Сложные ставки процентов

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных процентов имеет вид.

где FV — капитализированная сумма; PV — величина первоначальной денежной суммы; п — продолжительность периода начисления в годах; i — ставка сложных ссудных процентов; п — количество лет.

Если срок ссуды нс является целым числом, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид.

где пa — целое число лет; пb — оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где п1, п2, …, nN - продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2, …, iN — годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N — количество интервалов начисления сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), т. е. годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При т равных интерватах начисления и номинальной процентной ставке j величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления, определяется как j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где j — номинальная ставка сложных ссудных процентов; тп — общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где l — часть интервала начисления.

Пример 9. Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Требуется определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение

1-й способ начисления.

Используем формулу :

2-й способ начисления.

Используем формулу

Пример 10. Требуется определить, какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет. Определить также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение

Используем формулу :

Для случая начисления процентов по полугодиям.

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид.

где FV — будущая стоимость денег (сумма, которая должна быть возвращена); PV — сумма, получаемая заемщиком; d — величина сложной учетной ставки; п — количество лет.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где па — целое число лет; пb — оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется по формуле.

где п1, п2, …, nN - продолжительность интервалов начисления в годах; d1, d2,…, dN — годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N — количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются т раз в году, наращенная сумма определяется по формуле.

где f— номинальная годовая учетная ставка; пт — общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться по формуле.

где тп — целое число интервалов начисления за весь период начисления; l — часть интервала начисления.

Пример 11. Требуется определить нынешнее значение суммы в 100 000 000 руб., которая будет выплачена через 2 года при использовании учетной ставки 20% годовых.

Решение

Используем формулу :