Планирование и статистический анализ факторных экспериментов

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • общие принципы планирования и анализа факторных экспериментов на основе статистических моделей;
• • основные положения и принципы двухфакторного дисперсионного анализа для независимых выборок и возможности их обобщения для многофакторных планов;
• • основные структурные модели, которые лежат в основе двухфакторного дисперсионного анализа для независимых выборок;
• • способы применения стандартных процедур многофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок в обработке экспериментальных данных;

уметь

• • правильно планировать факторные межгрупповые эксперименты на основе структурных моделей многофакторного дисперсионного анализа и выбирать адекватную им модель статистической обработки;
• • правильно интерпретировать основные результаты многофакторного дисперсионного анализа и делать на их основе адекватные статистические выводы;
• • оценивать априорные контрасты как эффект нескольких независимых переменных (факторов);

владеть

• • базовым теоретико-методологическим аппаратом многофакторного дисперсионного анализа для независимых выборок;
• • приемами статистической обработки данных методом многофакторного дисперсионного анализа вручную и с помощью статистических программ.

Факторными называют эксперименты, в которых исследуется влияние двух и более независимых переменных на одну зависимую переменную. Сами независимые переменные называют факторами. Число факторов, влияние которых на исследуемую зависимую переменную изучается в факторных планах, может быть сколь угодно большим. Однако большое число факторов, как правило, создает для исследователя целый ряд проблем. Часть этих проблем относится к организации самого исследования, часть — к способам статистического анализа и интерпретации получаемых данных. Поэтому на практике число исследуемых независимых переменных в факторных экспериментальных планах оказывается ограниченным двумя или тремя. Именно поэтому в данной главе будут преимущественно рассмотрены двухфакторные планы, а также способы их статистического анализа.

Сами факторы могут варьироваться в эксперименте как между испытуемыми, так и внутри испытуемых. Как правило, в факторных экспериментах используется смешанная модель экспериментального планирования, когда часть факторов оказываются межгрупповыми, а часть — внутрисубъектными. Таким образом достигается необходимый баланс между соображениями экономии числа испытуемых, привлекаемых к участию в эксперименте, и нагрузкой на этих испытуемых в ходе реализации самого эксперимента. В этой главе рассмотрим ситуацию межгруппового эксперимента, когда все факторы варьируются между испытуемыми. В гл. 6 мы расширим наш анализ, рассмотрев вопрос о статистическом моделировании факторных экспериментов с повторными измерениями по одной или нескольким независимым переменным.

Статистическое описание межгруппового факторного эксперимента

При использовании межгруппового факторного плана каждому испытуемому предъявляется единственное сочетание уровней всех независимых переменных — факторов. Таким образом, поскольку в межгрупповых факторных экспериментах число экспериментальных условий, исследуемых в полных планах, равно произведению всех уровней всех независимых переменных, то и число групп испытуемых, необходимых для проведения эксперимента, равно произведению числа всех уровней всех независимых переменных.

Например, если используется двухфакторный план, в котором каждая независимая переменная принимает два значения, — такой план обозначают как план 2? 2 — то для проведения эксперимента потребуется четыре группы испытуемых, каждая из которых будет иметь дело лишь с одним сочетанием факторов. В общем случае для р уровней одного фактора и q уровней другого потребуется привлечь к эксперименту р? q групп испытуемых. Такой план принято обозначать как план р? q. Поскольку при больших значениях р и q число экспериментальных групп может достигать довольно значительных величин — план 3?3, как нетрудно посчитать, требует уже девять групп испытуемых — обычно межгрупповые планы ограничены двумя или тремя уровнями факторов. В принципе возможно использование так называемых лоскутных планов, когда какое-то сочетание уровней независимых переменных не используется в эксперименте. К таким планам, например, относят нестинговые планы. Но с точки зрения статистической обработки данных такие планы представляют собой особые случаи, и в данном учебнике мы их рассматривать не будем. Интересующиеся такими планами читатели могут обратиться к более фундаментальным руководствам по дисперсионному анализу и его применению в практике психологических экспериментов — см., например, В. J. Winer [28].

В табл. 5.1 представлена структура полного двухфакторного плана для произвольного числа уровней независимых переменных А и В, которые называются факторами. Первый фактор А принимает р значений, второй фактор В — q значений. Таким образом, для проведения эксперимента необходимо привлечь р? q групп испытуемых. В табл. 5.1 представлены теоретически ожидаемые, популяционные, значения зависимой переменной для каждой группы испытуемых. Эти значения в общем случае обозначены как µij. Средние значения зависимой переменной по факторам А и В обозначены соответственно? i и? j. Общее среднее по всем экспериментальным условиям обозначено ?.

Таблица 5.1

Межгрупповой факторный план р? q

Уровни факторов.		…		…		Среднее.
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
Среднее.		…		…

Первое преимущество факторных планов состоит в том, что они позволяют независимо оценивать эффекты одновременно нескольких факторов па нескольких уровнях. Эффекты каждой независимой переменной в отдельности называют основными аффектами.

Так, основной эффект фактора А на уровне i можно оценить следующим образом:

Тогда дисперсия основных эффектов фактора А на всех уровнях будет оцениваться по формуле.

Основной эффект фактора В на уровне j можно оценить так:

Дисперсия этих эффектов, очевидно, может быть выражена следующим выражением:

Второе, еще более важное преимущество факторных экспериментов состоит в том, что они позволяют выявлять совместные эффекты исследуемых независимых переменных. Такие совместные эффекты называют взаимодействиями. Они отражают степень неаддитивности действия факторов, когда общий эффект воздействия двух или нескольких факторов отличается от их простой суммы.

Применительно к структуре экспериментального плана, представленного в табл. 5.1, взаимодействие факторов А на уровне i и В на уровне j можно выразить так:

Соответственно, дисперсия таких взаимодействий может быть представлена следующим образом:

В случае двухфакторного плана можно оценить лишь два основных эффекта независимых переменных и их взаимодействие. Но уже трехфакторный план дает нам возможность исследовать семь эффектов: три основных эффекта, три двухфакторных взаимодействия и одно трехфакторное, которое принято обозначать как взаимодействие второго порядка. Чем больше факторов исследуется в эксперименте, тем больше взаимодействий можно оценить, включая взаимодействия все более высоких порядков. Однако на практике при оценке многофакторных взаимодействий можно столкнуться с проблемой их содержательной интерпретации. Это еще одна причина, по которой факторные эксперименты, как правило, оказываются ограниченными двумя или тремя независимыми переменными.

Помимо оценки основных эффектов независимых переменных и их взаимодействий в факторных экспериментах, построенных по межгрупповой схеме, оценивается также внутригрупповая дисперсия для всех групп испытуемых. Эта дисперсия отражает суммарный эффект экспериментальной, статистической, ошибки. Для каждого испытуемого такая ошибка может быть оценена так:

Соответственно, дисперсия таких эффектов для всех испытуемых будет выглядеть следующим образом: