Односторонние предельные теоремы

В работе Ы Х. Ю. Россберг доказал, что если безгранично делимая функция распределения совпадает с нормальной на полуоси, то она тождественна последней. Этот результат явился положительным решением вопроса, поставленного А. Н. Колмогоровым в пятидесятых годах на одном из семинаров в Московском университете.

В.М.Золотаревым было высказано предположение о том, что множество безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на полуоси, не исчерпывается только нормальной функцией распределения. Это предположение было подтверждено И. А. Ибрагимовым [в ], указавшим подмножество безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на произвольном луче вещественной оси.

Таким образом, исследование вопроса о том, когда безгранично делимая функция распределения единственным образом определяется своими значениями на каком-либо множестве точек вещественной оси, имеет достаточно глубокое и интересное содержание. Как указано В. М. Золотаревым в работе [е], здесь можно выделить два основных направления исследований. Во-первых, пусть фиксирована безгранично делимая функция распределения. Каким должно быть множество л? точек вещественной оси, чтобы эта функция единственным образом определялась своими значениями на 5 в классе всех безгранично делшлых функций распределения? Во-вторых, пусть задано некоторое бесконечное множество аУ точек вещественной оси. Указать множество { Gr } ^ безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на /S. В частности, найти условие того, что { Gr f с* не пусто.

Исследованию указанных вопросов, а также вопросов, тесно к ним примыкающих, посвящены работы [3l] Х. Ю. Россберга, [32I Х. Ю. Россберга и Б. Есиака, [ 34 ] Х. Ю. Россберга и Г. Зигеля, [23] и Г25] Б. Есиака, f 28 7 М. Риделя, [36 ] Г. Зигеля, |71вЗ И. В. Островского, f6 ] И. А. Ибрагимова.

Сформулируем те результаты из названных работ, которые представляют интерес для нас.

В работе [34] установлено, в частности, что нормальная функция распределения единственным образом определяется своими значениями на любом неограниченном множестве точек в классе всех безгранично делимых функций распределения.

Упоминавшийся выше результат Ибрагимова состоит в следующем.

Пусть где & произвольно. Тогда к { G- } j принадлежит каждая безгранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в 0 и удовлетворяет условию.

Сс (х) — х ->-00 для любого вещественного Т. Если же.

А «11 где & произвольно, то к { Сг } j принадлежит каждая безгранично делимая функция распределения, которая нигде не обращается в I и удовлетворяет условию для любого вещественного Т.

Исследование единственности безгранично делимых функций распределения на фиксированном множестве точек вещественной оси привело к появлению предельных теорем нового типа — теорем о распространении сходимости. В качестве примера приведем один результат Х. Ю. Россберга [3l]. Пусть.

Нй (X) = ?{ + где случайные величины Xi имеют одну и ту же функцию распределения, а константы OLn и S-fi можно подобрать таким образом, чтобы т Ня (х) = И (к) х 0,.

ГС.-* оо * где ЬС (Х) — устойчивая функция распределения. Тогда функции распределения НЛ 1-х.) сходятся к на всей вещественной оси.

В общем случае схемы серий, как отмечено В. М. Золотаревым Гб ], задача о распространении сходимости может быть сформулирована следующим образом.

Пусть дана последовательность серий.

§-Г)±-> > • • • trifh^ > Л =.: взаимно независимых (в каждой серии) равномерно предельно малых случайных величин. Обозначим.

Предположим далее, что.

1(ЛП (%) — Gr0 (х), X €: Л? оо где безгранично делимая функция распределения 6г0 единственным образом определяется своими значениями на множестве лГ .

Следует ли отсюда, что последовательность функций распределения {/^)слабо сходится к Gr0? Или каковы должны быть дополнительные условия, чтобы такая сходимость имела место?

Вопрос о распространении сходимости, а также ряд вопросов, близко к нему примыкащих, исследовался в работах Г34 1 Х. Ю. Россберга и Г. Зигеля, [351 [36 ] Г. Зигеля, [24 ] Б. Есиака, [29J М. Риделя, [l8l А. В. Печинкина.

В работе [34] установлено, в частности, что если функции распределения j Fn (%>)}, введенные наш выше, сходятся к нормальной функции распределения на произвольном неограниченном множестве точек, то они сходятся к ней всюду на вещественной оси.

В работе? 35 7 получен ряд важных результатов, которые могут быть использованы при исследовании задачи о распространении сходимости. Для нас представляет интерес следующий результат из этой работы. Если введенная выше последовательность функций распределения х г п j слабо сходится к неубывающей функции которая удовлетворяет условиям р (- оо) то эта функция отличается от некоторой безгранично делимой функции распределения лишь наличием постоянного множителя, не превышающего единицы. Подобный результат был также сформулирован в работе [l8l, но приводимое там доказательство содержало пробелы.

В первых двух главах данной диссертации доказан ряд результатов, относящихся к задаче о распространении сходимости.

Основной результат первой главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм независимых равномерно предельно малых случайных величина неубывающим функциям, которые отличаются от безгранично делимых функций распределения лишь наличием постоянного множителя.

Этот результат является углублением упоминавшегося выше результата Зигеля. При доказательстве этого результата установлен ряд вспомогательных результатов, которые имеют самостоятельный интерес. Среди них мы отметим такой результат. Доказано, что для слабой сходимости функций распределения сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин к неубывающей функции положительной вариации необходимо и достаточно, чтобы к этой же функции слабо сходились введенные Б. В. Гнеденко [ 2 J сопровождающие безгранично делимые функции распределения. Напомним, что в [2] (см. также [i, C. II91) утверждение о сопровождающих безгранично делимых функциях распределения доказано для случая, когда в качестве предельной выступает функция распре деления.

Первый параграф второй главы посвящен собственно задаче о распространении сходимости в формулировке Золотарева. При этом мы ограничиваемся классом множеств /S, удовлетворяющих условию.

Пусть фиксировано множество $ этого типа. Обозначим ^j* класс безгранично делимых функций распределения, которые единственным образом определяются своими значениями на аГ в множестве всех неубывающих функций, которые лишь наличием постоянного множителя отличаются от безгранично делимых функций распределения. Нами доказано, что если CrD G S^r, то сходимость F1b (x') К Gr0fx) на $ впечет слабую сходимость Гп К Сг0. Этот результат дает ответ на первый вопрос Золотарева. Второй результат этого параграфа состоит в следующем. Пусть безгранично делимая функция распределения (* имеет нормальную компоненту, а представляет собой монотонно убывающую кос последовательность действительных чисел, показатель сходимости которой больше двух. Тогда, если на последовательность функций распределения { F^,} наложены определенные дополнительные условия, выраженные в терминах функций распределения слагаемых, то сходиглость FJi О к G (x) на? влечет слабую сходшлость fyi к & .

Во втором параграфе второй главы получено несколько результатов, которые могут быть использованы при описании классов. Эти результаты представляют и самостоятельный интерес. Среда них отметим такой результат. Если свертка двух одинаковых неубывающих функций совпадает с нормальной функцией распределения на луче (— 00 > а^, где CL произвольно, то она тождественна нормальной функции распределения.

В третьем параграфе второй главы для нескольких типов множеств лГ указаны принадлежащие w^j* множества безгранично делимых функций распределения. I.

В третьей главе исследуются условия слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случайных величин и аналитические свойства характеристических функций предельных распределений. История вопроса состоит в следующем. Б. В. Гнеденко и Фахим 1*уссейн в работе ы доказали достаточные условия слабой сходимости функций распределения в описанной схеме суммирования. В работах [201 Д. Сааса и f2lj Д. Сааса и Б. Фрайера исследовался вопрос о необходимых условиях сходимости. Опираясь на результаты работы [20 ], В.М.Круг-лов в работе f XI ] доказал необходимые и достаточные условия слабой сходимости к нормальной функции распределения. .

Основной результат третьей главы состоит в доказательстве необходимых и достаточных условий слабой сходимости функций распределения сумм случайного числа независимых одинаково распределенных случа! шых величин в случае, когда характеристическая функция предельной функции распределения аналитически продолжается на всю комплексную плоскость как целая функция конечного порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37}, [38 J, [ЗЭ] .

Полученные результаты могут найти применение в математической статистике при построении критериев для проверен гипотез о виде функции распределения, в теории случайных процессов при изучении свойств процессов с независимыми приращениями, в теории массового обслуживания.

Основные результаты диссертации докладывались на второй научной конференции аспирантов и студентов факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Московского Государственного университета, на семинарах кафедры математической статистики этого факультета в 1979;1982 годах.

1. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1949, 437с.

2. Гнеденко Б. В. О сходимости законов распределения сумм независимых слагаемых. ЛДН СССР, 1938, т.18, с.231−234.

3. Гнеденко Б. В., Фахим Гуссейн. Об одной теореме переноса. ДМ! СССР, 1969, т.187, JS I, с.15−17.

4. Евграфов М. А. Ассимптотические оценки и целые функции. -М.: «Наука», 1979. 320с.

5. Золотарев В. М. Оценки различия распределений в метрике Леви. -Тр.Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1971, т.112, с.224−231.

6. Золотарев В. М. Несколько замечаний к статье «0 единственности задания устойчивых функций распределения». Math.1978, т.82, с.301−305.

7. Ибрагимов И. А., Пресман Э. Л. О скорости сближения распределений сумм независимых случайных величин с сопровождающими законами. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т.18, й 2, с.753−766.

8. Ибрагимов И. А. Об определении безгранично делимой функции распределения по ее значениям на полупрямой. Теория вероятностей и ее примен., 1977, т.22, № 2, с.393−399.

9. Колмогоров А. Н. О приближении распределений сумм независимых слагаемых неограниченно делимыми распределениями. Тр. Моск. матем. об-ва, 1963, т.12, с.437−451.

10. Круглов В. М. Новая характеризация пуассоновского распределения. Матем. заметки, 1976, т.20, J? 6, с.879−882.

11. Круглов В. М. О сходимости распределений сумм случайного числа независимых случайных величин к нормальному распределению. Вестник ШУ, сер. матем.-механ., 1976, В 5, с. 5−12.t.

12. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956, — 632с.

13. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. М.: «Наука», 1972. — 479с.

14. Лоэв М. Теория вероятностей. ~М.: ИЛ, 1962. 719с.

15. Лукач Е. Характеристические функции. -М.: «Наука», 1979. -424с.

16. Островский И. В. Функции распределения, совпадающие с безгранично делимыми на полуоси. в сб.: Тезисы докладов третьей международной вильнюсской конференции по теории вероятностей. Вильнюс, 1981, т.2, с.102−103.

17. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: «Наука», 1972. — 414с.

18. Печинкин А. В. Об одном свойстве нормального закона. Труды МИЭМ, 1975, .& 44, с.3−12.

19. Печинкин А. В. О сходимости к нормальному закону сумм случайного числа случайных слагаемых. Теория вероятн. и ее примен., 1973, т. 18, J5 2, с.380−382.

20. Саас Д. О классах предельных распределений дяя сумм случайного числа случайных, независимо распределенных слагаемых. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т.17, 3, с.424−439.

21. Саас Д., Фрайер Б. Одна задача теории суммирования со случайным индексом. Лит. матем. сборник, 1971, т. II, с.181−187.

22. Титчмарш Е. Теория функций. М.-Jt.: ГИТТЛ, 1951, 506 с. 23. 13, (Хп asn.

23. Zfe-tuotlk в. ЫЮ-шма umdet алАит^сЪг of геФиьбьоС conwoicf&ncje &-п аafi/nuf.'*. tbmtf ром*. -Math. Ж^Жл^ 198o) p. -/8?-т.

24. Jetuotsfi 0. unifu&H&zA <6 $eoxs.ьщMaJfa. S9 73, гл 12.3f>. 243−246.

25. Cam 0.

26. Riede/ HOn Me оыы^Ы ewftwe&foЖЖи&^Ып /м nc/imA. МчЯЛ. Жо (Jux.1976, гг.70, р. 155−163.

27. Kitotd М. А пелА/- v&tsUcm c^wi-Теория вероятн. и ее примен., 1977, т.22, lb I, с. 187. 90.

28. И. УRoufvty,. От си pwS&m c? f Жо&тоу-охоЛгО&пст.ПИ1 $ ifae nomai duMkftm.- Теория вероятн. и ее примен., 1974, т.19, В 4, с.824−828.

29. Н. У. ^t/YntX f-ьх. UiwttcciMy, JjUdLfU^iiid bMmrnotncU aiAMwwytJLOdriifaiion famricmb on ct Aaty olocl/l.- Теория вероятн. и ее примен., 1979, т.24, № 4, с.692−709.

30. H.y.RovJlwcfУсллчк. Chi tfte. unifu* c/eh>Asmc~ nation cf dixkuj^cm fvLnotimA.

31. H. J. RouJ&icf^ fr. Gom&/nu*&.

32. Н У КоъьАиу, OyxesudtoC сДапхс^еHA^adt'cn of not mot? dtAJbru^^tm vvl erf imfwiiAjdy clcvtbifUiТеория вероятн. и ее примен., 1981, т. 26, № 2, с.400−407.

33. Зга осуп*. curwt.

34. Ст. fi-iecjd. UnityUMAUL erf йулптяйчлс МяЬи&лЖепf-wncliowA djuf^nrurtt a 4oun (/ecCТеория вероятн. и ее примен., 1979, т. 24, № 4, с.831−834.

35. Титов А. Н. Об определении свертки одинаковых функций распределения по ее значениям на полупрямой. Теория вероятн. и ее примен., 1981, т.26, JS 3, с.610−611.

36. Титов А. Н. Аналитические свойства одного класса смесей безгранично делимых законов распределения. Вестник МГУ, серия матем. и кибернетика, 1981, JS 2, с.56−59.

37. Титов А. Н. О слабой сходимости безгранично делимых законов. в сб.: Тезисы докладов второй конференции молодых ученых факультета ВШ. — М.: Изд-во МГУ, 1981.