Основные принципы и этапы математического моделирования в социологии

Понятие математической модели и требования к ней

Математическая модель реального объекта (явления) — упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций. При этом учитываются те свойства, которые признаны важными, и выполняется абстрагирование от малозначительных деталей. Например, в школьном курсе физики при решении задач на тяготение используются формулы, не учитывающие сопротивление воздуха, но это незначительно влияет на результаты вычислений.

Можно выделить ряд основных требований к математическим моделям^[1].

Адекватность — соответствие модели оригиналу, способность отражать нужные свойства объекта. Поскольку речь идет о количественных характеристиках, то требуется, чтобы погрешность не превышала заданную, т. е. требование адекватности тесно связано с требованием точности.

Объективность — соответствие научных выводов реальным условиям.

Простота — модель не должна быть «перегружена» второстепенными факторами.

Чувствительность — способность модели реагировать на изменения параметров.

Устойчивость — малому изменению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи.

Универсальность — характеризует широту области применения модели.

Также полезно ввести требование экономичности (компьютерная реализация модели не должна занимать слишком много времени) и производительности (компьютерный расчет модели и вычисления на базе модели должны требовать как можно меньше памяти и времени).

Основные этапы математического моделирования

Построение модели

На этом этапе имеется некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне, осуществляется гуманитарный анализ, происходит вербализация модели. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, т. е. строится собственно математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования. Даже незначительные недочеты могут свести на нет весь процесс построения модели — модель окажется неадекватной реальному объекту.

Решение математической задачи, к которой приводит модель. Решение может быть найдено «вручную» или на компьютере. В случае программного решения возможно, что на данном этапе большое внимание будет уделено разработке алгоритмов решения задачи на компьютере, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время. Для относительно простых задач решение иногда ищется быстрее человеком, нежели реализуется алгоритм и ищется решение на компьютере.

Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области. То есть, снова — уже после получения ряда результатов — проводится гуманитарный анализ.

Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация математических моделей и особенности классов

Математические модели могут быть детерминированными и стохастическими.

Детерминированные модели характеризуются тем, что для данной совокупности входных значений однозначно определяется выходной результат. Например, в XX в. ряд исследователей (Маккендрик, Форстер, Хорнер) пришли к тому, что данные о населении планеты за многие века с высокой точностью описываются формулой^[2]

где Т- год (Т = 0 — Рождество Христово). Данная формула для XXI в. уже не работает, но вполне точна для прежних веков (табл. 10.3).

Таблица 10.3

Изменение численности населения Земли

При стремлении к значению Т = 2025 значение N будет стремиться к бесконечности, чего в действительности быть не может. Имеет место режим с обострением, из которого реально существующая система неминуемо выйдет. Данная модель является детерминированной, поскольку по заданному значению Т однозначно определяет N.

Стохастические модели — такие математические модели, в которых какие-либо параметры представлены случайными величинами. Следовательно, характеристики в стохастической модели определяются не однозначно, а через законы распределения вероятностей.

Пример

Существует следующая модель распространения инноваций, предложенная индийскими учеными. Каждый индивид может находиться в двух состояниях — «инновация принята» и «инновация пока не принята». Приняв новинку, индивид остается верен ей до конца. Решение о принятии новинки индивид принимает, ориентируясь на мнение «ближайших соседей» — тех, с кем он непосредственно общается. Пусть вокруг индивида тп сторонников новинки. Генерируется случайное число р — вероятность принятия новинки. Если р • т >r, где r — фиксированное граничное значение, то новинка принимается, иначе пока что отвергается^[3].

Кроме того, существует разделение на статические модели и динамические модели.

Статическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта без учета изменения параметров во времени. Модель называется динамической, если параметры изменяются во времени.

Пример

В 1960;х гг. американский социолог К. Боулдинг предложил так называемую общую теорию конфликта. В теории рассматриваются две модели конфликта: в статической модели анализируются стороны конфликта и система отношений между ними, а в динамической модели рассматривается динамика конфликта — процесс, складывающийся из реакций противоборствующих сторон^[4].

Также примером статической модели является зависимость длительности технологической операции от затрат ресурсов. Примером динамической модели является зависимость объемов выпуска товарной продукции предприятия от размеров и сроков капитальных вложений, а также затраченных ресурсов.

Обычно статические модели описываются алгебраическим уравнением или системой алгебраических уравнений, т. е. уравнениями вида.

где у — обозначение выходных параметров, х — обозначение входных параметров, / - обозначение зависимостей выходных параметров от входных, п — количество входных параметров, т — количество выходных параметров. Неформально говоря, алгебраические уравнения — это уравнения, известные из школьного курса, по которым не раз строились графики функций, при решении различных учебных заданий по математике.

Динамические модели часто описываются дифференциальными уравнениями, т. е. уравнениями, связывающими функции и их производные, или системами дифференциальных уравнений. Примеры динамических моделей, описываемых дифференциальным уравнением, — модели В. В. Налимова для динамики числа научных публикаций^[5]. В первой модели он исходит из того, что скорость роста публикация пропорционально их достигнутому числу:

где у — число публикаций, k — константа, характеризующая интенсивность развития научной области. Решение уравнения — семейство экспонент у = Сеkt, где С — действительное число. При С > 0 и бесконечно большом t значения у будут бесконечно большими, т. е. модель будет справедлива только на ограниченном временном интервале.

В некоторый момент времени t = t* механизм роста числа публикаций должен измениться, а старый механизм — исчерпать себя. Для любого научного направления рано или поздно наступает этап торможения. Вторая модель учитывает это и представлена уравнением.

где k и b — константы. Когда у увеличивается и приближается к b, то у'(t) приближается к 0, т. е. рост у останавливается.

Данный пример наглядно иллюстрирует смысл производной по времени: это скорость роста либо скорость спада в зависимости от знака производной. Смысл второй производной, т. е. y" (t), заключается в скорости изменения скорости, т. е. в ускорении роста либо замедлении скорости роста.

Например, когда вторая производная функции меньше нуля, а первая — больше:

где у — уровень развития по некоторому показателю, получаем, что развитие идет сначала относительно высокими темпами, но постепенно становится все медленнее.

Пример

Можно обеспечить непродолжительный форсированный рост экономики в ходе послевоенного восстановления, но далее его темпы снизятся. Наступление армии агрессора при наличии у обороняющихся огромного территориального простора также нередко развивается именно так: сначала напавшие войска быстро продвигаются, но затем темпы снижаются, поскольку сторона-жертва мобилизует силы, а снабжение наступающих войск затрудняется из-за роста расстояния до стабильных баз снабжения. В конце концов, наступление может полностью «выдохнуться». До этого момента и выполняются ограничения на производные.

Приведем пример функции с положительной первой производной и отрицательной второй производной у = ln (t + 1), t > 0. Замена аргумента t на t + 1 обусловлено областью определения логарифма.

Когда и вторая производная функции, и первая — больше нуля у" (1) > 0, y'(t) > 0, развитие идет все более быстрыми темпами. Это характерно для ситуаций, когда выход на новые уровни развития обеспечивает еще больший ресурс для дальнейшего развития (в примере с наступлением войск было скорее наоборот). Например, при благоприятных условиях именно так будет меняться численность биологического вида — чем больше особей, тем выше скорость роста.

Простой пример функции с положительными двумя производными: у = е'.

Если в двух рассмотренных случаях первая производная будет отрицательной, то вместо роста величины во времени будет спад величины. В первом случае спад будет замедляться, во втором — ускоряться.

При y'(t) = const скорость роста остается постоянной, и рост идет по линейному закону. При моделировании сколько-нибудь сложных систем такое обычно не происходит. Также модели могут быть линейными и нелинейными в зависимости от вида описывающих их уравнений. Так, первая модель В. В. Налимова является линейной, а вторая не является, поскольку в правой части уравнений присутствует выражение у2. Это заметно, если раскрыть скобки:

По характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

• [1] Гуц А. К., Фролова Ю. В. Математические методы в социологии. М.: ЛКИ, 2007. С. 26−27.
• [2] Капица С. П. Парадоксы роста. Законы развития человечества. М.: Альпина нонфикши, 2010. С. 31−32.
• [3] Плотинский Ю. М. Модели социальных процессов: учеб, пособие для высших учебных заведений. М.: Логос, 2001. С. 270−271.
• [4] См.: Лигинчук Г. Г. Конфликтология: учебный курс. М.: МИЭМП, 2009.
• [5] Плотинский Ю. М. Цит. соч. С. 234.