Емкости и поверхностные меры в бесконечномерных пространствах

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

Соболевские классы функций играют важную роль в бесконечномерном анализе. Это связано с тем, что обычные определения дифферендируемости, обобщенные на бесконечномерный случай (дифференцируемость по Гато, Адамару, Фреше) во многих задачах оказываются слишком жесткими условиями, накладываемыми на функции, и не охватывают нужные классы функций. Так, например, ненулевые функции с компактными носителями в бесконечномерном пространстве не могут быть даже непрерывными. Однако в геометрической теории меры и в теории случайных процессов часто возникает потребность в построении функций, сосредоточенных на компактах и обладающих некоторыми свойствами дифференцируемости. Например, в [48], где описывается построение диффузии, ассоциированной с формой Дирихле требуется плотность емкости С^, порожденной мерой ¿-г, а в [32] при построении поверхностной меры в винеровском пространстве строятся функции с компактными носителями, сходящиеся к 1 по всем соболевским нормам.

Вопрос о плотности соболевских емкостей, порожденных радо-новской вероятностной мерой /л, рассматривался во многих работах. Этот вопрос является принципиальным как для построения и изучения диффузионных процессов, так и для исследования поверхностных мер.

В случае Мп при любой вероятностной мере плотность емкостей Сг? р любого порядка очевидна. Кроме того, в [6] и [13] была.

Туреэе! Ьу .ДмЯ-Те* доказана плотность емкости С для меры Лебега на ограниченной достаточно регулярной области в К&trade-. Для гауссовских мер в бесконечномерном пространстве ответ также положителен (см. [32], [38]). Для негауссовских мер на сепарабельном банаховом пространстве плотность емкости давно известна (см. [48]), для емкости Сх5р при р ф 2 этот результат был обобщен М. Рёкнером и Б. Шмуландом в [54]. Случай г > 1 до сих пор не был рассмотрен.

Поверхностные меры в бесконечномерных пространствах представляют значительный интерес как для самой аналитической и геометрической теории меры, так и для ее приложений в нелинейном анализе и теории случайных процессов. В частности, они играют важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений относительно функций и мер (см. [16], [17]). Отметим, что оценки, связанные с поверхностными мерами в бесконечномерных пространствах, оказывыаются полезными при изучении предельных теорем для бесконечномерных случайных векторов, особенно при исследовании количественных характеристик типа скорости сходимости (см. [2], [14], [22], [23]). Аналитические методы, использующие поверхностные меры, эффективны и во многих качественных задачах, связанных с предельными теоремами (см. [7]).

Известны два подхода к построению поверхностных мер в бесконечномерных пространствах. Первый подход, восходящий к работе А. В. Скорохода [15] и существенно развитый в работах А. В. Угланова [16], [20], [21], основан на построении локальной поверхностной меры на достаточно малых окрестностях точек поверхности. Этот метод работает для широкого класса пространств при минимальных требованиях на гладкость меры и поверхности. На основе конструкции поверхностной меры Угланова были обобщены на бесконечномерный случай классические формулы векторного анализа (см. [10], [11]). В. И. Богачев в работе [35] показал, что теорию Угланова можно модифицировать, применив идеи исчисления Маллявэна (которое появилось в [49] как новый метод доказательства гладкости мер).

Совершенно иной подход был предложен П. Маллявэном [49] и реализован в работе Э. Эро и П. Маллявэна [32] для случая вине-ровской меры. В этом методе мера строится сразу на всей поверхности, а условия гладкости поверхности связаны не с геометрией объемлющего пространства, а с геометрией подпространства Камерона-Мартина, причем гладкость понимается в соболевском смыслеот функции, задающей поверхность, не требуется даже непрерывность. Однако этот метод до сих пор не был обобщен для негауссовских мер. Кроме того, в [32] на функцию, задающую поверхность, накладывается условие бесконечной дифференциру-емости вдоль подпространства.

Дальнейшему развитию теории поверхностных мер были посвящены работы [10], [11], [31], [51]. Наконец, следует отметить, что идеи и методы, изложенные в настоящей работе применительно к линейным пространствам, эффективно работают и в более общей ситуации бесконечномерных многообразий, в частности, многие из доказанных здесь результатов переносятся на случай пространства конфигураций (см. [7], [33]).

Цель работы: изучить емкости, порожденные соболевскими классами с негауссовскими мерами, и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций в негауссовском случае.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказана плотность емкостей СГ, Р5 г? 14, р > 1, порожденных классами Соболева для произвольных радоновских вероятностных мер на локально выпуклых пространствах при довольно слабом ограничении на гильбертово «касательное» подпространство Н. В случае г — 1 результат [54] обобщен на широкий класс локально выпуклых пространств без дополнительных ограничений на Н.

2. С помощью результатов о плотности соболевских емкостей разработана конструкция поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций на бесконечномерных пространствах с негауссовскими мерами при минимальных требованиях на гладкость мер и поверхностей. Для построенных мер выведен аналог формулы Остроградского-Гаусса.

Методы исследования. В работе используется теория дифференцируемых мер, предложенная С. В. Фоминым, а также теория соболевских классов и емкостейпри изучении свойств образа меры применяется исчисление Маллявэнакроме того, используются разные типы сходимости мер.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах геометрической теории меры, теории случайных процессов и теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве.

Результаты и методы диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М. В. Ломоносова, С.-Петербургском государственном университете, Ярославском государственном университете, Математическом институте РАН им. В. А. Стеклова, Дальневосточном научном центре.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством профессора В. И. Богачева, на международном семинаре «Бесконечномерный стохастический анализ», посвященном 95-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова (МГУ, июль 1998), и на семинаре по стохастическому анализу университета города Билефельда (Германия, сентябрь 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приводится в конце введения.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 59 наименований. Общий объем работы — 65 страниц.

1. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин C.B., Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах// Труды Моск. Мат. Об-ва, 1971, т. 24, с. 133−174.

2. Венткус В. Ю., Паулаускас В. И., О скорости сходимости в центральной предельной теореме для гауссовских смесей в бесконечномерных пространствах// Литов. матем. сб., 1983, т. 23, No 1, с. 17−29.

3. Кругова Е. П., Об интегрируемости логарифмических производных мер// Мат. заметки, 1993, т. 53, No 5, с. 76−86.

4. Мазья В. Г., Пространства С. Л. Соболева, Л., Изд-во ЛГУ, 1985.

5. Паулаускас В. И., Рачкаускас А. Ю., Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах, Вильнюс: Мокслас, 1987.

6. Скороход A.B., Интегрирование в гильбертовом пространстве, Москва, «Наука», 1975.

7. Угланов A.B., Поверхностные меры в банаховом пространстве// Мат. сборник, 1979, т. 110, No 2, с. 189−217.

8. Угланов A.B., Поверхностные интегралы и дифференциальные уравнения в бесконечномерном пространстве// ДАН СССР, 1979, т. 247, No 6, с. 1331−1335.

9. Угланов A.B., Формула Ньютона-Лейбница на банаховых пространствах и приближение функций бесконечномерного аргумента// Известия АН СССР, матем., 1987, т. 51, No 1, с. 152−170.

10. Угланов A.B., О гладкости распределений функционалов от случайных процессов// Теория вероятности и ее применения, 1988, т. 33, No 3, с. 535−544.

11. Угланов A.B., Поверхностные интегралы в линейных топологических пространствах// ДАН, 1995, т. 344, No 4, с. 450 453.

12. Угланов A.B., Поверхностные интегралы в пространствах Фреше// Мат. сборник, 1998, т. 189, No 11, с. 139−157.

13. Ульянов В. В., К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме// Теория вероятн. и ее примен., 1978, т. 33, No 3, с. 684−687.

14. Ульянов В. В., Оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве// Матем. заметки, 1981, т. 29, No 1, с. 145−153.

15. Федерер Г., Геометрическая теория меры, Москва, «Наука», 1987.

16. Фомин C.B., Дифференцируемые меры в линейных пространствах// Успехи мат. наук, 1968, т. 23, No 1, с. 221−222.

17. Фомин C.B., Обобщенные функции бесконечного числа переменных и их преобразования Фурье// Успехи мат. наук, 1968, т. 23, No 2, с. 215−216.

18. Фролов H.H., Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных// Труды Института математики Воронежского ун-та, 1970, т. 1, с. 205−218.

19. Фролов H.H., Теоремы вложения для пространств функций счетного числа переменных и их приложения к задаче Дирихле// ДАН СССР, 1972, т. 203, No 1, с. 39−42.

20. Фролов H.H., О неравенстве коэрцитивности для эллиптического оператора с бесконечным числом независимых переменных// Мат. Сборник, 1973, т. 90, No 3, с. 402−413.

21. Яхлаков В. Ю., Поверхностные меры на поверхностях конечной коразмерности в банаховом пространстве// Мат. заметки, 1990, т. 47, No 4, с. 147−156.

22. Airault H., Differential calculus on finite codimensional sub-manifolds of the Wiener space// J. Funct. An., 1991, v. 100, p. 291−316.

23. Airault H., Malliavin P., Integration geometrique sur l’espace de Wiener// Bull.Sei.Math., 2e serie, 1988, v. 112, p. 3−52.

24. Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Roclmer M., Analysis and Geometry on Configuration Spaces// Universitat Bielefeld, SFB 343, Preprint 97−050, 1997.

25. Albeverio S., Rockner M., Classical Dirichlet forms on topological vector spaces The construction of the associated diffusion process// Probab. Theory and Related Fields, 1989, v. 83, p. 405−434.

26. Bogachev V.l., Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations in in? nite dimensional space// Acta Univ. Carolinae, 1990, v. 31, No 2, p. 9−23.

27. Bogachev V.l., In? nite dimensional integration by parts and related problems// Bonn Univ., 1992, SFB 256, Preprint N 235.

28. Bogachev V.l., Differentiable measures and the Malliavin calculus// J. Math. Sci., 1997, v. 87, No 5, p. 3577−3731.

29. Bogachev V.I., Rockner M., Les capacites gaussiennes sont portees par des compacts metrisables// C.R.Acad.Sci., Serie 1, 1992, v. 315, p. 197−202.

30. Bogachev V.I., Rockner M., Mehler formula and capacities for infinite dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes with general linear drift// Osaka J. Math., 1995, v. 32, No 2, p. 237−274.

31. Feyel D., de La Pradelle A., Espaces de Sobolev Gaussiens//: Ann. Inst. Fourier, 1989, v. 39, No 4, p. 875−908.

32. Feyel D., de La Pradelle A., Capacites gaussiens// Ann. Inst. Fourier, 1991, v. 41, No 1, p. 49−76.

33. Fukushima M., Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space// J. Math. Soc. Japan, 1984, v. 36, No 1, p. 161−176.

34. Fukushima M., A note on capacities in infinite dimensions// Lect. Notes Math., 1988, v. 1299, p. 80−85.

35. Kree M., Propriete de trace en dimension infinie, d’espaces du type Sobolev// Bull. Soc. Math. France 1977, v. 105, p. 141−163.

36. Kree P., Calcul d}integrales et de derivees en dimension infinie// J. Funct. Anal., 1979, v. 31, p. 150−186.

37. Kusuolca S., Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. lA, 1982, v. 29, No 1, p. 79−95.

38. Lascar B., Proprietes locales d’espaces de type Sobolev en dimension infinie// Comm. Partial Diff. Eq., 1976, v. 1, No 6, p. 561−584.

39. Ma Zhi-Ming, Rockner M., An introduction to the theory of Dirichlet forms, Springer, Berlin, 1992.

40. Malliavin P., Implicit functions in finite corank on the Wiener space// Proc. Taniguchi Intern. Symp. on Stochastic Analysis, Katata and Kyoto, Kinokuniya, 1982, p. 369−386.

41. Malliavin P., Stochastic calculus of variations and hypo elliptic operators// Proc. Intern. Symp. SDE Kyoto 1976(1978), Wiley, Tokyo, p. 195−263.

42. Malliavin P., Malliavin M.P., Integration on loop groups// J.65Fund. An., 1990, v. 93, p. 207−237.

43. Malliavin P., Stochastic Analysis, Springer, 1998.

44. Pitcher T.S., Likelihood ratios for diffusion processes with shifted mean value// Trans. Amer. Math. Soc., 1961, v. 101, No 1, p. 168−176.

45. Rockner M., Schmuland В., Tightness of general Ci>p capacities on Banach space// Journal of Functional Analysis, 1992, v. 108, No 1, p. 1−12.

46. Takeda M., (r, p)-capacity on the Wiener space and properties of Brownian motion// Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 1984, v. 68, p. 149−162.

47. Пугачев O.B., Поверхностные меры в бесконечномерных пространствах // Мат. заметки, 63(1998), No 1, с.106−114.

48. Пугачев О. В., Построение негауссовских поверхностных мер методом Маллявэна // Мат. заметки, 65 (1999), No 3, с. 377 388.

49. Пугачев О. В., Формула Остроградского-Гаусса в бесконечномерном пространстве // Мат. сборник, 189(1998), No 5, с. 115−128.

50. Pugachev O.V., Tightness of Sobolev capacities in infinite dimensional spaces // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, принято к печати.