Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка

Настоящая диссертация посвящена достаточно традиционным вопросам — существованию и единственности (или только существованию) периодических, почти периодических и ограниченных решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также их устойчивости.

Но если тематика диссертационной работы и представляется достаточно традиционной, то используемые в ней методы уже не являются таковыми. Отметим также, что рассмотрение ведётся сразу для уравнений высших порядков.

В диссертации систематически используется обобщённый принцип сжимающих отображений являющийся обобщением классического принципа сжимающих отображений Банаха-Каччиополли. При доказательстве существования ограниченных решений нашёл применение принцип неподвижной точки Тихонова в линейных локально выпуклых топологических пространствах. В развитии частотных методов основополагающее место занимает один результат А. Г. Баскакова. При изучении вопросов устойчивости важную роль играет «принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости» М. А. Красносельского и А. В. Покровского.

Бегло остановимся на содержании диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются скалярные нелинейные дифференциальные уравнения п-го порядка. В ней вводятся играющие исключительно важную роль в диссертации интегральные и частотные постоянные.

Вторая глава посвящена нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Здесь приведены таблицы интегральных и частотных постоянных, а также новые результаты, относящиеся к играющему важную роль в теории нелинейных колебаний уравнению Рэлея.

Глава третья рассматривает указанные выше вопросы для векторно-матричных дифференциальных уравнений высших порядков. Она содержит с доказательствами все важные результаты как эе-теории, так и и-теории.

Все основные результаты диссертации своевременно опубликованы в 8 работах, из которых три в журнале рекомендованном ВАКом.

Предисловие к первой главе.

В первой главе приводятся основные понятия и используемые во второй главе результаты. Она имеет дело со скалярными дифференциальными уравнениями п-го порядка. В § 1 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с постоянными коэффициентами. Здесь же вводятся и изучаются интегральные и частотные постоянные (первые являются нормами некоторых интегральных операторов, а вторые — их спектральными радиусами). Интегральные постоянные обозначаются ае7- и поэтому соответствующая теория называется ае-теорией, а частотные постоянные обозначаются и соответствующая теория называется атеорией. В § 2 рассматриваются ограниченные решения линейных дифференциальных уравнений п-го порядка с ограниченными переменными коэффициентами (в частности с почти периодическими коэффициентами) .

Следующие параграфы посвящены нелинейным дифференциальным уравнениям. Основной метод исследования — метод интегральных уравнений в сочетании с методом положительных операторов. Возможности метода интегральных уравнений великолепно проиллюстрированы в монографиях Е. Н. Розенвассера [78] и М. А. Красносельского, В. Ш. Бурда, Ю. С. Колесова [38]. Относительно метода положительных операторов, то мы ограничимся указанием на книги М. А. Красносельского, написанные вместе со своими сотрудниками и учениками [37], [38], [39], [44].

Нелинейные ае и отеории излагаются соответственно в § 3 и § 4. В них изучаются ограниченные решения слабо нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Сформулированы теоремы существования и единственности (или только существования), доказанные или с помощью принципа сжимающих отображений или с помощью принципа неподвижной точки Тихонова.

В § 5 излагаются локальные теоремы, основанные на сведении к теоремам, изложенным в предыдущих параграфах.

Полные формулировки теорем (вместе с частичными доказательствами) приведены не только для их непосредственного использования во второй главе, но и как прототипы тех рассуждений, которые будут проведены при изучении векторно-матричных дифференциальных уравнений в третьей главе. Уже здесь — в первой главе появляются четыре теоремы (точнее восемь), которые с теми или иными вариациями проходят лейтмотивом по всей диссертации.

Помимо этого, утверждения, данные в цитируемых (в тексте) статьях, но не сопровождавшиеся доказательствами, здесь даны с полными доказательствами. Более того, в этой главе есть и новый материал (лемма о возмущённом нерезонансном многочлене, нашедшая логическое завершение в третьей главеиспользование банаховой алгебры почти периодических функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье и т. п.).

Частично материал первой главы опубликован в статьях [67] и [71], а полное изложение дано в препринте [106] - это по ае-теории. Частотная <ттеория, ей предшествовала статья [70], а полное изложение опять-таки нашло место в препринте [107].

Отметим следующие особенности. Если построение и развитие эе-теории происходит вполне стандартным путём — единственное здесь новшество — это применение принципа неподвижной точки А. Н. Тихонова [85], то создание атеории потребовало привлечения совершенно нетривиальных результатов А. Г. Баскакова [7] и М. А. Красносельского и А. В. Покровского [40], [41].

Если в аетеории (0 < < 1) получение оценок ограниченного решения и его производных в линейном пространстве С не представляет никакого труда, то основная задача в атеории (O<<7<7.

Теоретические построения первой главы могут быть с успехом развиты и для изучения ограниченных решений дифференциально-разностных уравнений [88]. Представляется заманчивой и перспектива создания их дискретного аналога [92]..

Первая глава Основные понятия и используемые результаты.

1. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. — М.: Физматгиз, 1959. — 916 с..

2. Антоневич А. Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно. Минск: Изд-во Университетское, 1984. — 352 с..

3. Варбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости / Е. А. Барбашин. -М.: Наука, 1967. 224 с..

4. Баскаков А. Г. Асимптотические оценки элементов матриц обратных операторов и гармонический анализ / А. Г. Баскаков // Сибирский математический журнал. 1997. — Т. 38, N1.-0. 14−28..

5. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А. Г. Баскаков // Математические заметки. 2000. — Т. 67, N 6. — С. 816−827..

6. Баскаков А. Г. Об обратимости и фредгольмовости параболических дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Доклады РАН. -2002. Т. 383, N 5. 0. 583−585..

7. Баскаков А. Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 2003. Т. 39, N3.-0. 413−415..

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А. Г. Баскаков // Известия РАН, серия математическая. 2009. — Т. 73, N 2. — С. 1−72..

9. Борисович Ю. Г.

Введение

в топологию / Ю. Г. Борисович, Н. М. Близ-няков, Я. А. Израилевич, Т. Н. Фоменко. М.: Высшая школа, 1980. 296 с..

10. Боровских А. В. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям / А. В. Боровских, А. И. Перов. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. — 540 с..

11. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. М.: Наука, 1968. 560 с..

12. Важевский T. (Waiewski T.) Une methode topologique de l’examen du phenomene asymptotique relativement aux equations differentielles ordinaires / T. Важевский // Rent. Accad. Lincei. 1947. — N 3. — C. 210−215..

13. Гантмахер Ф. P. Теория матриц / Ф. P. Гантмахер. M.: Наука, 1967. 576 с..

14. Гельман А. Е. Один признак существования определённых классов решений нелинейного дифференциального уравнения и некоторые оценки в методе малого параметра / А. Е. Гельман // ДАН СССР. 1958. -Т. 118, N6.-С. 1063−1065..

15. Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гель-фанд, Д. А. Райнов, Г. Е. Шилов. Москва: Физматгиз, 1960. — 316 с..

16. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. М.: Наука, 1971. — 272 с..

17. Гохберг И. Ц. Уравнения в свёртках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. М.: Наука, 1971. — 352 с..

18. Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, 1970. — 536 с..

19. Данфорд Н. Линейные операторы. T. I / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц.- М.: ИЛ, 1962. 896 с..

20. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. — 472 с..

21. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М.: Мир, 1964. — 432 с..

22. Евченко В. К. О некоторых признаках существования периодических, рекуррентных и ограниченных решений / В. К. Евченко, И. Д. Кос-труб, А. И. Перов // Вестник факультета ПММ, Воронеж. 2004. -Вып. 5. — С. 191−202..

23. Жукова А. А. Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (вопросы существования периодических решений и их устойчивости) / А. А. Жукова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2009. — 106 с..

24. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высшая школа, 1979. — 400 с..

25. Иохвидов И. С. Ганкелевы и тёплицевы матрицы и формы / И. С. Иох-видов. М.: Наука, 1974. — 264 с. ,.

26. Икрамов X. Д. Задачник по линейной алгебре / X. Д. Икрамов. М.: Наука, 1975. — 320 с..

27. Йокк А. О сходимости разностных методов для нелинейных уравнений второго порядка / А. Йокк // Известия АН Эст. ССР, физ.-мат. 1974. Т. 23, N1.-0. 86−88..

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. М.: Физматгиз, 1976. — 704 с..

29. Канторович Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. М.: Физматгиз, 1959. 684 с..

30. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале / А. Н. Колмогоров // Учёные записи МГУ. 1939. — N 30. -С. 3−16..

31. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1968. — 496 с..

32. Красносельский М. А. Об одном принципе существования ограниченных, периодических и почти периодических решений у системы обыкновенных дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1958. — Т. 123, N 2. — С. 235−238..

33. Красносельский М. А. О существовании решений у некоторых нелинейных операторных уравнений / М. А. Красносельский, А. И. Перов // ДАН СССР. 1959. — Т. 126, N 1. — С. 15−18..

34. Красносельский М. А. Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. М.: Физматгиз, 1963. — 248 с..

35. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. М.: Наука, 1966. — 332 с..

36. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М. А. Красносельский, В. Ш. Бурд, Ю. С. Колесов. М.: Наука, 1970. — 352 с..

37. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. — 512 с..

38. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // ДАН СССР. 1977. — Т. 233, N 3. 0. 293−296..

39. Красносельский М. А. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. В кн.: Устойчивость движения, аналитическая механика, управление движением. М.: Наука, 1981. — С. 156−169..

40. Красносельский А. М. Частотные критерии в задаче о вынужденных колебаниях систем автоматического регулирования / А. М. Красносельский. // Автоматика и телемеханика. 1979. — N 1. — С. 23−30..

41. Красносельский М. А. Об абсолютной устойчивости систем с дискретным временем / М. А. Красносельский, А. В. Покровский // Автоматика и телемеханика. 1978. — N 2. — С. 42−52..

42. Красносельский М. А. Позитивные линейные системы / М. А. Красносельский, Е. А. Лившиц, А. В. Соболев. М.: Наука, 1985. — 256 с..

43. Крейн М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (отредактированные идополненные Ю. JI. Далецким) / М. Г. Крейн. Киев: Институт математики АН УССР, 1964. — 188 с..

44. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. — 464 с..

45. Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. М.: ГИТТЛ, 1955. 380 с..

46. Левитан Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. М.: ГИТТЛ, 1953. — 396 с..

47. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа / Л. А. Лю-стерник, В. И. Соболев. М.: Высшая школа, 1982. — 272 с..

48. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. — 472 с..

49. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: ГИТТЛ, 1956. — 492 с..

50. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Физматгиз, 1964. — 530 с..

51. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. М. Ленинград: ГИТТЛ, 1948. — 424 с..

52. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М.: Физматлит, 2001. — 384 с..

53. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. M-Л.: ГИТТЛ, 1949. — 552 с..

54. Никитин О. И. К вопросу о приближённом нахождении периодических решений дифференциальных уравнений / О. И. Никитин, А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 1983. — Т. 19, N И. — С. 2001;2004..

55. Окунев Л. Я. Высшая алгебра / Л. Я. Окунев. М.: Учпедгиз, 1958. 336 с..

56. Перов А. И. Периодические, почти периодические и ограниченные решения дифференциального уравнения х = f (t, x) / А. И. Перов // Доклады АН СССР. 1960. — Т. 132, N 3. — С. 531−534..

57. Перов А. И. О задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений / А. И. Перов // Приближённые решения дифференциальных уравнений. 1964. — Вып. 2. — С. 115−134..

58. Перов А. И. Об одном общем методе исследования краевых задач / А. И. Перов, А. В. Кибенко // Известия АН СССР, серия математика. 1966. — Т. 30, N 2. 0. 249−264..

59. Перов А. И. Ограниченные решения дифференциальных уравнений второго порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. -1967. Т. 3, N 3. — С. 524−528..

60. Перов А. И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1981. — 196 с..

61. Коструб И. Д. Метод направляющих функций в задаче о нелинейных почти периодических колебаниях / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2002. — N 1. — С. 163−171..

62. Перов А. И. Об одной теореме существования ограниченных, почти периодических и периодических решений / А. И. Перов, С. А. Дунаев, И. Д. Коструб // Вестник ф-та ПММ, Воронеж. 2002. — Вып. 3. — С. 160−170..

63. Перов А. И. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса / А. И. Перов, И. Д. Коструб. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. — 37 с..

64. Перов А. И. Уравнение Дуффинга, странные аттракторы и рекуррентные решения / А. И. Перов // Сборник «Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах», Воронеж, ВГУ. 2003. — С. 329−338..

65. Перов А. И. Об ограниченных решениях нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов, С. А. Барамзин, М. Ф. Григорова, М. М. Кириллова, А. А. Шерстобитова // Труды молодых учёных ВГУ. 2004. — Вып. 2. — С. 14−21..

66. Перов А. И. Обобщённый принцип сжимающих отображений / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2005. — N 1. — С. 196−207..

67. Перов А. И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебаний / А. И. Перов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2005. — 64 с..

68. Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2007. — Т. 43, N 7. 0. 896−904..

69. Перов А. И. Об ограниченных решениях обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / А. И. Перов // Дифференциальные уравнения. 2010. — Т. 46, N 9. 0. 1228−1244..

70. Перов А. И. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций / А. И. Перов // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. — N 1. — С. 159−161..

71. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний / В. А. Плисс.- М.-Л.: Наука, 1964. 368 с..

72. Полякова Л. А. Обобщённый принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений / Л. А. Полякова // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2006. — 128 с..

73. Портнов М. М. Об одном методе приближённого нахождения периодических решений систем обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений / М. М. Портнов // Кандидатская диссертация, Воронеж. 2005. — 137 с..

74. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И. Г. Петровский. М.: Наука, 1964. — 272 с..

75. Рейссиг Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений / Р. Рейссиг, Дж. Сансоне, Р. Конти. М.: Наука, 1974. 320 с..

76. Розенвассер Е. Н. Колебания нелинейных систем / Е. Н. Розенвассер.- М.: Наука, 1969. 576 с..

77. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление / Я. Н. Ройтенберг. -М.: Наука, 1971. 396 с..

78. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости / М. Розо. -М.: Наука, 1971. 288 с..

79. Самойленко А. М. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач / А. М. Самойленко, Н. И. Ронто. Киев: Наукова думка, 1986. — 224 с..

80. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах / Дж. Стокер. М.: ИЛ, 1952. — 264 с..

81. Стрелков С. П.

Введение

в теорию колебаний / С. П. Стрелков. М.: Наука, 1964. — 440 с..

82. Стрижак Т. Г. Метод усреднения в задачах механики / Т. Г. Стрижак.- Киев-Донецк: Вища школа, 1982. 256 с..

83. Тихонов А. Н. Ein Fixpunktsatz / А. Н. Тихонов // Math. Ann. 1935. N 111. С. 767−776..

84. Трубников Ю. В. Дифференциальные уравнения с монотонными нели-нейностями / Ю. В. Трубников, А. И. Перов. Минск: Наука и техника, 1986. — 200 с..

85. Улам С. Нерешённые математические задачи / С. Улам. М.: Наука, 1964. — 168 с..

86. Фетисов Р. Б. Ограниченные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений / Р. Б. Фетисов // Известия Российской Академии естественных наук. 2006. — N 1. — С. 1−4..

87. Халмош П. Конечномерные векторные пространства / П. Халмош. -М.: Физматгиз, 1963. 264 с..

88. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М.: Мир, 1970. — 720 с..

89. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. М.: ИЛ, 1962. — 832 с..

90. Цыпкин Я. 3. Теория импульсных систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Физматгиз, 1958. — 724 с..

91. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. -М.: Мир, 1964. 480 с..

92. Четаев Н. Г. Устойчивость движения / Н. Г. Четаев. М.: ГИТТЛ, 1955. — 208 с..

93. Шилов Г. Е. Математический анализ / Г. Е. Шилов. М.: Физматгиз, 1961. — 436 с..

94. Щеголеватых Р. И. Формула С. Г. Семёнова для оператора Лурье в гильбертовом пространстве / Р. И. Щеголеватых // Труды молодых учёных ВГУ. 2000. — Вып. 2. — С. 14−18..

95. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969. — 1072 с..

96. Esclangon Е. Sur les inte’grales borne’es d’une equation diffe’rentielle line’aire / E. Esclangon // C. R. Ac. de sei., Paris 160. 1915. — C. 475−478..

97. Юнг (Joung W. H.) Eine Ausdehnunq des Parsevalsehen Satzes uber Fourierreihen / W. H. Joung // Math. Zeitschs. 1923. — 16. — C. 163 169..

98. Якубович В. A. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. М.: Наука, 1972. — 720 с..

99. Коструб И. Д. Ограниченные решения векторно-операторных нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка в банаховом пространстве / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. 2010. — Вып. 8. — С. 221−233..

100. Коструб И. Д. Неравенства типа Ландау-Адамара для гладких векторных функций и теорема Эсклангона для нелинейных дифференциальных уравнений п-го порядка / И. Д. Коструб // Вестник ПММ. -2010. Вып. 8. — С. 233−243..

101. Коструб И. Д. Частотные признаки существования, единственности и устойчивости ограниченных решений нелинейных дифференциальных уранений второго порядка / И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2011. — N 2. — С. 141−147..

102. Коструб И. Д. Многомерная версия принципа обобщённого сжатия М. А. Красносельского / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Вестник ВГУ, серия: Физика. Математика. 2010. — N 2. — С. 131−138..

103. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (ае-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 36. 2011. — 50 с..

104. Коструб И. Д. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений п-го порядка (а-теория) / А. И. Перов, И. Д. Коструб // Препринт N 37. 2011. — 62 с..