ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

Выборочная ковариация

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°ΡΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Подобно Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ r, r ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, которая получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ строгой Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями x ΠΈ y. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ r ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ -1, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° сущСствуСт линСйная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° r = 0 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ наблюдСниями x ΠΈ y Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ отсутствуСт. Однако, Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r = 0… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Выборочная ковариация (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠœΠΈΠ½ΠΈΡΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Российской Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Алтайский ГосударствСнный УнивСрситСт

ЭкономичСский Π€Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚

Π—Π°ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠ°Ρ„Π΅Π΄Ρ€Π° «Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ систСмы Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠΊΠ΅»

ΠšΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ:

«Π­ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ°»

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ» студСнт

3 курса 211 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹

НСклюдов А.А.

Π‘Π°Ρ€Π½Π°ΡƒΠ» 2003 Π³.

Выборочная ковариация

Выборочная ковариация являСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ взаимосвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ понятиС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ продСмонстрировано Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ: «Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΡƒ», ΠšΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ„Π΅Ρ€Π° Π”ΠΎΡƒΠ³Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1963 ΠΈ 1972 Π³Π³. ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ спрос Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½ Π² Π‘ША устойчиво ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ°Π»ΡΡ. Π­Ρ‚Π° тСндСнция ΠΏΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² 1973 Π³., Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ послСдовали нСрСгулярныС колСбания спроса с Π½Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ. Π’ Ρ‚Π°Π±Π». 1.1 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠΌ спросС ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π½Π°Ρ… послС нСфтяного кризиса. (РСальная Ρ†Π΅Π½Π° вычисляСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ дСлСния индСкса номинальной Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½, Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ индСкс ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΡ… Ρ†Π΅Π½ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π½Π° 100, ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ дСфляторов Ρ†Π΅Π½ для Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΡ… расходов (1972 = 100%)). Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΡ‹ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ дСфляторов основаны Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… 1972 Π³.; Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, индСкс Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.1 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‹ Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ инфляции начиная с 1972 Π³.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.1

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠ΅ расходы Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ†Π΅Π½Π° Π² Π‘ША

Π“ΠΎΠ΄

Расходы

(ΠΌΠ»Ρ€Π΄. Π΄ΠΎΠ»Π»., Ρ†Π΅Π½Ρ‹ 1972 Π³.)

ИндСкс Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π½ (1972=100)

26,2

103,5

24,8

127,0

25,6

126,0

26,8

124,8

27,7

124,7

28,3

121,6

27,4

179,7

25,1

188,8

25,2

193,6

25,6

173,9

МоТно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΌ спросом Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½ΠΎΠΉ. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ позволяСт Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ связь Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ числом. Для Π΅Π³ΠΎ вычислСния сначала Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ срСдниС значСния Ρ†Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠ° Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ² Ρ†Π΅Π½Ρƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· p ΠΈ ΡΠΏΡ€ΠΎΡ — Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· y, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ срСдниС значСния p ΠΈ y, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ вычисляСм ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ p ΠΈ y ΠΎΡ‚ срСдних ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΈΡ…. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это для всСх Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΡŽΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, ΠΎΠ½Π° ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ (Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.2).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.2

НаблюдСниС

Π¦Π΅Π½Π°

p

Бпрос

y

_

(p-p)

_

(y-y)

_ _

(p-p)(y-y)

103,5

26,2

— 39,86

— 0,07

2,79

127,0

24,8

— 16,36

— 1,47

24,05

126,0

25,6

— 17,36

— 0,67

11,63

124,8

26,8

— 18,56

0,53

— 9,84

124,7

27,7

— 18,66

1,43

— 26,68

121,6

28,3

— 21,76

2,03

— 44,17

149,7

27,4

6,34

1,13

7,16

188,8

25,1

45,44

— 1,17

— 53,16

193,6

25,2

50,24

— 1,07

— 53,76

173,9

25,6

30,54

— 0,67

— 20,46

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

1433,6

262,7

— 162,44

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

143,36

26,27

— 16,24

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ n Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… (x ΠΈ y) выборочная ковариация задаСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ:

Cov (x, y) = 1/n*S (xi-x)(yi-y) = 1/n{(xi-x)(yi-y)+…+(xn-x)(yn-y)}

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ковариация ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°. Π’Π°ΠΊ это ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ связь Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ выраТаСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ связь — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π° 1979 Π³. (p-pсрСдн.) = 6,34, (y-yсрСдн.) = 1,13, Π° ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 7,16, Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ наблюдСнии значСния Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠ° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… срСдних Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, наблюдСниС Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

Π’ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π° 1978 Π³. Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ†Π΅Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСй, Π° ΡΠΏΡ€ΠΎΡ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ срСднСго, поэтому (p-pсрСдн.) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (y-yсрСдн.) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ вносит ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

Π’ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π° 1974 Π³., ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ†Π΅Π½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΡΠΏΡ€ΠΎΡ, Π½ΠΈΠΆΠ΅ своих срСдних Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, (p-pсрСдн.) ΠΈ (y-yсрСдн.) ΠΎΠ±Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, наблюдСниС вносит ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π² ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π² Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π° 1981 Π³. Ρ†Π΅Π½Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ срСднСй, Π° ΡΠΏΡ€ΠΎΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ срСднСго. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ (p-pсрСдн.) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (y-yсрСдн.) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, поэтому (p-pсрСдн.)(y-yсрСдн.) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, соотвСтствСнно, вносится ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄.

НСсколько основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» расчСта ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1

Если y = v+w, Ρ‚ΠΎ Cov (x, y) = Cov (x, v)+Cov (x, w).

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2

Если y = az, Π³Π΄Π΅ a — константа, Ρ‚ΠΎ Cov (x, y) = aCov (x, z)

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3

Если y = a, Π³Π΄Π΅ a — константа, Ρ‚ΠΎ Cov (x, y) = 0

ДСмонстрация ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 1

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ сСмьям (домохозяйствам), ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.3: ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ (x); расходы Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ (y); расходы Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ (v) ΠΈ Ρ€Π°ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ‹ Π½Π° ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ (w). ЕстСствСнно, y Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ΅Ρ‚ся суммС v ΠΈ w. Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ z Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ для дСмонстрации ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 2.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.3

БСмья

Π”ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ сСмьи

(x)

Расходы Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ

(y)

Расходы Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅

(v)

Расходы Π½Π° ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ

(w)

Вторая Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ°: расходы сСмьи Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ

(z)

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.4 Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ (x-x), (y-y), (v-v) ΠΈ (w-w) Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сСмьи. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ (x-xсрСдн.)(y-yсрСдн.), (x-xсрСдн.)(v-vсрСдн.) ΠΈ (x-xсрСдн.)(w-wсрСдн.) для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сСмьи. Cov (x, y) получаСтся ΠΊΠ°ΠΊ срСднСС ΠΈΠ· Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ (x-xсрСдн.)(y-yсрСдн.) ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ΅Ρ‚ся 266 250. Cov (x, v) Ρ€Π°Π²Π½Π° 157 500 ΠΈ Cov (x, w) = 108 750. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Cov (x, y) являСтся суммой Cov (x, v) ΠΈ Cov (x, w).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.4

БСмья

_

x-x

_

y-y

_ _

(x-x)(y-y)

_

(v-v)

_ _

(x-x)(v-v)

_

(w-w)

_ _

(x-x)(w-w)

— 883

— 75

— 50

— 25

— 1383

— 325

— 200

— 125

— 25

— 2917

— 583

— 175

— 100

— 75

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

ДСмонстрация ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 2

Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.3 послСдняя ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ° (z) Π΄Π°Π΅Ρ‚ расходы Π½Π° ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ΄Π΅ΠΆΠ΄Ρƒ для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства ΠΈΠ· 6 сСмСй. КаТдоС наблюдСниС z Ρ„актичСски прСдставляСт собой ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ x Π΄Π»Ρ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° сСмСй ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅. Для вычислСния Cov (x, z) Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ значСния (x-xсрСдн.), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ (z-zсрСдн.)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.5

БСмья

(x-x)

(z-z)

(x-x)(z-z)

— 883

— 150

— 1383

— 650

— 583

— 350

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1.5 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Cov (x, z) Ρ€Π°Π²Π½Π° 532 500, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚очности Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Cov (x, y).

ДСмонстрация ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 3

Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая сСмья Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° взрослых Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Π½Π΅Π΄ΠΎΡ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (x) ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ взрослых Π² ΡΠ΅ΠΌΡŒΠ΅ (a). ЕстСствСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a1=a2=…=a6=2. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, aсрСдн .= 2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сСмьи (a-aсрСдн.) = 0 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, (x-xсрСдн.)(a-aсрСдн.) = 0. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Cov (x, a) = 0.

ВСорСтичСская ковариация Если x ΠΈ y — случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, тСорСтичСская ковариация sxy опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΎΡ‚ ΠΈΡ… ΡΡ€Π΅Π΄Π½ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

pop.cov (x, y) =?xy = E{(x)(y-y)}

Если тСорСтичСская ковариация нСизвСстна, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»Ρ Π΅Π΅ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ использована выборочная ковариация, вычислСнная ΠΏΠΎ Ρ€ΡΠ΄Ρƒ наблюдСний. К ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ такая ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ°, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС.

Если x ΠΈ y Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Ρ‚СорСтичСская ковариация Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ:

E{(xx)(yy)} = E (xx)(yy) = 0*0

Выборочная диспСрсия.

Для Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ ΠΈΠ· n Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ x1,…, xn выборочная диспСрсия опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ срСднСквадратичноС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΠΊΠ΅:

Var (x) = 1/nS (x-x)2

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ выборочная диспСрсия прСдставляСт собой ΡΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΡƒ тСорСтичСской диспСрсии s2, которая опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ:

1/(n-1)?S (x-x)2, являСтся нСсмСщСнной ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΎΠΉ s2. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Var (x) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ [(n-1)/n]s2 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ смСщСниС. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠΈ n ΡΡ‚ановится большим, Ρ‚ΠΎ (n-1)/n стрСмится ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Var (x) стрСмится ΠΊ s2.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° расчСта диспСрсии.

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1

Если y = v+w, Ρ‚ΠΎ Var (y) = Var (v)+Var (w)+2Cov (v, w)

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2

Если y = az, Π³Π΄Π΅ a ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся постоянной, Ρ‚ΠΎ Var (y) = a2Var (z)

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 3

Если y = a, Π³Π΄Π΅ a ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся постоянной, Ρ‚ΠΎ Var (y) = 0

Β· ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 4

Если y = v+a, Π³Π΄Π΅ a ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся постоянной, Ρ‚ΠΎ Var (y) = Var (v)

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ диспСрсия ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ковариация ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ x:

Var (x) = 1/n*(xi-x)2 = 1/n*(xi-x)(xi-x) = Cov (x, x)

Учитывая это равСнство, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ расчСта Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ вывСсти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° расчСта диспСрсии.

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции Рассматривая ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΡŽ нСльзя Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° являСтся Π½Π΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ взаимосвязи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ зависимости являСтся тСсно связанный с Π½Π΅ΠΉ коэффициСнт коррСляции. Подобно диспСрсии ΠΈ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, коэффициСнт коррСляции ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ — Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ.

Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… x ΠΈ y Ρ‚СорСтичСский коэффициСнт коррСляции опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ:

x,y = pop. cov (x, y) / pop. var (x)pop.var (y) = ?x,y / x2y2 var (y)

Если x ΠΈ y Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎ r Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚.ΠΊ. Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ тСорСтичСская ковариация. Если ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ сущСствуСт, Ρ‚ΠΎ sx,y, Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ rx,y Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Если сущСствуСт строгая ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΡ‚ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ rx,y ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 1. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ зависимости rx,y Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ с ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ -1.

Π’Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт коррСляции r Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

rx, y = (n/(n-1))Cov (x, y) / (n/(n-1))Var (x)(n/(n-1))Var (y)

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ n/(n-1) ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅Π»ΡΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ:

rx, y = Cov (x, y) / Var (x)Var (y)

Подобно Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ r, r ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, которая получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ строгой Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями x ΠΈ y. Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ r ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ -1, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° сущСствуСт линСйная ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° r = 0 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ наблюдСниями x ΠΈ y Π² Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΊΠ΅ отсутствуСт. Однако, Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r = 0, Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

Для вычислСния Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта коррСляции ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠ΅ Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½. Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ прСдставлСны Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ 1.1.

Cov (p, y) = - 16,24 (см. Ρ‚Π°Π±Π». 1.2), поэтому Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния Var (p) ΠΈ Var (y) (см. Ρ‚Π°Π±Π». 1.6 Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ страницС). Π’ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΡ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1.6 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Var (p)=888,58 Var (y)=1,33. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

r = -16.24 / 888,58 * 1,33 = - 16,24 / 34,38 = - 0,47

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.6

НаблюдСниС

p

y

(p-p)

(y-y)2

(p-p)2

(y-y)2

103,5

26,2

— 39,86

— 0,07

1588,82

0,01

127,0

24,8

— 16,36

— 1,47

267,65

2,16

126,0

25,6

— 17,36

— 0,67

301,37

0,45

124,8

26,8

— 18,56

0,53

344,47

0,28

124,7

27,7

— 18,66

1,43

348,20

2,05

121,6

28,3

— 21,76

2,03

473,50

4,12

149,7

27,4

6,34

1,13

40,20

1,28

188,8

25,1

45,44

— 1,17

2064,79

1,37

193,6

25,2

50,24

— 1,07

2524,06

1,15

173,9

25,6

30,54

— 0,67

932,69

0,45

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

1433,6

262,7

8885,75

13,30

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

143,36

26,27

888,58

1,33

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ковариация Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ связи?

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции являСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ подходящим ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ зависимости, Ρ‡Π΅ΠΌ ковариация. Основная ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° этого Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ковариация зависит ΠΎΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ x ΠΈ y, Π² Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ коэффициСнт коррСляции Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° бСзразмСрная.

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ со ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π° Π±Π΅Π½Π·ΠΈΠ½, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии индСкса Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π½ Π² ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ 1980 Π³. Π²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎ 1972 Π³., Ρ‚ΠΎ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС ковариация измСнится, Π° ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции — Π½Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈ использовании 1972 Π³. Π²ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ΄Π° индСкс Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π½ для 1980 Π³. ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠ» 188,8. Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ этот индСкс Π·Π° 100 для 1980 Π³., Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ряды ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния Π½Π° ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ 100/188,8 = 0,53. НовыС ряды прСдставлСны Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ½ΠΊΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ 1.7 ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· P. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° P Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ p.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ наблюдСниС ряда Ρ†Π΅Π½ Π±Ρ‹Π»ΠΎ пСрСсчитано с ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ 0,53 Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡΡ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π° Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ (PсрСдн.) пСрСсчитываСтся с ΡΡ‚ΠΈΠΌ коэффициСнтом. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Π³ΠΎΠ΄Ρƒ t:

Pt — P = 0,53pt — 0,53p = 0,53(pt — p)

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π³ΠΎΠ΄Ρƒ t:

(P — P)(y — y) = 0,53(p — p)(y — y),

ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Cov (P, y) = 0,53Cov (p, y). Однако Π½Π° ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции это ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ‚. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции для P ΠΈ y Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

rp,y = Cov (P, y) / Var (P)Var (y)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1.7

НаблюдСниС

P

y

P-P

y-y

(P-P)2

(y-y)2

(P-P)(y-y)

54,82

26,2

— 21,11

— 0,07

445,73

0,01

1,48

67,27

24,8

— 8,67

— 1,47

75,09

2,16

12,74

66,74

25,6

— 9,20

— 0,67

84,55

0,45

6,16

66,10

26,8

— 9,38

0,53

96,64

0,28

— 5,21

66,05

27,7

— 9,88

1,43

97,68

2,05

— 14,13

64,41

28,3

— 11,53

2,03

132,84

4,12

— 23,40

79,29

27,4

3,36

1,13

11,28

1,28

3,80

100,00

25,1

24,07

— 1,17

579,26

1,37

— 28,16

102,54

25,2

26,61

— 1,07

708,10

1,15

— 28,47

92,11

25,6

16,18

— 0,67

261,66

0,45

— 10,84

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°:

759,32

262,7

2492,28

13,30

— 86,04

Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅:

75,93

26,27

249,23

1,33

— 8,60

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ