Приближение тригонометрическими полиномами и поперечники классов периодических функций

§ B.I. Постановка задач. Краткий обзор результатов.

В работе рассмотрены вопросы приближения периодических функций тригонометрическими полиномами, найдены точные по порядку оценки поперечников в смысле А. Н. Колмогорова классов периодических функций.

В 1983 году появилась работа А. И. Степанца [52] в которой введены классы z яспериодических функций, совпадающие при конкретных значениях определяющих их параметров с известными классами дифференцируемых функций и способные учитывать свойства функций, которые в шкале известных классов отразить не представляется возможным.

Эти классы определяются следующим образом.

Пустьf (х) — суммируемая z ягпериодическая функция.

0,2*)) И.

О ОО.

P+Z aK (f)coSKX + (ВЛ).

К—о.

— ее ряд Фурье.

Пусть, далее, Р (к) — произвольная фиксированная функция натурального аргумента ж J^ - фиксированное действительное число. Предположим, что ряд оо i ПК) является рядом Фурье некоторой функции из L (0} 2ЯС). эту функцию обозначим через) и назовем (p^js) -производной функцииf (x) «а множество функций f (x), удовлет V воряющих таким условиям, обозначим через L р. Пусть еще.

— некоторый класс суммируемых 2яспериодических функций. Тогда, если /с, и кроме того, «то будем говорить, что функция /(*) принадлежит классу ?^ • Таким образом, каждой функции ?(*), каждому числу и классу ЗУС соответствует класс функций ¿-¿-ж. Этот подход позволяет классифицировать широкий спектр функций из 1(о, т) .

Если ЖУ1 — класс 2 ягпериодических функций <Р (-), для которых гтс о.

При < ^ /О < оо и.

II У || оо = ез$*ир (Р0), <В.4) то в этом случае класс, а ЗУС будем обозначать через При ^(к), Ь >о классы р есть классы д/ *, которые при р = оо совпадают с классами У/1, г т введенными при целых Б. Надем [44 ] .

Если ж.

— класс 2. ЧСпериодических функций.

ФО)? ¿—р * {ч> :ч> || <* оо «</ ^ р? } ДЛЯ которых.

II +Г) — </Ч-) ^ Г), где со (т?) — фиксированный модуль непрерывности, то класс будем обозначать 1 а Нсо/ //у.

При фиксированных V и ^/3 обозначим через подмножество непрерывных функций /б.

В случае, когда — класспериодических непре.

— б рывных функций Ч* (-Ь), удовлетворяющих условию.

I <�р (х ¦+ г) — 4>(х) | ^ со (ъф? где ¿-о (т) — произвольный фиксированный модуль непрерывности, то класс обозначают через Нсо ив этом случае класс С^ условимся обозначать через. При (р (<) = /с, I >о классы С^Низ совпадают с классами А/) И со «введенными А. В. Ефимовым [17], которые в свою очередь при ^ = ^ и ^ совпадают с классами WfcHtJ и, впервые рассмотренными С. М. Никольским [46, 47] .

Для /е согласно равенству (В.2).

С -1С сг.

4 6/- = ^[/¡-^лч «л.

9СК <Г.

Поэтому, если функция выбрана, например, так, чтобы о, , то | |? С©-^ к сЛГ, где С — некоторая постоянная, то множество С^ состоит из бесконечно дифференцируемых (при * ^ 1 — аналитических) 2. яепериодических функций (см., например, [б, с. 90]).

Если — суммируемая функция и ряд (В.2) — ее ряд Фурье, то производя элементарные преобразования, получаем.

Отсюда заключаем, что множество можно еще определить как множество функций, представимых в виде яг о 7 к -1 —ж в котором Ц>(±-) — некоторая суммируемая функция. В частности, если ряд оо сходится и является рядом Фурье некоторой суммируемой функции М/^, то множество есть множество функций истокообразно представимых посредством свертки чг.

Такие множества изучажсь рядом авторов (см. «например, работы В. К. Дзядака [14], С. Б. Стечкина [59] и др.).

Сформулируем теперь задачу о наилучшем приближении классов периодических функций .

Пусть Л фиксированный класс периодических функций, Ж с X «где X лнб0 пространство I р Г ^ 00) либо (т.е. пространство непрерывныхпериодических функций). Обозначим через наилучшее приближение функции /с №. посредством тригонометрических полиномов 7/~гчС') порядка ^ л-/ в метрике пространства X, т. е.

Ум ||х — Л?>Уг.

Величины.

Хее. я. называются наилучшими приближениями класса Л в метрике пространства X .

Задача о наилучшем приближении класса Ж, состоит в том, что требуется вычислить^значения, ^? Ж* или определить асимптотическое поведение последовательности ЕпС$)у] при /г осу .

Постановка этой задачи восходит к А. Лебегу [38] (1910г.), В 1911 году Д.^дексон [10] показал, что если /60 — непрерывная 2 тгпериодическая функция, имеющая производную порядка *, ъеЛР и ^ /, т. е., то для любого л. существует тригонометрический полином (?,*) порядка 4: п.-1, удовлетворяющий неравенству.

Г (х> 4 А-с А* 7 где Аг зависит только от ?

Первое уточнение результатов Д. Джексона было получено Ж. Фаваром [67] (1936 г.), а также независимо от него Н. И. Ахиезером и М. Г. Крейном [4] для класса функций. Оно состоит в следующем. При любых целых неотрицательных! ь ж * имеет место равенство Щ., «.б) 1 где.

00 / т = о (Я*-").

В работах [4] и [68] при целых = 2,. был рассмотрен также сопряженный случай (т.е. случай, когда^в = -). При этом Ж. Фавар поставил задачу об исследовании величин? (А/г) для произвольных 2- > о .

В 1938 г. Б. Надь [44] оценил сверху величины для всех > о и^в е.

В.7) где оо, ? оо и и показал при этом, что в случае ^ = О и ^ - 1 эти неравенства являются точными.

С.М.Никольский [48] (1946 г.) впервые изучал вопрос о точных верхних гранях наилучших приближений на различных классах периодических функций в метрике / и, в частности, показал, что величины ж совпадают между собой в случае целых ъ = 4 г г,. , г и+У, а также для всех о при ^ -О и .

В 1953 г. В. К. Дзядык [12] при помощи разработанного им метода установил, что при всех «г е ('о, 4 ^ справедливо равенство.

ОО 2 ¿-Г* т. е. впервые решил для случая 1) упомянутую выше задачу Фавара.

Позже С. Б. Стечкин [58] установил, что при помощи результатов Б. Надя (В.6) и В. К. Дзядыка (В.7) в случае у) и 2. — Ь 2 м0®н° получить следующие равенства оо.

Применяя и развивая методы работы [17] В. К. Дзядыка, Сунь Юн-Шен [60−62] (1959;1961 гг.) исследовал случай г^б.

В 1959 г. В. К. Дзядык разработал метод [14] разыскания значений величин наилучшего в среднем приближения функций суммируемых на периоде и представляющих собой сужение на Оу 2 5 Г ] функций абсолютно монотонных на полуоси, который позволяет получить в качестве частного случая полное решение задачи Ж.Фавара.

Наконец, в 1974 году В. К. Дзядык [16] получил точное у значение величин и при любых о и ^е/И •.

В случае, когда <�р (к)^>к, О^ ^ 4 и величины Еп (С^/С>о)с найдены М. Г. Крейном [31].

Еп (с1) кеЖ СВ.9).

В 1961 году Н. П. Корнейчук [26] нашел значения верхних граней.

ЕЛ Нсо) с где п. € Л^ i со М — произвольный выпуклый вверх модуль непрерывности. В более поздних работах [27−29] (1961;1970 гг.), разработанный им метод позволил определить величины где /г.6 оО (-6) — произвольный выпуклый вверх модуль непрерывности.

Асимптотическое поведение последовательности [Е^^р)^ /г.-> оо при, , Г>о, -Г < в, р < оо изучалось В. М. Тихомировым [бб]. Им, в частности, установлено, что.

5″ ')+, , Лг+ ,.

Е^гЪ^л ] св. ю) где ч.

В настоящей работе, при довольно общих предположениях относительно функции KL€jlf, получены точные по порядку оценки наилучших приближений ', уЗ? R,, а также Щ4. 4⁴,' Ел (1%<),, Е* .

В 1936 году А. Н. Колмогоров [25] ввел понятие л.-мерного поперечника центральносимметричного множества, лежащего в линейном нормированном пространстве X cfe. fi e II и * И yzfc ueFn. d X 9 где последний раз точная нижняя грань берется по всем подпространствам F^ фиксированной размерности /ь. Линейный поперечник множества в X есть по определению величина.

4'¿-К/ ?*f sup || и — Л II.

FK fycF* Cflfo .

Первые результаты, касающиеся поперечников функциональных классов, были получены А. Н. Колмогоровым [25]. Позже появилось большое число работ, в которых изучались величины.

У X) (ряд результатов и подробные библиографические сведения по этой тематике содержатся в известной монографии В. М. Тихомирова [66]). Приведем здесь лишь некоторые результаты, примыкающие к нашим рассмотрениям. В I960 году В. М. Тихомиров [64 ] вычислил точные значения поперечников ?^?^(V* яг) > а затем в работах С. Б. Бабаджанова и В. М. Тихомирова, Ю. И. Маковоза (см. [5, 40 ]) было установлено, что при.

Кг, и) 4 Сг с.

— г (В.II) р, ^ ъ J.

При различных соотношениях между р и 3 величины з) рассматривались Р. С. Исмангиловым [21], Е. Д. Глускиным [8], Б. С. Кашиным [23].

Методы исследования поперечников ^(И/^оо Сгк) «разработанные В. М. Тихомировым (см. [64, 69]) позже были перенесены С. Мишелли и А. Пинкусом [42, 50 ] на случай, когда множество есть класс функцийР, представимых в виде свертки где Ч> € иЛ* {V: <<}, а функция К обладает некоторыми знакорегулярными свойствами (определения, примеры и свойства таких функций приведены в монографиях С. Карлина [22], И. Хиршмана, Д. Уидцера [69], см. также [39]). Точные значения поперечников.

Лгх) вычислены Н. П. Корнейчуком [ 28], В. И. Рубаном [51] в случае, когда ьУ (-Ь) — выпуклый вверх модуль непрерывности.

В настоящей работе получены неулучшаемые по порядку оценки поперечников оС^ ^ I- />)) 4 Р * 00 у аналогичные оценкам (В.11). Найдены также точные по порядку оценки для поперечников у Си.

Г^уз-0оСг7г:) в случае, когда уЗ €, а функция^Н (к) представима в виде.

Н (к) = 4>(к)ехр с-, где оС>о, 1 «Ч* (к) — поризвольная не возрастающая функция натурального аргумента.

Интерполяционный тригонометрический полином П. — го порядка, со витающий с функщей? периода 2 к в узлах интерполяции /= к &? {, = ¿-к ¡-(г П. + О выражается, как известно, формулой.

2/г = -?—1 8>л (х — х?) ¿-(х?) > где.

2 ЗбЛ. 9.

— ядро Дирихле порядка п .

В 1941 году С. М. Никольский [453 установил, что при? е Ж к* + | + 0(п~ъ) =.

— + 0(Ш1 (В.12) где ^ - константа Фавара, а.

В настоящей работе рассматривается асимптотическое поведение величин.

С (с?оо д*/) =/Сх).

Г/^Д/ I /гх) где (7^ х) — тригонометрический полином /г. -го порядка, совпадающий в узлах Х^^кк/к, к = о } ±2 ,., с непрерывной функцией /^х) •.

В ряде важных частных случаев получены асимптотические равенства для верхних граней (Са ос *) и ¿-'л. С, > *).

§ В. 2. Краткое содержание диссертации.

Первая глава работы посвящена изучению величин Ел) з >

В § I приводятся вспомогательные утверждения, принадлежащие Марцинкевичу [41 ] и Риссу.

20]. В § 2 рассматриваются величины ?^(?/, 2)2. и Еп (-Р)г .

Обозначим через б1 множество функций 9(к) таких, что V п е Ж найдется число Кп (Кп > Л.), для которого.

VЧ/г) во/> | Г (к) | =.

В принятых обозначениях справедлива.

Теорема 2.1. Пусть У (<) — произвольная функция натурального аргумента и? в Ц, тогда.

Если же 9 €, то в этом соотношении имеет место знак равенства. В частности, если функция | РМ | монотонно убывает, то.

Обозначим через со ({Ру-^) 2 модуль непрерывности функции) € в пространстве, т. е. зор || (р (г+ •) -ФО).

А г- ^ -(, *.

Установлена следующая.

Теорема 2.2. Пусть.

Пк) — произвольная функция натурального аргумента и €^, тогда V/1? ¿-д 2.

В случае, когда <�Р (к)=к~1, = г,^бЖ, теорема 2.2 известна (см., например, [30, с.237]).

В § 3 находятся точные по порядку оценки величин Через обозначим функцию натурального аргумента, связанную с ^¿-О следующим образом: 4 о о? х? /I.

НЮ, к>п р, а через — множество функций, К^Ж, удовлетворяющих следующим условиям: г.

I) 9 (л) = о.

2'.

2) вор т.

Заметим, что к этому множеству принадлежит, в частности, любая монотонно убывающая к нулю функция (Р (к) у К € Ж.

Теорема 3.1 является вспомогательной при доказательстве теоремы 3.2 и содержится в ней.

Теорема 3.2. Пусть к $ ^ р <оо, РеТу, тогда найдутся постоянные и с, А для которых при всех п е Ж выполняются неравенства со — ,. п, ч &bdquo-(г) с— * * 9 м.

При этом и зависят только от /> и р .

Обозначим через К<�р множество функций 9(к), удовлетворяющих условиям:

I) &-тР/ТОл/'" 5 1 о.

И оо оо.

2) 2 (г (к)-9(к+<))к.

С<)Сп.)пр

Пусть к) определена следующим образом:

О, О ± К4 Пу о, к > т .

Через обозначим множество функций для которых оо.

I) ряд ^ - ^ является рядом.

С ~ / /.

Фурье некоторой функции, причем.

2) V /г найдется такая постоянная С (т.), зависящая только от т., что а) т1п.

4 ^ к ^ п. б) И I — ш 4 ем*м.

Справедлива следующая теорема.

Теотэема 3.3. Пусть </ + р +? .

Если же V? К<�р П Р^, то найдется и постоянная такая, что.

При этом и зависят только от /> и ?

В случае, когда ^(к) — /с'г — 2-, , утверждения теорем 2.1, 3.2 и 3.3 известны (см. [бб]).

Модулем гладкости порядка К, <? ЛГ функции /е ¿-р в метрике соответствующего пространства называют функцию.

1и-о9ф (* + <>1) Гл}^ ^ -к т)=о J.

Теорема 3.4. Пусть / < р < оо, Р € ,^? /К. ¿-^у р, тогда на сящая только от к, что и ¿-л, тогда найдется такая постоянная /V*, завис/5' л.

Еп^)р ± Э (л) СО* 1/к)р .

Пусть, в частности, Р (к) =, ^ = ^ о.

Случай ^ = г, ^ = оо и? ? С ¿-к был рассмотрен Д. Джексоном [10]. При ?-2, ^ оо теорема 3.4 была получена Н. И. Ахиезером [2 ], при * ^ 3, рС.Б.Стечкиным [57 ], при / ^ р < °о и ^ см. [63, с. 275] .

В § 4 исследуется поведение величин Е^ оо) с и) с • Обозначим через х, Л*) последовательность полиномов вида ' к = о порождаемых последовательностью функций У (п)(ь—Сп.) — - рспъ) где ?^(<//1)=дТ* = </-4/х'м, — ехс/г), х (/о = л / р-4(р (ь)/г)-ь) ,.

V С') — функция, обратная к), в ^ 4 — выбирается так, чтобы х'(к) > 1 при всех /г € ЛЛ га).

Пусть Л — множество заданных при всех 1г> о функций ъ-), удовлетворяющих следующим условиям:

I) при всех ъ- > о выпукла вниз и.

Легко проверить, что множеству г принадлежат, в частности, следующие функции Р (') :

НЮ = +1)>б ,(-o (6*)yot>oy г>о9 =ехр (-ехрНУ). При этом функция % (-6) = + А) не принадлежит f (i) ни при каком Л. ^ 4 .

В принятых обозначениях справедливы следующие утверждения: Теорема 4.1. Пусть f € Г, тогда для любого п.? <Ж и произвольного модуля непрерывности со (-6) е Г*.

Г С С воО.

Ср^АП ус*) — Щ/>, Л*)||С ^ Cjbfa 4 С Р (п) оо (1/!ъ) .

Теорема 4.2. Пусть FCf). Тогда для любого /г б Ж /Ц и произвольного модуля непрерывности и? Н) найдутся такие постоянные — С г,, что.

С< Пь) * ?л (С?-о)с e Сг9(п.),.

В § 5 изучаются величины Е^ С*) 1 и Е^ (^^со^^. Установлена следующая Теорема 5.1. Пусть.

Ре Еи). Тогда для любого п. еЖ^в € & и произвольного модуля непрерывности сО (-б) найдутся такие постоянные С1 — С, что.

С<�Ч>(Л)4 ,.

С3 Р (Л)и>(?) * * с, *(«.)соШ .

Результаты главы I опубликованы в совместной работе автора и А. И. Степанца [56], причем результаты § 2,3 получены автором, а результаты § 4,5 получены совместно с А. И. Степанцом,.

В главе II изучаются поперечники в смысле А. Н. Колмогорова классов периодических функций, введенных А. И. Степанцом [52]. При этом оценки сверху нечетных линейных поперечников получены из теорем 2.1,3.2, установленных в главе I.

В § 1 сформулированы теоремы 1.1−1.3, доказанные в главе II, Теорема 1.1 ПустьуЗбД^ % (к) =г (р (к) ехр ,.

С е VI/-, где *С > О, 4 у Ч> (к) — произвольная невозрастающая функция натурального аргумента, тогда для любого К € <�УГ найдутся такие постоянные С < и, что с4 1{(л)?е1гл (С^ж, сгж) 4 ^(С^, С&bdquo-) 4 Сг с., Ч (Л) ^ < (С^оо, С№) * ^ (С",", Сгг)*сгК*),.

4, сгчс) < ¿-(с**, сг&bdquo-).

Заметим, что в случае, когда ¿-Г = / функции классов.

-" ^ а/ оо «С 2 Но) ДопУскают аналитическое продолжение в полосу { 3: 2 € С, Если же ¿-Г > /, то всякая функция), принадлежащая С^ 00 или.

С^ 1~1со является сужением на действительную ось целой функции см. например, [3, с. 263 1).? Пусть, в частности, Ц (^) и число^уб таковы, что функция оо.

КШ = Z 9?(к) COS (Ki — А*).

2 у является знакорегулярной (например, %(<) = ехр (-оСК)^jB =Of К-&euro-. J[f см. С22, с.472]). В этом случае полученные оценки поперечников ?2^(Ср*ооргк) и совпаДают по порядку с результатами А. Пинкуса [50 ] .

Обозначим через функциюнатурального аргумента, связанную с функцией 9(п) следующим образом. cfe?

J4(tb) =i fn? n Г (к).

К < /I '.

Теорема 1.3 Пусть и ^(к) — произвольная функция натурального аргумента, тогда fbz)? f/Д*, U) ?J ?

J*M * ?L * c?2if L2) = Ел (LfaU) ?

— VC*.).

В частности, если функция | *Н (к) | монотонно убывает, то.

Положим.

4>(к), / ^ к ^ n, p ~ 1.

2, лг > /г-//.

Множество функций РСк), а: €, удовлетворяющих условию обозначим через В у .

Теорема 1.4. Пусть функция В у- «тогда для любого р, 1 + р г. ж и^р 6 ¡-Я найдется такая постоянная Вр*, зависящая только от />, что.

5а* ^ ^' Е"(ь, и Щ>Р)?.

Если, кроме того,) € Тр, то найдется такая постоян-л (2) ная о р, что.

B?f (K) ± ct^U^p.Lp) i ctnjLfaLfUBpVfo, * LP) 4Ufa, Z,) .

Заметим, что условиям теоремы 1.4 удовлетворяет, в частности, произвольная монотонно убывающая к нулю функция 9(к) В случае, когда VCk) = «- *, z > о теоремы 1.3 и 1.4 известны (см., например, [ 66 ]).

В § 2 введены <5К сплайны следующим образом.

Пусть К (-к) — некоторая суммируемая 2яс — периодическая функция и Ап-{ ° = <. < 2 тс } - произвольное разбиение промежутка [о. ? К. сплайном по разбиению будем называть функцию, представимую в виде =^о + ХсС{ (¦ - Хс), ? = '.

Ж. сг = о, с = 4' где С, —, ?' =л пдействительные числа. В случае, когда оо.

КЦ) = -(к4 — гж/г), геЖ, сплайны есть хорошо изученные полиномиальные сплайны порядка тт-у и дефекта 4 по разбиению Л^. ?/< сплайны естественно возникают в задачах оптимального восстановления функций [36] и при оценке снизу четных поперечников классов функций в пространстве. Для доказательства теоремы 1.1 установлены следующие вспомагательные утверждения.

Лемма 2.1 Пусть /6х) — некоторая суммируемая 29с периодическая функция, а ?(*) — существенно ограниченная функция. Пусть известно также, что для любого К&euroчЖ, ^(-Р) иё>к (Р) одновременно не равны нулю. Тогда из соотношения.

9Сх) =(¦?*$)(*-) =о следует что почти везде равна нулю. л К.

Обозначим через, А множество Zfc — периодических суммируемых функций с рядом Фурье с>о.

2 ?(<) COS (zx — вя/z) причем) Ф о, к € Ж? je е IR. .

Лемма 2.2. Пусть КС*) € А К. Пусть также о.

-*<�•), } const, линейно независима.

Пусть Lj^ - 2Ж-0/Я + у, >>&euro-<Ж произвольный набор действительных чисел. Через х) будем обозначать сплайн, интерполирующий функциюр (х) в точках, -р =7⁷¹. При помощи лемм 2.1 и 2.2 доказана is л К 00.

Теорема 2.1. Пусть функция оо.

Интерполяционный сплайн /Г (-Р х) существует для произвольного набора F в следующих случаях:

1) * = IJL гр-1 — р, кеЛГ • у = о ;

2) л = 2к—г- | js | - 2. р — />, /с вЖ — у = о — оО оо.

Z Р (тк+Т) -Z Р (тп — г) Ф о • (B.I3).

3) z/: > | js */>-/ - еЖ — у =о ;

4) л = 2* - | ^ | =. р) К^Ж, у — sr/л. '.

Заметим, что условию (В. 13) удовлетворяет, в частности, произвольная монотонно убывающая неотрицательная функция JT^J. В случае, когда, js t t е. Ж теорема 2.1 известна (см. [i, 7, 18, 9]). Получены также представления для фундаментальных) сплайнов, т. е. таких, что г.

Лемма 2.3. Для любого € <Ж, уЗ^Д?, /с 6, удовлетворяющих условиям теоремы 2.1, имеет место следующее представление: = ^ + ^ (в. 14) ¿-ич) ' где и <> п.

В случае, когда) И (к) ^ , —? ,? представления получены М. Голомбом [9 ], а также А. А. Женсыкбаевым [18]. Пусть =, , а тгпериодическая функция.

Л', О, ^ € О, 2Г)4 т.

А. О и '.

Пусть также 2/1,0 — множество функций, представимых в виде дШX е/^М Р X = °, (ВЛ5) р, а — множество функций /0) вида ft oo ЦСЮ^щ^мрС-м*), cL>o } fx. j&e Щ 9 4>(к) — произвольная невозрастащая функция.

В принятых обозначениях справедлива.

Лемма 3.1. Пусть при фиксированном /г. /г е чЖ (c*-f)*r//t, «. | ,.

I"/ I #, XjpeJf.

ФЛ сгагттгоФлст.

Если / € A/jf, то найдется такая постоянная С', что при сЧло коэффициенты в разложении (В.15) удовлетворяют неравенству Я/ 1 ^ <, 7 —^Тгл .

Заметим, что при доказательстве леммы 3.1 основную роль играет представление (В. 14) для фундаментальных сплайнов, а также теорема 2.1, сформулированная выше.

А, А Р.

Пусть С?) — множество функций /(¦) = ср (- -т) где) ^ д «Т ^ Я.. Сопоставим подпространству.

М2/г^(т) множество векторов (т) по формуле.

Ь (*)•[{(*?),., шЩ, у f = Z:, к = i, ¿-к.

Лемма 3.2. При любом те линейное многообразие.

Q. Itbj^^X) имеет размерность 2. П- .

Лемма 3.3. Если /е* (Гт) и /пах fi (-b'?)UcVf (K) и fe^^zn 3 то fie С%.

Леммы 3.1 — 3.3 используются для получения точной по порядку оценки снизу четных поперечников классов ©-о в пространстве Czic «что в сопоставлении с результатами § 4 главы I доказывает теорему I.I. Доказательство теоремы 1.2 опирается, в основном, на теорему I.I.

В § 4 доказаны теоремы 1.3 и 1.4 сформулированные выше. При этом необходимые оценки сверху поперечников ^г'п-^^р, Lp) ne Jf доставляют теоремы 2.1 и 3.1, установленные в главе Для оценки снизу поперечников d^CL^^p^ Lp) используется предложение 10.2.4 из [30 ], утверждающее, что если множество линейного нормированного пространства X содержит шар a у ||х ||.

Для доказательства теоремы 1.4 установлен следующий аналог неравенства С. Н. Бернштейна. Положим.

КС*) =.

Р (к), 4 л, °, .

Множество функций ^(к), К? <Ж, удовлетворяющих условию.

2 I — к’м | ^ } - дг /2- к=[2Ц ^ обозначим через £><р .в принятых обозначениях справедлива.

Леша 4.1. Пусть функция В у «тогда для любого/?е (7-оо) и^S € /R. шеет место соотношение 11 Я/ «LPП^ = ОрЫ), где. о оо ¿—у.

Сопоставление теоремы 3.1 из главы I, предложения 10.2.4 из [30] и леммы 4.1 доказывает теорему 4.1.4.

Результаты главы I и § 4 главы П опубликованы в осшестной работе автора и А. И. Степавда [56]. При этом результаты § 2, 3 главы I и § 4 главы П получены автором, а результаты § 4,5 главы I получены совместно с А. И. Степанцом.

В главе Ш рассматриваются вопросы приближения непрерывных периодических функций интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами. Результаты этой главы тесно связаны с утверждениями, доказанными в главе I.

Пусть $*(f ?д?(х — * ±^?±г,. } с непрерывной гипериодической функцией ~Р (х) и.

ЗьМ-^с0*** = Si/l/zx модифицированное ядро Дирихле порядка П.

Изучается асимптотическое поведение величины I /00 — St (-f,*) I, * - ~ ,.

НА где) СС — некоторый масс непрерывных ¿-9Спериодических функций. Для оценки сверху величин £&bdquo-(ХС у) в § I и > ^ К) дотазаны следующие утверждения Лемма 1.1. Пусть к=п. ' тогда для любого п. € Л/* имеет место неравенство.

Лемма 1.2. Для величины М *(*) имеет место асимптотическое равенство.

М*О) = I I + л ^^.

В § 2 найдены оценки отклонений интерполяционных полиномов на классе функций С^^ .

Теорема 2.1. Пусть известно, что.

2ЧС.

00 г.

О О где сА = сок$£ > ^уЗб/^? «Р (<) ~ некоторая функция натурального аргумента. Тогда.

В § 3 изучаются величины? (С&Нсо X) • Обозначим через <�Р (х) 2ж/п. -периодическую нечетную функцию, определенную на сегменте [ о, че/гь ] равенствами.

СО (2 х) у О ^ X ^ ?Г/2.П, I ~Х)) ?Г/к. где со () — произвольный выпуклый модуль непрерывности. В принятых обозначениях справедлива Теорема 3.1. Пусть известно, что сю 2Ж и о где ~ соп.&-~£ ,) — некоторая функция натурального аргумента. Тогда.

3?, *) = О. к).

— Ея (С*Нсо)с 1&-ЛЛХI + 0(Ел (($Ца)СО.

В § 4 установлены некоторые факты, вытекающие из теорем 2.1 и 3.1.

Следствие 4.1. Пусть =, ^ > о тогда 2 5 Г.

Л/, ?* | + 0(ЕЛСХ~>)с) = где 7 м = V зи^? 1 ос.

2.1+4)<�№- ДЯ/2).

2/4 О**'.

— является корнем уравнения оТ = о.

I °°.

1=о 1 > / оо сол ¿-кг/?г/-2) 0? = ° (2j+i)S Следствие 4.2. Пусть Ш), , у?-о.

Тогда оо I.

Х2т+1)п. т=о.

2/714−4 в>Ш- 1ЪХ +.

0С/О, г оо.

Обозначил через /Ц множество функций, < ^ таких, со.

ЧТО.

1) 2 Р (к) / К < с? о ?

2).

3) ^ Р (к-н).

4) — +.

Пусть также /V? множество функций 9 К^Л/, удовлетворяющих условиям:

1).

3) ф (к) — 2 + > о }.

4) ПЮ-ЗР (к-н) + 3 ^ 0 .

Следствие 4.3. Пусть Р (к) € ^ =2./>-г, р? Ж, Тогда = © 2Р+/ втпх сю.

29 + / ^.

Следствие 4.4. Пусть ?(к) е Д^ ¿-в = ^ ^ е тогда.

П оо г*.

Следствие 4.5. Пусть У (к) = = г? г еЖ — выпуклый вверх модуль непрерывности, тогда имеет место асимптотическое равенство (В.16). Доказана также следующая.

Теорема 4.1. Пусть Р (<) — произвольная функция натурального аргумента, ^ € ^ и со (±-) — произвольный модуль нецрерывности. Если найдутся такие постоянные С^ и Сг, что п (С^}оо)с + 9 (В.17).

Еп.(С*Н")с ^ (В. 18) то найдутся также и постоянные С3 — С^ такие, что при всех п. € Ж епк зс/г./1х+Г (л))9, (В.19).

МС’ЦпЪЦх)*.

1-+ РМсоСл)), (В. 20).

Замечание I. Пусть 9(к) = мГ*, ? = Ь, г? Ж. Сопоставление результатов С. М. Никольского [45] и следствия 4.1 позволяет заключить, что полиномы и а^ одинаково приближают функции классов И/*? б^у^.

Замечание 2. Естественно сравнить аппроксимативные свойства интерполяционных тригонометрических полиномов и сумм п Р.

Фурье на классах. Из теоремы 4.1 следует, что в случае, когда С* оо есть множество дафрренвдруеши (или оос/ } пряженных им) функций, т. е. <Р (<) = К, ? > о интерполяционные полиноглы х) дают такой же порядок приближения как и суммы Фурье [24, 52, 55 ] .На классах бесконечно дифференцируемых функций (т.е. в случае, когда У (к) = ехр (-<* к г), о, о< г < * №.) имеет место аналогичная ситуация [55 ]. Отметим, что в случае, когда Р (к) = ехр (-о<�кг'), ^ >о, ,^ € Д?, суммы.

Фурье дают наилучшее по порядку приближение [59, 55 ], а интерполяционные полиномы приближают функции этих классов в -?5г/г раз хуже.

Замечание 3. В случае, когда Гоценки В.17) и (В.18) дает теорема 4.1 из главы I и, следовательно, соотношения (Б.19) и (В.20) имеют место для любой функции *Р (к)? /- 0Г),^в € и произвольного модуля непрерывности? и (-Ь) .

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории приближения функций в г. Киеве, а также на конференции молодых математиков, на семинарах по гармоническому анализу и по теории функций в Институте математики АН УССР и опубликованы в работах [32 — 37, 56 ] .

Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою глубокую благодарность профессору А.И.СТЕПАБЦУ, под руководством которого выполнена настоящая работа.

1. Ahiberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Best approximation and convergence properties of higer order spline approximation.-!, Math. Mech., 14, 1965, p.231−244. .

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Гостех-издат, 1965. — 405 с.

3. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. -М.: Наука, 1970. 303 с.

4. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. 0 наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций.-Докл. АН СССР, 15, с. I07−112.

5. Бабаджанов С. Б., Тихомиров В. М. 0 поперечниках одного класса в пространстве L. р Изв. Узб. ССР, сер.физ.-матем., 2, 1967, с.24−30.

6. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 196I.-936 с.

7. Галкин П. В. 0 разрешимости задачи периодической сплайн интерполяции.- Матем. заметки, 8, № 5, с. 563−573.

8. Глускин Е. Д. Об одной задаче о поперечниках. Докл. АН СССР, 219, № 3, 1974, с. 527−530.

9. Golomb М. Approximation by periodik spline interpolations on uniform meshens.-J. Approx. Theory, I, 1968, p.26−65.

10. Jackson D. Ueber die Genauigkeit der Annahrung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrishe Summen gegebener Ordnund.- Diss., Gottingen, I9II.

11. Jackson D. The theory of approximation.- Amer. Math. Soc. coli. Puhl., 11,1930.

12. Дзядык B.K. О наилучшем приближении на классе периодических функций имеющих ограниченную вю производную (o.

13. Дзядык В. К. О наилучшем приближении в метрике L некоторых функций.- Докл. АН СССР, 129, № I, 1959, с.19−22..

14. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классе периодических функций, определяемых ядрами, являющимися интеграламиот абсолютно монотонных функций.- Изв. АН СССР, сер.матем., 23, № 6, 1959, с.933−950..

15. Дзядык В. К. К вопросу о наилучшем приближении абсолютно монотонных и некоторых других функций в метрике L при помощи тригонометрических полиномов, — Изв. АН СССР, сер. матем., 25, № 2, 1961, с.173−238..

16. Дзядык В. К. 0 наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер.- Матем. заметки, 16, № 5, 1974, с.691−701..

17. Ефимов A.B. Линейные методы приближения некоторых классов непрерывных периодических функций.- Тр. Математ. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 62, 1961, с.3−47..

18. Женсыкбаев A.A. Некоторые вопросы приближения сплайнами в функциональных пространствах.- Дисс.. канд.физ.-мат. наук, Днепропетровск, 1973..

19. Женсыкбаев A.A. Приближение дифференцируемых периодических функций сплайнами по равномерному разбиению.- Матем. заметки, 13, № 6, 1973, с.807−816..

20. Зищунд А. Тригонометрические ряды. В 2-х томах.- М.: Мир, 1965, т.I.— 615 с..

21. Исмангилов P.C. Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функвдй тригонометрическими многочленами. Успехи матем. наук, 39, $ 3, 1974, с.161−178..

22. Karlin S. Total Positivity. V.l.- Stanford University Press, 1968.-576 p..

23. Кашин Б. С. Поперечники некоторых конечномерных множеств и классов гладких функций. Изв. АН СССР, сер. матем., 41, № 2, 1977, с.334−351..

24. Колмогоров А. Н. Zur Grossenordnung des restliedes Pouriershen Keihen differenzierbaren Functionen.- Inn. ofMath., 36, 1935, S. 521−526..

25. Колмогоров А. Н. «Ober die besste Annaherung vonFanctionen einer gegebenen Funktionklassen.- Ann. of Math., 37,1936, S. Ю7-ИО..

26. Корнейчук H.П. О наилучшем равномерном приближении на некоторых классах непрерывных функщй. Докл. АН СССР, 140, I960, с.748−751..

27. Корнейчук Н. П. О наилучшем равномерном приближении дифференцируемых функщй. Докл. АН СССР, 141,1961,с.304−307..

28. Корнейчук Н. П. О равномерном приближении функций подпространствами конечной размерности. Докл. АН СССР, 213,1973, с. 525−528..

29. Корнейчук Н. П. Верхние грани наилучших приближений на классах дифференцируемых периодических функций в метриках Си L. Докл. АН СССР, 190, 1970, с.269−271..

30. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. M.: 1976. — 304с..

31. Крейн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций. Докл. АН СССР, 18, № 4, 1938, с.245−251..

32. Кушйель A.K. Об уклонении сумматорных аналогов инте-тральных операторов на классах Гельдера: Препринт 82.48.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982, с. 35−44..

33. Кушнель А. К. Об одном методе приближения дифференцируемых периодических функций. Укр.матем.журн., 1984, 36, № 4, с. 507−512..

34. Кушпель А. К., Степанец А. И. Оценки наилучших приближений на классах периодических функций: Международная конференция по теории приближения функций, СССР, Киев, 1983. Тезисы докладов. Киев, 1983, с. III..

35. Кушнель А. К. Об одном методе приближения непрерывных периодических функций. Укр.матем.журн., 1984, 36, № 6, с. 780−782..

36. Кушпель А. К. Экстремальные свойства сплайнов и поперечники классов периодических функций в пространстве СZ1C: Препринт 84.25. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.-41 с..

37. Кушпель А. К. Поперечники классов периодических функций в пространстве С2? г. В сборнике работ молодых исследователейИн-та математики АН УССР.-Киев, 1984 (в печати)..

38. Lebesgue H. Sur la representation trigonometriqueapprochie des fonctionst satisfaisant a une condition de Liphitz.- Bull. Math, de France, 38″ 19Ю, p. 184−210..

39. Mairhuber J.G., Shoenberg I.J., Williamson R.E. On variation diminishin transformation on the circle.-Rend. Cire. Matem. Palermc>, T. VIII, 1959, p. 24I-2?0..

40. Маковоз Ю. И. Об одном приеме оценки снизу поперечников множеств в банаховом пространстве. -Матем. сб., 87, № I, 1972, с. 136−142..

41. Marcienkievicz J. Sur les multiplicateurs des seriesde Fourier.- Studia Math. 8, 1939, p. 78−91.1.oo.

42. Miccelli C.A., Pinkus A. On n-v/idts in L- .- Trans. Amer. Math. Soc., 234, 197?, p.139−174..

43. Моторный В. П. Приближение периодических функций тригонометрическими полиномами. Матем. заметки, 16, № I, 1974, с15−26..

44. Nady В. Uber gewisse Extremalf г agen hei transformierten trigonometricheii Entwicklungen.- Berichte Acad. d. Wiss., Leipzig 90, 1938, S. 103−134..

45. Никольский С.M. Асимптотическая оценка остатка при приближении интерполяционными тригонометрическими полиномами.-Докл. АН СССР, 31, № 3, 194I, с. 215−218..

46. Никольский С. М. Приближение периодических функций тригонометрическими многочленами. Тр.Матем. ин-та АН СССР, 15, 1945, с. 1−76..

47. Никольский С. М. Ряд Фурье функций с заданным модулем непрерывности. Докл. АН СССР, 52, 1946, с. I9I-I93..

48. Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем. Изв. АН СССР, сер. матем., 10, 1946, с. 206−256..

49. Никольский С. М. Об интерполировании и наилучшем приближении дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер. матем., 10, 1946, с.393−410..

50. Pincus A. On n-widths of periodic functions.-.

51. Рубан В. И. Четные поперечники классов W Hы в пространстве CZ7C Матем. заметки, 15, № 3, 1974, с.387−392..

52. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов суммами Фурье: Препринт 83.10. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, 57 с..

53. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов линейными средними их рядов Фурье: Международная конференция по теории приближения функций, СССР, Киев, 1983. Тезисы докладов.- Киев, 1983, сЛ72..

54. Степанец А. И. Классы периодических функций и приближение их элементов тригонометрическими полиномами: Международный конгресс математиков, Варшава, 1983. Тезисы докладов.- Варшава. 1983, с. 30..

55. Степанец А. И. Классификация периодических функций и приближение их суммами Фурье: Препринт 83.69. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. 57 с..

56. Степанец А. И., Кушпель А. К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций: Препринт 84.15. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 41 с..

57. Стечкин С. Б. 0 порядке наилучших приближений непрерывных функций.- Изв. АН СССР, сер.матем., 15, 195I, с.219−242..

58. Стечкин С. Б. 0 наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими многочленами.- Изв. АН СССР, сер. матем., 20, 1956, с. 643−648..

59. Стечкин С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций.- Тр. Матем. ин-та АН СССР, 145, 1980, с.126−151..

60. Сунь Юн-Шен. О наилучшем приближении функций представи-: мых в форме свертки.- Докл. АН СССР, 118, № 2, 1958, с.247−250..

61. Сунь Юн-Шен. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами.- Изв. АН СССР, сер. матем., 23, 1959, с.67−92. 137.

62. Сунь Юн-Шин. О наилучшем приближении периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами (второе вообщение). Изв. АН СССР, сер. матем., 25, 1961, с. 143−152..

63. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, i960.-624 с..

64. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория приближения. Успехи матем. наук, 15, № 3, i960, с. 81−120..

65. Тихомиров В. М. Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространствеМатем. сб., 80, № 2, 1969, с. 290−304..

66. Тихомиров В. М. Некоторые вопросы теории приближений.-Изд. МГУ, 1976, 304 с..

67. Favard J, Sur l’approximation des fonctions periodiques par des polynomes trigonometriques.- C.R. Acad. Sci. 203, 1936, p. II22-II24..

68. Pavard J. Sur les melleurs procedes l’approximation de fonctions par des polynomes trigonometriques.- Bull. Sci. Math., 61, 1937, p. 209−224..

69. Hirshman I.I., Widder D. V. The convoltion Transform, Princeton University Press, 1965, p. 84−107..