Основные методы решения определенных интегралов.
1. Непосредственное интегрирование.
Этот способ основан на использовании свойств определенного интегра-ла, приведении подынтегрального выражения к табличной форме путем тож-дественных преобразований и применении формулы Ньютона-Лейбница.
2. Интегрирование подстановкой.
Для решения определенного интеграла методом подста-новки заменяют g (x)=t; dt=g'(x)dx и находят пределы изменения переменной t при изменении x от a до b из соотношений: g (a)=α и g (b)=β.
Тогда =, где F (t)-первообразная функции f (g (x))=f (t).
3. Интегрирование по частям.
При этом способе используют формулу: (**)
Подробные рекомендации по решению интегралов п частям даны в описании этого метода применительно к неопределенным интегралам.
Рассмотрим решение типовых задач.
Задача 1. Вычислить
Решение. Данный интеграл решим непосредственным интегрировани-ем. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:
= .
Применим свойства 6 и 5, в результате чего получим
Так как оба интеграла табличные, записываем первообразные функции и применяем формулу Ньютона-Лейбница:
Задача 2. Вычислить
Решение. Решаем интеграл методом подстановки. Введем новую пере-менную t=4-x и продифференцируем данное равенство: dt=d (4-x); dx=-dt. Найдем новые пределы интегрирования из соотношения t= 4-x: при x1=0 по-лучаем t1=4,
при x2=2 получаем t2=2.
Делаем замену переменной в заданном интеграле:
Избавимся от знака минус перед интегралом, воспользовавшись свой-ством 3:
Задача 3. Вычислить
Решение. Будем решать интеграл методом интегрирования по частям. Обозначим lnx=u, dx=dv и найдем du=d (lnx)=dx/x и v=∫dx=x. Применяя к за-данному интегралу формулу интегрирования по частям, получим
.
Рассмотрим задачи на геометрические приложения определенного ин-теграла.
Задача 4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций
Y=x-x2, y=0.
Решение. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функ-ции y=f (x), прямыми x=a, x=b и осью OX, равна
Найдем координаты точек пересечения графиков:
x-x2=0, x1=0, x2=1.
A (0,0), B (1,0).
Преобразуем уравнение параболы.
Y=-(x2-x+¼)+¼, y-¼=-(x-½)2.
Задача 5. Требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Решение. Найдем точки пересечения кривых.
Решаем биквадратное
уравнение.
т.к. значение должно быть положительным,
Таким образом, Ординаты этих значений
равны:
Вычислим площадь фигуры:
ед2.
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной функциями
Решение.
Построим графики заданных функций.
Рис. 6.
Т.к. фигура лежит ниже оси ОХ, формула вычисления площади имеет вид:
Первое слагаемое есть площадь прямоугольника со сторонами 4 и 2, т.к. при y=-2 x=4, т. е. M (4; -2) точка пересечения линий.
Задача 7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограни-ченной линиями y=e-x, y=0, x=0, x=1 вокруг оси OX.
Решение.
Используем формулу вычисления объема тела вращения:
(2)
Тогда, по формуле (2), искомый объем
Задача 8. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Решение.
Интеграл имеет особенность в точке x=, т.к. .
Разложим подинтегральную дробь на простейшие.
