В связи с этим в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. В формальном смысле замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Процессы, которые характеризуются дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. Во время подобных преобразований исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования[6]. Разностные уравнения играют большую роль дляанализа в экономической теории.
Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих теорий. Предварительный анализ исходных показателей по динамике производственных мощностей показал, что в реальности смещение распределения за год может происходить в сторону не только ее увеличения, но и снижения. Поэтому будем использовать форму модели с «амартизацией». Структура отрасли в рассматриваемой модели в каждый момент времени tхарактеризуется последовательностью которая представляет собой функцию распределения мощностей предприятия на некоем дискретном (бесконечном) множестве возможных состояний, упорядоченных по эффективности. Состояния пронумерованы числами nиз множества всех целых чисел Zили из N = {nϵZ-n>o}Большимномерам соответствует большая эффективность. F n (t) — доля мощностей, находящихся в момент tна уровне эфективности, меньшем, либо равном n при этом доля мощностей уровня nравна Модель применяется при описании изменений в динамике производства [7]. Она задается бесконечной нелинейной системой дифференциально-разностных уравнений относительно переменных Fn. Рассмторим самый несложный случай, когда уравнение имеет вид:(1)α>0, β>0, Fϵ[0,1], ϻ≥0, nϵZ (2)Это означает, что каждая из производственных мощностей n, доля которой составляет восходит на более высокий уровень n+1 (их доля) спускаются на уровень n с интенсивностью амортизации ϻ. При этом коэффициенты α, β и ϻ, характеризующие эти процессы считаются потсоянными и одинаковыми для всех производственных мощностей. Для (1) и (2) без амортизации (ϻ= 0) при естественном граничном условииFn (t) = 0, n≤0, t≥0найдено явное решение [3].
Как уже упоминалось, в этом случае с течением времени динамика ринимает характер смещения (с потсоянной скоростью) распределения формы («волна») в сторону возростания эффективности. При этом форма волны и скорость не зависят от начального распределения, а определяются только показателями эндогенных процессов α и β. Модель с ненулевой амортизацией (ϻ>0)исследовалась только с помощью вычислительных экспериментов, в которыхиспользовался следующий разностный аналог системы (1), (2)(4)ht >0, α≥0, β≥0, ϻ≥0, nϵZ (5)За счет выбора достаточно малого шага ht можно обеспечить выполнение условий1≥ht (α+β+ϻ) ≥0(6)Которые гарантируют корректность модели как отображения множества функций распределения в себя. Иными словами, последовательность Рис. 1 Распределение показателей мощностей при анализе динамики при помощи дифференциально-разностнвх уравнений.
Возникающая в результате преобразования функции распределения с помощью (4), также является функцией распределения на Z-Примером успешного применения дифференциально-разностных уравнений при анализе экономических процессов, может служить представденный в работе анализ металлургических предприятий в 1976, 1978 и 1980 годах [8]. На рис. 1 представлены диаграммы, на которых сплошными линиями показаны результаты математических исследований, а точками — фактические статичтические данные. Таким образом, видно, что анализ, проведенный при помощи дифференциально-разностных мощностей, дает результаты с высокой степенью точности.
Заключение
.
Динамика производственных мощностей — это прежде всего, динамическая система, которая чаще всего описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Но исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу, в связи с чем, в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру.
Литература
.
Гулямина И. Г Управление процессами: Учебник для вузов. Стандарт третьего поколения, 2013.
ЛиР.Оптимальные оценки, определение характеристики управления. М.:Наука, 1966.
176c.Беллман Р., Как К. Дифференциально-разностные уравнения.
М.: Мир, 1967. 548с. Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения, пер. с англ., М., 1961.
Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б., Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, 2 изд., М., 1971.
Полтерович В.М., Хенкин Г. М. Эволюционная модель экономического роста // Экономика и мат методы. 1989. Т. XXV.
Вып. 3Полтерович В.М., Хенкин Г. М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий//Экономика и мат. Методы. 1988. Т. XXIV.
Вып. 6.
