Исследование уравнений и неравенств с параметром

Пример 3. Сколько корней при различных значениях параметра, а имеет уравнение вида:

Решение будет следующим. Ответ на поставленный вопрос связан с числом точек пересечения графика полуокружности и прямой у = х + а. (рис. 1).

Рисунок 1 — Решение уравнение примера 3.

Прямая, являющаяся касательной, имеет формулу.

Таким образом, заданное уравнение:

не имеет корней при, а < -2 или, а > ;

имеет один корень при -2 < а < 2 или при, а = ;

имеет два корня при 2 < а <

4.2 Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с параметром обычно существенно сложнее решения уравнений. Для начала необходимо отметить вводные замечания. Например, рассмотрим неравенство вида Если подставить в это неравенство х=1, получим 10>10. Если последнее числовое неравенство верно, то х=1 является решением исходного неравенства. Если же это числовое неравенство неверно, то х = 1 не является решением исходного неравенства. Таким образом, в зависимости от того, верно или неверно неравенство 10>10, мы включим или не включим x = 1 в число решений.

С аналогичными ситуациями при решении неравенств с параметрами мы будем сталкиваться очень часто. Поэтому, чтобы решение неравенств не превратилось в манипуляции с буквой «х», необходимо проанализировать поставленные в начале этого параграфа вопросы и найти на них ответы. Для получения последних приведем определения 1 и 2.

Определение 1. Число, а больше числа b (записывается а>b), если разность (а — b) — положительна.

Из этого определения сразу следует, что:

5 > 3 это верно, поскольку разность 5−3 = 2 является положительной;

2 > 5 это неверно, поскольку разность 2 — 5 = -3 является отрицательной;

5 > 5 это неверно, поскольку разность 5−5 = 0, а 0 не является ни положительным. ни отрицательным числом;

0 > 0 это неверно по вышеприведенной причине.

Определение 2. Число, а больше или равно, чем число b (записывается а≥b, если разность (а — b) — положительна или равна 0.

Из последнего определения сразу следует, что неравенство:

5 > 3 это верно, поскольку разность 5−3 = 2 является положительна. В этом случае необходимо отметить, что условия разность (а — b) — положительна или равна 0, не должны выполняться одновременно. В определении требуется, чтобы выполнялось хотя бы одно из этих условий — разность положительна или разность равна 0. Более того, одновременно эти условия никогда не должны выполнятся.

2 > 5 это неверно, поскольку разность 2 — 5 = -3 является отрицательной;

5 > 5 это верно, поскольку разность 5−5 = 0;

0 > 0 — это верно по вышеприведенной причине.

Из сказанного ясно, что неравенства 1,2 и 4, выписанные в начале этой главы реферата, верны, а неравенство 3 — неверное.

4.3 Свойства неравенств c параметрами.

Кроме определений 1 и 2, необходимо при решении неравенств с параметрами учитывать их свойства :

если к обеим частям неравенства прибавить произвольное число с, знак неравенства не изменится. Т. е., если, а < b и с — произвольное число, то, а + с < b + с.

если обе части неравенства умножить на произвольное, положительное число к, то знак неравенства не изменится. Т. е., если, а < b и к > 0, то ка < кb;

если обе части неравенства умножить на отрицательное число к, то знак неравенства изменится на противоположный. Следовательно, если, а < b и к < 0, то кa > кb.

если, а < b и b < с, то, а < с.

Это четвертое свойство, называемое в математике транзитивностью, выражает следующее: если первое число меньше второго (а < b), а второе меньше третьего (b< с), то первое число меньше третьего (а < с).

Необходимо в данном случае отметить одно замечание. В случае деления обеих частей неравенства на к можно представить как умножение 1/к. В таком случае из свойств 2 и 3 следует, что при делении обеих частей неравенства на положительное число к знак неравенства не изменится, а при делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный.

Для подтверждения вышеприведенных высказываний решим пример.

Пусть мы имеем неравенство вида:

Решение зависит от знака коэффициента при х (а не только от равенства или неравенства этого коэффициента нулю). Действительно, если мы разделим (умножим) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Правильный ответ будет следующий.

если, а > 0, то если, а = 0, то х Є Ø.

если, а < 0, то.

Заключение

.

В заключении отметить, что уравнения и неравенства с параметром очень часто применяются на ЕГЭ — едином государственном экзамене. Залог успеха этого мероприятия — постоянные занятия математикой в течение всего периода обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем. Поэтому учителя и ученики должны постоянно практиковать современные методы математики и начала математического анализа, что в последствии последним, будучи уже студентами, будет проще осваивать в ВУЗах основы прикладной математики, теорию вероятностей и статистики с последующим программированием заранее разработанных математических алгоритмов.

В данной работе достигнута основная цель — исследованы уравнения и неравенства с параметром.

Исходя из поставленной в данном реферате цели, были выполнены следующие задачи:

приведены основные понятия при исследовании уравнений и неравенств с параметром;

приведены определение параметра и основных формулировок задач с параметрами;

приведены практические примеры уравнений и неравенств с параметром.

Также в процессе написания реферата были использованы современные и классические источники литературы и глобальной сети Internet.

Крамор В. С. Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.:ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.

Семенов А. В. Единый государственный экзамен. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Учебное пособие.

/ А. В. Семенов, А. С.

Трепалин, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, П. И.

Захаров; под ред. И. В. Ященко; Московский Центр непрерывного математического образования. — М.: Интеллект-Центр, 2017.

— 192 с.

Высоцкий В. С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. М.: Научный мир, 2011. — 316 с Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы.

11 класс: профил. уровень / [ В. Н. Соломин, К. М. Столбов, М. Я.

Пратусевич, А. Н. Головин]. — М.: Просвещение, 2012. — 96 с.

Пратусевич М. Я. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: профил. уровень / М.

Я. Пратусевич, К. М. Столбов, А. Н. Головин. — М.

: Просвещение, 2010. — 463 с.