Расчет цепей синусоидального тока с применением комплексных чисел

Для ветви, которая содержит конденсатор, комплексное значение тока определяются формулой:

. (52).

Действующее значение тока А.

На рис.

16 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=0,01 В. Для тока выбран масштаб:

1 см=0,1 А.

Рис. 16.

Вектор комплексного тока опережает по фазе вектор напряжения на 90(.

Для ветви, которая содержит резистор, комплексное значение напряжения определяются формулой:

В. (53).

Действующее значение напряжения В.

Для ветви, которая содержит резистор, комплексное значение тока определяются формулой:

А. (54).

Действующее значение тока А.

На рис.

17 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=1 В. Для тока выбран масштаб:

1 см=0,1 А.

Рис. 17.

Вектор комплексного тока совпадает по фазе с вектором напряжения .

Для ветви, которая содержит резистор, комплексное значение напряжения определяются формулой:

В. (55).

Действующее значение напряжения В.

Для ветви, которая содержит резистор, комплексное значение тока определяются формулой:

А. (56).

Действующее значение тока А.

На рис.

18 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=1 В. Для тока выбран масштаб:

1 см=0,1 А.

Рис. 18.

Вектор комплексного тока совпадает по фазе с вектором напряжения .

Для ветви, которая содержит конденсатор, комплексное значение напряжения определяются формулой:

В. (57).

Для ветви, которая содержит конденсатор, комплексное значение тока определяются формулой:

А. (58).

Действующее значение тока А.

На рис.

19 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=0,01 В. Для тока выбран масштаб:

1 см=0,1 А.

Рис. 19.

Вектор комплексного тока опережает по фазе напряжение на угол .

Для ветви, которая содержит индуктивность, комплексное значение напряжения определяются формулой:

В. (59).

Действующее значение напряжения В.

Для ветви, которая содержит индуктивность, комплексное значение тока определяются формулой:

А. (60).

Действующее значение тока А.

На рис.

20 приведена векторная диаграмма напряжения и тока для указанной ветви. Для напряжения выбран масштаб: 1 см=10−3 В. Для тока выбран масштаб:

1 см=10−3 А.

Рис. 20.

Вектор комплексного тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол .

2.

3. Построение треугольника сопротивлений, треугольника мощностей, определение коэффициента мощности.

Для построения треугольника сопротивлений воспользуемся схемой рис.

21.

Рис. 21.

Входное сопротивление цепи определяется формулой:

Ом. (61).

На рис.

22 приведен график треугольника сопротивлений. При построении графика использован масштаб: по оси — 1 см=10 Ом; по оси — 1 см=10 Ом.

Рис. 22.

Модуль комплексного сопротивления представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, один катет которого представляет собой активную составляющую входного сопротивления, а второй — мнимую часть входного сопротивления [1]:

Ом. (62).

Значение рассчитывается по формуле:

. (63).

Для того, чтобы построить треугольник мощностей, необходимо катеты треугольника сопротивлений (рис.

22) умножить на квадрат действующего значения тока.

Активная мощность рассчитывается по формуле:

Вт. (64).

Реактивная мощность рассчитывается по формуле:

ВАр. (65).

Полная мощность рассчитывается по формуле:

ВА. (66).

На основании приведенных выше формул построен треугольник мощностей (рис.

23). При построении графика использован масштаб: по оси — 1 см — 0,1 ВАр; по оси — 1 см=0,1 Вт.

Рис. 23.

Активная мощность — это действительная часть комплексного значение полной мощности :

. (67).

Реактивная мощность — это мнимая часть комплексного значение полной мощности :

. (68).

Отношение активной мощности к полной мощности называется коэффициентом мощности. Для анализируемой цепи его значение равно:

. (69).

2.

4. Расчет проектных значений элементов синусоидальной цепи для приведения коэффициента мощности к гостовским значениям.

Как упоминалось выше, для увеличения коэффициента мощности необходимо увеличивать емкостную составляющую входного сопротивления (путем увеличения емкости конденсаторов ,) и уменьшать индуктивную составляющую входного сопротивления (путем уменьшения индуктивности ,).

Были произведены расчеты значения для случаев, когда емкости конденсаторов, увеличивалась в раз (по сравнению с исходными значениями 50 мк.

Ф и 65 мк.

Ф), т. е.,. Значение изменялось от 1 до 5.

Одновременно значения индуктивностей, уменьшались раз (по сравнению с исходными значениями 70 мГн и 12 мГн), т. е., .

Результаты расчетов приведены в таблице 3.

Табл.

1 2 3 4 5 0,816 0,88 0,929 0,956 0,97.

На рис.

24 приведен графики зависимости от значения. Используя этот график можно рассчитать проектные значения реактивных элементов для обеспечения заданного значения .

Например, для обеспечения значения =0,96 значение 4,2.

Рис. 24.

Проектные значения емкостей, конденсаторов рассчитываются по формулам:

Ф. (70).

Ф. (71).

Проектные значения, индуктивностей рассчитываются по формулам:

Гн. (72).

Гн. (73).

Выводы по работе.

В разделе 1 «Теоретическая часть» курсового проекта рассмотрены основные вопросы, которые касаются применения метода комплексных чисел для анализа цепей синусоидального тока. Приведены основные соотношения между комплексными значениями тока и напряжения для пассивных компонентов цепи (резистор, конденсатор, катушка индуктивности). Приведены векторные диаграммы для комплексных значений тока и напряжения этих элементов. Приведены определения и графики треугольника сопротивления, треугольника мощности, коэффициента мощности.

В разделе 2 «Практическая часть» курсового проекта произведен расчет цепи синусоидального тока методом преобразования по исходным данным с применением метода комплексных чисел. Рассчитаны комплексные значения токов во всех ветвях и комплексные значения напряжений на каждой ветви. Произведена проверка правильности расчетов с помощью баланса мощностей.

Составлены векторные диаграммы для каждой ветви в действующих значениях U и I. Построены треугольники сопротивлений и мощностей. Рассчитан коэффициент мощности цепи.

Рассчитаны проектные значения элементов синусоидальной цепи для обеспечения заданного значения коэффициента мощности.

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.

2. Нейман Л. Р., Демирчан К. С. Теоретические основы электротехники. Л.: Энергия, 1981. — 536 с.

3. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1981. — 488 с.

4. Касаткин А. С., Немцов М. В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. — 4-е изд., перераб. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 440 с.

5.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_мощности.