Такие интегралы имеют название «неберущиеся», и вычисление удобно производить с помощью рядов. В этой главе приведем основные примеры «неберущихся» интегралов и способы их вычисления. Пример 1. Вычислить интеграл.
Решение:
Подынтегральная функция не является элементарной функцией. Поэтому для вычисления интеграла от этой функции воспользуемся стандартным разложением функции, при этом, заменяя в разложении x на: Интегрируя обе части этого равенства в пределах от 0 до a, получим.
Задавая любые значения а, вычисляем данный интеграл с любой степенью точности. Пример 2.Вычислить приближенно определенный интеграл, с точностью до 0,001Решение:
Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Используем табличное разложение:
Заменим на Получаем Подставляем в интеграл полученный степенной ряд: Применяем формулу Ньютона-Лейбница Так как сходящийся ряд знакочередующийся, тополучения ответа достаточно первых двух членов, а именно 0,3−0,018.При заданной точности 0,001 абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит уже третьего члена ряда. Ответ: с точностью до 0,001Пример 3. Вычислить интеграл.Решение:
Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя стандартное разложение элементарной функции sinxЗатем делим наxи получаем.
Причем последний ряд сходится при любых значениях x. Переходим к интегрированию, получаем.
Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом a. Пример 4.Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд по степеням x, с точностью до 0,001Решение:
Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя биномиальное разложение функции Заменим на, получаем.
Таким образом: Ответ: с точностью до 0,001Пример 5. Вычислить определенный интеграл с точностью 0,01Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, используя стандартное разложение функции.
Заменим на, получаем.
Домножим на, получим.
Переходим к вычислению интеграла.
Ответ: с точностью до 0,01.Пример 6. Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 Решение:
Разложим подынтегральную функцию в ряд, используя стандартное разложение функции Далее.
Переходим к вычислению интеграла.
Ответ:
с точностью до 0,001.Пример 7. Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001 Решение:
Разложим подынтегральную функцию, используя биномиальное разложение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду:
Полученное преобразование не дает возможности использовать биномиальное разложение, поэтому воспользуемся следующей формулой:
В нашей задаче имеем:
Видим, что четвертый член рядаменьше заданной точности 0,001, соответственно он не потребуется для дальнейшего вычисления. При этом необходимо не следует забывать еще один множитель:
Переходим к вычислению интеграла:
Ответ: с точностью до 0,001.Пример 8. Вычислить эллиптический интеграл.
Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, положив, .Этот ряд сходится при всех значениях и допускает почленное интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале. Поэтому Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При имеем.
И, следовательно, Заключение.
В данной работе рассмотрены основные применения рядов для приближенного вычисления определенных интегралов, которые имеют широкоеприменение в реальной жизни. Из вышесказанного видно, что ряды тесно связаны со всеми разделами математики и другими науками. Ряды очень полезны в решении задач, которые обычными методами сложно или невозможно решить. Применение рядов встречается в таких сферах как: экономика, физика и других. Подведем итоги проделанной работы. Во введении обоснована актуальность выбранной темы курсовой работы, определены цели и задачи исследования. В первой главе курсовой работы рассмотрены теоретические аспекты теории рядов. А именно рассмотрено понятия о числовых рядах, степенных рядах, представлены основные свойства рядов и признаки их сходимости. Также представлены разложения элементарных функций в ряд Тейлора и Маклорена. Во второй главе курсовой работы рассмотрены основные способы вычисления определенных «неберущихся» интегралов. Приведены примеры вычисления таких интегралов. В заключении подведены итого исследования. Таким образом, поставленная цель и задачи исследования достигнуты в полном объеме.
Список литературы
Арефьев К. П., Глазырина Е. Д., Ефремова О. Н., Столярова Г. П. Высшая математика. Ч. III.: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2006.
— 208 с. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. — М.: Наука, 1973. — 436 с. Воробьев, Н. Н. Теория рядов./ Н. Н. Воробьев.- М.: Лань, 2002.- 416 с. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высшая школа, 1989.
Высшая математика в упражнениях и задачах. Части I, II /П. К. Данко и др. — М.: Высшая школа, 1980.
Ефимов, А. В. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Текст]/ Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1981.
Ефремова О. Н., Столярова Г. П., Некряч Е. Н. Высшая математика. Ч. II: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. 200 с. Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б. П. Демидовича. — М.: Наука, 1972.
Кошельская Г. А., Столярова Г. П., Харлова А. Н. Высшая математика. Часть IV.
Ряды: учебное пособие. Томск. Изд. ТПУ, 2001.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. — М: Высшая школа, 1981. — 687 с. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). [Текст]/ - М.: Высшая школа, 1983.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. — М.: Наука, 1973.
Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.
2. / Н. С. Пискунов.- М.: Интеграл-пресс, 2009.- 544 c. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа./ Г. М. Фихтенгольц.- М.: Лань, 2005.- 464 с. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2″. [Текст]/ - М.: Наука, 1987.
