочий термин «стабилизируемость» ..

Определение 0.1 Будем говорить что решение x (t, a) задачи (0.5), (0.6) ((0.7), (0.8)) стабилизируется к периодической функции у: [0, оо)—>Rn, периода Т, если lim max x (t, а) — y (t) дп = 0..

Будем говорить также, что в условиях определения 0.1 решение x (t, a) обладает свойством стабилизируемости..

Детальная разработка конструктивных методов исследования задачи о стабилизируемости решений систем (0.5) и (0.6), включающая получение конструктивных теорем об условиях стабилизируемости, а также построение эффективных оценок скорости стабилизируемости, основанных на приближенном построении матрицы Коши линейной системы с гарантированной точностью, является основной целью настоящей диссертационной работы..

Упомянутые теоремы и конструкции составляют теоретическое обоснование доказательного вычислительного эксперимента, реализация которого даст возможность эффективно исследовать конкретные системы с периодическими параметрами..

Отметим, что основная идея конструктивного исследования, которое мы проводим, остается классической и традиционной: по исходному объекту строится вспомогательный объект с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное компьютерное исследование разрешимости. Если такая вспомогательная задача разрешима, окончательный результат зависит от «близости» исходной и вспомогательной задач. В так называемых реализуемых теоремах формулируются эффективно проверяемые с помощью компьютера условия, гарантирующие разрешимость исходной задачи. В случае, если условия не выполняются, приходится строить новую, более близкую к исходной, задачу и повторять проверку условий..

Остановимся кратко на известных нам работах, об асимптотическом поведении решений системы с запаздыванием..

Напомним сначала о некоторых фундаментальных работах, посвященных уравнениям с запаздыванием и периодическими параметрами, определенным на (—оо, оо)..

В работе А. Д. Мышкиса [36] рассматривается уравнение вида, а x (t) = J[dR (t, r)]x (t — т) + F (t), teR (0.9) о.

R (t + u, T)=R (t, T)-, F (t + w)=F (t), a- > 0. Хейл в [18] исследует свойства однородного линейного уравнения о x (t) = L (xt) = J[dri (e)]x{t + в), L (t + av) = L (t, •), (0.10) r при которых неоднородное уравнение x (t) = L (xt) + /(*), f (t + со) = /(*), и > 0 (0.11) имеет по крайне мере одно решение..

Для линейных уравнений вида (0.9) ((0.11)) развита теория Флоке. Доказана справедливость представления решений однородных уравнений, соответствующих (0.9) ((0.11)), в виде линейной комбинации решений Флоке и присоединенных к ним решений оо.

0.12) i= 1 где Yi (t + со) = Y{(t), pi ~ показатели решений Флоке, &-г- - постоянны. Установлена альтернатива Фредгольма для уравнения (0.9) ((0.10)), сопряженного к нему уравнения и соответствующих им однородных уравнений. Далее, анализ устойчивости основан на представлении решения однородного уравнения в виде (0.12)..

В работе Ю. В. Комленко и Е. Л. Тонкова [22] получены эффективные достаточные условия, при которых заданное число, А не является мультипликатором уравнения п m x=x^(t) -ЕЕ a^x^it — Tj (t)) = 0, To (f)=0, te (-оо, +оо), к=1j=0 с комплекснозначными Т-периодическими a, kj (t) и вещественными Т-периодическими Tj (t), t^R1..

Показано, что если коэффициенты локально суммируемы, а отклонения измеримы и ограничены, то справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение Сх = f имеет единственное решение ж6Фа (Фа — множество функций, удовлетворяющих условию x (t + Т) = x (t), t^R1, и имеющих локально суммируемую п-ю производную) при любой локально суммируемой /GФа, либо Л — мультипликатор уравнения Сх — 0..

В статье [23] исследования посвящены дифференциальным уравнениям с периодическими параметрами и периодическим последействием. В ней основным является вопрос о представлении Ляпунова-Флоке для линейных конечномерных многообразий, инвариантных относительно сдвига на период..

Драхлиным М.Е. в [16] установлено, что для существования и-периодического решения уравнения x (t) = /(/, x (t), x (t — r (f)), x (t — i/(f))), te{-oo, oo), fit + CJ, -,-,•) = f (t, -, -, •), T (t + co) = r (t), v (t + u) = v (t), te (-OO, oo), необходимо и достаточно, чтобы существовало решение задачи.

Vit) = f{t, y (t), y (h (t)), y (g (t))), IG[0,o-], у (0) = УИ, h (t) = z{t-r (t)), g (t) = z (t-v (t)), ie[0,w], г — о—периодическое продолжение функции u (t) = t, ?G[0,o-] на ось (—оо, оо)..

В работе [27] рассматривается система линейных уравнений x (t) = A (t)x (t) + B (t)x (t — г) + f (t) (0.13) и соответствующая однородная система x (t) = A (t)x (t) + B (t)x (t — г), (0.14) где, А и В — непрерывные и периодические периода со матрицы, т > 0. Показана справедливость альтернативы Фредгольма. В [18] для нелинейных возмущений уравнения (0.10) x (t) = L (xt) + f (t, xt) (0.15), где fitfa-, •) = f (t, •), / непрерывна и ограничена вместе со своей производной Фреше установлены условия, при которых существует единственное о—периодическое решение..

В [14] рассмотрены квазилинейное уравнение с последействием m 00.

Е Bk (t)x (thk)+ / [dsp (t, + s) = f (t) + aiT (t, z (-), /1) — я, feRn, k = 0 oo.

0.16) и порождаемое им однородное уравнение, а также сопряженное уравнение к однородному. В предположении, что справедлива альтернатива Фред-гольма, получены условия существования периодического решения. Обратимся теперь к задачам на полуоси [0, сю). В работе [15] рассматривается уравнение x (t) + B (t)x (t — v{t)) + A (t)x (t — r (t)) = f (t), te[0, 00), (0.17) где /: [0, сю)—>Rn, v, t: [0, сю)—"-[0,00) элементы (пхп) — матриц А, В являются сипериодическими..

Определены условия, при которых существует а—периодическая функция у: [0, сю)—>Rn такая, что каждое решение х уравнения (0.17) удовлетворяет условию lim x (t) — y (t)Rn = 0..

Заметим, что в этой работе полученные условия неэффективны (трудно проверяемы) и вопрос об эффективных оценках скорости стремления решений уравнения (0.44) к а—периодической функции y (t) не рассматривался вообще..

В [17] объектом исследования является уравнение x (t) + A (t)x (t — r (t)) = f (t), te[0, 00), (0.18).

0 = < 0, где /, г и элементы (пхп)-матрицы, А являются и-периодическими функциями, определенными и ограниченными в существенном на [0, оо) — функция (р: (—oo, 0)—ограничена в существенном на (—оо, 0). В предположениях, что задача Си = q, и (0) = 0 (С — линейная операция, определяемая левой частью уравнения (0.18), когда ip© = 0, ЗД0, оо)) имеет решение иеТ>^ при каждой qeдоказано, что существует о—периодическая функция у: [0,сю)—такая, что каждое решение х уравнения (0.18) удовлетворяет условию lim |x (t) — y (t)Rn = 0. 13.

В этой работе также не рассматривался вопрос об оценках скорости асимптотического стремления решений уравнения (0.18) к из-периодической функции у it)..

В пункте 3 работы [4] приведены условия, при которых решение х уравнения Сх = / с линейным волътерровым оператором и асимптотически Т-периодической / является асимптотически Т-периодической функцией. Теорема 7 дополняет результаты работ [15, 17]..

Отметим особо работы А. И. Башкирова [7, 8, 9, 10]. Автор рассматривал периодическое функционально-дифференциальное уравнение к t.

Cx)(t) = x (t)-Y, Bi{t)x[gi{t)]- j K (t, s) x (s)ds-A (t)x (0) = f (t), te[0,oo), i=1 о x (() = 0, если? < 0, в следующих предположениях о периодичности параметров.

Bi (t + T) = Bi (t), gi (t + T)=gi (t)+T, i = 1,.,",.

A (t + T) = A (t), K (t + T, 5 + T) = K (t, s)..

На основании изучения свойств матрицы Коши, А. И. Башкиров строит теорию устойчивости рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения с последействием и периодическими параметрами. В частности, в [10] доказана периодичность матрицы Коши при дополнительных предположениях относительно запаздывания (см. [10, с. 33,53,54]), установлена связь между вопросом о существовании экспоненциальной оценки фундаментальной матрицы и матрицы Коши и вопросом об оценке спектрального радиуса матрицы монодромиивопрос об оценке спектрального радиуса матрицы монодромии сводится к вопросу об однозначной разрешимости некоторых краевых задач и о знакопостоянстве функций Грина этих задач..

В нашей работе периодичность матрицы Коши устанавливается без дополнительных предположений относительно запаздывания. Заметим, также, что в ситуации, рассмотренной А. И. Башкировым, запаздывание h удовлетворяет включению /г ([0, Т])с[0,Т] и в этом случае не возникает необходимость задавать начальную функцию (предысторию). В нашей работе в отличие от работы А. И. Башкирова допускается случай /г ([0,Т])^[0,Т] и при этом возникает необходимость задавать начальную функцию. Заметим в связи с этим, что для некоторых прикладных задач характерно наличие предыстории и от начальной функции существенно зависит время попадания соответствующей траектории в заданную окрестность периодической функции..

Первая глава диссертации посвящена изучению и описанию способа построения апостериорных гарантированных оценок для приближенных решений задачи Коши (0.19), (0.20) т — ЕДМх[Ы (г)] = г-(*), ге[о, т], (0Л9).

МО = <р (0> если С < ж (0) = а (0.20) в предположениях: столбцы п х п-матриц Р (: [0,Т]^Кпхп и функция.

V: [0,Т]—суммируемы — запаздывания /гг-: [0,Т]—- измеримы- (р к такова, что функция = г>(£) +? , принадлежит пространству Ь" где — I Т]' ству Ь, где — | ^^ ^ ^ < ^.

Основная часть исследования заключается в построении приближенной матрицы Коши с гарантированной точностью..

В § 1.2 приведены необходимые сведения из теории ФДУ. В нашей работе задачи, аппроксимирующие исходные, строятся в классе вычислимых объектов. В § 1.3 приведены сведения о вычислимых функциях и операторах. В § 1.4 предложен один способ нахождения с гарантированной точностью приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода, рассматриваемого в пространстве суммируемых функций:.

С}г=гКг = д, (0.21) с линейным оператором К: Ьп—>ЬП, определенным равенством.

Kz)(t) = jK (t, s) z (s)ds, ге[о, т], s) =? Xhi (t, s) Pi (t), g (t) = V + + Xhifa 0) Pi{t)x (0)), i=1 i=1 g? Ln и Xhi (t, s) — характеристическая функция множества i, s)€[0,i]x[0,i]: 0< t}..

С помощью аппроксимации ядра уравнение (0.21) заменяется уравнением вида t.

Qz)(t)=z (t) — J K (t, s) z (s)ds = f (t), *e[0,T], (0.22) с ядром K (t, s),.

N i.

K (t, s) = J2 X[U, ti+1}(t)? KijX[t}-i= 1 j=l где 0 = tQ < ti <. < tN < tN+1 = T, xmW = |q б]' ^ «постоянная nxn-матрица. В п. 1.4.1 построено в явном виде резольвентное ядро R (t, s) для вырожденного ядра K (t, s). Пункт 1.4.2 посвящен оценке погрешности приближенного построения резольвенты. Оператор R: Ln—>Ln, определим равенством t.

Rf)(t) = J R (t, s) f (s)ds. о.

Обозначим через, А К: Ln—интегральный оператор t.

AKz)(t) = J AK (t, s) z (s)ds, о где AK (t: s) = K (t, s) — if (i, s). В предположении, что.

6d=\AK (I — K)-l\Ln^Ln = || A#(J + ?)||L">b" < 1 (0.23) мы имеем, в силу теоремы об обратном операторе следующее неравенство.

R — RL^l^y^W1 + (о-24).

В § 1.5 описан алгоритм приближенного построения матрицы Коши системы (0.19) с гарантированной точностью, основные этапы которого заключаются в следующем:.

1. Построение кусочно постоянной аппроксиманты K (t, s) ядра K (t, s)..

2. Построение резольвентного ядра R (t, s) для ядра K (t, s). def.

3. Проверка справедливости неравенства S= \AK (I + < t ~.

4. Нахождение C (t, s), (C (t, s) = E + /R (t, s) dr)..

5. Оценка погрешности приближения. Приведем здесь эту оценку для случая п = 1 (общему случаю посвящена теорема 1.5.2)..

Теорема 1.5.1. Пусть выполнено неравенство.

8dU\AK (I + R) ||L1L1<1. Тогда справедлива оценка с (*, 6-) — с{г, III + 0<"<^<т..

В § 1.6 изложен другой метод построения матрицы Коши. Рассматривается система.

— = Л'(0, (0.25).

З=к=1 о, если? < 0, ж,-(0) = 0, г, э = 1, ., п, (0.26) в следующих предположениях: т р-т = Е ЧСМ*), где многочлены с рациональными коэффициентами, т [0,Т]—Нкф) =? ^хД*), ф рациональные константы, (?).

Разобьем интервал [0,Т] на т равных частей точками 0 < ?1 <. < < Обозначим через В&bdquo- = 1^ = 1, ., т — 1, ¿-о = 0 каждое полученное таким образом множество и через х^(') соответствующие характеристические функции множеств Ви..

Матрица Коши системы (0.25) имеет вид т г/=1 где СД^, я) — 5)}" -=1, г/ = 1,., т — сужение матрицы Коши для.

5): з < *}..

В § 1.7 приведены иллюстрирующие примеры..

В главе II исследована разрешимость задачи о стабилизируемости траекторий системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами. В § 2.1 рассмотрена задача Коши со — .? = /со, /е[0, оо), 7).

0 = если? < ж (0) = а (0.28) в предположениях (А): столбцы п х n-матриц Д: [0, oo)-^Rnxn и функция /: [0, оо)—*Rn — периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периодезапаздывание hi: [0,оо)—>R имеет вид hi (t) = t — A?(f), 0<�Дг-(?)<�Т, где функции Аг-: [0, оо)—"-[О, Т] измеримы и периодичны с периодом Тначальная функция р>: [—Т, 0]—>Rn, такова, что функции (phi: [0, oo)-+Rnизмеримы и ограничены в существенном на [0, оо). Систему (0.27) запишем в виде.

Cx)(t)=x (t) — t Pi (t)xhi (t) = f (t) + t fe[0, oo). (0.29) i=l i=l.

Решение x (t, a) задачи (0.27),(0.28) ((0.29),(0.28)) представимо в виде t к t x (t) = C (t, 0) a> + J C (t, s)? Pi{s)iphi (s)ds + j C (t, s) f (s)ds, (0.30).

0 i=1 0 где C (t, s) — матрица Коши операции С..

Определение 2.1.1. Будем говорить что решение x (t, a) задачи (0.27), (0.28) стабилизируется к периодической функции у: [0, оо)-^Rn, периода Т, если lim max x (t, а) — y (t)pn = 0. v^°°te[(v-i)T, vT]1 v ' yw|/t.

В § 2.2 установлена периодичность матрицы Коши.

Утверждение 2.2.1. Матрица Коши операции С обладает свойством периодичности:.

C (t + Г, s + Т) = C (t, s), 0<5<* < оо..

Для нахождения условий стабилизируемости нами рассмотрена некоторая вспомогательная задача в построении которой существенно использованы свойство периодичности матрицы Коши, формула Коши и периодичность параметров. В § 2.3 получено вспомогательное нагруженное интегральное уравнение с отклоняющимся аргументом г = (А + В) г + д, (0.31) где линейные операторы А, В: С[0, Т] С[0,Т] определяются равенствами.

АгЩ = С (*, 0) г (Г), (?*)(*) — / С (*, а) ± Г^тг)(з)дз, о г'=1 грМ-т {0, если /гг (5) +Т? [0,Т], I + Т], если Ы (з) + Т е [О, Г], ' г д (г) = /с (*, *)/(«)<*», ?е[0,Т]. о.

В условиях сходимости последовательных приближений для уравнения (0.31) оно обладает свойством: его решение удовлетворяет периодическому краевому условию ?(0) =.

В § 2.4 найдены достаточные условия, при которых система (0.27) имеет единственное Т-периодическое решение у (1), которое может быть построено как Т-периодическое продолжение на полуось решения вспомогательного уравнения, а всякое решение задачи Коши стабилизируется к у^). Построена оценка скорости стабилизируемости..

Обозначим через р = р (А + В) спектральный радиус оператора.

А + В): С[0,Т]->С[0,Т]..

При выполнении условия р< 1, (0.32) уравнение (0.31) имеет единственное решение ^*ЕС[0,Т] и итерационный процесс для уравнения (0.31) сходится в смысле нормы пространства.

С[0,Т] к г*:\х" — ?*||с[от]-1гДе ^ = 1,2,——приближения.

Теорема 2.4.1. Пусть выполнено условие (0.32). Тогда для каждого е > 0 такого, что 6а= р—е < 1, найдется такое натуральное к{у=к^{5), что имеет место оценка хи-1 М где 5||с[о, г]-.С[о, т] + - + \(А + гнезд.

Теорема 2.4.2 Пусть спектральный радиус р оператора А—В меньше единицы. Тогда Т-периодическое продолжение у{{) решения ?*(?) уравнения (0.31) на полуось является единственным Т-периодическим решением системы (0.27), где (р^) = + Т), *е[-Т, 0]..

Теорема 2.4.3. Пусть спектральный радиус р оператора, А + В меньше единицы и у: [0, оо)-^Яп — Т-периодическое продолжение решения 2*ЕС[0,Т] уравнения (0.31) ..

Тогда для любого такого е > 0- что 5 = р (А + В) +? < 1, найдется натуральное ко = ко (5), при котором имеет место оценка б¹ М где тЧ! бЪмИб^ + + Б||С[0)ГЬС[01Т1 +. + ||(Л + Б)*-1!!С[о, тьс[о, гр.

— решение задачи (0.27), (0.28). В § 2.5 рассматривается вопрос о периодических решениях систем определенных на полуоси и оси. В п. 2.5.1 устанавливается связь между разрешимостью уравнения (0.31) и существованием периодических решений системы (0.27)..

Теорема 2.5.1 Пусть %{?) — решение уравнения (0.31). Тогда функция у{{) являющаяся Т-периодическим продолжением г (¿-) на полуось [0, оо) есть решение системы (0.27), если (р (1) = ¿-(¿—-Т), Т, 0]..

В п. 2.5.2 рассматривается вопрос о представлении периодических решений системы определенной на полуоси в интегральной форме. Обозначим через О: ^" хЬ" оператор имеющий вид.

Б =.

С (Т, 0) Ф ЕДЙСУМ) К г=1 / т т 1 о.

ФУЩ = / (КуЩ = / 8) у{8)й8, Ф,.

Теорема 2.5.2 Пусть оператор (I — В): ЯпхЬ" —>ЛпхЬ" имеет ограниченный обратный. Тогда:.

1. уравнение (0.31) имеет единственное решение при любой д-.

2. решение уравнения (0.31) представимо в виде т.

В п. 2.5.3, рассматривается вопрос о представлении периодических решений системы определенной на оси в интегральной форме. к.

— Е ДКИМ*)] - /№, *е (-оо, оо), г=1 в предположениях: столбцы п х п-матриц Д-: (—оо, оо)—и функция /: (—оо, оо)—>ДП — периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периодезапаздывания /гг-: (—оо, оо)—>1{ имеют вид /гг-(£) =? — Дг (0? 0<�Дг-(?)<�Т, где функции Дг-: (—оо, оо)—>[0, Т] измеримы и периодичны с периодом Т..

Задача о периодических решениях для рассматриваемого уравнения сводится к краевой задаче к x (t) — EPi (t)xk (t) = /(f), ?e[0,T], (азз).

U (T) = x (0),.

SSIS' Задача (0.33) свет дена к уравнению z (t) — f K (t, s) z (s)ds = f (t) в пространстве Ln..

Теорема 2.5.3 Краевая задача (0.33) однозначна разрешима тогда и только тогда, когда оператор (7 —: Ln—"-L" имеет ограниченный обратный. Матрица Грина этой задачи имеет представление т.

G (t, s) = s) + j W{t, т) Д (т, s) dr, о где.

Wd f J1 ~ т (Х + i)> eMuO.

W{t, s) — bj + ^ если <^, s) — резольвентное ядро для ядра K (t, s). В п. 2.5.4 приведены иллюстрирующие примеры..

Параграф § 2.6 посвящен конструктивному исследованию задачи о ста-билизируемости. Мы исходим из того, что достаточное условие, гарантирующее стабилизируемость траекторий системы (0.27), полученно в § 2.4, является грубым и может быть установлено по результатам исследования достаточно близкого объекта, допускающего эффективное исследование с использованием специальных компьютерных программ. На основе исследования вспомогательной задачи с вычислимыми параметрами, аппроксимирующими параметры исходной задачи, получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости, а также построены эффективные оценки скорости стабилизируемости. В п. 2.6.1 описана исходная задача т — I = фф, * е[о, оо), (0 34) если О, х (0) = а (0.35) в предположениях (А), (см. стр.18) и построен вспомогательный объект аппроксимирующий (0.34), (0.35)..

Пусть в результате аппроксимации параметров получена система (0.27), для которой вопрос о стабилизируемости решений задачи Коши (0.27), (0.28) к периодической функции подробно изучен в § 2.3 и § 2.4..

Наша цель — установление условий, при которых свойство стабилизируемости траектории аппроксимирующей системы (0.27) к периодической функции распространяется на траектории системы (0.34). В п. 2.6.2 и п. 2.6.3 проведены исследования, аналогично исследованиям § 2.3 и § 2.4 с заменой условия (0.32) неравенством |[(А + В) к°\<�д < 1, к^ЕМ. В п. 2.6.4 получены достаточные конструктивные условия (эффективно проверяемые с помощью компьютера), при которых вспомогательное уравнение исходной задачи обладает теми же свойствами, что и вспомогательное уравнение аппроксимирующей задачи и в случае разрешимости задачи о стабилизируемости вспомогательной системы, найдены эффективные условия, гарантирующие разрешимость задачи о стабилизируемости решений исходной системы..

Вспомогательное уравнение для исходной задачи имеет вид г = (А + В) г + д, (0.36) где линейные операторы А, В: С[0,Т] —¦> С[0,Т] определяются равенствами.

Мт = С (Щг (Т),.

ВгЩ = ?С{1,з)±Р1{8)(Тп^тг){8)<18. о г'=1.

Пусть, А = А + А, А и В = В + А В где линейные операторы АА, АВ: С[0, Т]—>С[0, Т] определяются равенствами.

АВг){1) = /(С (*, з) ± Р{(8)(Тк<+тг)(з) — з) Е ГЙ'+Г*)М)Ж..

0 г= г=1.

Ниже для лаконичности записи мы будем опускать индекс С[0,Т] у нормы || ¦ ||С[0Г]..

Теорема 2.6.3. Пусть k0eN таково, что ||(А + Б)*°||<�д <1, a qi^R удовлетворяет неравенству 0 < q < 1 — q..

Пусть, далее, — минимальный положительный корень уравнения.

Е (г])=аког] + «fco-W + ако-+ • • ¦ + а2г]к°~1 + ад*0 = qu где at0 = коЦ (Л + В)1″» 1!!, at," = + В)'" -" «1!!, v = 1, • • •, ко — 2, «1 = 1..

Пусть, наконец,.

АА + АВ\<^..

Тогда.

Д + В)*0|| < 1 и имеет место оценка ev~l М.

Л+ 6)^-91 где.

0 = (q + qi)%, mtV"" 1, Md^ek°~l + 6k°-2\A + B\ +. + ||(Л + В) ка~г\..

Теорема 2.6.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.3 и у: [0,оо)—>Rn — Т-периодическое продолжение решения z* Е С[0,Т] уравнения (0.36). Тогда имеет место оценка.

0V— 1 max |x (t, a) — y (t)Rn<—-—||ж (-, о-) — (A+B)x (-, a) — у||, t? iv- 1 — и TTL где.

6 = (q + m=f6k°- M^le1*-1 + eko~2\A + В|| +. + \(Л + В.

§ 2.7 посвящен оценке нормы оператора, А В: Dn[0, Т]—>D&trade-[0, Т]. С этой целью в п. 2.7.1 и п. 2.7.2 проведены исследования, аналогично исследованиям пунктов п. 2.6.2, п. 2.6.3 и п. 2.6.4 применительно к операторам А, В: Dn[0, Т]—hDn[0, Т]. В п. 2.7.3 получена оценка п 7.

A^||D"[o, rbD" [o, T]< max? ?.

1<�г<�п/=1 (7=1 где числа эффективно определяются по параметрам аппроксимации..

В § 2.8 описан алгоритм вычисления к-й степени суммы операторов, А и В и предложен метод оценки спектрального радиуса оператора (А + В), для случаев постоянной начальной функций и кусочно-постоянного запаздывания. В п. 2.8.1 получены удобные для реализации рекуррентные формулы для (А + В) к. В п. 2.8.2 рассмотрен случай, когда оценка спектрального радиуса оператора, А + В сводится к оценке спектрального радиуса матрицы, элементы которой эффективно вычисляются. В § 2.9 приведены иллюстрирующие примеры..

В третьей главе приведены утверждения о разрешимости задачи о стабилизируемости траекторий системы нелинейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами. Эти утверждения основаны на результатах первой и второй глав. Объект исследования описан в § 3.1 x (t) —? m) x[hi (t)} = f (t) +? F{x[qi (t)]), fe[0, oo),. s (0 = ^(0, если f < 0, я (0) = a (0.38) в предположениях (В): столбцы пхп-матриц Pi: [0, oc)-*Rnxn и функция /: [0, oc)—>Rn — периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периодезапаздывания hi: [0, oo)—>R и дг-: [0, oo)—>R соответственно имеют вид hi{t) = t-Ai (t), 0<�Дг-(*)<�Т, qi (t) = t-Si (t), 0<<�ВД<�Т, где функции Дг: [0, оо)—>[0, Г], Si: [0, oo)—"[О, Т] измеримы и периодичны с периодом.

Гфункция F: Rn-+Rn дифференцируема и sup F’zx< VzeRn (| • | l"l.

В § 3.2 выведено нелинейное нагруженное интегральное уравнение с отклоняющимся аргументом г = (А + В + Ф) г + д, (0.39) где линейные операторы А, В: С[0, Т]—*С[0, Т] определяются равенствами.

Az)(t) = C (t, 0) z (T), (Bz)(t) = jc (t, s)±Pi (s)(rhi+Tz)(S)dS,.

0 i=1 и нелинейный оператор Ф: С[0, Т]—>С[0, Т] - равенством.

Ф*)(*) = } С (t, s) ±F[(r"z)(s) + (Г*+Tz)(s)]ds, о iz=1 г д{{) = С^, в) — матрица Коши операции (Сх)^) = — КМг=1.

В § 3.3 получены условия сходимости последовательных приближений для уравнения (0.39), а также оценки скорости сходимости..

Пусть уравнение (0.39) однозначно разрешимо и г*ЕС[0,Т] - его решение..

Определим оператор 5: С[0,Т]—>С[0,Т] равенством 5 г — (А + В + Ф) х -[- д и обозначим через р — спектральный радиус оператора = (А + В + Фг*), где Фг*: С[0,Г]—>С[0,Т] - производная по Фреше оператора Ф в точке г*еС[0,Т]..

Пусть выполнено неравенство р< 1. (0.40).

Теорема 3.3.1. Пусть г* - единственное решение уравнения (0.39) и выполнено условие (0.^0)..

Тогда существует такое 8 > 0, что для каждого такого е > что р + г < 1, найдется такое натуральное ко+ ?), что если 11¹ — <, то имеет место оценка.

П ^ (р + сУ'1 м&bdquoгде мЩР++ (р+|)'"-2||5-.Ц + ¦. •+iks-.)1'"-1!], тУ (р+1)4−1.

Здесь v = 1, 2, • • • - приближения 2..

Теорема 3.3.2 Пусть z* единственное решение уравнения (0.39) и спектральный радиус р оператора Sz* меньше единицы. Тогда Т-периодическое продолжение y (t) решения z*(t) уравнения (0.39) на полуось является единственным Т-периодическим решением системы (0.37), где tp{t) = z*{t + T), *е[-г, о]..

Теорема 3.3.3 Пусть у: [0,оо)^Rn — Т-периодическое продолжение решения z*E[0,T] уравнения (0.39) и спектральный радиус р оператора Sz* меньше единицы..

Тогда существует такое 8 > 0 что для каждого такого? > О, что р—е < 1, найдется натуральное к{у=к$ (р+е), что если ||ж (-, о-)—г*\ <, то имеет место оценка р + еу-1 м тах хи, а) — ——г—— се) II, где (р++.+и (5-.)'°-111].™=/(/'+1)'0−1.

В § 3.4 получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируе-мости и определены эффективные оценки скорости стабилизируемости. В п. 3.4.1 исходная система записывается в виде.

00- = *е[0,оо), если? < О, ж (0) = а (0.42) и строится аппроксимирующая задача. В пунктах п. 3.4.2 и п. 3.4.3 проведены исследования, аналогично исследованиям § 3.2 и § 3.3 с заменой условия (0.40) неравенством |[(5г*)А-о||<�р < 1, А^ЕА^. В п. 3.4.4 получены достаточные конструктивные условия, при которых вспомогательное уравнение исходной задачи обладает теми же свойствами, что и вспомогательное уравнение аппроксимирующей задачи и в случае разрешимости задачи о стабилизируемости вспомогательной системы, найдены эффективные условия, гарантирующие разрешимость задачи о стабилизируемости решений исходной системы..

Вспомогательное уравнение исходной задачи имеет вид г = (Л + В + 15) г + д, (0.43) где линейные операторы Л, В: С[0, Т]—"С[0, Т] определяются равенствами о 1=1 и нелинейный оператор О: С[0, Т]—>С[0, Т] - равенством.

Щ{1) = +.

П г=1.

Пусть, А = А + ДА, В = В + А В и О = Ф + ДФ где линейные операторы, А А, А В: С[0,Т]—"С[0,Т] определяются равенствами:.

ААгШС'(Щ-ф, 0)]г (Т), (АВгЩ = /(С (*, 8)? Р{(8)(Г^+тг)(8) — 8)? Р{(8)(Гп<+тг)(8))<18,.

О г=1 г=1 а нелинейный оператор АФ: С[0,Т]—>С определен равенством.

Определим оператор: С [О, Г]—"С [О, Т] равенством (А + В + Ф + ДА + АВ + АФ)2 + д и обозначим через е^* оператор.

А + В + Ф’г* + АА + АВ + ДФ.,* = + Д^*, где Фг*: С [О, Т]—>С[0, Т] - производная по Фреше оператора Ф в точке ?*еС[0,Т] а Д^. = АА + ДБ + ДФ2*..

Всюду ниже для лаконичности записи мы будем опускать индекс С[0,Т] в обозначении || • ||с[о, г].

Теорема 3.4.3 Пусть коЕИ таково, что <1,2*- единственное решение уравнения (0.43), а удовлетворяет неравенству О < < 1 — д..

Пусть, далее, ?1 — минимальный положительный корень уравнения Е (г})=аког] + ако-1Г]2 + ако2г]3 Н——-Ь а2г]к°~1 + ахг]кй = где у = 1, • • •, ко — 2, а = 1..

Пусть, наконец, АА + АВ + АФ’г,\<[Л1..

Тогда и для каждого такого? > 0, что 0 < (д + #1)*° +? < 1, существует такое 6 > О, что если начальное приближение х попадает в шар % ~ то имеет место оценка м.

— (в + су-1 М. xv-z <—-— а?1−5а-1,.

1 — (0 + ?) т где.

0 = + тЩв + ^е)1*-1, М=в + 1-£)к°~1 + (О + + ДЗ^И + • • • + ||(5-. + Д^)*0″ 1.

Здесь хр — приближения ?.

Теорема 3.4.4 Пусть выполнены условия теоремы 3−4-3 и у: [О, оо)—"Л" - Т-периодическое продолжение единственного решения г*е[0,т] уравнения (0.43). Тогда имеет место оценка.

0) ¿-Л1'-1 М тах |ж (/, а) — г/(^)|дп<—т^-г-—||ж (-, а) — а где 0−1.

1)4"-1 + (в+|)4"-2||5-.Ц + • • • + и^.)*0−1.

В § 3.5 приведены иллюстрирующие примеры..

Результаты диссертации докладывались и обсуждались: 1) на Международном конгрессе «Нелинейные науки на рубеже тысячелетий» (Санкт-Петербург, 1999) — 2) на Пермском городском семинаре по ФДУ (19 971 999) — 3) на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (1999, 2000) — 4) на Международном конгрессе математиков (Берлин, 1998) — 5) на Международном конгрессе «Нелинейный анализ и его приложения» (Москва, 1998)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:.

М1. Мунембе Ж.С.П. К вопросу об асимптотическом поведении решений системы линейных функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами. // Изв. Вузов. Математика. Л/о 4 (455), 2000..

М2. Мунембе Ж.С. П. Об одной задаче стабилизации траекторий для нелинейных функционально — дифференциальных систем с периодическими параметрами /] Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.:МФТИ, 1998. С.106−115..

МЗ. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // Труды Конгресса «Нелинейный анализ и его приложения». М.: ЦИУНД ИМАШ РАН, 1999. 1 компакт диск (563−573)..

М4. Maksimov V.P., Munembe J.S.P. On the question of enclosing solutions of linear functional differential systems // Memoirs on Different. Equat. and Mathem. Physics. — Tbilisi: Publishing House GCI, 1997. — No 12. — P. 149−156..

M5. Munembe J.S.P., Rumyantsev A.N. A computer-oriented method of constructing the Cauchy matrix with a guaranteed accuracy for a class of linear functional differential systems // Вестник ПГТУ, Функционально-дифференциальные уравнения, «Вестник ПГТУ». Пермь: Издательство Пермского государственного технического университета, 1997. С.121−129..

Мб. Munembe J.S.P. Об условиях стабилизируемости решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими параметрами // Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: Тезисы докладов. Воронеж: Воронежск. государств, ун-т, 1999. С. 208..

М7. Munembe J.S.P. On the asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential delay systems // International conference «Nonlinear science on the border of millenniums»: Preprints. Saint-Petersburg: St. PbSIFMO-TU, 1999. P.54..

M8. Munembe J.S.P. Computationally verifiable conditions of the existence of stabilizable solutions for linear differential systems with periodic parameters // International Congress of Mathematicians: Abstracts of short communications and poster sessions. Berlin, Bielefeld, Rosenheim: Universitat Bielefeld, Geronimo GmbH, 1998. — P. 184..

M9. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // International Congress «Nonlinear analysis and it’s applications»: Abstracts. Moscow: ЦИУНД при ИМАШ РАН, 1998. — P.149..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации получены следующие основные результаты:.

1. разработан новый метод построения приближенного решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанного на приближенном построении матрицы Коши с гарантированной оценкой точности-.

2. для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами, определенной на полуоси, на основе исследования построенного вспомогательного уравнения (нагруженного интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом), получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости ее траектории к периодической функции и построены эффективные оценки скорости стабилизируемости-.

3. установлена связь между решениями вспомогательного уравнения с периодическими решениями системы с запаздыванием на полуоси, получено интегральное представление периодических решений (построена матрица Грина задачи о периодических решениях) —.

4. получено интегральное представление периодических решениях системы с запаздыванием, определенной на оси, (построена матрица Грина задачи о периодических решениях) —.

5. для системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами, определенной на полуоси, на основе исследования построенного вспомогательного уравнения (нагруженного интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом), получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости ее траекторий к периодической функции и построены эффективные оценки скорости стабилизируемости-.

6. полученные теоремы и конструкции для систем с запаздыванием и периодическими параметрами, дают теоретическое обоснование доказательного вычислительного эксперимента, ориентированного на исследование задач стабилизации..

.