Вычисление пределов функций, производных и интегралов

Задание № 1

Задание № 2

Задание № 3

Задание № 4

Задание № 5

Задание № 7

Задание № 8

Задача № 4

Задача № 5

Задача № 6

Задание № 1

3. б) Найти пределы функции:

Решение

Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:

Если существуют

и, то:

Следовательно:

Ответ: предел функции

Задание № 2

3. б) Найти производную функции:

Решение

Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:

Пусть y = f (x); u = g (x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Применим это правило к заданной функции:

Ответ:

Задание № 3

3. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение

Найдем область определения функции:

D (y)=R

Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.

Условие четности: f (x)=f (-x)

Условие нечетности: f (-x)=-f (x)

при x=1: y=0

при x=-1: y=-4

Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.

Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа — периода функции.

Функция

не периодична.

Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.

y=0 при

;

Следовательно, имеем три промежутка:

Определим знак на каждом промежутке:

при x= -1 y=-4 < 0

при x= 0,5 y=0,125 > 0

при x= 2 y=2 > 0

Тогда: для

для

Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:

Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.

Найдем производную функции:

при

— точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:

Исследуемая функция в промежутке

— возрастает

— убывает

— возрастает

Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

при — точка перегиба Для

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.

По полученным данным построим график функции.

Рис. 3 График функции

Задание № 4

Найти интеграл:

3.

Решение

Неопределенным интегралом функции f (x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F (x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:

Ответ: .

Задание № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.

, , .

Решение.

Построим график функции:

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5

Рис. 1 График

Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:

Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:

кв. ед.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

Задание № 7.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:

при

Решение

Общий вид дифференциального уравнения:

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С:, где — фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях, называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл:

общее решение дифференциального уравнения Найдем частное решение для при

Получаем:

Ответ: — любое число.

Задание № 8

Найти вероятность случайного события.

Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка"?

Решение.

Вероятностью события, А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события, А равна отношению числа, благоприятствующих событию, А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа — событие А, выпадение «шестерки» — событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной — «шестерка».

Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:

.

Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;

2. вероятность выпадения «шестерки» равна .

Методы вычислений и ЭВМ

Задача № 4.

Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238 200 руб. до 50 175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

Задача № 5

Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5% по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9% по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1% по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1%, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на

Р1=2,5%, Р2=2,9%, Р3= 3,1%.

Тогда:

Nn = 100(1−2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1−0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4%

Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:

100 — 2,5% + 2,9% + 3,1%

Задача № 6

Бригаде монтажников за месяц начислено 16 713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.

Алгоритм решения на МК:

6,6 * 165 М+

8,8 * 72 М+

7,5 * 216 М+

_{16 713 / MR MR} * 1089 = М+

^{C C} 633,6 = М+

1620 = М+ _MR

^C

Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:

Ввод названий граф документа:

Ввод исходных данных:

Ввод расчетных формул:

Конечный результат:

Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ, 2005. — 991 с.

Гусак А.А., Гусак Г. М., Бричкова Е. А. Справочник по высшей математике. — Минск. ТетраСистемс, 2004. — 640 с.

Гмурман В. Е. Теория вероятности и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1998. — 479 с.

Миносцев В. Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. — 517 с.

Пономарев К. К. Курс высшей математики. Ч. 2. — М.: Инфра-С, 1974. — 520 с.