Данная курсовая работа посвящена вопросам так называемой алгебры многочленов, а именно изучению уравнения от одного известного произвольной степени и его корней. Учитывая существование формулы для решения квадратных уравнений, естественно было искать аналогичные формул для уравнений более высоких степеней. Исторически этот отдел алгебры так и развивался, причем формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени были найдены еще в XVI веке. После этого начались безуспешные поиски формул, которые выражали бы корни уравнений пятой и более высоких степеней через коэффициенты этих уравнений при помощи радикалов. Однако, в XIX веке было, наконец, доказано, что такие формулы не могут быть найдены и что для всех степеней, начиная с пятой, существуют даже конкретные примеры уравнений с целочисленными коэффициентами, корни которых не могут быть записаны при помощи радикалов.
Отсутствие формул для решения уравнений высоких степеней привело к разработке различных методов приближенного решения уравнений. В данной курсовой работе рассматриваются вопросы о количестве корней многочлена с действительными коэффициентами и нахождению границ, между которыми эти корни могут находиться.
В данной курсовой работе рассматривается также одно из доказательств основной теоремы алгебры, которая является одним из крупнейших достижений всей математики, и на которой основана вся теория многочленов с числовыми коэффициентами.
1. Кольцо многочлена от одной переменной
Многочленом (полиномом) от переменной над областью целостности называется выражение вида:
где произвольное целое неотрицательное число, элементы принадлежат. 2,130]
Элемент называется коэффициентом при, свободным членом.
Наибольшее целое неотрицательное число, такое, что называется степенью многочлена и обозначается
Два многочлена называются равными алгебраически, если у них равны коэффициенты при одинаковых степенях.
Рассмотрим два многочлена
Обозначим через — множество всех многочленов от переменной над областью целостности, т. е. .
Рассмотрим два многочлена
где, например, .
Суммой называется многочлен, коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов и, стоящих при одинаковых степенях неизвестного, т. е., .
Произведением многочленов и называется многочлен
коэффициенты которого определяются следующим образом:
,
