Далее можно вынести и сократить множитель ,.Это можно сделать, т.к. равенство должно выполняться в любой момент времени t, вне зависимости от значения величины .В результате получаем условие для частоты колебаний , из которого следует, что частота колебаний может принимать значения:.Таким образом, мы получаем два различных решения,.Воспользуемся формулой приведения:.Тогда второе решение представимо в виде, где 1 = - - новая начальная фаза колебаний. Таким образом, второе решение можно отбросить, т.к. выбор начальной фазы колебаний произволен. Итак, общее решение дифференциального уравнения, описывающего поведение консервативного гармонического осциллятора, имеет вид, где амплитуда колебаний A и начальная фаза колебаний 0 — произвольные величины. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, т.к. позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).Следовательно, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте0, с амплитудойA любой величины и с произвольной начальной фазой0.Всем характеристикам простого гармонического движения можно дать наглядную интерпретацию. Рассмотрим точку B, движущуюся равномерно по окружности радиуса a из положения B0 определяемого углом DOB0 = .Рис. 2 — Равномерное движение по окружности.
Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса OB равна 0.Тогда в произвольный момент времени t угол = DOB = 0t + и проекция M точки B на диаметр, перпендикулярный к DE, движется по закону: x = Asin (0t + ), где x = OM. Таким образом, проекция M точки B совершает простые гармонические колебания. Величина A, равная наибольшему отклонению точки M от центра колебанийO, называется амплитудой колебаний. Величина = 0t + называется фазой колебаний. Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза 0 = определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.
2.1. Затухающие свободные колебания.
Бесконечно длящийся периодический процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются строго периодическим процессом. Пусть точка совершает линейное гармоническое колебание в вязкой среде. Из опыта известно, что сила сопротивления среды Fс зависит от скорости точки v = и направлена в сторону, противоположную скорости. При малых скоростях можно принять линейную зависимость силы сопротивления от скорости: Fс = -v = -, где - постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Тогда суммарная сила F, действующая на точку, равна сумме силы Гука Fг = -kx и силы сопротивления Fс = -:F = Fг + Fс = -kx — .Согласно второму закону Ньютона: F = am, откуда ускорение груза:.Введем обозначения, .Тогда выражение для ускорения груза a = принимает вид, откуда получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно функции x (t):.Составим характеристическое уравнение:.Его дискриминант, и корни характеристического уравнения:.Знак дискриминанта зависит от соотношения между и 0.Коэффициент носит название постоянной затухания. Он имеет размерность частоты. В результате решение уравнения распадается на три случая.
1. При малом трении, когда < 0, дискриминант < 0 и корни характеристического уравнениякомплексно-сопряженные, откуда решение дифференциального уравнения, где — частота свободных колебаний. Выражение называется амплитудой затухающего колебания. Амплитуда уменьшается по экспоненциальному характеру с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания.Рис. 3 — График затухающих гармонических колебаний.
Период затухающих колебаний равен:.
2. С увеличением трения период колебаний возрастает, а при = 0 период стремится к бесконечности. В этом случае дискриминант D = 0 и корни характеристического уравнения совпадают, откуда решение дифференциального уравнения, и движение не носит периодического характера.
3. При сильном трении > 0дискриминант > 0 и корни характеристического уравнения действительные и различные,.Решение в этом случае выглядит следующим образом:.Движение такого рода, как во втором и третьем случае, является апериодическим — выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.Рис. 3 — График апериодического движения точки.
Затухание при = 0называют критическим. Оно примечательно тем, что именно в этом случае осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического ( < 0), то положения равновесия достигается быстрее, однако пропускается по инерции и система совершает колебания. Если трение больше критического ( > 0), то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение. Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы стрелка успокаивалась максимально быстро для считывания его показаний.
Заключение
.
В данной работе рассмотрен вопрос применения аппарата теории дифференциальных уравнений при моделировании колебаний точки в плоскости. Приведены сведения из истории развития теории дифференциальных уравнений, указаны ее основные особенности: непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями и ее связь с другими разделами математики, такими, как функциональный анализ, алгебра и теория вероятностей. Отмечена важная роль, которую играет в развитии теории дифференциальных уравнений применение современных электронных вычислительных машин, в частности такое мощное средство исследования как вычислительный эксперимент. Рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений: производная, дифференцируемость функции в точке, дифференциал, частные производные. Приведены различные способы обозначения производных: штриховая и точечная нотация, выражение через дифференциалы, обозначения частных производных. Отмечена роль Ньютона и Лейбница в становлении нотации теории дифференциальных уравнений. Дано определение понятия дифференциального уравнения и его типов: обыкновенного дифференциального уравнения и дифференциального уравнения в частных производных. Также рассмотрены такие понятия как порядок дифференциального уравнения, решение дифференциального уравнения, интегральная кривая, задача Коши. В основной части работы дано описание периодического движения, приведена классификация колебаний по способу возбуждения: свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания. Изучен математический аппарат построения модели простых (консервативных) и затухающих (диссипативных) колебаний. При этом подробно рассмотрена общая методика решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, которые возникают при решении этих задач, указан общий вид решения в зависимости от соотношения между коэффициентами уравнения. Проведен анализ и дана математическая и физическая интерпретация полученных результатов.
Литература
1. Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора: Учебное пособие [Электронный ресурс] / Е. И. Бутиков. — Режим доступа:
http://butikov.faculty.ifmo.ru/Applets/manlr1.pdf2. Воднев В. Т., Наумович А. Ф. Основные математические формулы. Справочник / Под ред. Ю. С. Богданова. — Мн.: Выш. шк., 1988. — 269 с.
3. Добровольский В. А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений / В. А. Добровольский. — Издательское объединение «Вища школа», 1974. — 456 с.
4. Каримов И. Лекции по теоретической механике [Электронный ресурс] / И. Каримов. — Режим доступа:
http://www.teoretmeh.ru/lect.html5. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Часть I. / К. Ф. Клейн. -М.-Л., Гонти, 1937 — 432 с.
6. Клейн.
Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Том 1. Арифметика, алгебра, анализ / К. Ф. Клейн. -М.: Наука, 1987. -431 с.
7. Олейник О. А. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях [Электронный ресурс] / О. А. Олейник. — Режим доступа:
http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/87.html8. Серовайский С. Я. От алгебраических уравнений к уравнениям дифференциальным:. Каткий обзор истории развития теории дифференциальных уравнений / С. Я. Серовайский // Математика. — 2015, № 2. — C. 30−34.
9. Стиллвелл Дж. Математика и ее история / Дж.Стиллвелл. — Москва, Ижевск, Институт космических исследований, 2004. — 531 с.
