Зведення визначників до визначника Вандермонда (реферат)

Реферат на тему:

Зведення визначників до визначника Вандермонда

Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду.

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ a_1& a_2& a_3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}\end{array}|$$ .

Як відомо,.

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ a_1& a_2& a_3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}\end{array}|$$. = $$\underset{n>=i>j>=1}{}(a_i-a_j)$$ .

Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.

Приклад 19. Обчислити визначник.

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ x_1-1& x_2-1& x_3-1& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n-1\\ x_1^2-x_1& x_2^2-x_2& x_3^2-x_3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^2-x_n\\ x_1^3-x_1^2& x_2^3-x_2^2& x_3^3-x_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^3-x_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_1^{n-1}-x_1^{n-2}& x_2^{n-1}-x_2^{n-2}& x_3^{n-1}-x_3^{n-2}& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^{n-1}-x_n^{n-2}\end{array}|$$ .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ x_1& x_2& x_3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n\\ x_1^2-x_1& x_2^2-x_2& x_3^2-x_3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^2-x_n\\ x_1^3-x_1^2& x_2^3-x_2^2& x{}_3{}^3-x_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^3-x_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_1^{n-1}-x_1^{n-2}& x_2^{n-1}-x_2^{n-2}& x_3^{n-1}-x_3^{n-2}& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^{n-1}-x_n^{n-2}\end{array}|$$ .

Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ x_1& x_2& x_3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^2\\ x_1^3-x_1^2& x_2^3-x_2^2& x{}_3{}^3-x_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^3-x_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_1^{n-1}-x_1^{n-2}& x_2^{n-1}-x_2^{n-2}& x_3^{n-1}-x_3^{n-2}& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^{n-1}-x_n^{n-2}\end{array}|$$ .

Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник.

$$|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\\ x_1& x_2& x_3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^2\\ x_1^3& x_2^3& x{}_3{}^3& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^3\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^{n-1}\end{array}|$$ .

Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому.

$$\underset{n>=i>j>=1}{}(x_i-x_j)$$.

Приклад 20. Обчислити визначник.

$$|\begin{array}{ccccc}{a}_1^n& a_2^n& a_3^n& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n+1}^n\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n+1}^{n-1}\\ a_1^{n-2}& a_2^{n-2}& a_3^{n-2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n+1}^{n-2}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{1^2}& a_{2^2}& a_{3^2}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n+1}^2\\ a_1& a_2& a_3& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{n+1}\\ 1& 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\end{array}|$$.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на -1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:

(-1)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|a1na2na3n…an+1na1n-1a2n-1a3n-1…an+1n-1a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2…a12a22a32…an+12 111…1a1a2a3…an+1| .

Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т. д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо.

(-1)nmath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|111…1a1na2na3n…an+1na1n-1a2n-1a3n-1…an+1n=1a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2…a12a22a32…an+12a1a2a3…an+1| .

Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n -1 сусідніх перестановок рядків, тобто.

(-1)n (-1)n-1math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|111…1a1a2a3…an+1a1na2na3n…an+1na1n-1a2n-1a3n-1…an+1n-1a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2…a12a22a32…an+12| .

В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n -2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо.

(-1)n (-1)n-1(-1)n-2…(-1)2(-1)1math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|111…1a1a2a3…an+1a12a22a32…an+12…a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2a1n-1a2n-1a3n-1…an+1n-1a1na2na3n…an+1n| =.

= (-1)n+(n-1)+(n-2)+…+2+1ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|111…1a1a2a3…an+1a12a22a32…an+12…a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2a1n-1a2n-1a3n-1…an+1n-1a1na2na3n…an+1n| =.

= $$(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >|111…1a1a2a3…an+1a12a22a32…an+12…a1n-2a2n-2a3n-2…an+1n-2a1n-1a2n-1a3n-1…an+1n-1a1na2na3n…an+1n| .

Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому.

$$(-1{)}^{\frac{n(n+1)}{2}}$$ $$\underset{n+1>=i>j>=n}{}(a_i-a_j)$$.

Неважко бачити, що число співмножників у добутку дорівнює $$\frac{n(n+1)}{2}$$ .

Дійсно,.

$$\underset{n+1>=i>j>=n}{}(a_i-a_j)$$ = $$\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n}{}}(a_{n+1}-a_j)\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n-1}{}}(a_n-a_j)\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}\underset{j=1}{\overset{n-2}{}}(a_{n-1}-a_j)\\ \end{array}$$ …ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >j=12(a3-aj) $$\underset{j=1}{\overset{1}{}}(a_2-a_j)$$ .

У першому з цих добутків n співмножників, у другому n -1 співмножників і т.д. Число всіх співмножників дорівнює n+ (n -1) + (n -2) +…+ 2 + 1 = $$\frac{n(n+1)}{2}$$ .

У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на -1. Остаточно одержуємо.

$$\underset{1<=j<i<=n+1}{}(a_j-a_i)$$ .

Приклад 21. Обчислити визначник.

$$|\begin{array}{ccccc}\frac{a_1}{a_1+1}& a_1& a_1^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-1}\\ \frac{a_n}{a_2+1}& a_2& a_2^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-1}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ \frac{a_n}{a_n+1}& a_n& a_n^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}\end{array}|$$ .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (у кожному стовпчику n елементів). З рядків визначника будемо виносити множники так, щоб одержати визначник, всі елементи першого стовпчика якого рівні 1. Для цього з першого рядка виносимо множник $$\frac{a_1}{a_1+1}$$, з другого рядка — множник $$\frac{a_2}{a_2+1}$$, нарешті, з останнього рядка — множник $$\frac{a_n}{a_n+1}$$ .

$$\frac{a_1}{a_1+1}$$ $$\frac{a_2}{a_2+1}$$ … $$\frac{a_n}{a_n+1}$$ = $$|\begin{array}{ccccc}1& a_1+1& a_1(a_1+1)& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-2}(a_1+1)\\ 1& a_2+1& a_2(a_2+1)& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-2}(a_2+1)\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& a_n+1& a_n(a_n+1)& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-2}(a_n+1)\end{array}|$$ =.

= $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{a_i}{a_i+1}$$ $$|\begin{array}{ccccc}1& a_1+1& a_1^2+a_1& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-1}+a_1^{n-2}\\ 1& a_2+1& a_2^2+a_2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-1}+a_2^{n-2}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& a_n+1& a_n^2+a_n& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}+a_n^{n-2}\end{array}|$$ .

Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{a_i}{a_i+1}$$ $$|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2+a_1& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-1}+a_1^{n-2}\\ 1& a_2& a_2^2+a_2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-1}+a_2^{n-2}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& a_n& a_n^2+a_n& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}+a_n^{n-2}\end{array}|$$ .

З третього стовпчика визначника віднімемо другий:

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{a_i}{a_i+1}$$ $$|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-1}+a_1^{n-2}\\ 1& a_2& a_2^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-1}+a_2^{n-2}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& a_n& a_n^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}+a_n^{n-2}\end{array}|$$ .

Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{a_i}{a_i+1}$$ $$|\begin{array}{ccccc}1& a_1& a_1^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_1^{n-1}\\ 1& a_2& a_2^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_2^{n-1}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& a_n& a_n^2& \text{.}\text{.}\text{.}& a_n^{n-1}\end{array}|$$ .

Таким чином,.

$$\underset{i=1}{\overset{n}{}}\frac{a_i}{a_i+1}$$ $$\underset{n>=i>j>=1}{}(a_i-a_j)$$ .

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда.

1. $$|\begin{array}{cccc}{a}^n& (a-1{)}^n& \text{.}\text{.}\text{.}& (a-n{)}^n\\ a^{n-1}& (a-1{)}^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& (a-n{)}^{n-1}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a& a-1& \text{.}\text{.}\text{.}& a-n\\ 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1\end{array}|$$.

2. $$|\begin{array}{ccccc}(x+a_1{)}^n& (x+a_1{)}^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& x+a_1& 1\\ (x+a_2{)}^n& (x+a_2{)}^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& x+a_2& 1\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ (x+a_{n+1}{)}^n& (x+a_{n+1}{)}^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& x+a_{n+1}& 1\end{array}|$$ $$$$.

3. $$|\begin{array}{cccc}\frac{x_1}{x_1-n}& \frac{x_2}{x_2-n}& \text{.}\text{.}\text{.}& \frac{x_n}{x_n-n}\\ x_1& x_2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n\\ x_1^2& x_2^2& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^2\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& x_n^{n-1}\end{array}|$$.

4. $$|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \text{.}\text{.}\text{.}& n\\ 1& 2^3& 3^3& \text{.}\text{.}\text{.}& n^3\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 1& 2^{2n-1}& 3^{2n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& n^{2n-1}\end{array}|$$.

5. $$|\begin{array}{ccccc}{a}_1^n& a_1^{n-1}{b}_1& a_1^{n-2}{b}_1^2& \text{.}\text{.}\text{.}& b_1^n\\ a_2^n& a_2^{n-1}{b}_2& a_2^{n-2}{b}_2^2& \text{.}\text{.}\text{.}& b_2^n\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{n+1}^n& a_{n+1}^{n-1}{b}_{n+1}& a_{n+1}^{n-2}{b}_{n+1}^2& \text{.}\text{.}\text{.}& b_{n+1}^n\end{array}|$$.

6. $$|\begin{array}{ccccc}(2n-1{)}^n& (2n-2{)}^n& \text{.}\text{.}\text{.}& n^n& (2n{)}^n\\ (2n-1{)}^{n-1}& (2n-2{)}^{n-1}& \text{.}\text{.}\text{.}& n^{n-1}& (2n{)}^{n-1}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ 2n-1& 2n-2& \text{.}\text{.}\text{.}& n& 2n\\ 1& 1& \text{.}\text{.}\text{.}& 1& 1\end{array}|$$.

Список літератури

1. 1.Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М., 1965.

2. 2.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М., 1984.

3. 3.Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.