Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Интегралы

КурсоваяПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид: Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями. Используем формулу вычисления объема тела вращения: Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим. Основные методы решения определенных интегралов. Делаем замену переменной в заданном интеграле: Разложим подинтегральную дробь на простейшие. Тогда =, где F… Читать ещё >

Интегралы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

-Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу [1−4].

Составим и решим задачу, раскрывающую экономический смысл определенного интеграла [2]. Пусть функция z=f (t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0; T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f (t) постоянная функция), то объем продукции Δu, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+Δt], задается формулой Δu= f (t) Δt. В общем случае справедливо приближенное равенство Δu= f (ξ) Δt, где ξ [t, t+Δt], которое оказывается тем более точным, чем меньше Δt.

Разобьем отрезок [0; T] на промежутки времени точками: 0=t0

Основные методы решения определенных интегралов.

1. Непосредственное интегрирование.

Этот способ основан на использовании свойств определенного интегра-ла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тож-дественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.

2. Интегрирование подстановкой.

Для решения определенного интеграла методом подста-новки заменяют g (x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g (a)=α и g (b)=β.

Тогда =, где F (t)-первообразная функции f (g (x))=f (t).

3. Интегрирование по частям.

При этом способе используют формулу: (**)

Подробные рекомендации по решению интегралов п частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам.

Рассмотрим решение типовых задач.

Задача 1. Вычислить

Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрировани-ем. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

= .

Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим

Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Задача 2. Вычислить

Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую пере-менную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d (4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x1=0 по-лучаем t1=4,

при x2=2 получаем t2=2.

Делаем замену переменной в заданном интеграле:

Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свой-ством 3:

Задача 3. Вычислить

Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d (lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к за-данному интегралу формулу интегрирования по частям, получим

.

Рассмотрим задачи на геометрические приложения определенного ин-теграла.

Задача 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Y=x-x2, y=0.

Решение. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ-ции y=f (x), прямыми x=a, x=b и осью OX, равна

Найдем координаты точек пересечения графиков:

x-x2=0, x1=0, x2=1.

A (0,0), B (1,0).

Преобразуем уравнение параболы.

Y=-(x2-x+¼)+¼, y-¼=-(x-½)2.

Задача 5. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.

Решаем биквадратное

уравнение.

т.к. значение должно быть положительным,

Таким образом, Ординаты этих значений

равны:

Вычислим площадь фигуры:

ед2.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями

Решение.

Построим графики заданных функций.

Рис. 6.

Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид:

Первое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2, т.к. при y=-2 x=4, т. е. M (4; -2) точка пересечения линий.

Задача 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограни-ченной линиями y=e-x, y=0, x=0, x=1 вокруг оси OX.

Решение.

Используем формулу вычисления объема тела вращения:

(2)

Тогда, по формуле (2), искомый объем

Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

Решение.

Интеграл имеет особенность в точке x=, т.к. .

Разложим подинтегральную дробь на простейшие.

Показать весь текст

Список литературы

  1. .М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. Общий курс. СПб.: Издательство «Лань», 2004. 960с.
  2. Высшая математика для экономистов. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. 471с.
  3. Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х т.: Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Висагинас: «Alfa», 1998. 384с.
  4. Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.1. М.: Наука, 2002. 456с.
  5. Практикум по высшей математике для экономистов. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 423с.
Заполнить форму текущей работой