Турбулентное движение жидкости

Вывод закона сопротивления Пуазейля мог быть произведен исходя из самых общих уравнений движения вязкой жидкости — уравнений Навье — Стокса. Этот закон, казалось бы, должен быть верен во всех случаях движения вязкой жидкости в круглой трубе. Однако опыт показывает, что он нарушается при числе Re > 2320. В данном случае имеют место другие законы сопротивления.

Так как при Re = 2320 происходит смена ламинарного режима на турбулентный, можно сделать вывод, что закономерности турбулентного движения отличны от закономерностей ламинарного режима.

Проблема турбулентности возникла в середине XIX в. в результате противоречия между теоретическим (казалось бы, вполне строгим выводом закона сопротивления в круглой трубе из уравнения Навье — Стокса) и эмпирическим законом сопротивления. Это противоречие выходило далеко за пределы ошибок измерений. Первый закон (Пуазейля) давал сопротивление, пропорциональное 1-й степени скорости; второй закон (Шези) приводил к квадрату скорости.

Теоретический анализ турбулентного движения, являющегося, на первый взгляд, совершенно беспорядочным, представляет большие трудности. Однако, несмотря на беспорядочность движения отдельных частиц в турбулентном потоке, в целом имеют место свой строгий порядок, свои вполне определенные закономерности, которые будут рассмотрены ниже.

Рассматривая турбулентный поток с использованием метода Ж. Л. Лагранжа, будем наблюдать непрерывное перемешивание масс жидкости. Рассматривая этот же поток исходя из основных положений метода Л. Эйлера, вместо перемешивания будем наблюдать пульсации давления и скорости в данной точке. В каждой точке турбулентного потока скорость весьма интенсивно меняется во времени как по величине, так и по направлению. То же самое происходит и с напряжениями.

Таким образом, турбулентное движение является по самой своей природе движением типично неустановившимся. Рассмотрим турбулентное движение жидкости в трубе при неизменных внешних условиях на границе. Опыты, проведенные в подобных условиях, показывают следующее. Характер изменения компоненты скорости, спроектированной, например, на ось трубы х, имеет вид, показанный на рис. 6.12.

Рис. 6.12. Изменение скорости в турбулентном потоке (t — время).

Изменение скорости, как следует из рис. 6.12, имеет вид случайных отклонений. При этом весьма важно, что, несмотря на кажущуюся беспорядочность изменения скорости, среднее значение ее за достаточно длительный промежуток времени остается постоянным и не зависит от времени.

То же самое утверждение будет справедливо и для средних во времени значений нормальных и касательных напряжений. Средние во времени величины скоростей или напряжений в данной точке принято называть осредненными. Л сама операция получения этих средних величин называется осреднением.

Осреднение скоростей и напряжений

За осредненную скорость в данной точке принимается такая постоянная за период осреднения Г скорость, при которой через элементарную площадку d? за период Т проходит объем жидкости, равный истинному ее объему, проходящему через d? за время Т, т. е.

Отсюда.

Аналогично.

Осредненную во времени скорость следует отличать от средней скорости по сечению

Записанным выше интегралам легко дать геометрическую интерпретацию. Действительно, равен площади, лежащей под кривой действительной скорости на участке времени длиной Т в координатах . А это значит, что сумма площадок на графике , выражающая отклонения истинной скорости от средней, равняется нулю.

За осредненное напряжение в данной точке принимается величина.

где Т — время осреднения.

Аналогично для касательного напряжения

Если произведено осреднение скорости, то действительную (истинную) скорость в данной точке можно представить как сумму средней скорости и величины отклонения скорости от средней в данный момент, т. е.

Величины получили названия пульсационных скоростей. Очевидно, , т. е. пульсационной скоростью называется разность между истинной скоростью в точке в данный момент и осредненной скоростью в этой же точке.

Пульсационные добавки напряжений будут определяться аналогичным образом:

Заметим, что величина осредненной пульсационной добавки всегда равна нулю:

что наглядно видно из графика пульсаций (см. рис. 6.12).

Если измерять в некоторой точке скорости и давления жидкости, то при измерении обычными грубыми средствами — пьезометром, трубкой полного напора и т. п. — практически не будут отмечаться пульсации. Скорости и давления будут представляться постоянными во времени.

По существу, будут измеряться осредненные во времени величины и . Кроме того, очевидно, что осредненное турбулентное движение в данном случае можно рассматривать как установившееся.

О. Рейнольдс предложил рассматривать не действительное движение жидкости, а осредненно-идеализированное. Этот осредненный поток в лучшей мере отвечает нашим опытным данным, относящимся, по существу, лишь к средним во времени величинам. Но тогда, как показал О. Рейнольдс, и дифференциальные уравнения должны содержать в качестве неизвестных не истинные переменные, а осредненные. В частности, О. Рейнольдс произвел осреднение уравнений Навье — Стокса, т. е. ввел вместо актуальных величин скоростей и давлений их осредненные значения.

При таком осреднении в уравнениях движения жидкости появляется 9 новых неизвестных членов типа , т. е. появляются какие-то новые силы (так как каждый член уравнения выражает силу).

Идеализация движения жидкости привела к идеализации и силовых соотношений. При этом замкнутая система уравнений Навье — Стокса оказалась разомкнутой. Появилась необходимость связать каким-то образом пульсации и с осредненными величинами и и т. п. Эта связь может быть получена лишь на основании новых гипотез о механизме движения жидкости.

Так появились гипотезы турбулентности Л. Прандтля, Т. Кармана, Д. И. Тейлора, А. А. Фридмана и др. Но ни одна из этих гипотез (за исключением гипотезы Фридмана) не в состоянии замкнуть систему уравнений. Они лишь сводят задачук отысканию опытным путем каких-либо новых функций и т. п. взамен пульсаций и . Эти функции могут быть легче определены из опыта, чем пульсации.

Подобные теории турбулентности названы полуэмпирическими, так как часть величин в них находится из опыта. Гипотеза же Фридмана хотя и замыкает систему уравнений, но сводит се к системе из 20 дифференциальных уравнений в частных производных весьма сложного вида. Поэтому практически эта гипотеза использована быть не может.

Наиболее простые случаи осредненных потоков и наиболее распространенная полуэмпирическая теория турбулентности Л. Прандтля будут рассмотрены в параграфе 6.11.