Кратные решения нелинейных эллиптических уравнений и систем

Актуальность работы. Теория нелинейных дифференциальных уравнений является в настоящее время одной из наиболее активно разрабатываемых областей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Нелинейные дифференциальные уравнения возникают в многочисленных задачах современных естественных, общественных и инженерных наук. Важность исследования таких уравнений особенно велика в настоящее время, когда имеется абсолютная необходимость в моделировании и изучении процессов, происходящих в неоднородных активных средах, в условиях большого диапазона изменения температур, больших нагрузок и больших деформаций.

Число ежегодно публикуемых работ по нелинейным уравнениям велико. Причем это как сугубо теоретические работы, так и работы, отдающие предпочтение приложениям, разработке численных методов решения нелинейных уравнений и задач оптимального управления.

Теория нелинейных дифференциальных уравнения выработала довольно сильное симбиотическое отношение со многими областями математики, физики и других наук. С одной стороны, нелинейные уравнения моделируют множество явлений, изучаемых в естественных науках (электромагнетизм, нелинейные уравнения Максвелла) или общественных науках (финансовые рынки, нелинейная модель Блэка-Шоулза), обогащая теорию нелинейных уравнений новыми задачами, а с другой — служат важным источником их развития. В частности, с появлением пионерской работы Гаусса и Римана о многообразиях, нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных были в центре многих важных развитий в геометрии1.

Одной из основных и наиболее сложных проблем современной теории.

1 Например, они использовались при доказательствах гипотезы Пуанкаре и гипотезы Калаби. Другой пример — задача Ямабе в дифференциальной геометрии. нелинейных уравнений и систем является проблема существования у них кратных решений. Причем эта проблема имеет как большое теоретическое, так и большое прикладное значения.

Например, априорная информация о числе решений исследуемой нелинейной задачи играет огромную роль в процессе разработки и применения численных методов ее решения, ибо во-первых заранее не известно к какому именно решению будет сходиться (сходящийся) итерационный процесс, а во-вторых не все решения рассматриваемой нелинейной задачи могут иметь физическую, экономическую или какую-либо другую «целевую» интерпретацию, что важно иметь в виду при разработке соответствующих алгоритмов. Число решений нелинейных задач, описывающих процессы управления является также одной из основных проблем, встречающихся при разработке и исследовании математических моделей-оптимизации для систем, описываемых нелинейными уравнениями математической физики (см., например, книгу Ж.-Л. Лионса [11]). С другой стороны, в физических моделях существование кратных решений рассматриваемых задач может говорить о том, что исходных предпосылок и наложенных условий не достаточно для того, чтобы однозначно определить и описать исследуемое явление. Наконец, знание о существовании кратных решений способствует лучшему пониманию природы изучаемого процесса или явления. Например, существование бесконечного множества геометрически различных и неограниченных по норме соответствующего функционального пространства решений уравнения Эмдена-Фау-лера можно трактовать как-то, что мы живем в расширяющейся вселенной.

Существование и кратность решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных могут зависеть как от нелинейности рассматриваемой задачи, так и от топологии области, в которой она рассматривается. В настоящей диссертации основное внимание уделяется алгебраическому аспекту вопроса о кратности решений. Мы будем рассматривать нелинейные задачи, у которых нелинейности зависят от вещественного параметра Л, а предметом проводимых здесь исследований будет изучение существования кратных решений рассматриваемых нелинейных задач в зависимости от этого параметра. Такие задачи часто моделируют важные процессы в механике, физике и других науках (см., например, [26, 46, 64]).

В диссертации рассматриваются нелинейные вариационные задачи, не принадлежащие к классическому типу (так называемому коэрцитивному классу), к которому не применимы классические теоремы вариационного исчисления.

Для задач, не являющихся коэрцитивными, на сегодняшний день наиболее известны методы Люстерника-Шнирельмана [2, 6, 62], теорема о горном перевале (mountain pass theorem) [21], метод зацепления (linking method) [25, 50] и теория Морса [48, 53, 54, 57].

В 1979 г. в работе [10] С. И. Похожаевым впервые был предложен мощный метод глобального расслоения для некоэрцитивных вариационных задач, что открыло возможности для исследования новых классов нелинейных функционалов и порождаемых ими нелинейных дифференциальных уравне- -ний и систем в частных производных. Этот метод базируется на расслаивании исходного функционала J на несколько «автономных» функционалов, каждый из которых порождает свои критические точки. Причем, такой подход не требует, например, никаких условий невырожденности (как в теории Морса) и не требует линейности оператора (что играет огромную роль в применении методов Ляпунова-Шмидта). Метод глобального расслоения нашел свое дальнейшее развитие в работах [12−16].

С этими и некоторыми другими методами исследования нелинейных задач можно ознакомиться по работам [1, 3, 4, 7−9, 30, 59].

Для многих вариационных задач доказательство существования более одного решения наталкивается на большие трудности. Иногда удается доказать существование двух решений, комбинируя классические и современные минимаксные методы вариационного исчисления. Доказательство же существования большего количества решений требует намного более тонких методов и рассуждений. Наряду с проблемой существования решений, представляет также большой интерес проблема отсутствия решений нелинейных задач. Этим вопросам посвящены главы 3−5.

Другой важной проблемой нелинейных задач, зависящих от вещественных параметров, является явное описание их точек бифуркации. Несмотря на всю важность таких точек, в современной литературе по дифференциальным уравнениям данному вопросу не уделяется достаточного внимания и, по большому счету, либо эти точки «угадываются», либо только констатируется их существование. Проблеме явного вариационного описания точек бифуркации нелинейных задач, в частности, посвящена глава 2 диссертации.

В настоящей диссертации будут использоваться несколько методов. Основным же аппаратом у нас будет служить глобальный метод расслоения С. И. Похожаева, ибо он, как представляется автору, наиболее гармонично вписывается в контекст рассматриваемых задач и его использование видится наиболее прагматичным.

Цель диссертационной работы состоит в получении новых результатов о существовании кратных решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем, а также о несуществовании решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем.

Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Настоящая диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике. Они, в частности, найдут свое применение в дальнейшем исследовании проблемы кратной разрешимости нелинейных задач и уточнении полученных результатов. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам из МИ РАН, ПОМИ РАН, НМУ, МГУ, ИППИ РАН, ГУ ВШЭ.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Доказаны теоремы о бифуркации решений нелинейной задачи Неймана со знаконеопределенной нелинейностью. Получены некоторые качественные свойства соответствующих решений. Найдена точка бифуркации в форме явного вариационного тождества.

2. Доказано существования двух/трех положительных решений нелинейных задач Дирихле для оператора р-лапласиана и выпукло-вогнутых нелинейностей. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной задачи Дирихле четного порядка. Доказано существование трех положительных решений нелинейной задачи Дирихле для оператора р-лапласиана.

3. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений для полигармонических операторов. Доказано отсутствие гладких положительных решений нелинейной гамильтоновой системы для полигармонических операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на.

• 53-й научной конференции МФТИ (2010);

• научном семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям РУДН (2010);

• научном семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики МИАН (2011);

• научном семинаре отдела математической физики МИАН (2011).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах [А1, А2, АЗ, А4, А5], из них 4 статьи в рецензируемых журналах, входящих в Перечень ВАК (2 статьи в российских и 2 статьи в зарубежных журналах) и 1 тезис доклада.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, списка обозначений, пяти глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография включает 66 наименований.

Заключение

.

В заключение, подведем итог по полученным в настоящей диссертации результатам. Итак, в диссертации:

1. Доказаны теоремы о бифуркации решений нелинейной задачи Неймана со знаконеопределенной нелинейностью. Получены некоторые качественные свойства соответствующих решений. Найдена точка бифуркации в форме явного вариационного тождества.

2. Доказано существования двух/трех положительных решений нелинейных задач Дирихле для оператора р-лапласиана и выпукло-вогнутых нелинейностей. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной задачи Дирихле четного порядка. Доказано существование трех положительных решений нелинейной задачи Дирихле для оператора р-лапласиана.

3. Доказано существование бесконечного множества геометрически различных решений нелинейной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений для полигармонических операторов. Доказано отсутствие гладких положительных решений нелинейной гамильтоновой системы для полигармонических операторов.

Я искренне признателен моему научному руководителю — член-корреспонденту РАН Станиславу Ивановичу Похожаеву за плодотворные обсуждения и ценные замечания, полученные в процессе выполнения диссертации.