Решение отимезированых задачь ленейных моделей с помощбю excel

В результате получим новый опорный план. 12 345.

Запасы1 871 214[23]52 322 101 218[64]6[42]1 063 854[44]1 334 442[11]1[10]8[68]9[31]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u2 + v4 = 18; 14 + u2 = 18; u2 = 4 u2 + v5 = 6; 4 + v5 = 6; v5 = 2 u4 + v4 = 9; 14 + u4 = 9; u4 = -5 u4 + v1 = 2; -5 + v1 = 2; v1 = 7 u4 + v2 = 1; -5 + v2 = 1; v2 = 6 u4 + v3 = 8; -5 + v3 = 8; v3 = 13 u3 + v3 = 4; 13 + u3 = 4; u3 = -9 v1=7v2=6v3=13v4=14v5=2u1=871 214[23]5u2=42 101 218[64]6[42]u3=-9854[44]133u4=-52[11]1[10]8[68]9[31]13Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;3): 0 + 13 > 12; ∆13 = 0 + 13 — 12 = 1 (2;1): 4 + 7 > 2; ∆21 = 4 + 7 — 2 = 9 (2;3): 4 + 13 > 12; ∆23 = 4 + 13 — 12 = 5 max (1,9,5) = 9 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 2 Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «.

-«, «+», «.

-«. 12 345.

Запасы1 871 214[23]52 322[+]101 218[64][-]6[42]1 063 854[44]1 334 442[11][-]1[10]8[68]9[31][+]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Цикл приведен в таблице (2,1 → 2,4 → 4,4 → 4,1). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (4, 1) = 11. Прибавляем 11 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 11 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 12 345.

Запасы1 871 214[23]52 322[11]101 218[53]6[42]1 063 854[44]13 344 421[10]8[68]9[42]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u2 + v4 = 18; 14 + u2 = 18; u2 = 4 u2 + v1 = 2; 4 + v1 = 2; v1 = -2 u2 + v5 = 6; 4 + v5 = 6; v5 = 2 u4 + v4 = 9; 14 + u4 = 9; u4 = -5 u4 + v2 = 1; -5 + v2 = 1; v2 = 6 u4 + v3 = 8; -5 + v3 = 8; v3 = 13 u3 + v3 = 4; 13 + u3 = 4; u3 = -9 v1=-2v2=6v3=13v4=14v5=2u1=871 214[23]5u2=42[11]101 218[53]6[42]u3=-9854[44]133u4=-521[10]8[68]9[42]13Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;3): 0 + 13 > 12; ∆13 = 0 + 13 — 12 = 1 (2;3): 4 + 13 > 12; ∆23 = 4 + 13 — 12 = 5 max (1,5) = 5 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 12 Для этого в перспективную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «.

-«, «+», «.

-«. 12 345.

Запасы1 871 214[23]52 322[11]1012[+]18[53][-]6[42]1 063 854[44]13 344 421[10]8[68][-]9[42][+]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Цикл приведен в таблице (2,3 → 2,4 → 4,4 → 4,3). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (2, 4) = 53. Прибавляем 53 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 53 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 12 345.

Запасы1 871 214[23]52 322[11]1012[53]186[42]1 063 854[44]13 344 421[10]8[15]9[95]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u4 + v4 = 9; 14 + u4 = 9; u4 = -5 u4 + v2 = 1; -5 + v2 = 1; v2 = 6 u4 + v3 = 8; -5 + v3 = 8; v3 = 13 u2 + v3 = 12; 13 + u2 = 12; u2 = -1 u2 + v1 = 2; -1 + v1 = 2; v1 = 3 u2 + v5 = 6; -1 + v5 = 6; v5 = 7 u3 + v3 = 4; 13 + u3 = 4; u3 = -9 v1=3v2=6v3=13v4=14v5=7u1=871 214[23]5u2=-12[11]1012[53]186[42]u3=-9854[44]133u4=-521[10]8[15]9[95]13Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;3): 0 + 13 > 12; ∆13 = 0 + 13 — 12 = 1 (1;5): 0 + 7 > 5; ∆15 = 0 + 7 — 5 = 2 max (1,2) = 2 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;5): 5 Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «.

-«, «+», «.

-«. 12 345.

Запасы1 871 214[23][-]5[+]2322[11]1012[53][+]186[42][-]1 063 854[44]13 344 421[10]8[15][-]9[95][+]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Цикл приведен в таблице (1,5 → 1,4 → 4,4 → 4,3 → 2,3 → 2,5). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (4, 3) = 15. Прибавляем 15 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 15 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 12 345.

Запасы1 871 214[8]5[15]2322[11]1012[68]186[27]1 063 854[44]13 344 421[10]89[110]13 120.

Потребности111 011 211 842.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v4 = 14; 0 + v4 = 14; v4 = 14 u4 + v4 = 9; 14 + u4 = 9; u4 = -5 u4 + v2 = 1; -5 + v2 = 1; v2 = 6 u1 + v5 = 5; 0 + v5 = 5; v5 = 5 u2 + v5 = 6; 5 + u2 = 6; u2 = 1 u2 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1 u2 + v3 = 12; 1 + v3 = 12; v3 = 11 u3 + v3 = 4; 11 + u3 = 4; u3 = -7 v1=1v2=6v3=11v4=14v5=5u1=871 214[8]5[15]u2=12[11]1012[68]186[27]u3=-7854[44]133u4=-521[10]89[110]13Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. Минимальные затраты составят: F (x) = 14∙8 + 5∙15 + 2∙11 + 12∙68 + 6∙27 + 4∙44 + 1∙10 + 9∙110 = 2363.

Анализ оптимального плана. Из 1-го склада необходимо груз направить в 4-й магазин (8), в 5-й магазин (15).Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (11), в 3-й магазин (68), в 5-й магазин (27).Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин. Из 4-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (10), в 4-й магазин (110) Проверим средствами Excel2) Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов 1234.

Запасы12 814 121 092 691 628 911 060 499 218 563 072.

Потребности2 210 910 423.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. ∑a = 109 + 24 + 48 + 15 = 196 ∑b = 22 + 109 + 104 + 23 = 258 Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равной 62 (258—196). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю. Занесем исходные данные в распределительную таблицу. 1234.

Запасы128 141 210 926 916 275 530 259 579 073 248 496 713 728.

Потребности2 210 910 423.

Этап I. Поиск первого опорного плана. 1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj. Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены. Искомый элемент равен 1 Для этого элемента запасы равны 15, потребности 22. Поскольку минимальным является 15, то вычитаем его. x41 = min (15,22) = 15. 2 814 121 096 916 282 225 197 0561xxx15 — 15 = 6 222 — 15 = 7 109 104 230.

Искомый элемент равен 2 Для этого элемента запасы равны 109, потребности 7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его. x11 = min (109,7) = 7. 281 412 109 — 7 = 102×9 162 824×1 923 4481xxx00000627 — 7 = 109 104 230.

Искомый элемент равен 2 Для этого элемента запасы равны 48, потребности 104. Поскольку минимальным является 48, то вычитаем его. x33 = min (48,104) = 48. 281 412 102×916 2824xx2x48 — 48 = 01xxx00000620109104 — 48 = 56 230.

Искомый элемент равен 8 Для этого элемента запасы равны 102, потребности 109. Поскольку минимальным является 102, то вычитаем его. x12= min (102,109) = 102. 28xx102 — 102 = 0×916 2824xx2x01xxx00000620109 — 102 = 756 230.

Искомый элемент равен 9 Для этого элемента запасы равны 24, потребности 7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его. x22 = min (24,7) = 7. 28xx0x9162824 — 7 = 17xx2x01xxx000006207 — 7 = 56 230.

Искомый элемент равен 16 Для этого элемента запасы равны 17, потребности 56. Поскольку минимальным является 17, то вычитаем его. x23 = min (17,56) = 17. 28xx0x916×17 — 17 = 0xx2x01xxx00000620056 — 17 = 39 230.

Искомый элемент равен 0 Для этого элемента запасы равны 62, потребности 39. Поскольку минимальным является 39, то вычитаем его. x53 = min (62,39) = 39. 28xx0x916x0xx2x01xxx0000062 — 39 = 230 039 — 39 = 0230.

Искомый элемент равен 0 Для этого элемента запасы равны 23, потребности 23. Поскольку минимальным является 23, то вычитаем его. x54 = min (23,23) = 23. 28xx0x916x0xx2x01xxx0000023 — 23 = 23 — 23 = 1 234.

Запасы12[7]8[102]1 412 109 269[7]16[17]282 433 192[48]344 841[15]468 155 000[39]0[23]62Потребности2 210 910 423 В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n — 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F (x) = 2∙7 + 8∙102 + 9∙7 + 16∙17 + 2∙48 + 1∙15 + 0∙39 + 0∙23 = 1276.

Этап II. Улучшение опорного плана. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2 u4 + v1 = 1; 2 + u4 = 1; u4 = -1 u1 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8 u2 + v2 = 9; 8 + u2 = 9; u2 = 1 u2 + v3 = 16; 1 + v3 = 16; v3 = 15 u3 + v3 = 2; 15 + u3 = 2; u3 = -13 u5 + v3 = 0; 15 + u5 = 0; u5 = -15 u5 + v4 = 0; -15 + v4 = 0; v4 = 15 v1=2v2=8v3=15v4=15u1=02[7]8[102]1412u2=169[7]16[17]28u3=-133 192[48]34u4=-11[15]468u5=-15 000[39]0[23]Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;3): 0 + 15 > 14; ∆13 = 0 + 15 — 14 = 1 (1;4): 0 + 15 > 12; ∆14 = 0 + 15 — 12 = 3 (4;2): -1 + 8 > 4; ∆42 = -1 + 8 — 4 = 3 (4;3): -1 + 15 > 6; ∆43 = -1 + 15 — 6 = 8 (4;4): -1 + 15 > 8; ∆44 = -1 + 15 — 8 = 6 max (1,3,3,8,6) = 8 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;3): 6 Для этого в перспективную клетку (4;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «.

-«, «+», «.

-«. 1234.

Запасы12[7][+]8[102][-]1 412 109 269[7][+]16[17][-]282 433 192[48]344 841[15][-]46[+]8 155 000[39]0[23]62Потребности2 210 910 423.

Цикл приведен в таблице (4,3 → 4,1 → 1,1 → 1,2 → 2,2 → 2,3). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (4, 1) = 15. Прибавляем 15 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 15 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 1234.

Запасы12[22]8[87]1 412 109 269[22]16[2]282 433 192[48]34 484 146[15]8 155 000[39]0[23]62Потребности2 210 910 423.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2 u1 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8 u2 + v2 = 9; 8 + u2 = 9; u2 = 1 u2 + v3 = 16; 1 + v3 = 16; v3 = 15 u3 + v3 = 2; 15 + u3 = 2; u3 = -13 u4 + v3 = 6; 15 + u4 = 6; u4 = -9 u5 + v3 = 0; 15 + u5 = 0; u5 = -15 u5 + v4 = 0; -15 + v4 = 0; v4 = 15 v1=2v2=8v3=15v4=15u1=02[22]8[87]1412u2=169[22]16[2]28u3=-133 192[48]34u4=-9146[15]8u5=-15 000[39]0[23]Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij (1;3): 0 + 15 > 14; ∆13 = 0 + 15 — 14 = 1 (1;4): 0 + 15 > 12; ∆14 = 0 + 15 — 12 = 3 max (1,3) = 3 Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 12 Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «.

-«, «+», «.

-«. 1234.

Запасы12[22]8[87][-]1412[+]109 269[22][+]16[2][-]282 433 192[48]34 484 146[15]8 155 000[39][+]0[23][-]62Потребности2 210 910 423.

Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,2 → 2,2 → 2,3 → 5,3 → 5,4). Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т. е. у = min (2, 3) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план. 1234.

Запасы12[22]8[85]1412[2]109 269[24]16 282 433 192[48]34 484 146[15]8 155 000[41]0[21]62Потребности2 210 910 423.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. u1 + v1 = 2; 0 + v1 = 2; v1 = 2 u1 + v2 = 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8 u2 + v2 = 9; 8 + u2 = 9; u2 = 1 u1 + v4 = 12; 0 + v4 = 12; v4 = 12 u5 + v4 = 0; 12 + u5 = 0; u5 = -12 u5 + v3 = 0; -12 + v3 = 0; v3 = 12 u3 + v3 = 2; 12 + u3 = 2; u3 = -10 u4 + v3 = 6; 12 + u4 = 6; u4 = -6 v1=2v2=8v3=12v4=12u1=02[22]8[85]1412[2]u2=169[24]1628u3=-103 192[48]34u4=-6146[15]8u5=-12 000[41]0[21]Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj ≤ cij. Минимальные затраты составят: F (x) = 2∙22 + 8∙85 + 12∙2 + 9∙24 + 2∙48 + 6∙15 + 0∙41 + 0∙21 = 1150.

Анализ оптимального плана. Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (22), в 2-й магазин (85), в 4-й магазин (2) Из 2-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин Из 4-го склада необходимо весь груз направить в 3-й магазин Потребность 3-го магазина остается неудовлетворенной на 41 ед. Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x53=0. Потребность 4-го магазина остается неудовлетворенной на 21 ед. Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x54=0.Проверим решение средствами ExcelЗаключение.

В данной работе применены различные способы решения задач линейного программирования: графический, симплексный. Также решены транспортные задачи с помощью метода потенциалов. Все эти методы достаточно трудоемки и могут привести к вычмслительным ошибкам и неверным результатам.

Облегчить решение можно, применяя пакет анализа Excel. В результате применения инструмента «Поиск решения» результат каждой задачи был проверен. Список использованной литературы.

Багриновский К.А. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика): Учеб.

пособие для вузов / К. А. Багриновский, В. М. Матюшок. — М.: Изд-во Российского университета дружбы народов, 2009. — 183 с. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /.

Под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: Банки и биржи/ЮНИТИ, 2007. -.

407 с. Карасев А. И. Математические методы и модели в планировании / А. И. Карасев, Н. Ш. Кремер, Т. И. Савельев. — М.: Экономика, 2008. — 240 с.