Линейные пространства

На сегодняшний день моя тема актуальна, потому что мы часто встречаемся в векторной алгебре с линейными пространствами. Знать, что они из себя представляют и их свойства, я думаю, должен каждый.

Объектом моего реферата является линейное пространство.

Предметом — изучение линейных пространств и их свойства.

Задачи моей работы состоят:

1. Изучить линейное пространство

2. Рассмотреть аксиомы векторного пространства

3. Проанализировать векторное подпространство

4. Ознакомится с базисом линейного пространства В моем реферате мы ознакомимся с формулами линейного пространства, с его основными свойствами. Также рассмотрим другие важные вопросы и докажем некоторые важные теоремы.

При написании реферата мне очень помогла «Советская энциклопедия», где я нашла много доступного материала.

Линейное пространство

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным ниже восьми свойствами, называется векторным пространством. (2)

Следует отметить, что под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством является, например, множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n. Легко убедиться, что если x и y — многочлены степени не выше n, то они будут обладать свойствами 1−8. Заметим для сравнения, что, например, множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу n, не является линейным пространством, так как в нем не определена операция сложения элементов, ибо сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени n. А множество многочленов степени не выше n, но с положительными коэффициентами также не является линейным пространством, поскольку в этом множестве не определена операция умножения элементов на число: также многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

Из определения векторного (линейного) пространства, в частности из аксиом 1−8, вытекает существование единого нулевого вектора, равного произведению произвольного вектора х на действительное число 0 и существование для каждого вектора х единственного противоположного вектора (-х), равного произведению этого вектора на действительное число (-1).

Линейное пространство (векторное) V (P) над полем P — это непустое множество V, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x+y V и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствии элемент из V (P), обозначаемый .

При этом удовлетворяются следующие условия:

1., для любых (коммутативность сложения);

2. для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент, что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V не пусто;

4. для любого существует такой элемент, что (существование противоположного элемента).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. 1 (существование нейтрального элемента относительно умножения).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества V называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1−4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства.

1. Векторное пространство является абелевой группой.

2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. для любого .

4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. (-1) х = - х для любого х є V.

6. (-?) x = ?(-x) = - (?x) для любых? є P и x є V.

Аксиомы векторного пространства

Пусть V — непустое множество, элементы которого мы назовём векторами и будем обозначать… и т. д. Пусть на Vзаданы и определеным каким-либо образом две операции. Первая операция — бинарная аддитивная операция (или грубо говоря — операция сложения). Эту операцию обозначим знаком +, (впрочем, необязательно, чтобы на все 100% эта операция определялась так, как определяется операция сложения для обычных чисел, мы ведь не числа сейчас изучаем, а векторы, поэтому эту операцию сложения векторов можно обозначить и каким-то своим, особым знаком, например так: (). Вторая операция — умножение вектора на какой-нибудь элемент? такого множества, которое является полем, в результате которой получается новый вектор (). Элементы поля называют ещё скалярами. (Кому лень смотреть, что такое поле, скажу что примерами алгебраических полей могут служить множество действительных или также комплексных чисел). (4)

Итак, сформулируем аксиомы векторного пространства. (3)

1. a) сумма любых двух элементов из V и б) произведение скаляра и произвольного элемента из V являются некоторыми элементами из V (векторами).

2. сложение любых трёх элементов из V подчиняется сочетательному закону (или как ещё говорят — векторное сложение ассоциативно):

3. сложение любых двух элементов из V подчиняется переместительному закону (векторное сложение коммутативно): .

4. существует такой элемент из V (нулевой вектор), что для любого .

5. для любого элемента из V существует такой элемент из V, сумма которого с исходным элементом равна, т. е. (.

Для любых скаляров (чисел)? и? и для любых двух векторов из V

6.

7.

8.

9.

Векторное подпространство

Векторным подпространством, или просто подпространством, векторное пространство Е нал полем К называется множество, замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть векторное пространство над тем же полем. (5)

Прямой линией, проходящей через две точки x и y векторного пространства Е, называется множество элементов вида, ??. Множество G называется плоским множеством, если вместе с любыми двумя оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из некоторого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): G=x+F, это означает, что каждый элемент z представим единственным образом в виде y, причем при этом равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между F и G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства F образует векторное пространство над K, называется факторпространством E/F, если определитель операции следующим образом:

;, ??

Пусть М = - произвольное множество векторов Е; линейной комбинацией векторов называется вектор x, определенный формулой

в которой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества М является наименьшим подпространством, содержащим М, и называющийся линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество М называется линейно зависимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из М отличны от нуля.

В теории действительных и комплексных векторных пространств важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество М в действительном векторном пространстве называется выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками x, y отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории векторных пространств занимает теория линейных функционалов на векторное пространство и связанная с этим теория двойственности. Пусть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение усть Е есть векторное пространство над полем К. Линейным функционалом на Е называется аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Е образует векторное пространство над полем К относительно операций

(

Это векторное пространство называется сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрических терминов. Пусть D? E (соответственно множество Г) называется множество

(соответственно); здесь и — подпространства соответственно пространств и Е. Если f — ненулевой элемент, то {f} есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, называется иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства называется гиперплоскостью в Е; всякая гиперплоскость имеет вид

{x: f(x)=??}, где f? 0, f, К.

Подмножество называется тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент ={0}.

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное подмножество, т. е. такое множество, что (Кронекера символ) для всех. Множество пар называется при этом биорторгональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над Е.

Значительное место в теории векторных пространств занимает теория линейных преобразований векторного пространства. Пусть — два векторных пространства над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим векторное пространство в векторном пространстве (или линейным оператором из в .

Два векторных пространства и называются изоморфными векторными пространствами, если существует линейный оператор («изоморфизм»), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами и .

С теорией линейных отображений векторного пространства тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений векторного пространства.

Важную группу задач теории векторного пространства образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F — подпространство векторного пространства — линейное пространство над тем же полем, что и, и пусть — линейное отображение F в; требуется найти продолжение Т отображения, определенное на всем и являющееся линейным отображением в. Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в векторное пространство, например, топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана-Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории Векторных пространств является теория операция над векторными пространствами, т. е. способов построения новых векторных пространств по известным. Примеры таких операций — известные операции взятия подпространства и образования факторпространства по подпространству. Другие важные операции — построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения векторного пространства.

Базис и размерность линейного пространства

Будем далее полагать, что на множестве значений интересующих нас свойств точки объекта введена структура векторного пространства. Обозначим такое векторное пространство через V. Совокупность свойств f есть вектор (точка, элемент) этого пространства: .

Если нас интересует одно свойство f физического тела, то множество V таково, что для сопоставления f числа достаточно выбрать один базисный элемент (базисный вектор) e с эталонным значением этого свойства. Этому значению ставится в соответствие число 1, а остальным значениям f — другие числа в соответствии с формулой. Такая связь называется линейной.

В общем случае число базисных элементов должно равняться числу изучаемых свойств тела. Легко показать, что для того, чтобы однозначно связать независимых друг от друга свойств с числами требуется n эталонов, т. е. совокупность базисных векторов. Числовой характеристикой совокупности свойств в каждой точке тела будет упорядоченная совокупность n чисел. (1)

Введение

структуры векторного пространства на множестве приводит к тому, что все элементы множества оказываются связанными друг с другом соотношениями вида

(2.2)

где — числа, а — векторы. Сумма, стоящая в левой части равенства (2.2) называется линейной комбинацией векторов f, g, h, …. На этом, в частности, и основано сопоставление вектору f совокупности чисел (): каждый элемент множества записывается в виде линейной комбинации базисных векторов

(2.3)

Основная задача базисных векторов (т.е. эталонных элементов) — обеспечивать взаимнооднозначную связь векторов (в том числе и самих себя) с совокупностями характеризующих их чисел. Какие ограничения накладывает это требование на выбор базисных векторов?

Допустим, свойства f характеризуются эталонами неоднозначно, т. е. существует два (или более) разных набора чисел и {} таких, что

(2.4)

и имеется хотя бы одно значение i=k, при котором. В этом случае разность представлений (2.4) такова

(2.5)

и хотя бы для одного значения индекса i=k коэффициент. Тогда значение k-го эталона может быть выражено через значения остальных эталонов

(2.6)

и это говорит о том, что эталоны являются зависимыми друг от друга, точнее — линейно зависимыми, так как связь (2.6) является линейной.

Очевидно, для обеспечения указанной однозначности описания совокупность эталонов, т. е. базисных векторов, должна быть линейно независимой. Это значит, что равенство (2.5) должно выполняться лишь в том случае, когда все коэффициенты, т. е., для всех i. Отсюда же следует, что если базисные векторы линейно независимы, нулевому вектору всегда ставится в соответствие совокупность чисел, состоящая из одних нулей.

Если при описании совокупности независимых свойств использовать m<n базисных векторов, то описать все векторы из V линейными комбинациями (2.3) не удастся. Если для описания элементов V суммами (2.3) воспользоваться p>n базисными векторами, мы утратим единственность описания. Таким образом, существует некоторое минимально необходимое число базисных векторов n, которое называется размерностью векторного пространства.

Максимальная совокупность линейно независимых базисных элементов называется базисом. Базисные векторы только в том случае составляют базис, если их число равно размерности пространства.

Выбрав базис, каждый элемент f пространства V можно однозначно охарактеризовать упорядоченной совокупностью чисел. Впредь, мы будем обозначать эти числа той же буквой, что и вектор, нумеруя их верхними индексами. Каждый базисный вектор также характеризуется совокупностью чисел. Для того, чтобы равенство выполнялось, только одно i-ое число совокупности должно быть отлично от нуля и равно единице, т. е.

Теперь все элементы f пространства V характеризуются упорядоченными совокупностями чисел и могут быть записаны в виде линейной комбинации базисных векторов Числа из совокупности, характеризующие вектор f называются компонентами вектора относительно выбранного базиса. (1)

Заключение

Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках.

Предметом изучения линейной алгебры служат именно конечномерные линейные пространства. Весьма частое употребление последнего словосочетания вынуждает нас ввести еще одну аббревиатуру: к.л.п.

Бесконечномерные линейные пространства также важны и широко используются, например, в современной физике. Однако для их исследования одной алгебры мало.