Формула Шлетца

КОМІТЕТ ПО ВИЩОМУ ОСВІТІ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ. КАЛІНІНГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНИВЕРСИТЕТ.

§ 1. Простір R (p1,p2).

А1- аффинная пряма. Можемо пояснити пряму А1 до рухливому реперу r = {a,(e}, де, а и (e відповідно точка і вектор.

Деривационные формули репера r мають вид:

d a= ((e, d (e= W (e.

(1), причому форми Пфаффа (і W підпорядковуються рівнянням структури 1-мерного аффинного простору :

D (= ((W, DW=W (W=0.

Нехай e* - відносна довжина вектора e* =(e + d (e + ½d2(e + 1/6d3(e +… стосовно вектору (е. Тоді (e* =e*(e. З (1) отримуємо :e* =1+W+… Отже, форма Пфаффа W є диференціалом відносної довжини вектора (e*, близького до (e, стосовно (e.

Нехай R (p1,p2) — простір всіх пар (p1,p2) точок p1, p2 прямий А1. Помістимо початок, а репера r до середини Q відрізка р1р2, а кінець вектора (е — в точку р1; у своїй р2 сполучиться з кінцем вектора -(е.

Умови стаціонарності точок р1 і р2 у тому репере мають відповідно вид: W+(=0, -W+(=0.

Отже, в репере r структурними формами простору R (р1,р2) є форми Пфаффа: W+(, -W+(.

Вочевидь, що dim R (p1,p2)=2. Зауважимо, що у репере r форма 2W є диференціалом відносної довжини відрізка р1*р2*, близького до р1р2, по відношення до р1р2.

§ 2. Відображення f.

А2 — аффинная площину, віднесена до рухливому реперу R={p,(ej}. Деривационные формули репера R і рівняння структури площині А2 мають відповідно вид: dp=Wjej; d (ej= Wj k;

DWj=Wk^Wkj; DWj=Wjy^Wyk .

Розглянемо локальне дифференцируемое відображення f площині А2 в просторі R (p1,p2):f:A2(R (p1,p2).

Вважатимемо, що у кожній фазі області визначення відображення f виконується: rang f=2 (1).

Помістимо початок Р репера R в точку f-1(p1,p2). Тоді диференціальні рівняння відображення f запишуться як :

Q+W=(jWj; Q-W=(jWj (2).

З (1) випливає, що є локальне дифференцируемое відображення f-1: R (p1,p2)(A2 зворотне до f. В зазначених реперах диференціальні рівняння відображення f-1 мають вигляд :

Wj=(j (Q+W)+(j (Q-W) (3).

З (2) і (3) отримуємо :

(k (j+(k (j=(jk.

(j (j=1.

(j (j=1 (*).

(j (j=0.

(j (j=0.

Зазначену пару {r;R} реперів просторів А1 і А2 називатимемо репером нульового порядку відображення f.

§ 3.Фундаментальные геометричні об'єкти відображення f. Можна Здійснити продовження системи (2) диференціального рівнянь відображення f.

D (?jWj-W-Q)=0, отримуємо: d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk.

D (?jWj+W-Q)=0 отримуємо: d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk.

Отже, продовжена система диференційних рівнянь відображення f має вигляд :

Q+W=?jWj.

Q-W=?jWj d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj З положень цих рівнянь випливає, що систему величин Г1={?j,?j} є геометричних об'єктом. Він називається фундаментальним геометричних об'єктом першого порядку відображення f. Можна Здійснити друге продовження системи (2): d? k^Wjk+?kdWjk+14(?j?k-?k?j)^Wk+14(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0. получим:

(d?jt-?ktWjk-?jkWtk+14(?k?jt-?k?jk)Wk+116?t?k (?j-?j)Wk)^Wt=0 d? k^Wjk+?kdWjk+14d (?j?k-?k?j)^Wk+14(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0 получим:

(d?jt-?ktWjk-?jtWtk+14(?k?jt-?k?jt)Wk+116?t?k (?j-?j)Wk)^Wt=0 обозначим:

?j=d?j-?tWjt.

?j=d?j-?tWjt.

?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt.

?jk=d?tkWjt-?jtWkt.

Тоді двічі продовжена система диференційних рівнянь відображення f прийме вид:

Q+W=?jWj.

Q-W=?jWj d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk d? j=?kWjk+14(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk.

(4).

?jk=(14(???jk-???jk)+116?k??(?j-?j)+?jk?)W?

?jk=(14(???jk-???jk)+116?k??(?j-?j)+?jk?)W? З рівнянь (4) випливає, що систему величин Г2={?j,?j,?jk,?jk} утворює геометричний об'єкт. Він називається фундаментальним геометричних об'єктом другого порядку відображення f. Подальше продовження системи (2) призведе до фундаментального геометричному об'єкту ГР порядку р :

ГР={?j,?j,?j1j2,?j1j2,…,?j1j2…jp,?j1j2…jp}.

§ 4. Вектори і ковекторы першого порядка.

З системи диференційних рівнянь (5) випливає, що систему величин {?j},{?j} утворює подобъекты геометричного об'єкта Г1. Будемо називати їхні основними ковекторами 1-го порядку. Основні ковекторы визначають для кожної точки P дві інваріантні прямые:

?jXj=1; ?jXj=1 (6) не инцидентные точці Р. З умови rang f=2 і рівняння (2) випливає, що прямі (6) не рівнобіжні. Умови (*) показують, що величини {?j,?j} є компонентами матриці, зворотної до матриці, складеної з координат основних ковекторов. Отже, величини {?j,?j} охоплюються об'єктом Г1.

З (*) отримуємо: d? j=-?kWkj-14(?j+?j)?tWt-?kt?k?tWt-?ktWt^?k?j d? j=-?kWkj-?kt?k?jWt-?kt?k?jWt+14?t (?j+?j)Wt.

Отже, система величин й творять геометричні об'єкти, охоплені об'єктом Г1. Будемо називати їхні основними векторами 1-го порядка.

Припущення 1. Конец вектора v1=?jej (вектора v2=?jej) лежить на жіночих прямий (6). Доказ випливає з формул (*); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (2). Прямі, паралельні прямим (6), инцидентные точці Р, визначаються відповідно рівняннями: ?jXj=0, ?jXj = 0 (7).

Припущення 2. Основні вектори {?j} і {?j} рівнобіжні прямим (6) відповідно. Доказ випливає з формул (*) і (7). Взаємна розташування розглянутих векторів й немає прямих представлене рисунке:

?jXj=1.

V2.

V1 ?jXj=1.

Система величин? j=?j-?j утворює ковектор: d? j=?kWjk+(?jk-?jk)Wk.

Обумовлена їм пряма? jXj=0 (8) проходить через точку Р й ставлячи крапку перетину прямих (6).

Нехай W-однородное подмногообразие в R (p1,p2) що містить елементи (р1,р2) обумовлений умовою: (р1*, р2*)?W?p1*p2*=p1p2.

Теорему 1. Прямая (8) є дотичній у точці Р до прообразу f-1(W) різноманіття W при відображенні f.

Доказательство:

] (p1*, p2*)?W і p1*=p1+dp1+12d2p1+…, p2*=p2+dp2+12d2p2+… .

Тоді, у репере Р: p1*p2*=e p1p2, де e=1+2W+… є відносної довжиною відрізка р1*р2* стосовно р1р2. Отже, (р1*р1*)?W?W=0. З (2) одержимо: W=?1Wj.

Отже, (р1*р2*)?W рівносильне ?jWj=0 (9).

З (8) і (9) випливає доказ утверждения.

При фіксації елемента (р1,р2)?R (p1p2) визначається функція h: (p1*p2*)?h (p1p2)>e?R, отже р1*р2*=е р1р2.

Надалі цю функцію називатимемо відносної довжиною. Т.а., лінія f-1(W) є лінією рівня функції h. Зауважимо, що (9) є диференційним рівнянням лінії f-1(W).

]W1,W2- одномірні різноманіття в R (p1p2), містять елемент (р1р2) і зумовлені відповідно уравнениями:

(p1*, p2*)єW1?p2*=p2.

(p1*, p2*)єW2?p1*=p1.

Наступна теорема доводиться аналогічно теоремі 1. Теорему 2. Пряма (7) є дотичній у точці P до прообразу різноманіття W2 (різноманіття W1) при відображенні f.

Диференціальні рівняння лінії f-1(W1) і f-1(W2) мають відповідно вид:

?jWj=0.

?jWj=0.

Нехай W0- одномірне подмногообразие в R (p1p2), що містить (р1р2) і обумовлений умовою: (p1*p2*)єW0?Q*=Q, де Q*- середина відрізка р1*р2*. Наступне твердження доводиться аналогічно теоремі 1.

Пропозиція 3. Пряма (?j+?j)X-j=0 (10) є дотичній у точці Р до прообразу f-1(W0) різноманіття W0 при відображенні f. Диференціальний рівняння лінії f-1(W0) має вигляд: (?j+?j)Wj=0.

Теорему 3. Прямые, касательные у точці Р до многообразиям f-1(W1), f- 1(W2), f-1(W), f-1(W0) становлять гармонійну четверку.

Доказ випливає з (7); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (8); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (10).

§ 5. Точкові відображення, индуцируемые відображенням f.

Розглянемо отображения:

П1: (р1,р2)?R (p1,p2)>p1?A1 (5.1).

П2: (р1,р2)?R (p1,p2)>p2?A1 (5.2).

Відображення f: A2>R (p1,p2) породжує точкові отображения:

?1=П1?f: A2>A1 (5.3).

?2=П2?f: A2>A1 (5.4).

У репере нульового порядку диференціальні рівняння відбиття ?1 і ?2 меют відповідно вид (2.5 чи (2.5 б). Подобъекты Г1,2={?j,?jk} і Г2,2={?j,?jk} об'єкта Г2 є фундаментальними об'єктами другого порядку відбиття ?1 і ?2.

Діяльність доведено, що розкладання до кількох Тейлора відбиття має відповідно вид: x=1+?jXj+½?jkXjXk+¼?y?kXjXk+, (5.5) y=-1+?jXj+½?jkXjXk+¼?y?kXjXk+, (5.6).

Введемо системи величин:

?jk=?jk+¼(?j?k+?k?j),.

?jk=?jk+¼(?j?k+?k?j) Тоді формули (5.5) і (5.6) приймуть відповідно вид: x=1+?jXj+½?jkXjXk+ (5.7) y=-1+?jXj+½?jkXjXk+ (5.8) У доведено, що є репер площині А2, у якому выполняется:

?1 ?2 1 0.

=.

?1 ?2 0 1 Цей репер є каноническим.

Отже, в канонічному репере Якобиева матриця відображення f є одиничної матрицей.

Формули (5.7) і (5.8) в канонічному репере приймуть вид: x=1+X1+½?jkXjXk+ (5.9),.

y=-1+X2+½?jkXjXk+ (5.10).

§ 6. Інваріантна псевдориманова метрика.

Розглянемо систему величин:

Gjk=½(?j?k+?k?j).

З (3.1) получим:

dGjk=½(d?j?k+?j?k+d?k?j+?kd?j)=½(?k?tWjt+¼?j?k?tWt- 14? k?t?tWt+?k?jtWt+?j?tWkt+.

+¼?j?k?tWt-¼?j?k?tWt-¼?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+¼?k?j?tWt- ¼?k?t?jWt+.

+?k?jtWt),.

dGjk=½(?k?t+?k?t)Wjt+½(?j?t+?t?j)Wkt+GjktWt,.

где Gjkt=½(?k?jt+?y?kt+?j?kt+?k?jt-½?j?k?t+½?j?k?t- ¼?j?k?t+¼?j?k?t+¼?j?k?t;

— ¼?j?k?t) (6.3).

Отже, система величин {Gjk} утворює двухвалентный тензор. Він задає в А2 інваріантну метрики G: dS2=GjkWjWk (6.4).

З (6.1) і (2.5) випливає, що метрика (6.4) відповідає при відображенні f метриці dS2=?2-W2 (6.5) в R (p1,p2).

З (6.5) випливає, що метрика G є псевдоримановой метрикой.

Асимптотические напрями визначаються рівнянням GjkWjWk=0 чи? jWj?kWk=0 (6.6) Пропозиція: Основні вектори V1 і V2 визначають асимптотические напрями метрики G. Б. А. Розенфельдом вивчалася інваріантна метрика у просторі нуль-пар. На проективної прямий нуль-парой є пара точок. Для двох пар точок (x, U) і (y, U') відстань з-поміж них окреслюється подвійне ставлення W=(xy, UU').

Теорему: Метрика dS2=?2-W2 збігаються з метрикою Розенфельда .

Доказ: У репере r маємо для координат точок p1, p2,p1+dp1,p2+dp2 Відповідно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W. Підставляючи в формулу (4.2) на стор. 344 (§ 7), отримуємо dS2=?2-W2.

Слідство: Метрика G зберігається у результаті розширення фундаментальної групи її проективних перетворень. Діяльність побудували охоплення объекта.

Гljk=½Gtl (Gtkj+Gjtk-Gjkt) псевдоримановой связности G фундаментальним об'єктом Г2={?j,?j,?jk,?jk}.

Он визначається за формулою: Гljk=?j?jk+?l?jk-?l?t?k+?l?t?k.

§ 7. Інваріантна риманова метрика.

Розглянемо систему величин: gjk=?j?k+?j?k (7.1) З (3.1) отримуємо: dgjk=d?j?k+d?k?j+d?j?k+d?k?j=?k?tWjt+¼?k?j?tWt- ¼?j?t?jWt+?k?jtWt+?j?tWkt+.

+¼?j?k?tWt-¼?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+¼?k?j?tWt- ¼?k?t?jWt+?k?jtWt+.

+?j?tWkt+¼?j?k?tWt-¼?j?t?kWt+?j?ktWt. dgjk=(?k?t+?k?t)Wjt+(?j?t+?j?t)Wkt+gjktWt, (7.2) де gjkt=½?j?k?t-½?j?k?t-¼?k?t?j- ¼?j?t?k+¼?j?k?t+¼?j?k?t+?k?jt+?j?kt+.

+?k?jt+?j?kt (7.3).

Отже, система величин {gjk} утворює двухвалентный тензор. Він задає в А2 інваріантну метрики g: dS2=gjkWjWk (6'.4).

З (7.1) і (2.5) випливає, що метрика (6'.4) відповідає при відображенні f метриці: dS2=2(?2+W2) (6'.5) в R (p1,p2).

З (6'.5) випливає, що метрика g є римановой метрикой.

Одинична окружність, побудована для точки Р визначається уравнением:

GjkXjXk=1 (6'.6) чи (?jXj)2+(?jXj)2=1 (6'.7).

З (6'.7) випливає: Пропозиція 7.1: Одинична окружність метрики g з центром у точці Р є эллипсом, що стосується в кінцях основних векторів прямих, паралельних цим векторам.

Зауважимо, що сформульоване тут властивість одиничної окружності повністю визначає цю окружність, отже й метрики g.

V1.

V2 рис. 3.

Нехай gjk=?j?k+?j?k (6.8).

З огляду на (2.7) маємо: gjtgtk=(?j?t+?j?t)(?t?k+?t?k)=?j?k+?j?k=?kj (6'.9).

Отже, тензор gjk є тензором взаємних до gjk. Як відомо, метрика ставить за відповідність кожному векторному полю полі ковектора і наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {?j} (вектора {?j}) відповідає метриці g полю основного ковектора {?j} (ковектора {?j}). Доказ: Основні вектори ортогональны одне одному і мають одиничну довжину в метриці g. Доказательство:

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,.

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,.

?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=0.

Отже, f задає на А2 структуру риманова простору (A2,gf). Діяльність побудували охоплення объекта.

?jkl=½gtl (gtkj+gjtk-gjkt) римановой связности? фундаментальним объектом.

Г2={?j,?j,?jk,?jk}.

Він визначається формулой:

?jkl=?l?jk+?lMjk+Gjk (?l-?l)+½(?l+?l)(?j?k-?j?k), де Gjk=½(?j?k+?k?j).

———————————- [pic].