Без темы

Или другое определение кручениемназывают деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 7.1).Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т. п.Деформация кручениянаблюдаетсяесли прямой брус нагружен внешними моментами (парами силM), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси.

В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называютвалами. Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала. При расчете брусьев, испытывающийдеформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (отMk), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов. При расчете валов обычнобываетизвестна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т. п.Построение эпюр крутящих моментов.

Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментовMk (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называютэпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия валаΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 7.1, крутящий моментMzв любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моментуM1-=-M2-.Рис. 7.1 В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моментыMkв поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы. На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения. При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построенияэпюры Mkпримем следующее правило знаков:

крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.

7.2).В технике употребляется терминология «винт с правой нарезкой» или «…с левой нарезкой…», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Mкр, а при свинчивании гайки — отрицательный.Рис. 7.2 В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре.

МКвозникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз — при обратном направлении моментов. На рис. 7.3, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.Рис. 7.3 В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке. Крутящий моментMz1 в сечении I численно равен M1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен. Крутящий момент Mz2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M1 и M1, т. е. Mz2 =200−300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов. Аналогичным образом вычисляется крутящий момент Mz3 в сечении III: Mz3 =200−300+500=400 нм. Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис. 7.3, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 7.3, а. В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента. Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость. Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в видегде

— берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. 8 Изгиб. Нормальное напряжение при изгибе. Расчеты на прочность.

В практике изгиб является пожалуй самым распространенным видом деформаций, который в большей степени характерен для балочных конструкций. Если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент, считается, что она испытываетчистый изгиб. Однако, в большинстве случаев, наряду с изгибающим моментом в балках возникает еще поперечная сила (Q), и такой изгиб, соответственно, называетсяпоперечным. Деформацию изгиба вызывают силы, направленные перпендикулярно к продольной оси балки, или лежащие в проходящих через эту ось плоскостях. Сама ось при воздействии этих сил из прямолинейной превращается в криволинейную (см. Рис.1).Рис.

8.1. Если все действующие на балку нагрузки приложены в одной плоскости, называемойсиловой, то изгиб являетсяплоским, а если линия пересечения этой плоскости с плоскостью поперечного сечения (силовой линией) совпадает с одной из главных центральных осей, то изгиб принято называтьпрямым (см. Рис.

8.2).При прямом и поперечном изгибе в сечениях балки возникают два силовых фактора (внутренних усилия): изгибающий момент M и поперечная сила Q. Расчетная практика показывает, что изгибающий момент в большинстве случаев имеет решающее значение при подборе сечения и проверке прочности балочных конструкций.Рис. 8.

2.Под действием нагрузки балка прогибается так, что ее нижние волокна удлиняются, а верхние укорачиваются, т. е. изгиб сопровождается появлением нормальных напряжений. При постепенном переходе от удлиняющихся волокон к укорачивающимся (или наоборот) встречается промежуточный слой волокон, который не меняет своей длины. Этот слой называется нейтральным, а линия его пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — нейтральной линией или осью. Таким образом, нейтральная линия является геометрическим местом концентрации точек, в которых нормальные напряжения равны нулю. Для выяснения характера распределения и значения напряжений, вызываемых изгибающим моментом, обратимся к случаю чистого изгиба, характерный пример которого приведен ниже на Рис.

8.3(а).Рис. 8.

3.На выше представленной схеме (Рис.

8.3, а) двумя бесконечно близкими сечениями выделен участок балки длиной dz и изображен в укрупненном масштабе (Рис.

8.3, б). Будучи параллельными друг другу до деформации оба сечения взаимно повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол dθ после приложения нагрузки. Длина отрезка нейтрального слоя при этом не изменится. Любое волокно, лежащее выше или ниже нейтрального слоя, изменит свою длину. Так, относительное удлинение волокон, расположенных на расстоянии «y» от нейтрального слоя, составляет:

где ρ - радиус кривизны изогнутой оси балки. Эта зависимость выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон пропорциональны их расстоянию от нейтрального слоя. Осталось перейти от деформаций к напряжениям, т. е. рассмотреть физическую сторону задачи. Подставляем зависимость (1) в выражение закона Гука при осевом растяжении (сжатии) и получаем:

т.е. нормальные напряжения изменяются по высоте сечения линейно. После некоторых преобразований выражение (2) превращается в следующую формулу:

которая позволяет вычислять нормальные напряжения при чистом изгибе балки в любой точке ее поперечного сечения. Изгибающий момент «Mx» и координату «y» удобнее всего брать по абсолютному значению, а знак напряжения устанавливать исходя из характера деформирования балки (при растяжении — плюс, при сжатии — минус), т. е. по эпюре «М», ординаты которой откладывают со стороны растянутых волокон. Нетрудно догадаться, что максимальные значения напряжений возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Касательные напряжения в расчетах на прочность как правило не учитываются. Условие на прочность при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение в опасном сечении не должно превышать допускаемое. Полагая, что гипотеза о не надавливании волокон справедлива не только при чистом, но и при поперечном изгибе, мы можем нормальные напряжения при поперечном изгибе определять по такой же формуле, что и при чистом изгибе, при этом расчетная формула выглядит так:σmax = Миmax / W ≤ [σ]и читается так: нормальное напряжение в опасном сечении, определенное по формуле σmax = Миmax / W ≤ [σ] не должно превышать допускаемое.

Допускаемое нормальное напряжение при изгибе выбирают таким же, как при растяжении и сжатии. Максимальный изгибающий момент определяют по эпюре изгибающих моментов или расчетом. Так как момент сопротивления изгибу W в расчетной формуле стоит в знаменателе, то чем больше W, тем меньшие напряжения возникают в сечении бруса. Ниже приведены моменты сопротивления изгибу для наиболее часто встречающихся сечений:

1. Прямоугольное сечение размером b x h: Wпр = bh2 / 6.

2. Круглое сечение диаметром d: Wкруг = π d3 / 32 ≈ 0,1d33.Кольцо размером D x d: Wкольца = ≈ 0,1 (D4 — d4) / D; (момент сопротивления кольцевого сечения нельзя определять, как разность моментов сопротивления большого и малого кругов).Список использованной литературы.

Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов.-19-е изд., стер.

М.: Высш.

шк., 2009. 416 с. Сопротивление материалов: учеб.

пособие /З.А.Наседкина, А. В. Песков, А. В. Шитиков. Екатеринбург: Изд-во ГОУ ВПО «Рос.гос.

проф.

пед.

ун-т", 2008. 135 с. Никитин Е. М. Теоретическая механика для техникумов.- 12-е изд., испр.

М.: Наука. Гл.ред.

физ.-мат.

лит., 1988. 336 с. Колегова Е. Д., Наседкина З. А. Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов». Екатеринбург: изд-во Рос.гос.

проф-пед.

ун-та, 2005. 107 с. Эрдеди А. А. и др. Техническая механика: Учеб.

для техникумов / - 2-е изд. перераб.

М., Высш. школа, 1980. 446 с. Ицкович Г. М., Минин Л. С., Винокуров А. И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб.

пособие для вузов/ Под ред. Л. С. Минина.- 3-е изд., перераб. и доп.;

М.: Высш. шк., 2001. 592 с.