Статистика (Вариант 6)

a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (Таблица7.

1.2)Таблица7.

1.2Расчет параметров степенной регрессииln (x)ln (y)ln (x)2ln (y)2ln (x) • ln (y)5.1−0.

13 260.

0166−0.

665.

470.

9 829.

880.

9 610.

546.74−0.

4645.

390.21−3.

116.

91−0.

4247.

80.18−2.

896.

55−0.

2442.

850.0586−1.

586.

94−0.

1248.

140.0141−0.

827.

22−0.

27 452.

070.749−0.

27.450.

74 255.

440.

550.

556.29−0.

4339.

560.19−2.

715.

860.

4934.

330.

242.

97.67−0.

50 258.

880.252−0.

395.

87−0.

2434.

410.0562−1.

397.

08−0.

2650.

120.0697−1.

875.

570.

1831.

020.

3 261.

016.08−0.

1537.

020.0235−0.

937.

05−0.

2349.

670.0532−1.

635.

52−0.

4730.

460.22−2.

586.

49−0.

4842.

060.23−3.

137.

840.

17 861.

520.

3 180.

146.29−0.

5839.

510.33−3.

635.

740.

4632.

950.

212.

636.7−0.

1944.

850.0347−1.

255.

12−0.

2426.

180.0568−1.

227.

69−0.

59 859.

130.357−0.

467.

630.

77 958.

270.

6 070.

59 162.84−3.

371 077.

492.26−22.09Для наших данных система уравнений имеет вид25a + 162.

84 b = -3.

37 162.

84 a + 1077.

49 b = -22.09Домножим уравнение (1) системы на (-6.51), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-162.

84a -1060.

09 b = 21.

97 162.

84 a + 1077.

49 b = -22.09Получаем:

17.4 b = -0.13Откуда b = -0.675.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):25a + 162.

84 b = -3.3725a + 162.

84 • (-0.675) = -3.3725a = -2.28a = -0.9 102.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.675, a = -0.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = e-0.910 1623x-0.675 = 0.913x-0.

675.

7.

2. В качестве исходной информации используем сгруппированные данные, исследуем линейный вид зависимости. Таблица 7.

2.1Сгруппированные данные№ группы.

Объем товарной продукции, млнр

Объем товарной продукции, млнр (середина интервала) Число предпри-ятий.

Средняяфондо-вооруженностьрабочих в расчете на 1 предприятие10 — 50 025 091,0512500 — 100 075 060,67931000 — 1 500 125 050,81641500 — 2 000 175 011,07752000 — 2 500 225 030,99162500 — 3 000 275 011,018Линейное уравнение регрессии имеет вид: y = bx + a. Для оценки параметров a и b — используют МНК (метод наименьших квадратов).Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(yi

— y*i)2 → minСистема нормальных уравнений. a•n + b∑x = ∑ya∑x + b∑x2 = ∑y•xДля расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (Таблица 7.

1.1).Таблица 7.

2.2Расчет параметров линейной регрессииxyx2y2x • y2501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

752 501.

5 625 001.

1262.

757 500.

685 625 000.

46 509.

257 500.

685 625 000.

46 509.

257 500.

685 625 000.

46 509.

257 500.

685 625 000.

46 509.

257 500.

685 625 000.

46 509.

257 500.

685 625 000.

46 509.

2 512 500.

8 215 625 000.

67 102 012 500.

8 215 625 000.

67 102 012 500.

8 215 625 000.

67 102 012 500.

8 215 625 000.

67 102 012 500.

8 215 625 000.

67 102 017 501.

830 625 001.

161 884.

7 522 500.

9 950 625 000.

982 229.

7 522 500.

9 950 625 000.

982 229.

7 522 500.

9 950 625 000.

982 229.

7 527 501.

275 625 001.

42 799.

52 425 022.

683 756 250 021.

1 821 893.75Для наших данных система уравнений имеет вид25a + 24 250 b = 22.6 824 250 a + 37 562 500 b = 21 893.

75Домножим уравнение (1) системы на (-970), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.-24250a -23 522 500 b = -22 000.

5 724 250 a + 37 562 500 b = 21 893.

75Получаем:

14 040 000 b = -106.

82Откуда b = -8.0E-6Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):25a + 24 250 b = 22.6825a + 24 250 • (-8.0E-6) = 22.6825a = 22.87a = 0.9146.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -8.0E-6, a = 0.9146.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):y = -8.0E-6 x + 0.

Рассчитаем выборочные средние:

Рассчитаем выборочный линейный коэффициент корреляции:.Такое значение коэффициента корреляции соответствует слабой степени связи показателей. Сравним результаты расчетов, полученные в п.

7.1 и 7.

2.В обоих случаях связь между признаками признаками «объем товарной продукции» и «фондовооруженность рабочих» слабая. В первом случае зависимость прямая (коэффициент корреляции больше 0), а во втором — обратная. В обоих найденных уравнениях линейной регрессии значение коэффициента регрессии bблизко к 0.

8. Сравним результаты расчетов п. 5, 6 и 7. В п. 5 было установлено, что влияние фактора (объем товарной продукции) на признак (фондовооруженность рабочих) несущественно и составляет 34,2%.В п. 6 найденное значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена также показало слабую зависимость объема товарной продукции и фондовооруженности рабочих. В п. 7 найденные значение коэффициентов регрессии и линейных коэффициентов корреляции также показали слабую зависимость объема товарной продукции и фондовооруженности рабочих. Таким образом, вычисления, произведенные с использованием различных статистических показателей и методов дают сходные результаты.

9. Исследовать тесноту линейной множественной связи между результативным признаком «объем товарной продукции» и двумя факторными «фондовооруженность рабочих» и «месячная производительность труда одного рабочего».Расчетаем коэффициенты множественной линейной регрессии. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными b0, b1, b2:∑yi = nb0 + b1∑x1i + b2∑x2i∑x1iyi = b0∑x1i + b1∑x1i2 + b2∑x1ix2i∑x2iyi = b0∑x2i + b1∑x1ix2i + b2∑x2i2Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу (таблица 9.1).Таблица 9.1 Расчет коэффициентов множественной линейной регрессииYX1X2X12X22X1YX2YX1X2Y2163.

80.880.

0670.

770.

449 143.

9810.

970.

58 926 830.

44 236.

51.

10.0741.

220.

548 260.

8617.

50.

81 655 932.

25 843.

30.630.

110.

40.

11 531.

2888.

550.

662 711 154.

891 005.

90.

660.

120.

430.

137 661.

88 117.

690.

771 011 834.

81 696.

30.790.

110.

620.

114 546.

674.

50.84 484 833.

691 031.

30.

890.

140.

790.

19 915.

79 142.

320.

121 063 579.

691 361.

20.970.

170.

950.

2 761 324.

45 225.

960.

161 852 865.

441 712.

91.

080.

21.

160.

3 841 844.

79 335.

730.

212 934 026.

41 538.

90.650.

0850.

420.

723 350.

2945.

810.

553 290 413.

21 350.

41.

640.

112.

690.

119 574.

6638.

190.

18 122 780.

162 149.

90.950.

210.

90.

4 242 044.

55 442.

880.

24 622 070.

1 352.

80.

790.

130.

620.

166 278.

3645.

510.

1 124 467.

841 187.

10.770.

140.

590.

19 911.

69 163.

820.

111 409 206.

41 262.

41.

20.0811.

440.

656 314.

3621.

250.

9 768 853.

76 438.

80.860.

0890.

740.

792 376.

4939.

050.

764 192 545.

441 150.

50.

790.

140.

630.

19 913.

5158.

770.

111 323 650.

25 249.

40.630.

0570.

390.

325 156.

3714.

220.

35 762 200.

36 655.

30.

620.

0920.

380.

846 404.

3260.

290.

568 429 418.

92 549.

51.020.

231.

040.

5 382 595.

39 591.

480.

246 499 950.

25 536.

80.

560.

140.

310.

196 301.

1475.

150.

785 288 154.

24 311.

21.580.

12.50.

102 492.

0131.

430.

1 696 845.

44 809.

70.

830.

120.

690.

139 672.

0595.

540.

979 655 614.

9 166.

70.790.

0610.

620.

372 131.

3610.

170.

48 127 788.

892 185.

10.

940.

210.

890.

4 282 058.

36 452.

320.

194 774 662.

12 066.

21.080.

221.

170.

4 672 233.

56 446.

30.234 269 182.

4 423 011.

922.

693.

1722.

350.

4 621 038.

13 745.

412.

9 233 398 860.

51 920.

480.

910.

130.

890.

186 841.

52 149.

820.

121 335 954.42Для наших данных система уравнений имеет вид:

23 011.

9 = 25 b0 + 22.686b1 + 3.169b221038.

0961 = 22.686b0 + 22.35 1384b1 + 2.92 4851b23745.

4094 = 3.169b0 + 2.92 4851b1 + 0.46 4385b2Решая систему методом Крамера, находим: b0 = -523.

768b1 = -285.

939b2 = 13 440.

488Уравнение регрессии: Y = -523.

768 -285.

939 X1 + 13 440.

488 X2Найдем средние квадратические отклонения признаков:

Парные коэффициенты корреляции. Для y и x1Для y и x2Для x1 и x2Оформим результаты расчетов в виде матрицы (таблица 9.2)Таблица 9.2Матрица парных коэффициентов корреляции-yx1x2y10.

3 360.

947×10.

33 610.

148×20.

9470.

Коэффициенты регрессии bi можно также найти по следующим формулам:

гдеryx1, ryx2, rx1x2

— коэффициенты парной корреляции между результатом и каждым из факторов и между факторами; s (x1), s (x2) — среднее квадратическое отклонение 1-го и 2-го факторов соответственно; s (y) — среднее квадратическое отклонение результативного признака. Параметр a можно определить по формуле: a = 920.

476 — (-285.

939)•0.907 — 13 440.

488•0.127 = -523.

768Рассчитаем частные коэффициенты корреляции. Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и xi) при условии, что влияние на них остальных факторов (xj) устранено. На основании частных коэффициентов можно сделать вывод об обоснованности включения переменных в регрессионную модель. Если значение коэффициента мало или он незначим, то это означает, что связь между данным фактором и результативной переменной либо очень слаба, либо вовсе отсутствует, поэтому фактор можно исключить из модели. Теснота связи не сильная.

Теснота связи сильная.

Теснота связи не сильная.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Δr

— определитель матрицы парных коэффициентов корреляции; Δr11

— определитель матрицы межфакторной корреляции.∆ r =10,3 360,9470,33 610,1480,9470,1481= 0.0903∆ r11 =10,1480,1481= 0.978Коэффициент множественной корреляции.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

Связь между признаком Y и факторами Xi низкая. Теснота связи результативного признака с факторными определятся величиной коэффициента линейной множественной корреляции и детерминации, который могут быть исчислены на основе матрицы парных коэффициентов корреляции:

Более объективную оценку качества построенной модели дает скорректированный индекс множественной детерминации, учитывающий поправку на число степеней свободы:

где n — число наблюдений, m — число факторов. Использованная литература:

1. Елисеева И. И. Общая теория статистики: учебник для вузов / И. И. Елисеева, М. М. Юзбашев; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2009. — 656 с.

2. Ефимова М. Р. Практикум по общей теории статистики: учебное пособие для вузов / М. Р. Ефимова и др. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 368 с.

3. Мелкумов Я. С. Социально-экономическая статистика: учебно-методическое пособие. — М.: ИМПЭ-ПАБЛИШ, 2007. — 200 с. 4. Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: учебник для вузов / О. Э. Башина и др.; под ред. О. Э. Башиной, А. А. Спирина. — М.: Финансы и статистика, 2008. — 440 с.

5. Салин В. Н. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: учебник / В. Н. Салин, Э. Ю. Чурилова. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 480 с.

6. Социально-экономическая статистика: практикум: учебное пособие / В. Н. Салин и др.; под ред. В. Н. Салина, Е. П. Шпаковской. — М.: Финансы и статистика, 2009. — 192 с.

7. Статистика: учебное пособие / А. В. Багат и др.; под ред. В. М. Симчеры. — М.: Финансы и статистика, 2007. — 368 с.

8. Статистика: учебник / И. И. Елисеева и др.; под ред. И. И. Елисеевой. — М.: Высшее образование, 2008. — 566 с.