Методы корреляционного и регрессионного анализа

Анализ и обобщение данных маркетинговых исследований осуществляется методами ручной или компьютерной обработки. Для обработки используются как описательные, так и аналитические методы. Среди аналитических методов в маркетинговых исследованиях в основном применяются: анализ трендов, методы нелинейной регрессии и коррекции, дискриминантный анализ, кластерный анализ, факторный анализ и др.

Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего две категории зависимости: функциональные и корреляционные.

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия, воздействие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. В простейшем случае применения корреляционной зависимости величина результативного признака рассматривается как следствие изменения только одного фактора (например, рекламный бюджет — как причина роста объема продаж).

Корреляционный анализ дает возможность рассчитывать уровень доверия к результатам анализа. В процессе этого анализа рассчитываются показатели корреляции, к которым относятся коэффициенты корреляции и корреляционные отношения.

При сравнении функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличие от жесткости функциональной связи корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий и устанавливаются лишь их тенденции.

Рассмотрим пример корреляционной зависимости. Проанализируем и подтвердим или опровергнем утверждение о том, что количество промоакций, проводимых компанией по продвижению нового товара, увеличивает объем продаж. Для этого проведем выборку территорий (табл. 6.8).

Таблица 6.8

Данные о продажах товара на разных территориях города

Простейшим приемом обнаружения связи является сопоставление двух параллельных рядов. Из общего анализа видно, что увеличение количества промоакций способствует увеличению объема продаж.

Другим способом может быть построение поля рассеяния на диаграмме (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Поле рассеивания.

Характер распределения на рис. 6.2 указывает на то, что объем сбыта растет по мере увеличения количества промоакций. Следовательно, имеется положительная связь между факторами.

Регрессионный анализ даст возможность ответить на вопрос о количественной мере влияния различных факторов, например на спрос (объем возможной продажи). Он представляет собой подбор и решение математических уравнений, описывающих исследуемые зависимости. Элементы рынка зависят от многих факторов, и формы этих зависимостей могут быть самыми разнообразными. Поэтому регрессионный анализ начинают с построения графика зависимости, на его основе подбирают подходящее математическое уравнение, а затем находят параметры этого уравнения путем решения системы нормальных уравнений.

Регрессионный анализ используется для изучения связей между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными, определения тесноты связи и математической зависимости между ними, предсказания значения зависимой переменной.

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками, или парная линейная корреляция. Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии:

где — среднее значение результативного признака у при определенном значении факторного признака х; а — свободный член уравнения; b — коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения, — вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.

Рассмотрим пример. Установим взаимосвязь между сбытом и числом промоакций с помощью следующей линейной регрессионной модели:

где Yi — объем сбыта на i-й территории; Xi — количество промоакций на i-й территории. Расчет параметров? и? ведется по следующим формулам:

где

Составим таблицу с промежуточными вычислениями (табл. 6.9).

Таблица 6.9

Расчет сумм для вычисления уравнений прямой

Тогда

Уравнение прогнозной прямой примет вид.

Значение? = 7,96 говорит о том, что при проведении каждой дополнительной промоакции сбыт увеличивается на 28 упаковок (20,2 + 7,96).

Средний коэффициент эластичности определяют по формуле где.

Коэффициент эластичности, равный 0,66, показывает, что с увеличением промоакций на 1% сбыт увеличивается на 0,66%.

Рассмотрим еще пример корреляционно-регрессионного анализа. Администрация торгового предприятия приняла решение о введении нового вида услуг по ценовому стимулированию. По выборке из 10 случаев стимулирования анализируется зависимость выручки продаж в момент стимулирования от затрат на стимулирование (табл. 6.10).

Таблица 6.10

Маркетинговые данные по результатам стимулирования

Построим поле корреляции результата и фактора (рис. 6.3).

На основании поля корреляции можно сделать вывод, что между факторным (X) и результативным (Y) признаками визуально существует прямая зависимость.

Определим методом наименьших квадратов параметры а и b уравнения парной линейной регрессии у = а + bх. Искомые уравнения имеют следующий вид:

где п — число наблюдений в совокупности (в нашем случае 10); а, h — искомые параметры; x, у — фактические значения факторного и результативного признаков.

Рис. 6.3. Поле корреляции результата (выручка от продаж) и фактора (затраты на стимулирование), а также машинное линейное уравнение регрессии с достоверностью аппроксимации 0,938.

Коэффициенты системы уравнений найдем по формулам.

Для облегчения расчетов составим расчетную таблицу из пяти граф (табл. 6.11).

Таблица 6.11

Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

Проведем расчеты параметров регрессии по данным табл. 6.11:

Коэффициент регрессии (b) показывает абсолютную силу связи между вариацией х и вариацией у:

Применительно к данной задаче можно сказать, что при вкладе в мероприятия по стимулированию продаж на 1 млн руб. общая сумма прибавки выручки изменяется в среднем на 4,686 млн руб.

Таким образом, линейное уравнение регрессии примет следующий вид:

Линейный коэффициент корреляции определяется по формуле.

По величине коэффициента корреляции r = 0,957 можно говорить о высокой тесноте связи между у и х.