Предыстория и актуальность темы. Диссертационная работа посвящена разработке эффективных методов коррекции движения управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными или многошаговыми уравнениями. Предполагается, что система находится под воздействием неопределенного детерминированного возмущения. Начальное состояние системы также предполагается неизвестным. Кроме того, фазовый вектор объекта может быть не доступен для измерения. Однако по ходу движения измеряется некоторый сигнал, несущий информацию о фазовом состоянии системы. На основании доступной информации требуется сформировать управление, минимизирующее терминальный функционал в расчете на худший случай реализации начальных состояний и неопределенных возмущений.
Таким образом, в работе рассматриваются задачи, которые можно отнести к проблемам управления детерминированными системами с неполной информацией. Данное направление в теории управления имеет довольно длинную историю и достаточно разработанные результаты. Вместе с тем исследования в данной области далеко не закончены и активно продолжаются в настоящее время. Они стимулируются новыми требованиями к качеству управления, развитием технических измерительных средств, новыми задачами создания распределенных систем управления.
Единый подход к решению указанных проблем изложен в монографии H.H. Красовского и А. И. Субботина [60], где в главе 15 рассмотрены методы решения весьма общей информационной игровой задачи. В этом подходе предполагается, что по ходу процесса становится известной некоторая выпуклая компактная область, содержащая истинный вектор системы. Способы построения области не уточняются. В этом факте заключаются возможные варианты уточнения постановки задачи. Так, например, в работе H.H. Красовского [59] область представляется в виде n-мерного прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат. В монографии A.B. Куржанского [67] изложены методы, связанные с построением в фазовом пространстве т.н. «информационного множества» (далее часто используем сокращение ИМ). Именно эти методы положены в основу решения задач настоящей диссертации. Методы «информационных множеств» использовались в работах Б. И. Ананьева, А.Б. Куржан-ского, Г. С. Шелементьева, А. Г. Кремлёва [5,6,62−64,67,94,95].
Следуя [5,6,59,67] уточним постановку задачи, которую будем называть «задачей однократной коррекции». Пусть задана управляемая система вида где х Е Яп — фазовый вектор системы, не доступный для измерения, и Е В? — управление, V Е В? — неопределенное детерминированное возмущение. По ходу процесса измеряется вектор
Вектор-функции /(?, •, •), •, •) при фиксированном? предполагаются непрерывными. При фиксированных х, и, V функции /, д считаются кусочно-непрерывными по ?. Заданы априорные ограничения (хо, у (-)) Е «Уо, и (-) Е и, где Уо, и, — слабо компактные множества [51,87,97] в пространствах Яп х и Ь[?о, Т] соответственно. Для существования и продолжимости решений уравнения (1) примем стандартные условия [3,24,58,80]: f (t, Xi, u (t), v (t)) — f (t, X2, u{t), v (t))\ < Ас, и, г, — Х2\, ж, и, г-)|| <*(! + ||z|| + IHI + IHI), xeRn, и Е Rq, veRP, где и (-) Е U, v (-) Е proj^P^ ^ Vq, (t, xi) E G, i = 1,2. Здесь G — компактное подмножество в [io, T] x Rn, Ag, u, v> h — константы, || • || — евклидова норма.
Введем ряд обозначений. Сужение измеримой вектор-функции :r (s), s Е [¿-о? Т], на отрезок [i0,?] будет обозначаться через хь{-), а сужение на отрезок [t, T] — через xt (-).
Определение 1 (Куржанский A.B., [61]). Информационным множеством (ИМ) X{t, y, u) системы (1), (2), где и Е U, называется совокупность всех таких векторов {ж (£)}, которые могут реализоваться в системе при некоторой паре (жо, г>(-)) Е V0 при условии, что выход уравнения (2) на отрезке [¿-о, t] почти всюду совпадает с измеренным сигналом х = f (t, x, u, v), te[to, T].
1) y = g (t, x, v), у Е Rm.
2).
Ясно, что область формально зависящая от сужений уь{-), ut (•), зависит также и от ограничений Vq. Характер этой зависимости будет уточняться ниже с учетом вида ограничений (интегральные, мгновенные и т. д.). Чтобы подчеркнуть указанную зависимость будем иногда писать Af (t, у, и | Vq). В начальный момент имеем X (to, у, и) = proj^"Vo, где проекция будет компактом в силу сделанных предположений.
Определение 2. Совместимым множеством Y (t, y, u) системы.
1), (2), где и 6 U, назовем совокупность всех пар {(x (t), vt (-))}, для которых найдется элемент (xo, v (-)) Е Vo такой, что выход уравнения.
2) на отрезке [¿-о, t] почти всюду совпадает с измеренным сигналом у*(-), причем функция vt{-) есть сужение v (-) на отрезке [i, Т].
Для подчеркивания зависимости совместимого множества от Vo будем иногда писать V (?, у, и | Vo). Связь информационного и совместимого множеств выражается равенством X{t, у, и) — proji?"V (i, у, и). Совместимые множества обладают полугрупповым свойством: V (s, yf (•), ut (') I Y (t, y, u)) = V (s, y, u | Vo), где to ^ t < s < Т. В качестве следствия имеем равенство ИМ:
Продолжим формулировку задачи коррекции. Первоначальная цель управления состоит в минимизации функционала Ф (Х (Т, у, и)) в конечный момент времени, где Ф (-) — некоторый функционал, заданный на компактных подмножествах Rn. Функционал предполагается ограниченным снизу и монотонным: Ф (Хх) < Ф (Х2), если Х С ХчОбласть до-, стижимости системы (1) в момент t по всем параметрам Vq обозначим через Xt (u | Vo). Множество Vo будет опускаться, если это не приводит к недоразумениям. В начальный момент времени назначается управление щ, решающее программную задачу.
Ф (Хт (и)) min. (4) ие U.
Такое управление в общем случае определяется неоднозначно. Будем считать, что минимум в задаче (4) существует, и выбрано какое-то управление щ G Arg min Ф (Яг (и)). Далее назначается некоторый момент времени s Е [to, T], вплоть до которого в системе (1) сохраняется управление Uq (-) и проводится наблюдение согласно уравнению (2). В момент s наблюдение прекращается, формируется область достижимости.
Xt{us{-) I V (s, y, uo)) и решается вспомогательная программная задача Ф (*т (щ (-) I V (s, y, u0))) -> min =r3(y, uo). (5) us (-)eU (ug).
Здесь и далее множество ]{и*) состоит из всех функций которые вместе с начальным отрезком и1 составляют некоторую функцию и? U.
Выберем какое-то решение задачи (5) и обозначим его usо (-). В силу свойств функционала Ф значение оптимального функционала в задаче (5) не больше аналогичного значения задачи (4). Вопрос заключается в том, как выбрать момент окончания наблюдения s. Для этого выбора в цитированных выше работах А. Б. Куржанского и его школы предлагалась следующая конструкция.
Пусть Y (s, t I V (t, y, u)) означает множество всех продолжений {yt{-)} сигнала у*(-) на отрезок [io, s], где t < s, при назначенном управлении и Е U. Определяются величины n{s, y, uo)= sup rs (y, u0), yt{-)eY (s, tV{t, y, u0)) ^ n (t, y, u0)= min rt (s, у, щ). se[t, T}.
Теперь задачу однократной коррекции можно сформулировать так.
Задача 1 (Однократной коррекции). Найти наименьший корень s уравнения r*(t, y, u0) =rt (y, uo). (7).
Этот наименьший корень s называется моментом коррекции исходного управления щ, которое изменяется на usо (-) на оставшемся отрезке управления [s, Т].
Отметим, что имеются иные постановки задачи, представленные в работах Ф. Л. Черноусько, В. Б. Колмановского, H.A. Парусникова, В. М. Морозова, В. И. Борзова, В. Н. Афанасьева и др. [26,35,78,91−93]. В частности, класс управлений может быть не из пространства L2, а из пространства обобщенных функций первого или более высокого порядка, как в [5,91,92]. Многие постановки допускают присутствие стохастических или смешанных возмущений, см. работы В. В. Александрова, Б. И. Ананьева, В. Н. Афанасьева, И. А. Богуславского, И. А. Дигайловой, Д. М. Климова [3,7,9,26,31,35,45,55].
Практически решение представленной выше задачи 1 достигается при использовании следующей дискретной схемы.
Дискретная пошаговая процедура. Пусть.
Л: ?0 < ?1 < • • • < ¿-ЛГ = т (8) разбиение отрезка [?о, Т], и |А| = тах{^ — ??-1: 1 ^ г ^ А^}. Тогда: а) До начала процесса решается задача (4) и находится оптимальное управление щ, которое сохраняется на начальном отрезке [¿-01]б) В момент ?1 и в последующие моменты и проверяется равенство (7). Если г*(и, у, щ) < г^(у, щ), то управление на следующий отрезок [и, и+1] не меняется. В противном случае на весь оставшийся отрезок [и, Т] назначается новое управление, а момент ^ объявляется моментом коррекции.
Вообще говоря, как отмечалось выше, начальное управление щ может определяться неоднозначно, и момент коррекции может зависеть от этого управления. Однако (особенно в линейных задачах) весьма часто имеем г^о = 0. Как видно из построения, управление на отрезке [и, Т] вычисляется позиционно, на основе информации {?/*(•), (•)}.
Актуальность работы и научная новизна. В данной работе мы несколько обобщаем задачу 1. Если процесс наблюдения не является затратной процедурой, то его следует продолжить после нахождения первого момента коррекции. Таким образом, возникает.
Задача 2 (Многократной коррекции). В соответствии с разбиением (8) до начала процесса вычисляется управление щ (решение задачи (4)), которое сохраняется на начальном отрезке [¿-о5 ?1]• Ни отрезке [?1,^2] выбирается управление щ^-), совпадающее с если < гЬ1(у, щ). В противном случае иы (-) = щ^-), где одно из решений задачи (5) при в = ?1. В последующие моменты и процедура повторяется.
В результате решения задачи 2 возникает управление ид 6 и, которое корректируется, вообще говоря, более чем в одной точке. В конце процесса подсчитывается результат гт (у, ид), который по построению не хуже, чем аналогичный результат решения задачи 1. Задача 2 впервые рассмотрена в работе [13]. Помимо сформулированной задачи ниже рассматриваются некоторые её модификации. В частности, в том случае, когда допустимо изменение управления в каждый момент разбиения (8), получается наилучший результат.
Сформулированные задачи предполагают эффективное вычисление величин (6), умение строить информационные множества и множества достижимости для рассматриваемых систем. В связи с этим укажем один весьма общий способ определения информационных множеств, основанный на методе динамического программирования и предложенный в работах А. Б. Куржанского и П. Варайи [68,69,109,110]. Пусть уравнение (2) имеет вид y = g (t, x) + w, yeRm, (9) где возмущение w (-) вместе с начальным состоянием хо и возмущением v (-) из (1) стеснены ограничением г.
F (xq) + J f0(t, v, w)dt^l. (10) 0.
Введём функцию Беллмана.
V (t, х) = min J (t, х, v), v (-) где функционал J определяется формулой t.
J (t, X, V) = F (xо) + J /о (г, V, у (т) — д (т, x))dr, x (t) = х. to.
Уравнение Беллмана для V (t, х) имеет следующий вид:
Vt = mm{-f'(t, x, u, v) Vx + fo (t, v, y (t) — g (t, x))} ,.
И).
V (t0,x) = F (x), где символ ' означает транспонирование.
За последние десятилетия методы решения уравнений типа (11) дополнились новыми результатами в случае негладких функций F, /о (см. монографии Ф. Кларка, А. И. Субботина [102,116]). Если решение уравнения (И) в каком-то смысле найдено, то ИМ запишется в виде неравенства X (t, y, u) = {х: V (t, x) < 1}.
Отметим еще, что задачи управления по неполным данным типа (4), (5) изучались в работах Т. Ф. Филипповой (см. [89]).
В настоящей диссертации разработаны методы решения задач многократной коррекции движения управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или многошаговыми уравнениями в условиях неполной информации о фазовом векторе. Предложены алгоритмы коррекции, установлены их свойства. Рассмотрено приложение к задаче выставки инерциальных систем и исследовано влияние информационных ограничений на параметры коррекции движения.
Краткое содержание работы. В диссертации разрабатываются методы решения задач многократной коррекции движения механических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными или многошаговыми уравнениями с неполной информацией при непрерывных и дискретных наблюдениях.
Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы из 116 наименований. В тексте содержится 24 рисунка.
Заключение
.
В настоящей диссертации разработаны методы коррекции движения управляемых систем, описываемых обыкновенными дифференциальными или многошаговыми уравнениями в условиях неполной информации о фазовом векторе. Предложены алгоритмы коррекции, установлены их свойства. При разработке методов коррекции использованы теории управления и оценивания для механических систем в условиях неопределенности, методы динамического программирования, функционального анализа, выпуклого и нелинейного анализа, теории экстремальных задач. По ходу решения основных задач получены новые результаты по оцениванию для непрерывных квазилинейных и многошаговых нелинейных систем.
Рассмотрено приложение методов коррекции движения управляемых систем с неполной информацией к задаче выставки двухступенчатой транспортной системы. Рассмотрена общая нелинейная система уравнений и её линейная аппроксимация при малых отклонениях углов. Проведено моделирование процесса выставки для случая простейшей модели. Экспериментально показано, что в линеаризованной модели оптимальное значение минимаксного функционала качества достигается при малом числе коррекций (2 раза) управления. Исследовано влияние информационных ограничений на параметры коррекции движения. Эти ограничения могут возникнуть вследствие того, что сигналы в центр управления и обработки информации, возможно находящийся на значительном удалении от объектов наблюдения и управления, поступают в дискретные моменты времени словами ограниченной длины, состоящими из целых чисел.
К основным результатам, полученным в диссертации, относятся следующие:
1. Вывод формул для оценивания непрерывных линейных систем с совместными квадратичными интегральными ограничениями и вырожденной матрицей Ро.
2. Разработка алгоритмов многократной коррекции и установление их свойств для многошаговых нелинейных систем.
3. Разработка методов оценивания для непрерывных квазилинейных систем при дискретных измерениях.
