Число независимых интегралов нормальной системы дифференциальных уравнений

(Такая точка существует, согласно сформулированной выше теореме.) Покажем, что именно определитель, составленный из последних n столбцов матрицы (2.8), отличен от нуля в этой точке, т. е.

(x= x0, y1=y1(0), y2= y2(0),…, yn= yn (0)),.

Если = 0 (k = 1, 2, …, n) в точке (x0, y1(0), y2(0),…, yn (0)), то условие (2.7), очевидно, выполняется.

Предположим, что хоть одна из отлична от нуля в точке (x0,y1(0), y2(0),…, yn (0)). Так как интегралы системы (1.2), то в точке (x0,y1(0), y2(0),…, yn (0)) имеют место равенства.

Отсюда следует, что линейная неоднородная система (2.9).

совместна. Следовательно (согласно теореме об условии совместности неоднородной линейной системы), ранг матрицы системы (2.9) равен рангу расширенной матрицы, а так как ранг расширенной матрицы равен n, то и ранг матрицы системы (2.9) равен n, что и означает, что выполняется условие (2.7).

Определение 2.

6. Всякие n первых интегралов мы будем называть независимыми, если соответствующие им интегралы независимы.

Из сказанного вытекает, что задача построения общего интеграла системы будет решена, если мы найдем n независимых первых интегралов.

Общего способа нахождения первых интегралов указать нельзя. Заметим лишь, что во многих случаях удается найти первый интеграл путем некоторых преобразований данной системы, в результате которых получается легко интегрируемое дифференциальное уравнение. Всякое такое уравнение будем называть интегрируемой комбинацией. Простейшей интегрируемой комбинацией является уравнение вида или где есть функция от х,. В этом случае, очевидно, первым интегралом будет = С. Каждая интегрируемая комбинация порождает первый интеграл. Однако, среди них могут оказаться и зависимые. Поэтому всякий раз, получая новый первый интеграл, нужно проверять, будет ли он независимым с ранее найденными.

При этом если число интегралов есть k (1 <k<n), то они будут независимыми тогда и только тогда, когда хоть один из функциональных определителей k-го порядка, составленный из столбцов таблицы.

не равен тождественно нулю.

Пример 2.

1. Рассмотрим снова систему (1.5),.

Общее решение ее дается равенствами (1.6),.

Разрешая систему (1.6) относительно С1 и С2, получаем:

. (2.10).

Это есть общий интеграл системы (1.5). Каждое из равенств (2.10) является первым интегралом системы (1.5), а функции, стоящие в левых частях этих равенств, суть интегралы этой системы. Очевидно, что функции.

тоже будут интегралами системы (1.5). Убедимся в этом непосредственно на основании второго определения интеграла. Находя полные дифференциалы функций ψ1 и ψ2 получим:

Подставляя сюда вместо dy и dz их значения из рассматриваемой системы (1.5), имеем:

Следовательно, и ψ1 и ψ2 интегралы системы (1.5).

Эти интегралы можно получить и непосредственно путем преобразованнй системы (1.5). Действительно, вычитая в (1.5) второе уравнение из первого, имеем интегрируемую комбинацию:

откуда: или Следовательно, есть интеграл системы (1.5). Складывая в (1.5) первое уравнение со вторым, аналогично получаем, что есть интеграл системы (1.5). Интегралы ψ1 и ψ2, очевидно, независимы. В этом можно убедиться и при помощи вычисления их якобиана, ибо последний, будучи равным 2е-10х, не обращается в нуль.

Пример 2.

2. Возьмем систему более общего вида:

(2.11).

Для этой системы тем же приемом, что и в предыдущем примере, легко находятся два первых интеграла. Складывая почленно первое уравнение системы (2.11) со вторым, имеем:

Откуда (2.12).

Вычитая почленно второе уравнение системы (2.11) из первого, имеем:

Откуда (2.13).

Разрешая систему уравнений (2.12), (2.13) относительно C1 и С2, получим два независимых первых интеграла системы (2.11), т. е. общий интеграл. Разрешая ту же систему относительно у и z, найдем общее решение системы (2.11).

Например, указанным приемом легко интегрируется следующая с виду сложная система:

Общим решением этой системы будет:

Пример 2.

3. Найти общий интеграл системы:

(2.14).

Сложим все уравнения. Получаем:

является первым интегралом системы (2.14).

Далее, умножив уравнения (2.14) соответственно на у1, у2,у3, и складывая, будем иметь:

Следовательно тоже есть первый интеграл системы (2.14). Очевидно, что ψ1 и ψ2— независимые интегралы (ибо ψ1 не может быть представлена никакой функцией от ψ2).

Можно умножить первое из уравнений (2.14) на у2, второе — на у1 и сложить. Получаем:

(2.15).

Умножим первое из уравнений (2.14) на у3, третье—на у1 и сложим. Тогда:

Умножим первое из уравнений (2.14) на у3, третье—на у2 и сложим. Тогда:

(2.16).

Сложив уравнения (2.15) — (2.16), будем иметь:

Следовательно,.

также является первым інтегралом системы (2.14).

Но мы имеем Поэтому интегралы, а вместе с ними и первые интегралы не будут независимыми. Непосредственной проверкой легко убедиться, что между интегралами существует следующая функциональная зависимость:

Для нахождения недостающего первого интеграла воспользуемся найденными первыми интегралами Составим систему:

(2.17).

Разрешим эту систему относительно у1 и у2. Получим.

Подставляя найденные выражения для y1 и у2 в последнее из уравнений системы (75), будем иметь:

Получили одно уравнение одной неизвестной функцией. Интегрируя его, находим.

Заменяя здесь C1 и С2 их значениями из системы (2.17), получаем первый интеграл:

(2.18).

Равенства (2.17) и (2.18) и составляют общий интеграл системы (2.14).

Докажем две общие теоремы о числе интегралов нормальной системы, причем будем предполагать, что интегралы, о которых идет речь, имеют непрерывные частные производные по х, y1, y2… yn.

Теорема 2.2 Нормальная система n уравнений не может допускать более n независимых интегралов.

Утверждение теоремы равносильно тому, что если известны (n + 1) интегралов системы (1.2):

то они не могут быть независимы. Рассмотрим два случая:

а) интегралы зависимы. В этом случае теорема, очевидно, доказана;

б) интегралы независимы. Тогда они удовлетворяют условию (52),.

Так как функции интегралы системы (1.2), то мы имеем тождества:

Эти тождества показывают, что линейная однородная система:

(2.19).

имеет ненулевое решение u1=1, u2=f1, …un+1=fn. Поэтому определитель системы (2.19) равен нулю, т. е.

Отсюда, вследствие условия (2.7), на основании известной теоремы дифференциального исчисления, вытекает, что является функцией от :

(2.20).

в некоторой окрестности точки (x0, y1(0), y2(0),…, yn (0)), в которой (x=x0, y1= y1(0), y2=y2(0),…, yn= yn (0)).

т. е. функции и оказываются зависимыми. При этом функция Ф имеет непрерывные частные производные по, которые не обращаются одновременно в нуль.

Теорема 2.

3. Если ()независимые интегралы системы (1.2), определенные в области D, а Ф (z1, z2,.. ., zk). любая функция определенная в некоторой области изменения z1, z2,.. ., zk, охватывающей все значения, принимаемые соответственно функциями (когда точка (х, у1,…, уn) пробегает всю область D), и имеющая в этой области непрерывные частные производные по z1, z2,.. ., zk, неравные нулю одновременно, то функция.

(2.21).

тоже будет интегралом системы (1.2).

В самом деле, функция имеет непрерывные частные производные по х, у1, у2,…, уn:

Покажем, что в некоторой области частные производные от функции по y1, у2,.yn не обращаются одновременно в нуль.

Mы можем предположить, что якобиан.

(2.22).

не равен тождественно нулю в области D. Тогда в области D существует такая точка (x0, y1(0), y2(0),…, yn (0)), что в ней и в некоторой окрестности ее якобиан (2.22) отличен от нуля. В этой окрестности ,…,-не обращаются одновременно в нуль.

Остается показать, что полный дифференциал функции тождественно (в D) равен нулю в силу системы (1.2). Мы имеем Так как 1 = 0, …, k = 0 в силу системы (1.2), то и = 0 в силу этой системы.

Следовательно, функция (2.21) есть интеграл системы (1.2). На основании доказанных здесь теорем мы можем утверждать, что если система (1.2) допускает n независимых интегралов, то формула (2.20) содержит в себе при произвольной функции Ф (обладающей указанными свойствами) все интегралы системы (1.2) и, следовательно, представляет собою самый общий вид интеграла этой системы.

Заключение

Подводя итог всему выше изложенному можно сказать, что дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные производные от неё. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и её производными. Такие связи обнаруживаются в самых разных областях знания: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др.

В данной работе мы познакомились с нормальными системами дифференциальных уравнений, рассмотрели некоторые методы их решения.

Введены понятия первого интеграла, общего решения, теорема о числе независимых интегралов системы дифференциальных уравнений.

Список литературы

1.Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. «Высшая школа» 1967 г.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: — 5-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 576с.

3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учеб. пособие для втузов. — 13-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.

4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: — 4-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. — 332с.

(144).

(121).